Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược với hàm trọng

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS.Trịnh Tn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS.Trịnh Tuân, người ln quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tơi q trình thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Sau đại học, thầy giáo, giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Nhân tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệu trường THPT Tân Yên - Bắc Gang bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện, động viên giúp đỡ tơi nhiều suốt q trình học tập, nghiên cứu Hà Nội, ngày 27 tháng năm 2011 Học viên Nguyễn Thị Viển LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS.Trịnh Tuân Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Thị Viển MỤC LỤC trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Các ký hiệu dùng luận văn Mở đầu .7 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Một số phép biến đổi tích phân 11 1.1.1 Phép biến đổi Fourier 11 1.1.2 Phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine .14 1.1.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev 17 1.2 Tích chập tích chập suy rộng .18 1.2.1 Tích chập phép biến đổi tích phân 18 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân 21 1.2.3 Một số ví dụ tích chập suy rộng với hàm trọng 1.3 Kết luận 24 32 Chương Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev với hàm trọng 33 2.1 Định nghĩa 34 2.2 Đẳng thức nhân tử hóa tính chất 34 2.1.1 Đẳng thức nhân tử hóa 34 2.1.2 Các tính chất 40 2.3 Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân 45 2.4 Kết luận 56 Kết luận .57 Tài liệu tham khảo 58 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN • F : phép biến đổi Fourier • F −1 : phép biến đổi Fourier ngược • F : phép biến đổi Fourier sine s : phép biến đổi Fourier sine ngược •F −1 s : phép biến đổi Fourier cosine • F : phép biến đổi Fourier cosine ngược c • F−1 c • K : phép biến đổi Kontorovich-Lebedev • K −1 : phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược • L : phép biến đổi Laplace • : phép biến đổi Laplace ngược L−1 • Jγ : phép biến đổi Hankel −1 • Jγ : phép biến đổi Hankel ngược • ( ∗g f • • : Tích chập hai hàm f , g ) γ   ∗ g : Tích chập hai hàm f , g với hàm trọng γ  f ÷   ( f  ) ∗g T γ : Tích chập hai hàm  f , g phép biến đổi T •  ∗ g ÷ :Tích chập hai hàm f , g phép biến đổi T với f T   hàm trọng γ • ¡ + = { x ∈ ¡ : x ≥ 0} • tập hợp tất hàm f xác định ( −∞; +∞ ) L1 ( ¡ ) cho: +∞ ∫ f ( x) dx < +∞ −∞ • + L1 ( ¡ tập hợp tất hàm f xác định ( 0; ) +∞ cho: ) +∞ ∫ f ( x ) dx < +∞  •L + ,  +∞ ∫ x f tập hợp  +∞ ) ÷x  tất hàm f xác định ( 0; ( x ) dx < +∞ cho: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi tích phân vấn đề quan trọng giải tích Tốn học phát triển liên tục suốt gần 200 trăm năm qua Phép biến đổi tích phân đóng vai trị quan trọng Tốn học nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác, đặc biệt việc giải toán điều kiện ban đầu, điều kiện biên phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân tốn Vật lý - tốn Các phép biến đổi tích phân cịn cơng cụ có hiệu lực để chuyển toán tử vi phân, toán tử đạo hàm riêng, tốn tử tích phân tốn đơn giản Một số phép biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine (xem [12]) Các phép biến đổi đời sớm, từ đầu kỉ XIX Tiếp đến phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Stieltjes KontorovichLebedev Cùng với phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân, hướng nghiên cứu lý thuyết phép biến đổi tích phân xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ XX Các tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân Fourier (xem [12]), Laplace(xem [20]), Mellin, Hilbert, Hankel, Tích chập phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev V.A.Kakichev xây dựng vào năm 1967 (xem [7]) sau S.B.Yakubovich hồn thiện lại vào năm 1987 (xem[18]) ( f ∗1 g ) ( x +∞ +∞   xu xv uv  exp − + +  ∫(01) ∫ )= K 2x   v u x  (÷) f (u )g v dudv ,với x > Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: K ( f K∗ g ) ( y ) = ( Kf )( y )( Kg )( y ) , (02) với ″y > Tích chập phép biến đổi tích phân đời cho ta nhiều ứng dụng phong phú thú vị chẳng hạn dùng tích chập để tính tích phân, tính tổng chuỗi, giải phương trình tích phân, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng xác suất toán Vật lý - toán Tuy nhiên, trước năm 50 kỷ trước tích chập biết đến có đặc điểm đẳng thức nhân tử hóa chúng có phép biến đổi tích phân tham gia Điều nhiều làm hạn chế ứng dụng chúng vào giải toán thực tế Năm 1951, lần nhà toán học người Mỹ I.N.Sneddon xây dựng tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine cho hai hàm f , g (xem [12]): ∈ L1 ( ¡ + (f∗ g )( x ) = 2 ) (03) +∞ ∫ f ( y )  g ( x − y ) − g ( x + y )  dy Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fs ( f ∗ g )( y ) = ( F f )( y )( F g )( y s c ) ,″y > (04) Sau đó, vào năm 1967, cơng trình cơng bố tạp chí DAN, V.A.Kakichev xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng γ ( y ) phép biến đổi tích phân K bất kì, thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: K ( f ∗ g )( y ) = γ ( y) ( Kf (05) )( y )( Kg )( y ) Nhờ phương pháp này, số tích chập với hàm trọng xây dựng nghiên cứu (xem [7], [19]) Đến đầu năm 1990 kỉ trước, S.B.Yakubovich đưa số tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân với số, chẳng hạn tích chập phép biến đổi Mellin, biến đổi KontorovichLebedev, biến đổi G, biến đổi H Vào năm 1998, V.A.Kakichev Nguyễn Xuân Thảo đưa phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân K1 , K2 , K3 với hàm trọng γ ( y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (xem [8]): γ   K1  f ∗ g ( y ) = γ ÷ )( K3 g )( y )   ( y )( K2 f )( y (06) Nhờ mà thời gian gần có số cơng trình xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng cơng bố, cơng trình [9], [10], [13], [14], [15], [16], [17] Tiếp tục hướng nghiên cứu này, hướng dẫn TS.Trịnh Tn tơi chọn đề tài: ‘‘Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược với hàm trọng” Mục đích nghiên cứu γ ( y) Nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng = y.sinh (π đối y) với biến đổi tích phân Fourier cosine Kontorovich-Lebedev ngược, tính chất ứng dụng chúng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tính chất tích chập suy rộng với hàm trọng hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine Kontorovich-Lebedev ngược - Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân dạng chập γ ( Do   λ1λ2 Fc  ϕ ÷( y )  ∗ψ  γ Fcl )( y ) =   1− λ1λ2 Fc  ϕ ∗ψ ÷ ( y )   = 1+ ( F l )( y ) c   ∆ Bởi ta có (∆F1f )( y ) = = 1+ ( F l )( y )  h )( y ) − λ F   ∆   c c = ( Fc h )( y ) h )( y )  ϕ ∗ k ( y)   γ ÷   = ( Fλ c h )( Fy )−   c  c  γ ϕ ∗ k   γ   Fc l )( y ) Fc  ϕ ∗ k ÷ ( y )   ( y ) + Fc (l  ÷  h )( y ) F ∗ c   γ  −λ1Fc  l ∗  ϕ ∗ k ÷ ÷ ( y ) ,   Fc  Suy ( ) f ( x) = h ( x) − λ1  ϕ ∗ k ÷ ( x) + l ∗ h ( x) − λ1  l ∗  ϕ ∗ k ÷ ÷ ( x )   Tương tự ta có γ   − λ1 Fc  ϕ ∗ k ÷ ( y ) + ( Fc l )( y )( Fc −λ1 (  (F c γ     F c   γ    Fc  y> (2.19) (∆F g ) ( y ) = c = 1+ ( F l )( y )  λ F )−   c ∆ c   ( F k )( y c ( )( y ) −λ2 ) ( y )  F  c ) ( y ) + ( F l )( y )( F k ( F l )( y ) F (h = ( Fc k )( y ) − λ2∗Fc h c ( h ∗ψ F ψ c c c ∗ c F c ( = ( Fc k )( y ) − λ2 Fc h F ψ ( y ) + Fc l F ∗ ) ( k )( y ) ∗ c c ( ) ψ ÷( y ), −λ2 Fc  l h y > F  Do F ∗ ∗  c c   ( ) ( x) − λ ( h ∗ ψ ) ( y ) − λ  l ∗ ( h ∗ψ ) ÷ ( x ) g ( x) = k ( x) + l ∗ k (2.20) 2 Fc Fc Fc Fc Từ công thức (2.19), (2.20) cho ta thấy nghiệm ) ( f , g nhận biểu thức giải tích biểu diễn thơng qua tích chập (2.3) số tích chập biết Mà tích chập thuộc nhận hoàn toàn thuộc L ( ¡ + L1 ( ¡ + ) nghiệm ) Định lí chứng minh Ví dụ Để minh họa cho định lí 2.3.1, ta chọn hàm ϕ ,ψ , k ϕ (  1+ x3  x ) = ∈ L1  ¡ + ,  ÷, x3 ÷  x k ( 1+ x) = x  ∈ L ), h ( ¡ + ( x) = h sau: ψ ( x ∈ L (¡ ) 1+ x x) = 1+ x ∈ L 1 ( ¡ + ) + Khi ta có ( K ) = 0, 1ϕ ( Fcψ )( y ) = ( Fc k )( y ) π2  )( y F c    ∗y = 0, ( ) γ ϕ ÷    j 2j −1   = ∑ exp − y.sin  y.cos  ÷π  , j=1      với ″y > , ″y > −1   j −1  ÷ 3π + ÷ π  sin      ( F h )( y ) = e −y c π ″y > , Vây điều kiện định lí 2.3.1 γ   1− λ1λ2 Fc  ϕ ∗ψ ÷ ( y ) ≠ 0,   ″y > thỏa mãn γ ( )   λ1λ2 Fc ϕ ∗ ψ ÷( y )   γ =0 Fcl )( y   = 1− λ1λ2 Fc  ϕ ∗ψ ÷ ( y )   l ( x ) = ∈ L1 ( ¡ + ) Như nghiệm hệ phương trình có dạng: f ( x) = h ( x) = ) , ( ) Fc ( x) + 1+ x g ( x ) = k ( x ) − λ2 h ∗ ψ Mặt khác, h ( x ) , k L1 ( ¡ ( x) tích chập h ∗ψ ( x) thuộc khơng gian ( ) Fc nên nghiệm f ( x ) , g hệ thuộc không gian L1 ( ¡ ( x) 2.3.2 Xét hệ phương trình tích phân sau: +∞ f ( x ) + λ1 ∫ θ1 ( x, u ) g ( u ) du = h ( x), x > 0, + ) +∞ λ2 v) f ∫ θ ( x, (v) dv + g ( x) = k ( x), > 0, (2.21) x  + x3  x3 1  ÷ ; ξ ∈ L1  ¡ + , ÷ ; k,ψ , h ∈ L1 ( ¡ +x) Trong L  ¡ ϕ ∈ +,  ÷    cho trước; λ1 , số; f , g ẩn hàm λ2 θ1 ( x, u ) = 4π θ v) =( x,  2 hàm +∞ e−u.cosh( x+v ) + e−u.cosh( x−v )  ϕ ∫ ( v) dv, − u.cosh ( z − x + v ) ψ + v ) e( z )ξ ( u ) sign ( z − x) sinh ( z − x +∞ +∞ ∫∫  + sign ( z − x ) sinh (z − − x + sinh ( z + x + v ) e v) e −u.cosh ( z − x −v ) −u.cosh ( z + x+v ) + sinh ( z + x − v ) e −u.cosh ( z + x −v )   dudz Định lí 2.3.3 Với điều kiện  γ  γ  1− λ1λ2 Fc  ϕ ∗  ξ ∗ψ ÷÷ ( y ) ≠ 0, ″y >    hệ (2.21) có nghiệm thuộc ( f ( x) = h ( x) + l ∗ h ∗ ϕ ∗ k ÷ ÷ ( x ) Fc )(  x) + l ∗ k g ( xx ) − =kλ ( ) ( L1 ( ¡ (2.22) xác định ) ) ( x) − λ ϕ ∗ k ÷( x) − λ  l + 1 γ    Fc γ  λ    l ψ ψ ( x )   h∗  ξ  F ξ γ0 γ0 ( x)  F vớ i l ( x ) ∈ L1 (¡ + )  ∗ ÷÷  c  c  −   ∗  ∗ F   c xác định  γ  λ1λ2 Fc ϕ ∗  ξ ∗ψ ÷ ÷ ( y )  γ γ   ( Fcl )( y    )= 1− λ1λ2 Fc ϕ ∗  ξ ∗ψ ÷ ÷ ( y )     γ ÷÷ ) ( .∗ ÷ ,, ∗ Trong tích chập định nghĩa  ∗ ÷  γ    F   c γ   (2.3), (1.17), (2.2) Chứng minh dạng Giả sử hệ cho có nghiệm f , g ∈ L1 ( ¡ + ) Hệ (2.21) viết γ   f ( x ) + λ1  g ∗ϕ ÷ ( x ) = h ( x ) ,     γ  λ2 ψ f ÷ ÷ ( x) + g ( x ) = k ( x ) , x > ∗ ξ ∗    Trong tích chập ∗ , ( ) γ   định nghĩa (1.44), (2.1)  ∗ ÷   Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa tích chập (2.1),(1.44) (2.3) ta có ( )( )( ) ( Fc f + y γ  λ2 y γ  Fsψ Hay y K ( ) ( )( y Fc g y ϕ λ1 ( )( −1 )( ) ( y K ξ )( ) Fc f + y γ λ1 γ −1 )( ) ( = Fc h y , ) ( ) ( )( ) ( y ( )(  ϕ )( ) ( )( ) Fc f y + Fc g y = Fc k y , −1 y K )( ) ) ( )( y Fc g y )( ) ( ″y > )( ) = Fc h y ,   λ2 Fc  ξ ∗ψ ÷ ( y )( Fc f )( y ) + ( Fc g )( y ) = ( Fc k )( y ) , y > 0,   Để giải hệ phương trình ta xét định thức ∆ = λ γ ( y )(K  γ0  λ2 Fc  ξ ∗ψ ÷ ( y )   −1 ϕ )( y ) 1 )( ) ( )( y K ϕ = 11− λ λ2γ  γ0 ( y Fc ξ ψ y    ∗ ÷  γ  = 1− λ1λ2 Fc  ϕ ∗  ξ ∗ψ ÷ ÷ ( y ) ≠ 0,     Suy γ  ) γ ″y >  γ λ1λ2 Fc ϕ ∗  ξ ∗ψ ÷ ÷ ( y ) = 1+ ∆   γ  1− λ1λ2 Fc ϕ ∗  ξ ∗ψ ÷ ÷ ( y )       λ Theo định Wiener-Levi [5], tồn hàm l ∈ L1 cho (¡ +)  γ  λ1λ2 Fc  ϕ ∗ ξ ∗ψ ÷ ÷ ( y )  γ γ      ( Fcl )( y )= điều dẫn tới γ 1− λ1λ2 Fc ϕ ∗  ξ ∗ψ ÷ ÷ ( y )    = 1+ ( F l )( y )  c   ∆ − Tiếp tục xét định thức λ γ ( y ) ( K 1ϕ ( F h )( y ) ∆1 = c (F k ( y )) 1 c Do  γ  )( y ) =( F   c h )( y )− λ1Fc ϕ ∗ k ÷ ( y) ( F f )( y ) ∆1 1 (F h )( y ) λ F  ϕ k  ( y)   c = = ∆ ∆ c − c  ∗ ÷ γ     ... rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân 21 1.2.3 Một số ví dụ tích chập suy rộng với hàm trọng 1.3 Kết luận 24 32 Chương Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev. .. đổi Fourier cosine Fourier sine .14 1.1.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev 17 1.2 Tích chập tích chập suy rộng .18 1.2.1 Tích chập phép biến đổi tích phân 18 1.2.2 Tích chập suy rộng. .. ngược • F : phép biến đổi Fourier sine s : phép biến đổi Fourier sine ngược •F −1 s : phép biến đổi Fourier cosine • F : phép biến đổi Fourier cosine ngược c • F−1 c • K : phép biến đổi Kontorovich-Lebedev