VÒNG TRÒN MOHR TRONG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG

CHƯƠNG 4: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BỀN

3. VÒNG TRÒN MOHR TRONG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG

3.1. Phương trình vòng tròn Mohr: 

Từ phương trình (4­2) ta có thể viết lại dưới dạng :

x y x y

x ' .cos 2 xy .sin2

2 2

s + s s - s

s - = a - t a 

Từ phương trình (4­3) ta có :

x y

x ' y ' .sin2 xy .cos2

2 s - s

t = a + t a

2

7 5 60°

x' x y

30°

60° 4

10 7

x

x' 30°

y

Bình phương hai vế của các quan hệ trên rồi cộng vế với vế, ta được :

2 2

x y 2 x y 2

x ' x ' y ' xy

2 2

s + s s - s

ổ ử ổ ử

s - + t = + t

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ 

(4­14)  Nếu lấy một hệ trục mà hoành độ là svà tung độ là t thì (4­14) chứng tỏ ứng suất  pháp và ứng suất tiếp tương ứng với hệ trục x’, y’ là toạ độ của các điểm trên một  đường tròn có tâm nằm trên trục hoành cách gốc toạ độ là x y

2 s + s 

và bán kính bằng

2 2

x y xy

R 1 ( ) 4

=2 s - s + t 

Đường  tròn  này  được  gọi  là  vòng  tròn  ứng suất Mohr. 

3.2. Cách dựng vòng tròn Mohr : 

Trước  hết  ta  lập  hệ  trục  toạ  độ  vuông  góc svà t. Trên trục hoành s  lấy hai điểm  A, B có hoành độ sx và sy (hình vẽ 4.6, giả  thiết sx > sy), lấy trung điểm AB chính là  tâm I của vòng tròn. Dựng điểm D (sy, txy)  gọi  là  cực, ID= IB2+ BD 2 là  bán  kính  R  của vòng tròn. Với tâm I và bán kính R ta  dựng được vòng tròn Mohr. 

Với : OI x y 2 s + s

=

2 2 2 2

x y xy

R IB BD 1 ( ) 4

= + = 2 s - s + t  (4­15) 

3.3. Tìm ứng suất trên mặt cắt ngang bất kỳ : 

Mỗi điểm trên vòng tròn Mohr đặc trưng cho một mặt cắt nghiêng, hoành độ là trị  số của ứng suất pháp, tung độ là trị số của ứng suất tiếp. Nếu từ cực D ta vẽ tia Dx’ 

tạo với DP một góc a bất kỳ, tia này cắt vòng tròn Mohr tại điểm N (hình vẽ 4.7) toạ  độ điểm N là OL và LN : 

OL = OI + IL = x y R.cos( 2 ) 2

s + s

+ b + a

x y

R.cos .cos 2 R.sin .sin2 2

s + s

= + b a - b a

x y IA AP

R. .cos2 R. .sin2

2 IP IP

s + s

= + a - a 

OL x y x y .cos 2 xy .sin2

2 2

s + s s - s

= + a - t a  (4­16)

B A s

D(s y ,t xy )

I O

s y

(sx+s y )/2 sx

t

Hình vẽ 4.6

LN = R. sin(b + 2.a) = R.cosb.sin2a+ R.sinb.cos2a

x y

.sin 2 xy .cos 2 2

s - s

= a + t a  (4­17) 

So sánh (4­16), (4­17) và (4­2), (4­3) chứng tỏ toạ độ điểm N bằng giá trị các ứng  suất trên mặt có pháp tuyến là x’.

B A s

D

O I

s y

(sx+s y )/2 sx

t

Hình vẽ 4.7

P sx'

t x'y' N

L a

2a b

E

3.4. Ứng suất chính, cực trị của ứng suất : 

Điểm M1, M2 là những điểm có tung độ bằng không, đặc trưng cho các mặt chính. 

Các  điểm  này có  hoành  độ cực  trị  nên  cũng  đặc  trưng  cho  phương  chính,  các  ứng  suất trên phương chính là ứng suất chính smax và smin: 

Đối với ứng suất chính smax (theo hình vẽ 4.8) ta có :

x y 2 2

max 2 x y xy

OM OI R 1 ( ) 4.

2 2

s + s

s = = + = + s - s + t  (4­18)

xy o,max

2 2 y max

BD BD

tg BM OM OB

a = = = t

- s - s  (4­19) 

Đối với ứng suất chính smin (theo hình vẽ 4.8) ta có :

x y 2 2

min 1 x y xy

OM OI R 1 ( ) 4.

2 2

s + s

s = = - = - s - s + t  (4­20)

xy o,min

1 1 y min

BD BD

tg BM OB OM

a = = = t

- s - s  (4­21)

txy

s 3 s 1

P

O s t

D

E

s 1 s 3

I a 2

a 1

Hình vẽ 4.8

B A s

O

s min

smax

M 1 M 2

M 3

M 4 t

D P

E

tmax

smax

t min s min

I a o,max

a o,min 2ao

tmax tmin

ao

45°

45°

Hình vẽ 4.8 3.5. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt : 

Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt là trạng thái ứng suất phẳng  có một ứng suất pháp, chẳng hạn sy bằng không. Vòng tròn Mohr  của trạng thái ứng suất này được vẽ trên hình 4.9. 

Trị số các ứng suất cực trị, theo (4­10) là :

2 2

max xy

min

1 4.

2 2

s =s ± s + t 

Do đó các ứng suất chính sẽ là :

2 2

1 xy

2

2 2

3 xy

1 4. 0

2 2 0

1 4. 0

2 2

s = s + s + t >

s =

s = s - s + t < 

(4­22) 

Ứng suất tiếp cực trị, theo (4­12) ta có :

2 2

1 3

max xy

1 4.

2 2

s - s

t = = s + t

xy 1

1 xy 2

3

tg tg

a = - t s a = - t

s 

(4­23)

s

t xy

s t xy

t xy t xy

Hình vẽ 4.9

3.6. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy : 

Trạng  thái ứng  suất  trượt  thuần  túy là  trạng  thái  ứng  suất phẳng  có  hai  ứng  suất  pháp đều bằng không. Vòng tròn Mohr của trạng thái ứng suất này được vẽ trên hình  vẽ 4.10. 

Trị số các ứng suất cực trị, theo (4­10) là :

max min

s = ± t  (4­24) 

Do đó các ứng suất chính sẽ là :

1 2 3

0 s = t s = s = - t 

(4­25) 

Phương chính lập với trục hoành các góc 45 o  Ứng suất tiếp cực trị :

1 3

max 2

s - s

t = = t  (4­26) 

3.7. Ví dụ : 

Tìm  ứng suất chính và phương chính của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng vẽ  trên  hình  4.10a  bằng  phương  pháp  giải  tích  và  phương  pháp  vòng  tròn  Mohr.  Các  ứng suất đã cho trước tính bằng KN/cm 2 . 

Bài giải : 

Theo phương pháp giải tích :  Theo quy ước dấu ở §1 ta có :

sx = 20KN/cm 2 sy = 10KN/cm 2 txy = 5KN/cm 2 

* Xác định ứng suất chính : áp dụng công thức (4­10) ta có :

x y 2 2

max x y xy

min

1 ( ) 4.

2 2

s + s

s = ± s - s + t 

Thay các giá trị trên vào, tính được : smax = 22,071KN/cm 2

smin = 7,929KN/cm 2 

* Xác định phương chính, áp dụng công thức (4­7) ta có :

xy

x y

2. 2x5

tg2 1

20 10 a = - t = - = -

s - s - 

Ta được :  2a = ­ 45 o a1 = ­ 22,5 o

s t

O s 1

s 3

t xy

t xy t xy t xy

txytxy

Hình vẽ 4.9 Hình vẽ 4.10

a2 = a1 + 90 o  = ­ 22,5 o + 90 o = 67,5 o

10

20

5 s

10 20

O

s min = 7,929KN/cm 2

smax = 22,071KN/cm 2

M 1 M 2

M 3

M 4 t

D P

tmax

smax

t min s min

I a 1

a 2

tmax tmin

Hình vẽ 4.10

* Xác định ứng suất tiếp lớn nhất , áp dụng công thức (4­12) ta có:

2 2

max x y xy

min

1 ( ) 4.

t = ±2 s - s + t 

Thay các giá trị trên vào, tính được : tmax = 7,071KN/cm 2

tmin = ­ 7,071KN/cm 2 

Theo phương pháp vòng tròn Mohr : (Xem hình vẽ 4.10a)