CHƯƠNG 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM THANH THẲNG
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH VỀ KÉO, NÉN
Bài toán siêu tĩnh của thanh và hệ thanh là bài toán mà việc giải ra các nội lực không thể thực hiện chỉ bằng các phương trình
tĩnh học, vì số ẩn số nhiều hơn số phương trình tĩnh học có thể lập được. Để bổ sung những phương trình cần thiết, người ta phải lập thêm những phương trình hình học và những phương trình vật lý.
Phương trình hình học ở đây là những phương trình tương thích biến dạng. Còn những phương trình vật lý (ví dụ các phương trình xuất phát từ định luật Hooke đối với vật
Hình vẽ 2.16
a a A
B C D
P a a A
N AB N AC N AD
Hình vẽ 2.17 A'
Dl AC
Dl AD DABl P
liệu đàn hồi tuyến tính) nhằm biểu thị quan hệ giữa biến dạng và nội lực.
7.2. Bài tập áp dụng : 7.2.1. Ví dụ 1 :
Cho hệ chịu lực như hình vẽ 2.17, hãy xác định nội lực trong các thanh, biết :
Diện tích mặt cắt ngang các thanh là F.
Các thanh làm cùng loại vật liệu.
Bài giải :
Tưởng tượng dùng mặt cắt 11 cắt qua ba thanh AB, AC, AD. Xét cân bằng phần bên dưới mặt cắt 11.
Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục x : Sx = 0 Û NAD. sina NAB. sina = 0
Û NAD = NAB (1)
Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục y :
Sy = 0 Û NAD. cosa + NAB. cosa + NAC – P = 0 (2) Thay (1) vào (2) ta được :
2 NAD. cosa + NAC = P (3)
Thiết lập phương trình biến dạng hình học của hệ : Dưới tác dụng của lực P điểm A sẽ di chuyển xuống điểm A’ (vì hệ đã cho đối xứng nên A và A’ cùng nằm trên đường thẳng đứng)
Ta có : AC N .l AC l AA '
D = = EF (4)
AD AD
N .l l AA '.cos
EF.cos
D = a =
a (5)
Từ (4) và (5) ta suy ra :
AD
AC 2
N N
= cos
a (6)
Thay (6) và (3) ta được :
2 NAD. cos 3 a + NAD = P. cos 2 a ị = = a
+ a
2
AD AB 3
P.cos
N N
1 2 cos (7)
Thay (7) vào (6) ta có :
= + a
AC 3
N P
1 2cos 7.2.2. Ví dụ 2 :
Cho hệ thanh treo như hình vẽ 2.18. Thanh AB tuyệt đối cứng, độ cứng của các thanh CD và EF như hình vẽ. Hệ thanh chịu tác dụng của các tải trọng P = 50KN, M = 100KNm, q = 20KN/m. Hãy xác định nội lực trong các thanh treo.
M P
2m 2m 4m
q
A B
E
D
C EF
2EF 3m 6m
Hình vẽ 2.18 Bài giải :
Tưởng tượng dùng mặt cắt 11 cắt qua hai thanh CD, BE. Xét cân bằng phần bên dưới mặt cắt 11.
q
A C B
N CD N BE
C' B' M
P
2m 2m 4m
Lấy mô men tất cả các lực đối với gối A :
SmA = 0 Û NCD. 4 + NBE. 8 + M – P. 2 – q. 4. 6 = 0
Û NCD. 4 + NBE. 8 = 50x2 + 20x4x6 – 100 = 480
Û NCD + NBE. 2 = 120 (1)
Mặt khác, dưới tác dụng của các tải trọng thì hệ sẽ bị biến dạng, lúc đó các thanh treo sẽ bị dãn xuống. Điểm C sẽ dịch chuyển xuống đến vị trí C’ và điểm B sẽ dịch xuống đến vị trí B’ (hình vẽ)
Do thanh AB tuyệt đối cứng (không có biến dạng), nên theo quan hệ hình học ta có :
= BB ' CC '
2
Hay D
DCD = l BE
l 2 (2)
với CC '= D l CD ; BB '= D lBE
P 3 = 80KN
60cm 30 60cm 30
F 1 F 2
P 1 = 30KN P 2 = 20KN Mà DCD = N .l CD CD
l EF ; DBE = N .l BE BE
l 2EF (3)
Thay (3) vào (2) ta được :
CD CD = BE BE
N .l 1 N .l EF 2x 2EF ÛN .3 CD = 1 N .6 BE
EF 2x 2EF Û CD = N BE
N 2 (4)
Thay (4) vào (1) ta có : 0,5. NBE + 2. NBE = 120 Û NBE = 48KN
Thay NBE = 48KN vào (4) ta được : NCD = 24KN
CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT :
1. Thế nào là thanh chịu kéo nén đúng tâm? Lực dọc là gì? Cách tính lực dọc?
Cách vẽ biểu đồ lực dọc.
2. Nêu trình tự thiết lập công thức tính ứng suất pháp trong thanh chịu kéo, nén đúng tâm? Nêu phạm vi áp dụng của công thức đó? Thế nào là hiện tượng tập trung ứng suất?
3. Nêu các định nghĩa biến dạng dọc và biến dạng ngang tuyệt đối, tương đối?
Trình bày mối liên hệ giữa biến dạng dọc và biến dạng ngang?
4. Viết và giải thích công thức tính biến dạng dọc tuyệt đối? Nêu rõ phạm vi áp dụng của công thức?
5. Trình bày các giai đoạn làm việc của mẫu thí nghiệm bằng thép khi chịu kéo?
Nêu sự khác nhau giữa vật liệu dẻo và vật liệu dòn khi chịu kéo?
6. Thế nào là ứng suất cho phép? Hệ số an toàn phụ thuộc vào những yếu tố nào? Nêu ý nghĩa của hệ số an toàn?
7. Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản?
BÀI TẬP :
1. Thanh thép tròn gồm hai đoạn có diện tích mặt cắt ngang F1 = 15cm 2 ; F2 = 30cm 2 chịu tác dụng của các lực dọc trục P1 = 30KN; P2 = 20KN; P3 = 80KN (như hình vẽ). Hãy :
+ Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N.
+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn.
+ Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh.
Cho biết E = 20.10 3 KN/cm 2 . Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh.
2. Thanh thép tròn gồm ba đoạn có diện tích mặt cắt ngang F1 = 30cm 2 ; F2 = 15cm 2 ; F3 = 25cm 2 chịu tác dụng của các lực dọc trục P1 = 40KN ; P2 = 10KN ; P3 = 70KN ; P4 = 60KN (như hình vẽ). Hãy :
+ Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N.
+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn.
+ Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh.
Cho biết E = 21.10 3 KN/cm 2 . Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh.
3. Kết cấu gồm hai thanh AB và AC treo vật nặng P hình vẽ 3. Thanh AB bằng thép tròn có đường kính d, ứng suất cho phép [s]AB = 14 KN/cm 2 . Thanh AC bằng đồng có mặt cắt hình vuông cạnh là a, ứng suất cho phép [s]AC = 1,8KN/cm 2 . Xem thanh AC không mất ổn định. Hãy tính :
+ Kích thước của các thanh khi biết P = 50 KN,a = 30 0 + Tính [P] khi biết d = 3cm, a = 10cm, a = 30 0
P a
d
a A
B
C A
B C
a d
P
30° 30° a
8m 2
4m d
A B D
C P
Hình vẽ 3 Hình vẽ 4 Hình vẽ 5
4. Cho kết cấu chịu lực P = 100KN như hình vẽ 4. Thanh AB làm bằng thép có [s]AB = 14 KN/cm 2 , có mặt cắt hình vuông cạnh là a = 5cm; thanh AC làm bằng đồng có [s]AC=16KN/cm 2 , có đường kính d = 4cm. Hãy kiểm tra khả năng chịu lực của kết cấu.
5. Thanh AB tuyệt đối cứng, được nối khớp với đất và giữ thăng bằng nhờ thanh CD (như hình vẽ 5) có mặt cắt ngang hình tròn đường kính d = 4cm, ứng suất cho phép [s]CD = 15 KN/cm 2 . Hãy xác định giá trị lực P cho phép.
6. Thanh thép tròn gồm hai đoạn có diện tích mặt cắt ngang F1 = 20cm 2 ; F2 = 40cm 2 chịu tác dụng của các lực dọc trục P1 = 80KN; P2 = 100KN; P3 = 50KN, q =
P 1 = 40KN P 2 = 10KN P 4 = 60KN
60cm 30 20 60cm
P 3 = 70KN
F 1 F 2
F 3
10KN/m (như hình vẽ 6). Hãy tính:
+ Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N.
+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn.
+ Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh.
Cho biết E = 25.10 3 KN/cm 2 . Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh.
7. Thanh thép tròn có diện tích mặt cắt ngang F = 40cm 2 chịu tác dụng của các lực dọc trục P1
= 50KN; P2 = 120KN; P3 = 80KN, q = 10KN/m (như hình vẽ 7). Hãy tính các yếu tố sau:
+ Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N.
+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn.
+ Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh.
Cho biết E = 24.10 3 KN/cm 2 . Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh.
8. Cho hệ chịu lực như hình vẽ 8, hãy xác định nội lực trong các thanh, biết : tải trọng tác dụng P = 100KN
Diện tích mặt cắt ngang các thanh là F = 10cm 2 .
Các thanh làm cùng loại vật liệu có E = 20.10 3 KN/cm 2
3m
Hình vẽ 9 a a
A
B C D
Hình vẽ 8 P
M P
2m 2m 4m
q
A B
E
D C
2EF
EF
3m
9. Cho hệ thanh treo như hình vẽ 9. Thanh AB tuyệt đối cứng, độ cứng của các thanh CD và EF như hình vẽ. Hệ thanh chịu tác dụng của các tải trọng P = 100KN, M = 200KNm, q = 50KN/m. Hãy xác định nội lực trong các thanh treo.
10. Cho hệ thanh treo như hình vẽ 10, các thanh AB và CD tuyệt đối cứng. Hệ chịu tác dụng của các tải trọng P = 200KN, q = 100KN/m, M = 400KNm. Hãy xác định kích thước các thanh treo BG, CE, DF biết tiết diện thanh như hình vẽ, ứng suất cho phép của các thanh : [s]=20KN/cm 2 ; E = 20.10 3 KN/cm 2
P 1 q
P 2 P 3
3m 6m 3m
A B C D
P 1 2q
P 2 P 3
3m 3m
A B C D
3m 3m q
Hình vẽ 6 Hình vẽ 7
d
Hình vẽ 10 M
P
2m 2m 4m
q
C D
F
B G E
A
4m4m 6m
3EF 2EF
EF d
a
11. Cho hệ thanh treo như hình vẽ 11, các thanh AB và CD tuyệt đối cứng. Hệ chịu tác dụng của các tải trọng P = 100KN, q = 50KN/m, M = 200KNm. Hãy xác định nội lực trong các thanh treo.
M
q
Hình vẽ 11 P
A B
C E D
F
M
q
P
A B
C E D
F
2m 2m
2m
3m 3m
G
30°30°
2m 2m 2m 2m
4m
A C
D E
B F
4m 2m
3m 6m
P
12. Một thanh có mặt cắt thay đổi bậc, bị ngàm cứng ở hai đầu. Hệ chịu tác dụng của các tải trọng P = 200KN, q = 50KN/m. Mô đun đàn hồi của vật liệu là E = 20.10 3 KN/cm 2 . Diện tích mặt cắt của các đoạn thanh F1 = 60cm 2 , F2 = 40cm 2 , F3 = 20cm 2 . Hãy tính phản lực ở các ngàm và vẽ biểu đồ nội lực của thanh.
F 1 F 2 F 3
2m 2m
2m
P 1 P 2
Hình vẽ 12 Hình vẽ 13
P
F 1 F 2
F 3
q 2m 2m 2m
13. Một thanh có mặt cắt thay đổi bậc, bị ngàm cứng ở hai đầu. Hệ chịu tác dụng của các tải trọng P1 = 200KN, P2 = 400KN. Mô đun đàn hồi của vật liệu là E = 25.10 3 KN/cm 2 . Diện tích mặt cắt của các đoạn thanh F1 = 90cm 2 , F2 = 60cm 2 , F3 = 30cm 2 . Hãy tính phản lực ở các ngàm và vẽ biểu đồ nội lực của thanh.