3.1. Khái niệm về uốn thuần túy phẳng :
Đoạn dầm được gọi là chịu uốn thuần tuý phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của dầm lực cắt bằng không (Q = 0 : trùng
với đường chuẩn) còn mô men uốn là một hằng số (song song với đường chuẩn).
Trong thí nghiệm để có uốn thuần túy phẳng người ta xét dầm có 2 gối khớp ở 2 đầu chịu tác dụng của 2 lực bằng nhau đặt cách đều gối (hình vẽ 7.11a).
Khi đó đoạn dầm CD (nằm trong khoảng hai lực P) sẽ chịu uốn thuần túy
phẳng vì ở đó Q = 0 còn M = Pa = const (hình vẽ 7.11b, c).
3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm uốn thuần tuý phẳng : 3.2.1. Quan sát biến dạng :
Xét đoạn dầm thẳng chịu uốn thuần tuý phẳng như hình vẽ 7.12.
B
P P
C D
P
P Q
Pa a)
b)
c) M
Hình vẽ 7.11 A
Trước khi cho nó chịu uốn, ta kẻ lên mặt ngoài của dầm những đường song song với trục dầm tượng trưng cho thớ dọc và những đường vuông góc với trục thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang. Những đường này tạo thành ô lưới hình chữ nhật.
Sau khi cho mô men uốn Mx tác dụng, ta thấy :
Những đường thẳng trước song song với trục dầm, sau biến dạng bị uốn cong nhưng vẫn song song với trục dầm, vì trục dầm cũng bị uốn cong. Các đường phía trên co lại, các đường phía dưới dãn ra nhưng vẫn cách đều nhau.
Các đường thẳng vuông góc với trục dầm, sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với trục dầm.
3.2.2. Các giả thiết : Trên cơ sở quan sát biến dạng người ta đề ra các giả thiết sau :
Giả thiết tiết diện phẳng : mặt cắt ngang dầm trước phẳng và vuông góc với trục dầm, sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm (giả thiết Bernoulli).
Trong quá trình biến dạng các thớ dọc trục không ép lên nhau cũng không đẩy nhau.
3.2.3. Lớp trung hoà, trục trung hoà :
Quan sát dầm đã biến dạng ta thấy : các thớ ở phía trên trục dầm bị co ngắn lại và các thớ phía dưới bị dãn dài ra, như vậy đi từ những lớp bị co lại đến những lớp bị dãn ra có một lớp không bị biến dạng, lớp đó được gọi là lớp trung hoà (lớp này có chiều dài không đổi) hình vẽ 7.13.
Giao tuyến của mặt cắt ngang với lớp trung hoà gọi là trục trung hoà hay đường trung hoà, hình vẽ 7.13.
Nếu coi trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang không thay đổi hình dáng thì đường trung hoà là một đường thẳng và có thể coi biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng chính là sự quay của mặt cắt ngang xung quanh đường trung hoà.
Đường trung hoà chia mặt cắt ngang thành hai miền : Kéo và nén.
3.2.4. Công thức tính ứng suất :
Dựa vào giả thiết tiết diện ngang phẳng, ta kết luận trên mặt cắt ngang dầm chịu uốn thuần tuý nên chỉ có ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp.
Công thức tính ứng suất pháp : y
J . M
x
= x
s
Tổng quát ta có : . y J M
x
± x
=
s (712)
a)
Mx Mx
b)
Hình vẽ 7.12
Lớp trung hoà
Trục trung hoà Hình vẽ 7.13
slấy dấu (+) nếu điểm cần tính ứng suất nằm trong miền chịu kéo của tiết diện.
slấy dấu () nếu điểm cần tính ứng suất nằm trong miền chịu nén của tiết diện.
Với : Mx : mô men uốn tại mặt cắt ngang đang xét.
Jx : mô men quán tính chính trung tâm.
y : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến trục trung hoà.
Phát biểu : ứng suất pháp ở một điểm bất kỳ trên mặt cắt của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng tỷ lệ thuận với mô men uốn và khoảng cách từ điểm đó đến trục trung hoà và tỷ lệ nghịch với mô men quán tính của mặt cắt đối với trục trung hoà.
3.2.5. Biểu đồ ứng suất pháp, ứng suất pháp lớn nhất : Theo công thức (712)
Ứng suất pháp phân bố theo phương trục x vì trên một mặt cắt những điểm có y bằng nhau thì có s bằng nhau.
Ứng suất pháp phân bố theo quy luật đường thẳng (bậc nhất) theo phương trục y.
Căn cứ vào đó ta vẽ được biểu đồ phân bố ứng suất pháp theo phương trục y (hình vẽ 7.14).
Ứng suất kéo và nén có giá trị tuyệt đối lớn nhất ở trên đường biên cách xa trục trung hoà yk và yn.
Ký hiệu yk và yn là toạ độ tương ứng của mép tiết diện chịu kéo và mép tiết diện chịu nén, thì trị số lớn nhất của ứng suất pháp bằng :
n x x n
x x min
k x x k
x x max
W y M J . M
W y M J . M
=
= s
=
= s
(713)
Wx k ; Wx
n : mô men chống uốn tương ứng với yk; yn.
k k x
x y
W = J với yk = ymax > 0
n n x
x y
W = J với yn = ymin < 0
Với mặt cắt có trục x là trục đối xứng : y = k y n nên :
x x min
max W
= M s
=
s (715)
3.3. Mô men chống uốn của những mặt cắt ngang thường gặp : 3.3.1. Mặt cắt hình chữ nhật :
(714)
a) b) c)
O x y
yn y k
b
h s = 0
s min
smax
yn y k
s= 0
s min smax
Mx > 0 Mx < 0 Hình vẽ 7.14
6 bh 2
h 12 bh y
W J 2
y h
12
J bh 2
3
max x x max
3 x
=
=
= ị ù ù þ ù ù ý ü
=
=
Vậy : ù ù ợ ù ù í ì
=
=
6 h W b
6 W bh
2 y
2 x
(716)
Mặt cắt hình vuông có b = h = a
6 W a W
3 y
x = =
ị 3.3.2. Mặt cắt hình tròn :
3 3
4
y x max
4 y
x
d . 1 , 32 0
d . 2 d 64
d . W W 2
y d
64 d J .
J
p ằ
= p
=
= ị ù ù þ ù ù ý ü
=
= p
=
3.3.3. Mặt cắt hình vành khăn :
( )
( 4 ) 3 ( 4 )
3 y
x max
4 4
y x
1 D . 1 , 0 32 1
D W .
W D d
2 y D
64 1 D J .
J
a -
ằ a p -
=
= ị
ù ù ù þ ù ù ù ý ü
= a
=
a p -
=
=
* Những mặt cắt ngang là thép chữ I, C, L,... mô men chống uốn Wx, Wy tra phụ lục 2, 3, 4, 5, 6 trong tài liệu.