giải tích 12. phương pháp tích phân hàm số hữu ti

GIẢI TÍCH CHUYÊN ĐỀ : 12 TÍCH PHÂN : TÍCH PHAN HAỉM HệếU Tặ ã Daùng : I = ∫ dx ax + bx + c ( a ≠ 0) dx + e • Dạng : I = ∫ dx ax + bx + c ( a ≠ 0) P( x ) Tích phân dạng : I = ∫ dx Q( x ) • Phương pháp : Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) ta phải chia P(x) cho Q(x) • Phương pháp : Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) ta dùng đồng thức để phân tích thành tổng P( x ) Tích phân dạng : I = ∫ dx Q( x ) • Dạng : Mẫu số có nghiệm đơn P( x ) P( x ) A B C = = + + Q( x ) ( x − a )( x − b)( x − c) x − a x − b x − c • Dạng : Mẫu số có nghiệm đơn vô nghiệm P( x ) P( x ) A Bx + C = = + 2 Q( x ) ( x − α)(ax + bx + c) x − α ax + bx + c • Dạng : Mẫu số có nghiệm bội P( x ) P( x ) = Q( x ) ( x − a ) ( x − b ) A B C D E = + + + + 2 (x − a ) (x − a ) ( x − a ) ( x − b) ( x − b) P( x ) Tích phân dạng : I = ∫ dx Q( x ) • Dạng : Mẫu số có nghiệm đơn 3 3 2x + 41x − 91 I=∫ =∫ dx + ∫ dx − ∫ dx ( x − 1)( x − x − 12) x − x−4 x−3 2 • Dạng : Mẫu số có nghiệm đơn vô nghiệm 1 4x − 1 9x + dx I=∫ dx = ∫ dx − ∫ x + 2x + x + x +1 x+2 • Dạng : Mẫu số có nghiệm bội 3 3 x +1 dx dx dx I=∫ dx = − ∫ − ∫ + 2∫ x ( x − 1) x x x −1 2 2 TÍCH PHÂN : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ β dx • Dạng : I = ∫ (a ≠ 0) ax + bx + c α Xeùt ∆ = b2 – 4ac b   1) Nếu ∆ = 0, : ax + bx + c = a  x +  2a   Áp dụng công thức : dx −1 I= ∫ = ⋅ +C a  a x+ b b  x +  2a 2a   Ví dụ Ví dụ • Bài giải : dx Tính : I = ∫ x − 8x + 16 dx Ta coù : I = ∫ x − 8x + 16 dx =∫ ( x − 4) 2 1   =− = − −  x−4 2−4 0−4  1 = − − +  =  4 Ví dụ Ví dụ • Bài giải : 1 Tính : I = ∫ dx x − 5x + Ta coù : x − 5x + = ⇔ x1 = ∨ x = 1 = Áp dụng công thức : ( x − x1 )( x − x ) x1 − x  1  −    x − x x − x1  1 1 = = − Ta coù : x − 5x + ( x − 2)( x − 3) x − x − 1 1 dx dx Do : I = ∫ dx = ∫ −∫ x − 5x + x −3 x −2 0 1 = ln x − − ln x − = ln TÍCH PHÂN : TÍCH PHAN HAỉM HệếU Tặ dx ã Daùng : I = ∫ (a ≠ 0) ax + bx + c α Xeùt ∆ = b2 – 4ac  b  ∆ 3) Neáu ∆ < 0, : ax + bx + c = a  x +  −  2a  4a     b −∆ −∆ tgt ⇒ dx = ( tg t + 1)dt Đặt x + = a 4a 4a Tính I Ví dụ Ví dụ • Bài giải : 1 dx Tính : I = ∫ x + x +1 1 dx dx dx I=∫ =∫ =∫ 2 x + x +1  1  1  3 x +  +  x +  + 2  2      3 Đặt : x + = tgt ⇒ dx = ( tg t + 1)dt x 2 π π t π/3 π/3 3 ( tg t + 1)dt ⇒ I= = ⋅ ∫ dt ∫/ 2 π π/6 ( tg t + 1) π/3  π π  π π ⇒ I= t π/6 = ⋅ =  − = 3 3 6 TÍCH PHÂN : TCH PHAN HAỉM HệếU Tặ dx + e ã Daïng : I = ∫ dx (a ≠ 0) ax + bx + c α Phương pháp : Ta biến đổi : β β β dx + e d 2ax + b bd  dx  I=∫ dx = ∫ dx +  e −  ∫ ax + bx + c 2a α ax + bx + c 2a  α ax + bx + c  α β 2ax + b dx coù daïng I1 = ∫ du = ln u + C Tích phân : I1 = ∫ ax + bx + c u α β dx Tích phân : I = ∫ có dạng mà ta biết ax + bx + c α Ghi : Nếu ax2 + bx + c = có hai nghiệm, ta tính I phương pháp đồng TÍCH PHÂN : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ P( x ) Tích phân dạng : I = ∫ dx Q( x ) • Phương pháp : Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) ta phải chia P(x) cho Q(x) Ví dụ Ví dụ • Bài giải : Ta có : x + 3x + Tính : I = ∫ dx x +3 x + 3x + 2 =x+ x+3 x +3 Do : I = ∫ x + 3x + 2   dx = ∫  x + dx x+3 x +3 0 x  =  + ln x +  = + ln    0 2 Ví dụ Ví dụ • Bài giải : 2  x −1  Tính : I = ∫   dx x+2 −1  2   x −1   Ta coù :  +  = 1 −  = 1− x+2  x+2 x + ( x + 2)  Do : 2 2 dx dx  x −1  I = ∫ + 9∫  dx = ∫ dx − ∫ x+2 x + −1 ( x + 2) −1 −1 −1 = x −1 − ln x + −1 − x + −1 39 = − 12 ln 2 TÍCH PHÂN : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ P( x ) Tích phân dạng : I = ∫ dx Q( x ) • Phương pháp : Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) ta dùng đồng thức để phân tích thành tổng TÍCH PHÂN : TCH PHAN HAỉM HệếU Tặ ã Daùng : Mẫu số có nghiệm đơn P( x ) P( x ) A B C = = + + Q( x ) ( x − a )( x − b)( x − c) x − a x − b x − c x + 41x − 91 Thí dụ : Tính : 1) I = ∫ dx ( x − 1)( x − x − 12) x 2) I = ∫ dx ( x + 1)(2 x + 1) 3x − 3) I = ∫ dx x − 5x + Ví dụ Ví dụ x + 41x − 91 Tính : I = ∫ dx ( x − 1)( x − x − 12) • Bài giải : Ta có : x + 41x − 91 x + 41x − 91 A B C = = + + ( x − 1)( x − x − 12) ( x − 1)( x − 4)( x − 3) x − x − x − Đồng tử số : 2x2+ 41x–91 ≡ A(x–4)(x +3) + B(x–1)(x+3) + C(x–1)(x–4) 2x2+ 41x–91 ≡ (A+B+C)x2 + (–A+2B–5C)x–12A–3B +4C  A+ B+C = A=4   Ta coù :  − A + 2B − 5C = 41 ⇔  B=5 − 12A − 3B + 4C = −91 C = −   x + 41x − 91 = + − Ta coù : ( x − 1)( x − x − 12) x − x − x − Do : 3 3 x + 41x − 91 I=∫ =∫ dx + ∫ dx − ∫ dx ( x − 1)( x − x − 12) x − x−4 x−3 2 3 = ln x − + ln x − − ln x − = 4(ln − 0) + 5(0 − ln 2) − 7(ln − ln 5) = ln − ln + ln Ví dụ Ví dụ x +1 Tính : I = ∫ dx x ( x − 1) • Bài giải : x +1 A B C = 2+ + Ta coù : x ( x − 1) x x x −1 Đồng tử số : x + ≡ A(x – 1) + Bx(x – 1) + Cx2 Choïn x = : = –A ⇔ A = – Choïn x = : = C Choïn x = –1 : = + 2B + ⇔ B = – 3 dx dx dx + 2∫ Do ñoù : I = − ∫ − ∫ x x x −1 2 3 1 = − 2ln x + 2ln x − = ln − ln − x2 Ví dụ Ví dụ x dx Tính : I = ∫ ( x + 1) • Bài giải : x A B C = + + Ta coù : 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x +1 Đồng tử số : x ≡ A + B(x + 1) + C(x + 1)2 ⇔ x ≡ Cx2 + (B + 2C)x + A + B + C C = C=0 1 dx dx   ⇒  B + 2C = ⇒  B = ⇒ I = − + ( x + 1) ( x + 1) A + B + C = A = −1   ∫ ∫ Do :  1  1 1 1  ⇒I=  2( x + 1) − x +  =  −  −  − 1 =      0  TÍCH PHÂN : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ P( x ) Tích phân dạng : I = ∫ dx Q( x ) Một số dạng khác Ví dụ 10 Ví dụ 10 dx Tính : I = ∫ ( x + 3x + 2) • Bài giải : 1   Ta coù : = = −  2 ( x + 3x + 2) [ ( x + 1)(x + 2)]  x + x +  1 1 1 dx dx dx ⇒I=∫ +∫ − 2∫ 2 ( x + 1) ( x + 2) ( x + 1)( x + 2) 0 dx dx dx dx =∫ +∫ − 2∫ + 2∫ 2 ( x + 1) ( x + 2) x +1 x + 0 1 1 1 =− − − ln x + + ln x + x +1 x + 2 = − ln + ln 3 dx Ví dụ 11 Tính : I = ∫ Ví dụ 11 x + 4x + • Hướng dẫn : 1  1  Ta coù : = = ⋅ −  2 x + x + ( x + 3)( x + 1)  x + x +   dx dx   = ( I1 − I ) ⇒ I = ∫ − 2  x +1 x +    dx • Tính : I1 = ∫ cách đặt x = tgt x +1 π ⇒ I1 = π dx • Tính : I = ∫ cách đặt x = tgt ⇒ I1 = 18 x +3 1π π 3  ⇒I=  −  18    Ví dụ 12 Ví dụ 12 Tính : • Bài giải : Ta có : I = ∫ xdx I=∫ x + 6x + 1 xdx xdx xdx =∫ =∫ 2 x + x + ( x + 3) − ( x + 3) − 2 dt = xdx Đặt t = x + ⇒ dt = xdx ⇔ 2 1 t −2 dt ⇒I= ∫ =  ln t −4 8 t +2  1 1 =  ln − ln  = ln 8 5    3 x t Ví dụ 13 Ví dụ 13 Tính : • Bài giải : 1 xdx I=∫ x + x2 +1 1 xdx xdx xdx I=∫ =∫ =∫ 2 2 x + x +1    1  3 x +  −   x +  − 2  2      Đặt : x 1 3 2 x + = tgt ⇔ 2xdx = ( tg t + 1)dt 2 t π/6 π/3 π/3   ( tg t + 1)dt 3π ⇒I= = ∫/ ∫/ 6dt =  t  = 18   π π   π/6 ( tg t + 1) π/3 π/3 _ Làm hoàn chỉnh tập ôn thi _ Chuẩn bị ôn tập tích phân phần ... ln 2 TÍCH PHÂN : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ P( x ) Tích phân dạng : I = ∫ dx Q( x ) • Phương pháp : Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) ta dùng đồng thức để phân tích thành tổng TÍCH PHÂN : TÍCH PHÂN HÀM HỮU... − ln + ln = ln TÍCH PHÂN : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ P( x ) Tích phân dạng : I = ∫ dx Q( x ) • Phương pháp : Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) ta phải chia P(x) cho Q(x) Ví dụ Ví dụ • Bài giải : Ta có :...  − 1 =      0  TÍCH PHÂN : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ P( x ) Tích phân dạng : I = ∫ dx Q( x ) Một số dạng khác Ví dụ 10 Ví dụ 10 dx Tính : I = ∫ ( x + 3x + 2) • Bài giải : 1   Ta coù : =