Biến đổi tích phân fourier trong các không gian schwartz l1 rn và l2 rn và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỆN VĂN MẠNH BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER TRONG CÁC KHÔNG GIAN SCHWARTZ, L1(Rn) VÀ L2(Rn) VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - Năm 2013 Mục lục MỞ ĐẦU DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER 1.1 Các khơng gian sở 1.1.1 Không gian Rn 1.1.2 Không gian Lp (Rn ) 1.1.3 Không gian Schwartz S(Rn ) 1.2 Biến đổi tích phân Fourier khơng gian Schwartz 1.3 Biến đổi tích phân Fourier khơng gian L1 (R) 1.3.1 Định nghĩa, vài tính chất đơn giản ví dụ 1.3.2 Bổ đề Riemann - Lebesgue 1.3.3 Đạo hàm hàm biến đổi tích phân Fourier 1.3.4 Cơng thức nghịch đảo 1.3.5 Chập hai hàm 1.3.6 Tính biến đổi tích phân Fourier 1.3.7 Định lý khả tích 1.3.8 Khả tích Abel khả tích Gauss 1.3.9 Một vài ứng dụng định lý khả tích 1.3.10 Tính liên tục theo chuẩn 1.3.11 Tính khả tích theo chuẩn 1.3.12 Đạo hàm hàm biến đổi tích phân Fourier chúng 1.4 Biến đổi tích phân Fourier không gian L1 (Rn ) 1.4.1 Bổ đề Riemann - Lebesgue, chập hai hàm 1.4.2 Định lý tính 1.4.3 Công thức khả tích Gauss 1.4.4 Định lý khả tích Gauss 1.4.5 Ứng dụng định lý khả tích, cơng thức nghịch đảo 1.4.6 Chuẩn, tính liên tục, đẳng thức Parseval 1.5 Biến đổi tích phân Fourier khơng gian L2 1.5.1 Phép biến đổi không gian Hilbert 1.5.2 Định lý Plancherel 6 6 7 10 10 12 14 16 18 21 22 27 28 30 33 33 37 37 38 40 42 43 44 44 44 45 1.5.3 1.5.4 1.5.5 Tổng quát tính khả tích Biến đổi tích phân Fourier L2 (Rn ) Đạo hàm hàm biến đổi tích phân chúng 52 54 Fourier 58 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 2.1 Bài toán Dirichlet nửa mặt phẳng 2.2 Bài toán Neumann nửa mặt phẳng 2.3 Bài toán Cauchy với phương trình khuếch tán 2.4 Bài toán Cauchy với phương trình sóng KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 66 68 69 74 77 78 MỞ ĐẦU Lý thuyết biến đổi tích phân Fourier ứng dụng mạnh mẽ Toán học đại, Vật lý, Cơ học, nhiều lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật khác Đặc biệt áp dụng biến đổi tích phân Fourier để giải phương trình đạo hàm riêng nói chung tốn giá trị ban đầu hay tốn biên nói riêng ứng dụng thú vị nhiều nhà khoa học quan tâm Vì vậy, biến đổi tích phân Fourier nhà khoa học nghiên cứu nhiều, kết lĩnh vực vô phong phú đa dạng Luận văn trình bày kiến thức biến đổi tích phân Fourier ứng dụng để giải phương trình đạo hàm riêng Nội dung luận văn gồm hai chương Biến đổi tích phân Fourier Giới thiệu phép biến đổi tích phân Fourier không gian Schwartz, L1 (Rn ) L2 (Rn ) Ứng dụng biến đổi tích phân Fourier để giải phương trình đạo hàm riêng Chương đề cập đến phương pháp sử dụng phép biến đổi tích phân Fourier để tìm nghiệm tốn biên toán giá trị bạn đầu phương trình đạo hàm riêng Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, người tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, thông qua luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô hội đồng phản biện đọc đưa ý kiến quý báu giúp luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau Đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Hành tổ chức, Khoa Khoa học trường Cao đẳng Thủy sản gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt khóa học Do lực, kinh nghiệm thời gian nhiều hạn chế nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn tác giả Vì vậy, tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện nội dung hình thức Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Mạnh DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R tập số thực C tập số số phức Z+ = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm Zn+ = {(α1 , α2 , , αn )|αj ∈ Z+ , j = 1, , n} (α1 , α2 , , αn ), αj ∈ Z+ , j = 1, , n đa số |α| = α1 + α2 + + αn (β1 , β2 , , βn ), α ≤ β ↔ αj ≤ βj , với j xα = xα1 xα2 xαnn Dj = ∂ toán tử lấy đạo hàm riêng theo xj ∂xj 10 D = (D1 , D2 , , Dn ) 11 Dα = D1α1 D2α2 Dnαn 12 Djαj = ∂ αj α ∂xj j 13 C k (Rn ) = {u : Rn → C|u khả vi liên tục cấp k} 14 C ∞ (Rn ) = 15 Γ(t) = +∞ ∞ k n k=1 C (R ) xt−1 e−x dx hàm Gamma Chương BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER 1.1 1.1.1 Các không gian sở Không gian Rn Không gian Euclide Rn không gian véc tơ trường số thực mà phần tử có dạng x = (x1 , x2 , , xn ) Tích vơ hướng hai phần tử x y , x, y ∈ Rn số xác định (x, y) = n xj yj Chuẩn x Rn j=1 xác định n ||x|| = j=1 |xj |2 Chuẩn gọi chuẩn Euclide 1.1.2 Không gian Lp (Rn ) Không gian Lp (Rn ), (1 ≤ p ≤ +∞) tập hợp tất hàm số xác định đo Rn , cho |f (x)|p dx < +∞ (1.1) Rn Trong Lp (Rn ) hai hàm gọi đồng với chúng hầu khắp nơi, phần tử Lp (Rn ) lớp tương đương hàm đo thỏa mãn (1.1), hai hàm tương đương chúng hầu khắp nơi Lp (Rn ) f ∈ Lp (Rn ), f = f (x) = hầu khắp nơi Rn Khi Lp (Rn ) khơng gian véc tơ với phép cộng hai hàm số nhân số với hàm số Chuẩn Lp (Rn ) định nghĩa sau  p1  ||f (x)|| =  Rn |f (x)|p dx (1.2) Khi Lp (Rn ) với chuẩn (1.2) không gian định chuẩn đầy đủ (Banach) 1.1.3 Không gian Schwartz S(Rn ) Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) tập hợp S(Rn ) = ϕ ∈ C ∞ (Rn )| xα D β ϕ(x) < cαβ , ∀x ∈ Rn , α, β ∈ Zn+ , với khái niệm hội tụ định nghĩa sau n n Dãy {ϕk }∞ k=1 S(R ) gọi hội tụ đến ϕ S(R ) lim sup xα D β ϕk (x) − xα D β ϕ(x) = 0, ∀α, β ∈ Zn+ k→∞ x∈Rn n Khi ta viết lim ϕk = ϕ Dãy {ϕk }∞ k=1 S(R ) gọi dãy Cauchy k→∞ S(Rn ) hai điều kiện sau xảy lim sup + ||x||2 m D β ϕk (x) − D β ϕl (x) = 0, ∀β ∈ Zn+ k→∞ x∈Rn l→∞ lim sup + ||x||2 m k→∞ x∈Rn l→∞ 1.2 |β|≤m D β ϕk (x) − D β ϕl (x) = Biến đổi tích phân Fourier khơng gian Schwartz Định nghĩa 1.1 Biến đổi tích phân Fourier Ff (ξ) hay f (ξ) hàm f (x) ∈ S(Rn ) xác định ei(x,ξ) f (x)dx, Ff (ξ) ≡ f (ξ) := ξ ∈ Rn Rn Nhận xét Tích phân xác định (1 + |x|)−m dx < +∞, |f (ξ)| ≤ cm với m > n Rn Tiếp theo ta chứng minh tính chất sau biến đổi Fourier Ff ∈ S(Rn ) Dβ f (ξ) = (i)|β| F(xβ f (x)), ξ α f (ξ) = (i)|α| F (D α f (x)) (ξ), với α, β ∈ Zn+ Thật vậy, ta có Dξβ f (ξ) = (ix)β ei(x,ξ) f (x)dx = (i)|β| F(xβ f (x))(ξ), Rn ei(x,ξ) xβ f (x) có tích phân Rn hội tụ theo ξ Do Ff ∈ C ∞ (Rn ) Mặt khác, phép tính tích phân phần ta có ei(x,ξ) (iDx )α f (x)dx (−iDx )α ei(x,ξ) f (x)dx = ξ α f (ξ) = Rn Rn = (i)|α| F(Dxα f (x))(ξ) Như vậy, với α, β ∈ Zn+ ta có ei(x,ξ) (iDx )β ((ix)α f (x))dx ξ β Dξα (Ff )(ξ) = Rn Vì sup ξ β Dξα (Ff )(ξ) ξ∈Rn ≤ sup Dxβ ((x)α )f (x)) (1 + ||x||)n+1 x∈Rn Rn ≤ C sup (1 + ||x||2 )n+1+|α| x∈Rn γ≤β dx (1 + ||x||)n+1 |D γ f (x)| Từ đó, ta có Ff ∈ S(Rn ), biến đổi tích phân Fourier ánh xạ tuyến tính liên tục S(Rn ) Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Fourier hàm f (x) = e− ||x|| Lời giải Theo định nghĩa ta có ei(x,ξ)− ||x|| dx f (ξ) = Rn 2 = e− ||ξ|| e− (||x|| −2i(x,ξ)−||ξ||2 ) dx Rn n +∞ − 21 ||ξ||2 e− (t−iξj ) dt = e j=1−∞ z2 Để tính tích phân cuối ta xét hàm f (z) = e− biến phức z miền xác định DR Hình 1.1 Ta xét hướng dương vòng quanh biên ∂DR Vì f (z) hàm chỉnh hình miền xác định nên theo Định lý Cauchy ta có z2 e− dz = ∂DR Nhưng ξj R − z2 e − t2 dz = ∂DR e − 21 (R+iτ )2 e dt + i −R dτ + e −R Nếu R → +∞, − 12 (t+iξj )2 R e− (−R+iτ ) dτ dt + i ξj ξj e− (±R+iτ ) dτ → 0 DR −R t R Hình 1.1 Do +∞ +∞ − 21 (t+iξj )2 e t2 e− dt, dt = −∞ j = 1, , n −∞ Sử dụng Định lý Fubini hệ tọa độ cực ta tính tích phân cuối sau  +∞ 2 2π +∞  −∞ t2 e− dt e− (t = +s2 ) dtds = R2 +∞ e−m dm = 2π = 2π Vì ta có +∞ e− (t+iξj ) dt = −∞ √ 2π, r2 e− rdr dθ ... khả tích Biến đổi tích phân Fourier L2 (Rn ) Đạo hàm hàm biến đổi tích phân chúng 52 54 Fourier 58 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER. .. phân Fourier ứng dụng để giải phương trình đạo hàm riêng Nội dung luận văn gồm hai chương Biến đổi tích phân Fourier Giới thiệu phép biến đổi tích phân Fourier không gian Schwartz, L1 (Rn ) L2 (Rn. .. 1.1.3 Không gian Schwartz S (Rn ) 1.2 Biến đổi tích phân Fourier khơng gian Schwartz 1.3 Biến đổi tích phân Fourier khơng gian L1 (R) 1.3.1 Định nghĩa, vài tính