TÍCH PHÂN HÀM ẨN

TÍCH PHÂN HÀM ẨN −2x+1 Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R thỏa mãn 3f (x)+f (2 − x) = (x − 1) ex +4.Tính tích phân I = f (x)dx ta kết quả: A I = e + B I = C I = D I = e + Lời giải 2 ỵ [3f (x) + f (2 − x)] dx = Theo giả thuyết ta có −2x+1 ó + dx (∗) 2 f (2 − x) dx = − Ta tính (x − 1) ex 2 f (2 − x) d (2 − x) = f (x)dx [3f (x) + f (2 − x)] dx = Vì 0 2 x2 −2x+1 (x − 1) e Hơn f (x)dx x2 −2x+1 dx = e x2 −2x+1 d x − 2x + = e = 4dx = 0 0 Chọn đáp án C Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 1, [f (x)] dx = √ f x dx = Tính tích phân I = f (x)dx 3 A I= B I= C I= 4 Lời giải √ Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ dx = 2tdt.Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1 √ f Suy x dx = 0 x.f (x)dx = Mặt khác 1 x2 f (x) − 0 x.f (x)dx = 1 x2 f (x)dx= − 2 x2 f (x)dx 0 x2 1 f (x)dx = − = ⇒ 2 10 Suy 1 t.f (t)dt = Do ⇔ t.f (t)dt⇔ D I= x2 f (x)dx = 3x2 Ta tính dx = 1 [f (x)] dx − Do 3x f (x)dx + 3x 2 f (x) − 3x2 dx = 0⇔ dx = 0 ⇔ f (x) − 3x2 = 0⇔ f (x) = 3x2 ⇔ f (x) = x3 + C Vì f (1) = nên f (x) = x3 Vậy I = 1 x3 dx = f (x)dx = 0 Trang Chọn đáp án B Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm [0 ; 4] thỏa mãn đẳng thức sau 2019f (x) + √ x 2020f (4 − x) = 6059 − Tính tích phân f (x) dx A B C D Lời giải f (x) dx = f (x)|40 = f (4) − f (0) Ta có Với x = x = ta có hệ phương trình  2019f (0) + 2020f (4) = 6059 2020f (0) + 2019f (4) = 6058 ⇔  f (0) = f (4) = f (x) dx = f (4) − f (0) = − = Do Chọn đáp án B Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm [0; 3] ; f (3 − x) f (x) = 1, f (x) = −1 với x ∈ [0; 3] f (0) = Tính tích phân:I = x.f (x) dx [1 + f (3 − x)]2 f (x) B A C D Lời giải (1 + f (3 − x))2 f (x)= f (x) + 2.f (3 − x) f (x) + f (3 − x) f (x) = f (x) + 2.f (x) + 1= (f (x) + 1)2 x.f (x) dx (1 + f (x))2 I= Đặt   u = x  dv =   du = dx ⇒ f (x)  dx v = − + f (x) (1 + f (x)) −x I= + f (x) 3 −3 dx = + I1 + f (x) + f (3) + 0 f (0) = ⇒ f (3) = 2 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận x = ⇒ t = x=3⇒t=0 dt I1 = = + f (3 − t) 0 dx 1+ f (x) f (x).dx + f (x) = + f (x) dx = ⇒ I1 = + f (x) 2I1 = = 2 Chọn đáp án B Vậy I = −1 + Trang Câu Cho hàm số f (x) liên tục R cho xf (x + 1) + f (x ) = −x 13 − x + 6x + 4x + 8x + 5x + 2, ∀x ∈ R Khi tích phân f (x)dx 15 Lời giải A − 42 15 B 54 C D (1) ⇔ x2 f (x3 + 1) + xf (x2 ) = −x14 − x9 + 6x8 + 4x7 + 8x5 + 5x2 + 2x, ∀x ∈ R Lấy TP hai vế từ đến 1: 1 x2 f x3 + dx + ⇔ xf x2 dx = 1 ⇔ 1 f x3 + d(x3 + 1) + f x2 d(x2 ) = 1 ⇔ [F (2) − F (1)] + [F (1) − F (0)] = 1 Lấy TP hai vế từ-1 đến 0: f x3 + d(x3 + 1) + −1 f x2 d(x2 ) = −7 15 −1 1 −7 42 ⇔ [F (1) − F (0)] + [F (0) − F (1)] = ⇔ [F (1) − F (0)] = 15 15 42 54 -Thay lên: [F (2) − F (1)] + = ⇔ [F (2) − F (1)] = 15 Chọn đáp án C Câu Xét hàm số f (x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f (x)+xf (1 − x2 )+3f (1 − x) = x+1 Tính giá trị tích phân I = f (x)dx A I = ln 2 Lời giải B I= ln f (x) + x.f (1 − x2 ) + 3f (1 − x) = x+1 ⇒ 1 xf − x2 dx + f (x)dx + C I= 3 D I= dx = ln |x + 1||10 = ln (∗) x+1 f (1 − x) dx = 0 Đặt u = − x2 ⇒ du = −2xdx; với x = ⇒ u = 1; x = ⇒ u = 1 xf − x2 Khi 1 f (u)du = dx = 0 f (x)dx (1) Đặt t = − x ⇒ dt = −dx; với x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 1 f (1 − x) dx = Khi f (t)dt = f (x)dx (2) Thay (1), (2) vào (∗) ta được: 1 f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx = ln ⇒ f (x)dx = ln ⇔ f (x)dx = ln Chọn đáp án B Câu Cho hàm số f (x) liên tục R, thỏa mãn f (x) − f (2 − x) − f (3x2 − 1) = 3x2 − 15 Trang 2−a f 3x2 − dx bao nhiêu? Với số thực với ∀x ∈ [−10 ; 10] Giá trị nhỏ tích phân a a ∈ [1 ; 6] 15 A − Lời giải B − b b a D −6 2−a f (a + b − x) dx Suy ra: f (x)dx = Áp dụng công thức: C −10 a 2−a f (2 − x) dx f (x)dx = a a 2−a 15 Từ f (x)−f (2 − x)−f (3x2 − 1) = 3x2 − ⇒ 2−aÅ f (x) − f (2 − x) − f 3x − ã 15 3x − dx⇔ dx = a 2−a 2−a f (x)dx − a a 2−a f 3x2 − dx = −2a3 − 6a2 + a + 2 f (2 − x) dx − a a 2−a f 3x2 − dx = −2a3 − 6a2 + a + 2 ⇔− a 2−a f 3x2 − dx = 2a3 + 6a2 − a − = h(a) 2 ⇔ a Khảo sát nhanh hàm số h(a) = 2a3 + 6a2 − a − đoạn [1 ; 6] ta được: 2 Å ã 3 Giá trị nhỏ hàm số h(a) = 2a + 6a − a − h(a) = h =− [1 ; 6] 2 2 2−a f 3x2 − dx − Suy giá trị nhỏ tích phân a Chọn đáp án B Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục (0; +∞) thỏa mãn f (x2 ) + (x2 + 1) f (x4 + 2x2 + 1) = 4 4x + 8x + 2x + Tính tích phân f (x)dx 32 A Lời giải 13 B C 23 D Ta có 4xf x2 + 4x3 + 4x f x4 + 2x2 + = 4x4 + 8x2 + 2x + 4x 1 4xf x2 dx + ⇔ 4x3 + 4x f x4 + 2x2 + dx = ⇔2 4 64 f (u)du = ⇔ f (t)dt + 4x4 + 8x2 + 2x + 4xdx f (x)dx = 32 Chọn đáp án A Câu Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện f (x) + 2f (1 − x) = 3x2 − f − x2 dx 6x, ∀x ∈ [0; 1].Tính I = A I= 15 B I = C I=− 15 D I= 15 Trang Lời giải Đặt t = − x, ∀x ∈ [0; 1] ⇒ t ∈ [0; 1] Ta có f (x) + 2f (1 − x) = 3x2 − 6x ⇔ f (x) + 2f (1 − x) = (1 − x)2 − ⇔ f (1 − t) + 2f (t) = 3t2 − ⇔ 2f (x) + f (1 − x) = 3x2 − Ta  có hệ phương trình f (x) + 2f (1 − x) = 3x2 − 6x ⇔ 2f (x) + f (1 − x) = 3x2 −  f (x) + 2f (1 − x) = 3x2 − 6x 4f (x) + 2f (1 − x) = 6x2 − ⇔ 3f (x) = 3x2 + 6x − ⇔ f (x) = x2 + 2x − 2 Khi f (1 − x2 ) = (1 − x2 ) + (1 − x2 ) − = x4 − 4x2 + 1 f − x2 dx = Suy I = x4 − 4x2 + dx = − 15 Chọn đáp án C Câu 10 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (0) = f (x) + f (2 − x) = 2 x − 2x + 2, ∀x ∈ R Tích phân xf (x)dx A − Lời giải B − 10 C D 2 xf (x)dx = Áp dụng cơng thức tích phân phần,ta có: xf (x)|20 − f (x)dx 0 Từ f (x) + f (2 − x) = x2 − 2x + 2, ∀x ∈ R (1) Thay x = vào (1) ta f (0) + f (2) = ⇒ f (2) = − f (0) = − = −1 f (2 − x) dx Xét I =   x=0⇒t=2 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx, đổi cận:  x=2⇒t=0 Khi I = − f (t)dt = 2 f (t)dt = 0 0 2 f (x)dx = ⇔ f (x)dx = 2 xf (x)dx = Vậy x2 − 2x + dx (f (x) + f (2 − x)) dx = Do ta có ⇔2 f (x)dx xf (x)|20 − f (x)dx = (−1) − 10 =− 3 Chọn đáp án B Câu 11 Xét hàm số f (x) liên tục đoạn [−1, 2] thỏa mãn f (x) + 2xf (x2 − 2) + 3f (1 − x) = 4x Tính giá trị tích phân I = f (x)dx −1 Trang 5 B I= A I = C I = D I = 15 Lời giải f (x) + 2xf (x2 − 2) + 3f (1 − x) = 4x3 ⇒ 2x.f x2 − dx + f (x)dx + −1 −1 4x3 dx = 15(∗) f (1 − x) dx = −1 −1 Đặt u = x − ⇒ du = 2xdx; với x = −1 ⇒ u = −1; x = ⇒ u = 2 2 2x.f x2 − dx = Khi −1 f (u)du = −1 f (x)dx (1) −1 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx; với x = −1 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = −1 2 f (1 − x) dx = Khi −1 f (t)dt = −1 f (x)dx (2) −1 2 f (x)dx = 15 ⇒ Thay (1), (2) vào (∗) ta −1 f (x)dx = −1 Chọn đáp án C Câu 12 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R cho f (x + y) = f (x)+f (y)+(ex − 1) (ey − 1) , ∀x, y ∈ R f (0) = Tính f (x)dx A I =e− Lời giải B I = −e + C I = −e − D I =e− Ta có f (x + y) = f (x) + f (y) + (ex − 1) (ey − 1) , ∀x, y ∈ R Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta f (x + y) = f (x) + ex (ey − 1) Thay x = vào,ta f (y) = f (0) + ey − = ey + f (y)dy = Do (ey + 1) dy ⇒ f (y) = ey + y + C Thay x = y = vào,ta f (0) = 2f (0) ⇒ f (0) = Từ và,suy C = −1 Khi f (y) = ey + y − 1 f (x)dx = Vậy (ey + y − 1) dy = e − f (y)dy = 0 Chọn đáp án D Câu 13 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn: f (x3 ) + xf (1 − x4 ) = −x13 + 4x9 − 3x5 − 1, ∀x ∈ R Khi tính T = f (x)dx + −1 A 12 f (x)dx 11 B C − 19 D 19 Lời giải Theo f (x3 ) + xf (1 − x4 ) = −x13 + 4x9 − 3x5 − 1, ∀x ∈ R Nhân hai vế với x2 ta được: x2 f (x3 ) + x3 f (1 − x4 ) = −x15 + 4x11 − 3x7 − x2 , ∀x ∈ R (∗) +Lấy tích phân cận từ −1 đến hai vế (∗) ta được: Trang 0 xf x x f 1−x dx + −1 −x15 + 4x11 − 3x7 − x2 dx = − dx = −1 11 48 −1  x3 = u ⇒ 1 − x4 = v +Lấy tích phân cận từ đến hai vế (∗) ta được: Đặt 1 xf x x f 1−x dx + Đặt  x3 = u 1 − x4 = v 16 ⇒ Từ (∗)và (∗∗) ta ⇒          f (u)du = − f (u)du = − −1         1 Å ã Å ã 19 f (x)dx = − + − =− 4 f (x)dx + Vậy T = −x15 + 4x11 − 3x7 − x2 dx = − dx = −1 Chọn đáp án C Câu 14 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa f (1) = 0, (f (x)) dx = π cos π x f (x)dx = Tính 2 f (x)dx π A B π Lời giải    u = f (x) du = f (x)dx Đặt ⇒ πx dv = cos πx dx  v = sin π C π D π Do cos π x f (x)dx = 2 πx ⇔ sin f (x) − π π 1 π sin x f (x)dx = ⇔ 2 sin π π x f (x)dx = − sin2 Lại có: Å ⇒I= π x dx = 2 ã2 Å ã 2 − f (x) dx − − π π π sin x f (x)dx + sin2 π x dx Å ã2 π π2 π = − f (x) − sin x dx = − + =0 π π π 2 Å ã2 π Vì − f (x) − sin x ≥ đoạn [0; 1] nên π Trang Å ã2 π π π π − f (x) − sin x dx = ⇔ − f (x)=sin x ⇔ f (x)= − sin x π π 2 π π x + C mà f (1) = f (x)=cos x Suy f (x)=cos 2 1 π x dx = Vậy f (x)dx = cos π 0 Chọn đáp án D Câu 15 Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [−1; 1] f (−x) + 2019f (x) = 2x , ∀x ∈ [−1; 1] Giá f (x)d x trị −1 2019 ln Lời giải A B 4040 ln C D 2018 ln Xét phương trình f (−x) + 2019f (x) = 2x (1) Đặt u = −x,phương trình cho trở thành f (u) + 2019f (−u) = 2−u ⇒ f (x) + 2019f (−x) = 2−x (2) 2−x − f (x) Từ (1) ⇒ f (−x) = vào phương trình (2) ta 2019 −x − f (x) f (x) + 2019 = 2−x ⇔ f (x) = (2019.2x − 2−x ) 2019 20192 − Ta có 1 ï ò1 2x 2−x 1 x −x f (x)d x = 2019 + 2019.2 − dx = 20192 − 20192 − ln ln −1 −1 −1 Å ã Å ï ãò 1 1 2018.3 2019 2− + −2 = = = 2019 − ln 2 ln 2 2020.2018 ln 4040 ln Chọn đáp án B Câu 16 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] f (0) + f (1) = Biết 1 f (x)dx = , π f (x) cos πxdx = Tính 2 f (x)dx A π Lời giải 3π B C π D π Phương pháp: f (x) cos πxπxdx +) Sử dụng phương pháp phần tích phân [f (x) + k sin πx]2 dx = tính f (x) +) Sử dụng kết f (x)dx +) Lấy tích phân từ đến vế tính Cáchgiải:  u = cos πx du = −π sin πxdx Đặt ⇒ dv = f (x)dx v = f (x) Trang 1 f (x).cosπxdx = f (x) Ta có cos πx|10 +π f (x) sin πxdx 1 π f (x) sin πxdx = ⇒ = − [f (1) + f (0)] + π 1 f (x)dx + 2k [f (x) + k sin πx] dx = ⇔ Xét f (x) sin πdx = f (x) sin πxdx + k sin2 (πx) dx = 0 1 1 ⇔ k + 2k + = ⇔ (k + 1)2 = ⇔ k = −1 Suy 2 [f (x) − sin πx]2 dx = 0 1 Vậy f (x) = sin πx ⇒ sin πxdx = − f (x)dx = cos πx x = 1 + = π π π Chọn đáp án A Câu 17 Xét hàm số f (x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện 4x.f (x2 ) + 3.f (1 − x) = √ − x2 Tích phân I = f (x)dx π A I= 20 Lời giải B I= π 16 C I= π D I= π 4x.f x2 dx -Xét I1 = Đặt t = x2 ⇒ dt = 2x.dx.Đổi cận:x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1 ⇒ I1 = f (t).dt= f (x).dx= 2I 3f (1 − x) dx -Xét I2 = Đặt t = − x ⇒ dt = −dx.Đổi cận:x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0 ⇒ I2 = −3 f (t).dt= 1 -Tính I3 = f (t).dt= √ f (x).dx= 3I − x2 dx π Đặt x = sin t⇒ dx = cos t.dt.Đổi cận:x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π π 2 Å ã π 1 π ⇒ I3 = cos2 t.dt= (1 + cos 2t) dt= t + sin 2t = 2 0 -Lại có:4x.f (x ) + 3.f (1 − x) = ⇔ I1 + I2 = I3 ⇒ 5.I = √ 1− π π ⇒I= 20 x2 ⇒ 4x.f x + 3.f (1 − x) dx = √ − x2 dx Chọn đáp án A Câu 18 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm [0 ; 4] thỏa mãn đẳng thức sau 2019f (x) + Trang √ x 2020f (4 − x) = 6059 − Tính tích phân f (x) dx A B C D Lời giải f (x) dx = f (x)|40 = f (4) − f (0) Ta có Với x = x = ta có hệ phương trình  2019f (0) + 2020f (4) = 6059 ⇔ 2020f (0) + 2019f (4) = 6058  f (0) = f (4) = f (x) dx = f (4) − f (0) = − = Do Chọn đáp án B Câu 19 Cho hàm số y = f (x) liên tục R thỏa mãn: 2020 2f (ex − 1) + (2ex − 5)f (e2x − 5ex + 6) = (ex − 1) f (x)dx Tính tích phân 2021 2020 −1 2021 Lời giải A 2 B 2021 −1 4042 C +1 4042 D 22020 + 2020 Ta có: 2f (ex − 1) + (2ex − 5)f e2x − 5ex + = (ex − 1)2020 ⇔ 2ex f (ex − 1) + e(2ex − 5)f e2x − 5ex + = ex (ex − 1)2020 ln ln 2ex f (ex − 1) dx + Suy ra: ln ln ln 2ex f (ex − 1) d (ex − 1) = f (x)dx (1) ln x e (2e − 5)f e 2x x − 5e + dx = ln f e 2x x 2x − 5e + d e x − 5e + = f (x)dx (2) ln ex (ex − 1)2020 dx = Tính x Tính ex (ex − 1)2020 dx ex (2ex − 5)f e2x − 5ex + dx = 2ex f (ex − 1) dx = Tính ln (ex − 1)2020 d(ex − 1) = 2021 Từ ⇒ f (x)dx + f (x)dx = (∗) 2021 Tương tự ln ln 2ex f (ex − 1) dx = Tính ln 2ex f (ex − 1) d (ex − 1) = x e (2e − 5)f e 2x x f e 2x x 2x − 5e + d e ln ex (ex − 1)2020 dx = 0 − 5e + dx = ln Tính f (x)dx (3) ln x Tính (ex − 1)2020 d(ex − 1) = x − 5e + = f (x)dx (4) 2021 2021 Trang 10 Mặt khác y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương (0; +∞) nên [f (x)]2 = (x + 1) f (x) ⇒ f (x) = (x + 1) f (x),∀x ∈ (0; +∞) f (x) = (x + 1),∀x ∈ (0; +∞); ⇒ f (x) » f (x) 1» ⇒ dx = (x + 1)dx ⇒ f (x) = (x + 1)3 + C; f (x) … Từ f (3) = suy C = − 3… å2 Ç » (x + 1) + − Như f (x) = 3 Ç » å2 å2 å4 Ç Ç … … … 8 Bởi thế:f (8) = (8 + 1) + − − − = 9+ ⇒ f (8) = + ≈ 3 3 3 2613, 26 Chọn đáp án A Câu 45 Cho hàm số f (x) xác định có đạo hàm f (x) liên tục [1 ; 3],f (x) = với ỵ ó2 x ∈ [1 ; 3], đồng thời f (x)[1 + f (x)]2 = (f (x))2 (x − 1) f (1) = −1 Biết f (x)dx = a ln + b (a ∈ Z, b ∈ Z), tính tổng S = a + b2 B S = −1 A S = C S = D S = Lời giải ó2 f (x)[1 + f (x)]2 = (x − 1)2 Với x ∈ [1; 3] ta có: f (x)[1 + f (x)] = (f (x)) (x − 1) ⇔ [f (x)] Ç å ⇔ f (x) = x2 − 2x + + + [f (x)] [f (x)] [f (x)]2 1 x3 Suy ra: − − − = − x2 + x + C 3 [f (x)]3 [f (x)]2 f (x) 1 Ta lại có: f (1) = −1 ⇒ − + = − + + C ⇒ C = Å ã 3Å ã 1 1 Dẫn đến: − − − = − (−x)3 − (−x)2 − (−x) (∗) f (x) f (x) f (x) 3 1 Vì hàm số g(t) = − t − t2 − t nghịch biến R nên (∗) ⇒ = −x ⇒ f (x) = − f (x) x Hàm số thỏa giả thiết toán 3 Å ã dx = − ln ⇒ a = −1, b = 0.Vậy S = a + b2 = −1 Do f (x)dx = − x ỵ Chọn đáp án B Câu 46 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (x) + 2f (x) = − x, ∀x ∈ R Khi f (x)dx −2 Lời giải A B C D Đặt t = f (x) theo đề ta có f (x) + 2f (x) = − x, ∀x ∈ R ⇒ t3 + 2t = − x ⇔ t3 + 2t − = −x ⇔ (3t2 + 2)dt = −dx ⇔ −(3t2 + 2)dt = dx x = −2 ⇒ t3 + 2t − = ⇔ t = Trang 23 x = ⇒ t3 + 2t − = −1 ⇔ t = Từ suy I = t(−3t2 − 2)dt = f (x)dx = −2 Chọn đáp án C Câu 47 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm [0; 3] ; f (3 − x) f (x) = 1, f (x) = −1 với x ∈ [0; 3] f (0) = Tính tích phân:I = x.f (x) dx [1 + f (3 − x)]2 f (x) B A C D Lời giải (1 + f (3 − x))2 f (x)= f (x) + 2.f (3 − x) f (x) + f (3 − x) f (x) = f (x) + 2.f (x) + 1= (f (x) + 1)2 x.f (x) dx (1 + f (x))2 I= Đặt   u = x  dv =   du = dx ⇒ f (x)  dx v = − + f (x) (1 + f (x)) −x I= + f (x) 3 −3 dx = + I1 + f (x) + f (3) + 0 f (0) = ⇒ f (3) = 2 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận x = ⇒ t = x=3⇒t=0 dt I1 = = + f (3 − t) 3 dx 1+ f (x) f (x).dx + f (x) = + f (x) dx = ⇒ I1 = + f (x) 2I1 = = 2 Chọn đáp án B Vậy I = −1 + Câu 48 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục [0; 1] , thỏa mãn 2f (x) + 3f (1 − x) = √ − x2 Giá trị f (x)dx bằng? tích phân A B C D Lời giải f (x)dx = f (x) Ta có = f (1) − f (0) Trang 24   f (0) = − √ Từ 2f (x) + 3f (1 − x) = − x2 → − ⇔ 2f (1) + 3f (0) =  f (1) = Vậy I = f (x)dx = f (1) − f (0) = + = 5  2f (0) + 3f (1) = Chọn đáp án C Câu 49 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm cấp hai R thỏa mãn điều kiện: 3x2 + 2f (x).x + (2f (x) − f (x)) = với ∀x ∈ R; f (0) = 0; f (0) = − Khi giá trị |f (3)| nằm khoảng đây? A (0; 2) B (2; 4) C (6; 8) D (4; 6) Lời giải + Từ giả thiết,suy ra: 3x2 = f (x) − (f (x) + xf (x)) = (f (x)) − (x.f (x)) = (f (x) − 2xf (x)) + Lấy nguyên hàm hai vế ta được:f (x) − 2x.f (x) = 3x2 dx = x3 + a(1) + Thay x = vào (1),ta được: f (0) − 2.0.f (0) = 03 + a ⇔ a = ⇒ f (x) − 2x.f (x) = x3 (1) 2 + Đến nhân hai vế với e−x ta được:e−x [f (x) − 2xf (x)] = x3 e−x + Nguyên hàm hai vế: 2 x3 e−x dx ⇔ e−x f (x) = e−x −x2 − + b + Thay x = vào hai vế (2), ta được: 2 x2 + 2 e−0 f (0) = e−0 (−02 − 1) + b ⇔ b = ⇒ e−x f (x) = e−x (−x2 − 1) ⇒ f (x) = − 2 ⇒ f (3) = −5 ⇒ |f (3)| = ∈ (4; 6) e−x [f (x) − 2xf (x)] dx = Câu 50 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R,f (0) = 0, f (0) = thỏa mãn hệ thức f (x).f (x) + 18x2 = (3x2 + x) f (x) + (6x + 1) f (x), ∀x ∈ R (x + 1) ef (x) dx = a.e2 + b, với a; b ∈ Q Giá trị a − b Biết A B C D Lời giải Ta có f (x).f (x) + 18x2 = (3x2 + x) f (x) + (6x + 1) f (x) ⇒ ⇒ f (x).f (x) + 18x2 dx = 3x2 + x f (x) + (6x + 1) f (x) dx ï ò f (x) + 6x dx = 3x2 + x f (x) dx ⇒ f (x) + 6x3 = (3x2 + x) f (x) + C , với C số Mặt khác: theo giả thiết f (0) = nên C = Khi f (x) + 6x3 = (3x2 + x) f (x)(1), ∀x ∈ R  f (x) = 2x (1) ⇔ f (x) + 12x3 = (6x2 + 2x) f (x) ⇔ [f (x) − 2x] [f (x) − 6x2 ] = ⇔  f (x) = 6x2 Trường hợp 1: Với f (x) = 6x2 , ∀x ∈ R, ta có f (0) = Trang 25 Trường hợp 2: Với f (x) = 2x, ∀x ∈ R, ta có: 1 ï ò1 (x + 1) e2x f (x) 2x (x + 1) e dx = (x + 1) e dx = − 0   a = ⇒ a − b = ⇒  b = − Chọn đáp án A e2x dx = e2 − 4 Câu 51 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục [0, π] Biết f (0) = 2e f (x) thỏa mãn π đẳng thức f (x) + sin x.f (x) = cos x.ecos x , ∀x ∈ [0, π] Tính I = f (x).dx A I ≈ 6, 55 B I ≈ 17, 30 C I ≈ 10, 31 D I ≈ 16, 91 Lời giải f (x) + sin x.f (x) = cos x.ecos x Chia hai vế đẳng thức cho ecos x ta f (x).e− cos x + e− cos x sin x.f (x) = cos x f (x).e− cos x dx = ⇔ (f (x).e− cos x ) = cos x ⇔ cos x.dx ⇔ f (x).e− cos x = sin x + C Do f (0) = 2e nên 2e.e−1 = C ⇒ C = sin x + Vậy f (x) = − cos x = ecos x (sin x + 2) e π π I= ecos x (sin x + 2) dx f (x).dx = 0 Sử dụng MTCT.KQ: 10,31 Chọn đáp án C √ f (2 x − 1) √ + x.ex Tính Câu 52 Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [1; 4] thỏa mãn f (x) = x tích phân I = f (x)dx C I = ln2 B I = 3e4 A I = ln D I = 4e3 Lời giải 4 ï f (x)dx = Ta có √ ị f (2 x − 1) √ √ + x dx= x +Xét K = √ f (2 x − 1) √ dx x √ f (2 x − 1) √ dx + x x.ex dx (∗) 1 √ √ t+1 dx Đặt x − = t ⇒ x = ⇒ √ = dt x ⇒K= f (x)dx f (t)dt= 1 x.ex dx = (x − 1) ex |41 = 3e4 +Xét M = Trang 26 Vậy từ (∗) ta có 1 4 f (x)dx = Mặt khác f (x)dx + 3e4 f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = 3e4 f (x)dx⇒ 3 Chọn đáp án B Câu 53 Xét hàm số f (x) liên tục đoạn [−1; 2] thỏa mãn f (x) + 2x.f (x2 − 2) + 3f (1 − x) = 4x3 Tính giá trị tích phân I = f (x)dx −1 B I= A I = C I = D I = 15 Lời giải f (x) + 2xf (x2 − 2) + 3f (1 − x) = 4x3 ⇒ 2x.f x2 − dx + f (x)dx + −1 −1 4x3 dx = 15(∗) f (1 − x) dx = −1 −1 Đặt u = x − ⇒ du = 2xdx; với x = −1 ⇒ u = −1; x = ⇒ u = 2 2 2x.f x − dx = Khi −1 f (u)du = −1 f (x)dx (1) −1 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx; với x = −1 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = −1 2 f (1 − x) dx = Khi −1 f (t)dt = −1 f (x)dx (2) −1 2 f (x)dx = 15 ⇒ Thay (1), (2) vào (∗) ta −1 f (x)dx = −1 Chọn đáp án C Câu 54 Cho hàm số y = f (x) liên tục R thỏa mãn 13 xf (x ) + f (1 − x ) = x + x − 2x − 4x + 4x + x , ∀x ∈ R Khi f (x)dx −1 A 45 Lời giải B 15 64 C 45 D 64 15 Ta cóxf (x3 ) + f (1 − x2 ) = x13 + x8 − 2x7 − 4x6 + 4x4 + x , ∀x ∈ R ⇔ x2 f (x3 ) + xf (1 − x2 ) = x14 + x9 − 2x8 − 4x7 + 4x5 + x2 , ∀x ∈ R Lấy tích phân vế cận từ đến ta 1 x2 f x3 dx + xf − x2 dx = 0 1 ⇔ Å f (t)dt − f (t)dt = ã 1 f (t)dt = ⇔ x15 x10 x9 x8 x6 x + −2 −4 +4 + 15 10 1 ⇔ x14 + x9 − 2x8 − 4x7 + 4x5 + x2 dx f (t)dt = 15 Trang 27 Lấy tích phân vế cận từ −1đến ta 0 xf x xf − x dx + −1 −1 −1 Å f (t)dt − ⇔ −1 f (t)dt = x15 x10 x9 x8 x6 x + −2 −4 +4 + 15 10 0 ⇔ x14 + x9 − 2x8 − 4x7 + 4x5 + x2 dx dx = ã −1 f (t)dt − = − ⇔ 15 45 −1 f (t)dt = 15 −1 Chọn đáp án B π e2 f ln2 x dx = cot x.f sin x dx = ; √ x ln x Câu 55 Cho hàm sốf (x) liên tục Rvà π e 2 f (2x) dx x TínhI = B I= A I = Lời giải C I= π cot x.f sin2 x dx = + Xét tích phân A = π Đặt t = sin2 x ⇒ A = + Xét tích phân B = √ 1 f (2t) dx = ⇒ t f (2t) dx = (1) t 4 e2 e : 1 f (2t) dx = 2t D I= f ln2 x dx = : x ln x 2 f (2t) dx = 2t Đặt 2t = ln2 x ⇒ B = f (2t) dx = ⇒ t f (2t) dx = (2) t f (2x) dx = + = x Cộng vế theo vế với,ta đượcI = Chọn đáp án A √ Câu 56 Xét hàm số f (x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn 2f (x) + 3f (1 − x) = − x Tích phân f (x)dx Lời giải A B C 15 D Trang 28 √ √ Thay x 1 − x ta có:2f (1 − x)√+ 3f (1 − + x) = − + x ⇔ 2f (1 − x) + 3f (x) = x 2f (1 − x) + 3f (x) = x √ √ √ √ Ta có hệ: x−2 1−x ⇒ 5f (x) = x − − x ⇔ f (x) = √ 3f (1 − x) + 2f (x) = − x 1 f (x)dx = Do Ä√ ä √ x − − x dx = 0 Chọn đáp án A ò Å ã 1 ; thỏa mãnf (x) + x.f = x3 − x Giá trị tích Câu 57 Cho hàm số y = f (x) liên tục x ï f (x) dx bằng: x2 + x phân I = 3 Lời giải A B C 16 D Å ã Å ã f f (x) x f (x) + x.f = x3 − x ⇒ + =x−1 x x+1 Å ã x +x f 3 f (x) 16 x dx + dx = (x − 1)dx = ⇒ x2 + x x+1 1 3 Å ã3 f x dx Xét I = x+1 −1 dt Đặt = t ⇒ dx = dt ⇒ dx = x x −t2 Å ã f 3 f (t) dt f (t) f (x) x I = dx = = dt = dx = I 2 x+1 −t t +t x2 + x +1 1 t 3 16 Suy 2I = ⇒I= 9 Câu 58 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 1, [f (x)] dx = √ f x dx = Tính tích phân I = f (x)dx 3 A I= B I= C I= 4 Lời giải √ Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ dx = 2tdt.Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1 f Suy √ x dx = 1 t.f (t)dt = Do ⇔ t.f (t)dt⇔ D I= x.f (x)dx = Trang 29 Mặt khác 1 x2 x.f (x)dx = f (x) − 0 x2 f (x)dx 2 x 1 f (x)dx = − = ⇒ 2 10 Suy x2 f (x)dx= − 2 x2 f (x)dx = dx = 3x2 Ta tính 1 3x2 f (x)dx + [f (x)] dx − Do 0 3x 2 f (x) − 3x2 dx = 0⇔ dx = 0 ⇔ f (x) − 3x2 = 0⇔ f (x) = 3x2 ⇔ f (x) = x3 + C Vì f (1) = nên f (x) = x3 Vậy I = 1 x3 dx = f (x)dx = 0 Câu 59 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f (x)−xf (x)f (x) = f (x)dx bằng: 2x + , ∀x ∈ [0; 1] Biết f (1) = 3, tích phân I = 19 B A 13 C 13 D 19 Lời giải Ta có: f (x) = xf (x)f (x) + 2x + 1 ⇒I= f (x)dx = [xf (x)f (x) + 2x + 4] dx 0 1 = xf (x)f (x)dx + (2x + 4)dx = A + (∗) Tính A = Đặt xf (x)f (x)dx  u = xf (x) ⇒  du = (f (x) + xf (x)) dx v = f (x) dv = f (x)dx ⇒ A = xf (x)|10 − f (x)dx − f (x) (f (x) + xf (x)) dx = − 9−I 9−I 19 ⇒A= (∗∗) Thay vào,ta được: I = +5⇔I = 2 Chọn đáp án B xf (x)f (x)dx Câu 60 Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn 4x.f (x2 ) + 3f (1 − x) = √ − x2 f (x) dx Tính π Lời giải A 4x.f (x2 ) + 3f (1 − x) = B √ π C π 20 D π 16 − x2 Trang 30 1 ⇔ 2x.f x f (1 − x) dx = dx + 1 √ 1 − x2 dx ⇔ 2A + 3B = √ − x2 dx (∗) , 2x.f x2 dx Đặt t = x2 ⇒ dt = 2xdx; x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = A= A= f (t) dt = f (x) dx f (1 − x) dx Đặt t = − x ⇒ dt = −dx; x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = B= B= f (t) dt = f (x) dx (∗) ⇔ f (x) dx + f (x) dx = √ 1− x2 dx ⇔ f (x) dx = √ − x2 dx π π π Đặt: x = sin t ⇒ dx = cos tdt, t ∈ − ; ; x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 2 π π 2 Å ã π √ π + cos 2t 1 ⇒ − x2 dx = − sin2 t cos t dt = dt = t + sin 2t = 2 0 0 f (x) dx = Vậy π 20 Chọn đáp án C Câu 61 Cho hàm số f (x) liên tục R thoả mãn f (x) + f (1 − x) = x3 (1 − x) , ∀x ∈ R f (0) = Tính I = x dx xf A − 10 Lời giải B 20 C 10 D − 20 Từ giả thiết f (x) + f (1 − x) = x3 (1 − x) , ∀x ∈ R⇒ f (1) = 1 1 1 Ta có: f (x)dx + f (1 − x) dx = x (1 − x) dx = ⇒ f (x)dx = 20 40 0 0   du = dx u = x x x dx, đặt I = xf dx, đặt ⇒ I = xf dv = f x dx v = 2f x 2 0 2 2 x x x x Nên I = 2xf −2 f dx = 4f (1) − f dx = −2 f dx = −4 2 2 0 f (t)dt = − 10 Chọn đáp án A Câu 62 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx + cx + d, (a , b , c , d ∈ R , a = 0) có đồ thị (C) Biết đồ thi (C) qua gốc toạ độ có đồ thị y = f (x) cho thình vẽ Tính giá trị H = f (4) − f (2) Trang 31 y O −1 A H = 58 x B H = 51 C H = 45 D H = 64 Lời giải Do f (x) hàm số bậc ba nên f (x) hàm số bậc hai Dựa vào đồ thị hàm số f (x) f (x) có dạng f (x) = ax2 + với a > Đồ thị qua điểm A (1 ; 4) nên a = f (x) = 3x2 + Vậy H = f (4) − f (2) = 3x2 + dx = 58 f (x)dx = 2 Chọn đáp án A Câu 63 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) liên tục R Miền hình phẳng hình vẽ giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) trục hồnh đồng thời có diện tích S = a Biết 1 (x + 1) f (x)dx = b f (3) = c Giá trị f (x)dx y O −1 A a − b + c B −a + b − c C −a + b + c x D a − b − c Lời giải   u = x + du = dx Đặt ⇒ v = f (x) dv = f (x)dx Khi b = (x + 1) f (x)dx = (x + 1) f (x) − f (x)dx = 2f (1) − f (0) − I f (x)dx − Mặt khác, ta có a = S = f (x)dx = f (1) − f (0) − [f (3) − f (1)] = 2f (1) − f (0) − f (3) = 2f (1) − f (0) − c Suy 2f (1) − f (0) = a + c Vậy I = 2f (1) − f (0) − b = a + c − b Chọn đáp án A Trang 32 x+1 dx = ln (ln a + b) với a, b số nguyên dương.Tính P = a2 + b2 + x2 + x ln x Câu 64 Biết ab A 10 B C 12 D Lời giải 2 x+1 dx = x2 + x ln x x+1 dx x (x + ln x) ã Å1 x+1 dx = dx Đặt t = x + ln x ⇒ dt = + x x Khi x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = + ln Ta có  a = 2+ln Khi I = dt = ln |t||2+ln = ln (ln + 2) Suy b = t Chọn đáp án B Câu 65 Cho hàm số y = f (x) liên tục R thỏa mãn f (4 − x) = f (x) Biết xf (x)dx = Tính I = f (x)dx A I= Lời giải B I= C I= D I= 11 Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số f (x) liên tục [a; b] thỏa mãn điều kiện f (a + b − x) = f (x), ∀x [a; b].Khi b b a+b xf (x)dx = a f (x)dx a Chứng minh: Đặt t = a + b − x⇒ dx = −dt,với x ∈ [a; b].Đổi cận:khi x = a ⇒ t = b; x = b ⇒ t = b b b xf (a + b − x) dx = − xf (x)dx = Ta có a a a b b b b (a + b − t) f (t)dt = (a + b) = a f (t)dt − a b ⇒2 (a + b − t) f (t)dt b f (x)dx − tf (t)dt = (a + b) a b a xf (x)dx a b f (x)dx ⇒ xf (x)dx = (a + b) a a Áp dụng tính chất với a = 1,b = f (x) liên tục [a; b] thỏa mãn f (1 + − x) = f (x) 3 1+3 xf (x)dx = Khi f (x)dx = f (x)dx ⇒ 1 Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt t = − x,với x ∈ [1; 3] Trang 33 3 xf (4 − x) dx = xf (x)dx = Ta có (4 − t) f (t)dt = ⇒5=4 3 f (t)dt − t.f (t)dt f (t)dt = f (t)dt − ⇒ 1 Chọn đáp án A Câu 66 Giả sử 3x2 + 5x − dx = a ln + b ln + c; (a, b, c ∈ Q) Khi 3a + 2b + 2c x−2 −1 bằng? A 30 B 50 C 40 D 60 Lời giải 0 Å ã (x − 2) (3x + 11) + 21 3x2 + 5x − 21 dx = dx = 3x + 11 + dx x−2 x−2 x−2 −1 −1 −1 Å ã 0 3 19 = x + 11x + 21 ln |x − 2| = − + 11 + 21 ln − 21 ln = 21.ln2 − 21.ln3 + −1 −1 2 19 Suy ra:a = 21; b = −21; c = Vậy 3a + 2b + 2c = 40 Chọn đáp án C Câu 67 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục (0; +∞),biết f (x)+(2x + 3) f (x) = 0, f (x) > với x > f (1) = Tính P = + f (1) + f (2) + + f (2018) 1009 2019 3029 4039 A P = B P = C P = D P = 2020 2020 2020 2020 Lời giải f (x) Ta có f (x) + (2x + 3) f (x) = ⇔ = − (2x + 3) f (x) f (x) 1 → − dx = − (2x + 3) dx ⇔ − = −x2 − 3x + C → − f (x) = f (x) f (x) x + 3x − C 1 1 1 Mà f (1) = → − = ⇔ C = −2 → − f (x) = = − Å6 ã + 3.1 x ã+ 3x + x+1 x+2 Å− C ã Å 3029 1 1 1 Suy P = + − + − + + − = 3 2019 2020 2020 Chọn đáp án C Câu 68 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R thỏa mãn f (x3 + 3x) = x + 1, ∀x ∈ R f (x)dx bằng: Tích phân 25 A Lời giải B 88 C 25 D Đặt x = t3 + 3t Khi đó:dx = (3t2 + 3) dt Với x = ⇒ t = x = ⇒ t = f t3 + 3t f (x)dx = Vậy: 3t2 + dt = (t + 1) 3t2 + dt = 25 Chọn đáp án A Trang 34 n+1 dx + ex Câu 69 Giá trị lim n→+∞ n A −1 B C e D Lời giải n+1 n+1 dx = + ex Tính I = n ex dx ex (1 + ex ) n Đặt t = ex ⇒ dt = ex dx Đổi cận:x = n ⇒ t = en ,x = n + ⇒ t = en+1 en+1 en+1Å ã 1+ n n+1 dt 1 e Khi I = = − dt = (ln t − ln (t + 1))|een = + ln t (t + 1) t t+1 e+ n en en e è Ö n+1 1+ n dx e Suy lim = + ln = − = = lim I = lim + ln x n→+∞ n→+∞ n→+∞ 1+e e e+ n n e Chọn đáp án D Câu 70 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm R thỏa mãn f (2) = −2; f (x)dx = Ä√ ä f x + dx Tính tích phân I = −1 A I = −5 C I = −18 B I = D I = −10 Lời giải √ Đặt t = x + 1⇒ t2 = x + 1⇒ 2tdt = xdx Đổi cận:x = −1 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Ä√ ä Khi đó: I = f x + dx = 2t.f (t)dt = 2t.f (t)|20 − −1 2 f (t)dt = 4f (2) − f (x)dx = −8 − = −10 Chọn đáp án D Câu 71 Cho hàm số y = f (x) liên tục đoạn,thỏa mãn f (4 − x) = f (x), ∀x ∈ [1; 3] 3 x f (x)dx = −2 Giá trị f (x)dx bằng: A −2 C −1 B D Lời giải b Sử dụng tính chất I = b x f (x)dx = a t f (t)dt a Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt t = − x b b f (x)dx + Sử dụng công thức a [f (x) + g(x)] dx a t f (t)dt = −2 x f (x)dx = g(x)dx = a Ta có:I = b Trang 35 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận  x = ⇒ t = x = ⇒ t = 1 ⇒I=− (4 − x) f (4 − x) dx = −4 (4 − x) f (x)dx = −2 ⇔ 2I = (4 − x + x) f (x)dx = −4 ⇔ (4 − x) f (x)dx = x f (x)dx+ ⇔ 3 f (x)dx = −4 ⇔ f (x)dx = −1 f (x)dx = −2 Vậy Chọn đáp án A Câu 72 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R thỏa mãn f (x3 + 3x) = x + 1, ∀x ∈ R f (x)dx bằng: Tích phân 25 A Lời giải B 88 C 25 D Đặt x = t3 + 3t Khi đó:dx = (3t2 + 3) dt Với x = ⇒ t = x = ⇒ t = f (x)dx = Vậy: f t + 3t 0 (t + 1) 3t2 + dt = 3t + dt = 25 Chọn đáp án A e f (x) dx = 1, f (e) = Khi I = x Câu 73 Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [1; e], biết e f (x) ln xdx A I = B I = C I = D I = Lời giải e Cách 1: Ta có I = e f (x) dx = f (e) − = − = x f (x) ln xdx = f (x) ln x|e1 −  u = ln x   du = dx x Cách 2: Đặt → dv = f (x)dx  v = f (x) e Suy I = e f (x) ln xdx = f (x) ln x|e1 f (x) dx = f (e) − = − = x − Chọn đáp án D Câu 74 Biết tích phân (x + 1) ex √ dx = ae4 + b Tính T = a2 − b2 2x + A T = B T = C T = D T = Trang 36 Lời giải x+1 x √ e dx = 2x + Ta có I = Ñ 4 2x + x √ e dx = 2x + √ e √ dx 2x + 2x + 1.ex dx + é x x e dx 2x +   du = ex dx     x   u = e  Đặt ⇒ dx √ dx (2x + 1)   dv = √  √ = 2x + v = =   2x + 1  2x +  √ √ Do I1 = ex 2x + − ex 2x + 1dx Xét I1 = √ −1 3e4 − Khi a = , b = ⇒ T = − = Suy I = 2 4 Chọn đáp án B 2 (1 − 2x) f (x)dx = 3f (2) + f (0) = 2020 Tích phân Câu 75 Cho f (x)dx A 2020 B 4040 C 1010 D 2022 Lời giải 2 (1 − 2x) f (x)dx = Theo ta có (1 − 2x) d (f (x)) = (1 − 2x) f (x) 0 = −3f (2) − f (0) − f (x) (−2) dx = −3f (2) − f (0) + 2 − f (x)d (1 − 2x) f (x) ⇒ 2 f (x) = 3f (2) + f (0) = 2020 ⇒ f (x) = 1010 Chọn đáp án C Trang 37