Tương tự như trong các biến dạng kéo (nén) hoặc xoắn ở đây ta cũng gặp bài toán siêu tĩnh, đó là những bài toán mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học không thể tìm được phản lực và nội lực trong tất cả các bộ phận của hệ.
Để giải bài toán siêu tĩnh ta phải lập thêm các phương trình biến dạng. Giải hệ gồm các phương trình cân bằng tĩnh học và các phương trình biến dạng bổ sung ta sẽ tìm được những phản lực liên kết.
Trên cơ sở nguyên tắc tổng quát nói trên, người ta đã đề ra nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết những bài toán cụ thể trong thực tế kỹ thuật.
6.2. Bài tập áp dụng :
Vẽ biểu đồ mô men uốn và lực cắt của dầm siêu tĩnh như hình vẽ 7.26a.
Bài giải :
Dầm chỉ chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng nên tại các gối A, B, C chỉ xuất hiện các thành phần phản lực thẳng đứng là
VA, VB, VC.
Lấy mô men tất cả các lực đối với gối A 2 0
l . 2 l 2 . q l 2 . V l . V 0
M A = Û B + C - =
ồ
Û VB. l + VC. 2l – q. 2l 2 = 0 (1) Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục y :
Sy = 0 Û VA + VB + VC – q. 2l = 0 (2) Do vậy cần viết phương trình biến dạng bổ sung. Để viết phương trình biến dạng ta tưởng tượng bỏ gối B và thay tác dụng của nó bằng phản lực VB chưa biết (hình vẽ 7.26b).
Tính độ võng của dầm tại điểm B do tải trọng phân bố đều q sinh ra (hình vẽ 7.26c):
Tra bảng 7.25 ta có :
EJ 8 , 4
l . q EJ
) l 2 .(
. q 384 y 5
4 4
q
B = =
Tính độ võng của dầm tại điểm B do tải trọng tập trung VB sinh ra (hình vẽ 7.26d):
Tra bảng 7.25 ta có :
EJ 6
l . V EJ
48 ) l 2 .(
y V
3 B 3
V B
B = - = -
(Dấu () biểu thị chiều VB hướng từ
dưới lên trên, tương ứng độ võng của dầm hướng lên trên).
Vậy độ võng tại gối B do tải trọng phân bố đều q và phản lực VB đồng thời gây ra là :
EJ 6
l . V EJ 8 , 4
l . y q
y y
3 B 4
V B q B
B = + = -
Để hệ ở hình vẽ 7.26b làm việc giống hệ ở hình vẽ 7.26a thì độ võng tại B phải bằng 0 (Vì B là gối tựa).
Hay 0
EJ 6
l . V EJ 8 , 4
l . y q
y y
3 B 4
V B q B
B = + = - = (3)
b) q
V B
l l
A
V A V C
c) q C
l y q B l B
B
A V A d) C
V B
l l
B y B V
e)
f)
0,625ql
0,375ql
0,07ql 2 0,125ql 2
Hình vẽ 7.26 0,375l
a)
B
q
V B
l l
A
V A V C
C A
V A V C
C
Từ (3) suy ra : 1 , 25 ql 8
, 4
l . q . V B = 6 =
Thay VB = 1,25ql vào phương trình (1) ta được : ql 375 , 2 0
ql 25 , 1 ql 2 l
2 l . V ql
V 2 B
2
C - =
- =
=
Thay VB = 1,25ql và VC = 0,375ql vào phương trình (2) ta được : VA = q. 2l VB VC = 2ql – 1,25ql – 0,375ql = 0,375ql
Vậy : VA = 0,375ql VB = 1,25ql VC = 0,375ql
Với các giá trị phản lực tìm được, ta áp dụng phương pháp vẽ nhanh và vẽ được biểu đồ lực cắt (hình vẽ 7.26e), biểu đồ mô men uốn (hình vẽ 7.26f) của dầm siêu tĩnh.
CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 7 LÝ THUYẾT :
1. Thế nào là dầm chịu uốn ngang phẳng. Cho ví dụ.
2. Trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn có những thành phần nội lực gì? Nội lực này khác với trong kéo (nén) đúng tâm, cắt và xoắn như thế nào?
3. Trình bày quy ước dấu và quy tắc tính nội lực trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn, cho ví dụ cụ thể.
4. Biểu đồ nội lực trong dầm chịu uốn là gì? Trình bày cách vẽ biểu đồ nội lực bằng cách viết biểu thức Q(z), M(z) cho từng đoạn dầm.
5. Phát biểu và giải thích liên hệ vi phân giữa cường độ của tải trọng phân bố, lực cắt và mô men uốn.
6. Trình bày cách vẽ nhanh biểu đồ M và Q, cho ví dụ cụ thể.
7. Thế nào là uốn thuần túy phẳng? Trình bày ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm uốn thuần tuý phẳng.
8. Thế nào là ứng suất pháp, ứng suất tiếp trên mặt cắt của dầm chịu uốn ngang phẳng. Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất tiếp theo chiều cao mặt cắt ngang và viết công thức tính ứng suất tiếp lớn nhất cho mặt cắt hình chữ nhật, hình tròn và hình chữ I.
9. Thế nào là ứng suất chính? Trình bày phương pháp xác định mặt chính và ứng suất chính?
10. Trình bày dạng mặt cắt hợp lý của dầm chịu uốn. Hãy so sánh ứng suất pháp lớn nhất và ứng suất tiếp lớn nhất của 3 dầm chịu lực như nhau, có cùng diện tích mặt cắt ngang F, một dầm hình vuông, hai dầm hình chữ nhật có h = 1,2b và h = 1,5b.
11. Trình tự kiểm tra bền của dầm chịu uốn ngang phẳng.
12. Thế nào là đường đàn hồi, độ võng, góc xoay? Trình bày cách tính độ võng, góc xoay của dầm giản đơn chịu tải trọng phân bố đều q, có chiều dài l bằng phương pháp tích phân. Trường hợp nào nên áp dụng phương pháp này?
BÀI TẬP :
1. Tính mô men uốn và lực cắt tại các mặt cắt A, B của các dầm cho trên hình vẽ 7.27. Biết P = 1000daN, M = 2000daNcm, q = 50daN/cm, a = 1m.
q
Hình vẽ 7.27
a a a a a
M P
A B
d) P P
q a)
a a
a a
q M P
A B
M q b) P
a a
a a
A
B
a a a q a a
P M
A B
c) P P
2. Tính mô men uốn và lực cắt tại các mặt cắt C, D của các dầm cho trên hình vẽ 7.28. Biết P1 = 2000daN, P2 = 3000daN, P3 = 4000daN, M1 = 5000daNcm, M2 = 8000daNcm, q = 100daN/cm, a = 2m.
a) q
2a a
a a q a a
q
a a a a a a
q P 2
M 2 M 1
C D
P 3 a b)
P 1
P 1 P 2 P 3
M 2 M 1
C
D
q
a a a a a a
q P 2
M 2
M 1 P 3
a c)
P 1 q
C D q
Hình vẽ 7.28
3. Vẽ biểu đồ mô men uốn và lực cắt của các dầm cho trên hình vẽ 7.29. Biết P1 = 1000daN, P2 = 2000daN, P3 = 4000daN, M1 = 5000daNcm, M2 = 10000daNcm, q = 100daN/cm, a = 2m.
M 1
P 2 M 2 P 3
q P 1
A B C D
E
2a a
a a
a)
M 1
P 2 M 2
P 3 q
P 1
A B
C
D E
2a a
a a
b)
a a a a a a
q P 2
M 2 M 1
A B
C D E
H G
P 3 F
a c)
P 1
a a a a a a
q P 2
M 2 M 1
A B
C D E H
G P 3
F
a d)
P 1
q
a a a a a a
q P 2
M 2 M 1
A B
C D E H
G
P 3 F
a e)
P 1
a a a q a a a
P 2
M 2 M 1
A B C D
E H
G
P 3 F
a f)
P 1
q q
a a a a a a
q P 2 M 2 M 1
A B
C D E
G P 3
g) F P 1
a a a q a a a
P 2
M 2 M 1
A B
C D
E G
P 3 h) F
P 1 q q
Hình vẽ 7.29
4. Kiểm tra độ bền của các dầm cho trên hình vẽ 7.29. Biết [sk] = 21KN/cm 2 , [sn] = 27KN/cm 2 , [t] = 10KN/cm 2 . Kích thước mặt cắt là cm. Mặt cắt ngang dầm được quy ước như sau :
Bài tập 3a, 3b có mặt cắt ngang dầm là hình 7.30a.
Bài tập 3c, 3d có mặt cắt ngang dầm là hình 7.30b.
Bài tập 3e, 3f có mặt cắt ngang dầm là hình 7.30c.
Bài tập 3g, 3h có mặt cắt ngang dầm thép chữ I số 60.
20cm 4
4
20cm
20cm
40cm
20cm 4
4
20cm 4
Hình vẽ 7.30
a) b) c)
5. Cho dầm siêu tĩnh (hình vẽ 7.31) chịu tác dụng của các tải trọng P = 2000daN, q = 100daN/cm, M = 5000daNcm, khoảng cách a = 2m. Dầm có độ cứng EJx không đổi.
a. Vẽ biểu đồ mô men uốn và lực cắt của dầm.
b. Chọn số hiệu mặt cắt của dầm chữ I theo điều kiện bền về ứng suất pháp, biết [s] = 2100daN/cm 2 .
e)
3a
P a Hình vẽ 7.31
4a
c) q
4a
M
d) q
3a
P a 2a
b) q P
a) P q
a a