TÍCH PHÂN hàm ẩn

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng MỤC LỤC DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng BÀI TẬP DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM f x  \ 1 f  2017 f    2018 Câu 1: Cho hàm số   xác định thỏa mãn f   x   ,   , x 1 S  f    f   1 Tính A S  B S  ln C S  ln 4035 D S  1  Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f   x   f    Giá trị 2x 1 2 biểu thức f   1  f   A  ln15 B  ln15 C  ln15 D ln15   Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định  \   thỏa mãn f ( x )  , f (0)  f (1)  Giá 2x 1 2 trị biểu thức f ( 1)  f (3) A  ln B  ln15 C  ln15 D ln15 Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định  thỏa mãn f   x   x  f 1  Phương trình f  x   có hai nghiệm x1 , x2 Tính tổng S  log x1  log x2 A S  Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: B S  C S  D S  1   2 Cho hàm số f ( x) xác định  \   thỏa mãn f   x   , f    f    3x  3   3 Giá trị biểu thức f   1  f   A  5ln B 2  5ln C  5ln D  5ln f  x  \  2; 2 f 1 Cho hàm số xác định thỏa mãn f   x   ; f  3  ;   x 4 f 3  P  f     f   1  f   Tính giá trị biểu thức 5 A P   ln B P   ln C P   ln D P   ln 25 3 Cho hàm số f  x  xác định  \  2;1 thỏa mãn f   x   ; f  3   f    x  x2 f    Giá trị biểu thức f     f   1  f   1 A  ln B  ln 80 C  ln  ln D  ln 3 5 Cho hàm số f  x  xác định  \  1;1 thỏa mãn f   x   ; f  3   f    x 1  1 1 f     f    Tính giá trị biểu thức P  f    f    2 2 3 3 A P   ln B P   ln C P   ln D P  ln 5 5 Cho hàm số f  x  xác định  \  1 thỏa mãn f   x   Biết f  3   f    x 1  1 1 f     f    Giá trị T  f  2   f    f   bằng:  2 2 9 A T   ln B T   ln C T   ln D T  ln 5 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f    15 f   x    x   f  x   Tính f 1  f    f   11 11 B C D 15 15 30 30 Câu 11: Cho hàm số f  x  xác định liên tục  Biết f  x  f   x   12 x  13 f    A Khi phương trình f  x   có nghiệm? A B C D Câu 12: Cho hàm số f  x  xác định  thỏa mãn f   x   e x  e x  , f     1 f  ln   Giá trị biểu thức S  f   ln16   f  ln   4 31 A S  B S  C S  D f   f    2   Câu 13: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm đoạn  0;  , thỏa mãn f     2   f  x  f   x   cos x  f  x  , x   0;  Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M  2    hàm số f  x  đoạn  ;  6 2 21 A m  , M  2 B m  , M  2 C m  , M  D m  , M  2 Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f  x   , x   Biết f    f ' x   x Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f  x   m có hai f  x nghiệm thực phân biệt A m  e B  m  C  m  e D  m  e Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục  f  x   với x   f   x    x  1 f  x  và f 1  0, Biết tổng f 1  f    f  3   f  2017   a a ;  a   , b    với b b tối giản Mệnh đề đúng? A a  b  1 B a    2017; 2017  C Câu 16: Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f f 1  f     f  2017   f  2018   đề sau đúng? a A  1 b C a  b  1010 ' a  1 b  x    x  3 f  x  D b  a  4035 f    1 Biết tổng a a với a  , b  * phân số tối giản Mệnh b b a 1 b D b  a  3029 B ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng  f   x  f  x    f   x    xf  x     Câu 17: Cho hàm số y  f  x  , x  , thỏa mãn  Tính  f     0; f    f 1 A B C D Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương  ; thỏa mãn f     f  x x  Khi f  x x 1  hiệu T  f 2  f 1 thuộc khoảng A  2;3   Câu 19: Khi   0;   ; B  7;9  C  0;1 f  tan t  dt   f  x  dx Vậy cos 2t D  9;12   f  x  dx  Cho hàm số y  f  x  đồng biến y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f     f '  x     x  1 f  x  Mệnh đề đúng? A 2613  f    2614 B 2614  f    2615 C 2618  f    2619 D 2616  f    2617 Câu 20: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f 1  , f  x   f   x  x  , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f    B  f    C  f    D  f    x    f   x    f  x  f   x   15 x  12 x , f    f     Giá trị f 1 Câu 21: Cho hàm số A f  x thỏa mãn B C 10 Câu 22: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f   x 1 x 1 D  dx   x 1  x5   C Nguyên hàm hàm số f  x  tập  là:  A x3 C  x2  4 B x3 C x2  C 2x  C  x  1 D 2x  C  x  1 DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN Câu 23: Cho  f  x  dx  10 Kết    f  x   dx bằng: A 34 B 36 C 40 D 32 Câu 24: Cho hàm số f  x  liên tục  F  x  nguyên hàm f  x  , biết  f  x  dx  F    Tính F   A F    6 B F    C F    12 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D F    12 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 25: Cho I   f  x  dx  Khi J    f  x   3 dx bằng: 0 A B D C 4 I   3 f  x   g  x   dx  f  x  dx  10 2 g  x  dx  Câu 26: Cho Tính A I  B I  15 C I  5  f  x  dx  37  g  x  dx  16 Câu 27: Giả sử A I  26 B I  58  f  x  dx  Câu 28: Nếu A 2 ,  I    f  x   3g ( x)  dx Khi đó, C I  143  f  x  dx C B  f  x  dx  bằng: D I  122 f  x  dx  1 Câu 29: Cho A D I  10  f  x  dx  2 D B 3  f  x  dx Giá trị C 1 D 10 Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;10    f  x  dx  f  x  dx  Tính 10 P   f  x  dx   f  x  dx B P  4 A P  C P  Câu 31: Cho D P  10  f  x  dx   f  x  dx  ,  f  x  dx  , ? B A C D Câu 32: Cho hàm số f  x  liên tục  có  f  x  dx  ;  f  x  dx  Tính I   f  x  dx B I  12 A I  Câu 33: Cho  1 A I  11 1 1 C I   f  x  dx  2  f  x  dx   g  x  dx  ; ; 17 D I  Mệnh đề sau sai?  f  x  dx  B   f  x   g  x   dx  10 C Tính I    x  f  x   g  x   dx A D I   g  x  dx  1 B I  Câu 34: Biết C I  36 f  x  dx   f  x  dx  5 D  4 f  x   g  x  dx  2 Câu 35: Cho hàm số f  x có f  x liên tục đoạn  1;3 , f  1   f ( x) dx  10 giá trị 1 f  3 A 13 B 7 C 13 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2  f  x  dx    f  x   1 dx Câu 36: Cho A Tính Tích Phân Ứng Dụng ? B D C 0 g  x  f   x  dx  Câu 37: Cho y  f  x  , y  g  x  hàm số có đạo hàm liên tục  0;  2   g  x  f  x  dx  Tính tích phân I    f  x  g  x  dx , 0 A I  1 Câu 38: Cho hai tích phân B I  2  f  x  dx   g  x  dx  2 D I  C I  5 Tính I    f  x   g  x   1 dx 2 A I  11 B I  13 C I  27 D I  Câu 39: Cho hàm số f  x   x  x  x  x  , x   Tính  f  x  f   x  dx A C  B D 2 Câu 40: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn  f  x  dx  Tính f  x  dx  10  2 giá trị biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx A P  ` B P  16 C P  D P  10 1 Câu 41: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn [0; 1] có  3  f  x   dx  Tính A 1 B  f  x  dx D 2 C 1 Câu 42: Cho hai hàm số f  x  g  x  liên tục đoạn [0; 1], có  f  x  dx   g  x  dx  2 0 Tính tích phân I    f  x   g  x   dx A 10 B 10 D 2 C Câu 43: Cho hàm số f  x   ln x  x  Tính tích phân I   f '  x  dx  A I  ln  B I  ln  C I  ln D I  2ln Câu 44: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn [1; ln3] thỏa mãn f 1  e , ln  f '  x  dx   e Tính I  f  ln  A I   2e B I  C I  9 D I  2e  Câu 45: Cho hai hàm số y  f  x  y  g  x  có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn  f '  x  g  x  dx  , A I  2  / f  x  g '  x  dx  1 Tính I    f  x  g  x  dx 0 B I  C I  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D I  Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng x2 Câu 46: Cho hàm số f  x  liên tục  0;   thỏa  f  t  dt  x.cos  x Tính f   B f    A f    123 C f    D f    f  x Câu 47: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  t dt  x.cos  x Tính f   A f    C f    B f     D f    12 x   Câu 48: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  dt Tính G '   2       A G '    1 B G '    C G '    2 2 2   D G '    2 x2 Câu 49: Cho hàm số G  x    cos t dt ( x  ) Tính G '  x  A G '  x   x cos x B G '  x   x.cos x C G '  x   cos x D G '  x   cos x  x Câu 50: Cho hàm số G  x     t dt Tính G '  x  x A 1 x B  x C 1 x D  x  1 x  x Câu 51: Cho hàm số F  x    sin t dt ( x  ) Tính F '  x  A sin x B sin x x C 2sin x x D sin x x Câu 52: Tính đạo hàm f  x  , biết f  x  thỏa  t.e f  t  dt  e f  x  Câu 53: Cho hàm số C f '  x   B f '  x   x  A f '  x   x y  f  x 0;    liên tục  x D f '  x   x2  f  t  dt  x.sin  x  Tính 1 x f 4   A f    Câu 54: Cho hàm số f  x  B f    liên tục khoảng C f     2;  Gọi F  x   D f    nguyên hàm f  x  2;  Tính khoảng A I  Câu 56: Cho , biết  f  x  dx  11 F   1  F 2  D I  C I  1 A I  1 B I  10 Câu 55: Cho I    f  x   x  dx  g  x  dx  1 1 B I  Tính I    x  f  x   g  x   dx 1 C I  17 D I  2  3 f  x   g  x  dx   2 f  x   g  x   dx  3  f  x  dx , ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Khi đó, Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 11 16 B  C D 7 7 Câu 57: Cho f  x  , g  x  hai hàm số liên tục đoạn  1;1 f  x  hàm số chẵn, g  x  A hàm số lẻ Biết  f  x  dx  ;  g  x  dx  Mệnh đề sau sai? 0 A  f  x  dx  10 C   f  x   g  x  dx  10 B 1 1   f  x   g  x  dx  10 D 1  g  x  dx  14 1 Câu 58: Cho f  x  , g  x  hai hàm số liên tục đoạn  1;1 f  x  hàm số chẵn, g  x  hàm số lẻ Biết  f  x  dx  ;  g  x  dx  Mệnh đề sau sai? 0 A  f  x  dx  10 B 1 C   f  x   g  x  dx  10 1   f  x   g  x  dx  10 D 1  g  x  dx  14 1 10 10  f  z  dz  17  f  t  dt  12  3 f  x  dx Câu 59: Nếu A 15 C 15 B 29  f  x  dx   f  t  dt  Câu 60: Cho A 11 , 1 D 1 Giá trị  f  z  dz B C D Câu 61: Cho hàm số y  f  x  liên tục, dương  0;3 thỏa mãn I   f  x  dx  Khi  1 ln  f  x   giá trị tích phân K   e   dx là: A  12e B 12  4e C 3e  14 Câu 62: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thỏa D 14  3e  f    f     1;   f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y   Tính  f  x  1dx A B  C D Câu 63: Cho hàm số f  x  hàm bậc thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 f 1  f    Tính I   f  x  dx A I  B I  C I  12 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D I  8 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 64: Cho hàm số f  x xác định  \ 0 , thỏa mãn f   x   Tích Phân Ứng Dụng f a f 2  b ,     x x f 1  f   Tính   A f   1  f     a  b B f  1  f    a  b C f  1  f    a  b D f  1  f    b  a Câu 65: Cho hàm số f  x xác định  \ 0 thỏa mãn f   x   f  a f  2   b ,   , x x f 1  f   Giá trị biểu thức   A b  a B a  b C a  b D a  b  Câu 66: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục thỏa mãn đồng thời điều kiện f  x   Tính giá trị f  ln  2 C f  ln   D f  ln   3 định liên tục  thỏa mãn đồng thời , x   ; f   x    e x f  x  , x   f    2 B f  ln    9 Câu 67: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác A f  ln   điều kiện f  x   x   , f   x    x f  x   , x   f    Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x  đồ thị  C  A y  x  30 B y  6 x  30 C y  36 x  30 Câu 68: Cho hàm số y  f  x   xác định, có đạo hàm đoạn x D y  36 x  42  0;1 thỏa mãn: g  x    2018 f  t  dt , g  x   f  x  Tính  g  x dx 1011 A 1009 B 2019 D 505 y  f  x 1;1 f x  0, x   Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  , thỏa mãn   f ' x  f  x  f 1 f 1   Biết   , tính   A f  1  e 2 B f   1  e C f   1  e D f   1  C Câu 70: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f     f   x    f   x   x   Tính T  f 1  f    ln D T   9ln y  f  x f ' x f x  x4  x2 f 2 f 2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn     Biết   Tính 313 332 324 323 A f    B f    C f    D f    15 15 15 15 Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến 1;  thỏa mãn A T   9ln B T  x  xf  x    f   x   , x  1; 4 , f 1  A 391 18 B 361 18 C T  Giá trị f   bằng: 381 C 18 y  f  x f  x Câu 73: Cho hàm số có liên tục nửa khoảng 2 x f  x   f   x    3.e Khi đó: ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 371 18 0;   D thỏa mãn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A e3 f 1  f    C e f 1  f    e 3 e   3 e   Tích Phân Ứng Dụng B e3 f 1  f     2 e 3 D e3 f 1  f     e   e   Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f    thỏa f   x  x   x f  x   Tính f  3 A B C D Câu 75: Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f   x    x   f  x  f     Biết a a tổng f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   với  a  , b  *  phân số b b tối giản Mệnh đề sau đúng? a a A  1 B  C a  b  1010 D b  a  3029 b b ax  b Câu 76: Biết ln có hai số a b để F  x    4a  b   nguyên hàm hàm số f  x  x4 thỏa mãn: f  x    F  x   1 f   x  Khẳng định đầy đủ nhất? A a  , b  B a  , b  1 C a  , b   \ 4 D a   , b   y  f  x 1; f 1  Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục   thỏa mãn f  x   xf   x   x  x f Tính   A B 20 C 10 D 15 x    Câu 78: Cho f  x     ;  F  x  nguyên hàm xf   x  thỏa mãn cos x  2    F    Biết a    ;  thỏa mãn tan a  Tính F  a   10 a  3a  2 1 A  ln10 B  ln10 C ln10 D ln10 Câu 79: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f  x   , x   , f   x    e x f  x  x   f    Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hoành độ x0  ln A x  y  ln   B x  y  ln   C x  y  ln   D x  y  ln   Câu 80: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 , f  x  f   x  nhận giá trị 1 dương đoạn  0;1 thỏa mãn f    ,   f   x   f  x    1 dx     0 f   x  f  x  dx Tính   f  x   dx A 15 B 15 C 17 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 19 Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 1 Đặt u  f  x   du  f '  x  dx , dv  e x dx chọn v  e x  A1  e x f  x    e x f '  x  dx  A2 1 0 Vậy A  e x f  x   A2  A2  e x f  x   e f 1  f    e  a    a 2018  b 2018    b    Chọn D Câu 197 Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.x 2017 e2018 x với x   f    2018 Tính giá trị f 1 B f 1  2018.e2018 A f 1  2019e2018 C f 1  2018.e2018 D f 1  2017.e2018 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f   x   2018 f  x   2018.x 2017 e2018 x   f   x   2018 f  x   2018.x2017 e2018 x f   x   2018 f  x  d x  2018.x 2017 dx 1 2018 x  e Xets I   1 f   x   2018 f  x  2018 x  d x  f x e d x  2018 f  x  e 2018 x dx   2018 x   e 0 u  f  x  du  f   x  dx  Xét I1   2018 f  x  e 2018 x dx Đặt   2018 x 2018 x d v  2018.e d x v   e     1 Do I1  f  x   e 2018 x    f   x  e 2018 x dx  I  f 1 e 2018 x  2018 Khi 1  f 1 e 2018 x  2018  x 2018  f 1  2019.e2018 Câu 198 Cho hàm số y  f  x  với f    f 1  Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính Qa 2017 b A Q  2017 2017  B Q  C Q  Hướng dẫn giải D Q  22017  Chọn C u  f  x  du  f   x  dx  Đặt  x x dv  e dx v  e 1 x x x x  e  f  x   f   x   dx  e f  x    e f   x  dx   e f   x  dx  ef 1  f    e  0 Do a  , b  1 2017 Suy Q  a2017  b2017  12017   1  Vậy Q  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 110 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 199 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;5 f    10 ,  xf   x  dx  30 Tính  f  x  dx B 30 A 20 C 20 Hướng dẫn giải D 70 Chọn A u  x  du  dx Đặt  dv  f   x  dx  v  f  x  5 5  x f   x  dx   x f  x     f  x  dx  30  f  5   f  x  dx 0 0   f  x  dx  f    30  20 Câu 200 Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn 1;2 Biết 67 F 1  , F    , G 1  , G     f  x  G  x  dx  Tính 12 11 145 11 A B  C  12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A u  F  x  du  f  x  dx Đặt   dv  g  x  dx v  G  x  2  F  x  g  x  dx D 145 12  F  x  g  x  dx   F  x  G  x     f  x  G  x  dx  F   G    F  1 G 1   f  x  G  x  dx 1 1 67 11  4.2    12 12 Câu 201 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn  x  f   x   2 dx  f 1 Giá trị I   f  x  dx A 2 B C 1 Hướng dẫn giải D Chọn C Ta có 1  x  f   x   2 dx   x f   x  dx   xdx 0 1   xd  f  x    x 0 1  x f  x    f  x  dx   f 1  I  0 Theo đề  x  f   x   2 dx  f 1  I  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 111 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 202 Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn 1;2   x 1 f   x  dx  a Tính  f  x dx theo a b  f   A b  a B a  b C a  b Hướng dẫn giải D a  b Chọn A Đặt u  x   du  dx ; dv  f   x  dx chọn v  f  x  2 2 b   x  1 f   x  dx   x  1 f  x    f  x  dx  f  2   f  x  dx  b   f  x  1 2 Ta có a   x 1 f   x  dx  a  b   f  x  dx  a   f  x  dx  b  a 1 Câu 203 Cho hàm số f  x  liên tục  f    16 ,  f  x  dx  Tính tích phân I   x f   x  dx A I  13 B I  12 C I  20 Hướng dẫn giải D I  Chọn D du  dx u  x  Đặt   dv  f   x  dx v  f  x   1 1 1 1 Khi đó, I  x f  x    f  x  dx  f     f  x  dx    f  x  dx 20 20 20 Đặt t  x  dt  2dx Với x   t  ; x   t  Suy I    f  t  dt    40 Câu 204 Cho y  f  x  hàm số chẵn, liên tục  biết đồ thị hàm số y  f  x  qua điểm   M   ;     f  t  dt  , tính I   sin x f   sin x  dx  A I  10 B I  2 C I  Hướng dẫn giải D I   Chọn B Xét tích phân I    sin x f   sin x  dx   2sin x f   sin x  cos xdx    x    t   Đặt: t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận:   x   t  0  I   t f   t  dt  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 112 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng u  2t du  2dt  Đăt:  dv  f   t  dt v  f  t  0  1   f  t  dt  f      f  t  dt    1 2   Đồ thị hàm số y  f  x  qua điểm M   ;      I  2t f  t   1 f     2 Hàm số y  f  x  hàm số chẵn, liên tục   2  f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   0 Vậy I   2.3  2   Câu 205 Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn  sin x f  x  dx  f    Tính I   cos x f   x  dx B I  A I  C I  Hướng dẫn giải D I   Chọn C u  f  x   du  f ( x)dx Đặt  dv  sin xdx  v   cos x      sin x f  x  dx    cos x f  x     cos x f   x  dx 0     I   cos x f   x  dx   sin x f  x  dx  cos x f  x  02    0 Câu 206 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f   x   2018 f  x   x sin x Tính  I  f  x  dx ?   A 2019 B 2018 1009 Hướng dẫn giải C D 2019 Chọn D  Ta có    f   x   2018 f  x  dx   x sin xdx          f   x  dx  2018  f  x  dx   x sin xdx         2019  f  x  dx      x sin xdx 1    + Xét P   x sin xdx   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 113 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng u  x du  2dx  Đặt  dv  sin xdx v   cos x P  x   cos x      Từ 1 suy I   sin x    4  f  x  dx  2019   Câu 207 Cho hàm số f  x  g  x  liên tục, có đạo hàm  thỏa mãn f    f     g  x  f   x   x  x   e x Tính giá trị tích phân I   f  x  g   x  dx ? B e  A 4 D  e C Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g  x  f   x   x  x   e x  g    g    (vì f    f     ) 2 2 I   f  x  g   x  dx   f  x  dg  x    f  x  g  x     g  x  f   x  dx     x  x  e x dx  0 0     Câu 208 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;  thỏa mãn f    ,  4 4   f  x   cos x dx   sin x.tan x f  x  dx  Tích phân  sin x f   x  dx 0 bằng: A B 23 1 Hướng dẫn giải C D Chọn B  u  sin x du  cos xdx  Ta có: I   sin x f   x  dx Đặt  dv  f   x  dx v  f  x    I  sin x f  x    cos x f  x  dx    I1    f  x   f  x  2   sin x.tan x f  x   dx   sin x  dx     cos x  dx cos x  cos x  0        f  x     dx   cos x f  x  dx   I1 cos x   3 2  I1  1  I  1  2 Câu 209 Cho hàm số f  x  liên tục  f    16 , B I  112  x  f  x  dx  Tính I   xf    dx A I  12 C I  28 Hướng dẫn giải D I  144 Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 114 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng u  x du  dx   Đặt   x   x  d v  f d x v  f   2    2     Khi 4  x x x I   xf    dx  xf    2 f   dx  128  2I1 với I1   2  2  2 0 Đặt u  x  dx  2du , I1   2  x f   dx 2  x f   dx   f  u  du  2 f  x  dx  2 0 Vậy I  128  2I1  128  16  112 Câu 210 Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục đoạn  0;1 thoả mãn f 1  f    , f     2018 Mệnh đề đúng? 1 A  f   x 1  x  dx  2018 B  f   x 1  x  dx  1 1 C  f   x 1  x  dx  2018 D  f   x 1  x  dx  0 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Xét I   f   x 1  x  dx   1  x  d  f   x   0 u   x du  dx  Đặt  v  f   x  dv  d  f   x   1  I  1  x  f   x    f   x  dx  1  1 f  1  f     f  x    f   0   f 1  f    2018  1  1  2018   Câu 211 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    , 2    f   x  dx       cos x f  x  dx  Tính f  2018   Hướng dẫn giải B A 1 C D Chọn D Bằng công thức tích phân phần ta có   cos xf  x  dx  sin xf  x          sin xf   x  dx Suy  sin xf   x  dx       2   cos x   x  sin x  Hơn ta tính  sin xdx   dx         2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 115 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A    f   x  Do đó:  2  Tích Phân Ứng Dụng  2 dx   sin xf   x  dx   sin xdx     f   x   sin x  dx  0 0   Suy f   x    sin x Do f  x   cos x  C Vì f    nên C  2 Ta f  x   cos x  f  2018   cos  2018   Câu 212 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn  0;2  Biết f    f  x  f   x   e x2  x , với x   0;2  Tính tích phân I   x  3x  f   x  16 A I   B I   16 C I   f  x 14 dx D I   32 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Theo giả thiết, ta có f  x  f   x   e2 x ln  f  x  f   x    ln e2 x 4 x 4 x f  x  nhận giá trị dương nên  ln f  x   ln f   x   x  x Mặt khác, với x  , ta có f   f    f    nên f    Xét I   x  3x  f   x  f  x dx , ta có I    x3  3x2  f  x dx f  x u  x  3x du   x  x  dx   Đặt  f  x  dv  f x dx v  ln f  x     2 Suy I   x3  3x  ln f  x      3x  x  ln f  x  dx    x2  x  ln f  x  dx 1 0 Đến đây, đổi biến x   t  dx  dt Khi x   t  x   t      Ta có I    3t  6t ln f   t  dt    3t  6t ln f   t  dt 2     Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên I    x  x ln f   x  dx   Từ 1   ta cộng vế theo vế, ta I   3x  x ln f  x   ln f   x   dx 16 Hay I     x  x   x  x  dx   20 Cách (Trắc nghiệm) Chọn hàm số f  x   e x  x , đó: I  x  x  e x 2 2x  2x  2 dx    x3  3x   x   dx  16 e x 2x Câu 213 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 e2  Tính tích phân I   f  x  dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 116 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A I   e B I  e  C I  Tích Phân Ứng Dụng e D I  e 1 Hướng dẫn giải Chọn B du  f   x  dx u  f  x   Xét A    x  1 e x f  x  dx Đặt   x x v  xe dv   x  1 e dx 1 1 Suy A  xe x f  x    xe x f   x  dx    xe x f   x  dx   xe x f   x  dx  0 1 Xét  e2 1 e2  2x 2x  x e d x  e x  x     0 40 2 Ta có 1 x 2x x   f   x   dx  2 xe f   x  dx   x e dx     f   x   xe  dx  0 0 Suy f   x   xe  x   0;1 (do  f   x   xe x x   x   0;1 )  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  nên f  x   1  x  e x 1 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx    x  e x  e  0 Câu 214 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;  thỏa mãn   x 1 f  x  dx   , 2 f      f   x   2 dx  Tính tích phân I   f  x  dx A I  B I   C I   20 D I  20 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv   x  1 3  x  1 dx  v   x  1 f x   x  1 f  x dx Ta có     x  1 f  x  dx       3 1 2 1 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx    2.7  x  1 f   x  dx  14 31 1 2 2 Tính  49  x  1 dx     f   x   dx  2.7  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  2 3   7  x  1  f   x   dx   f   x    x  1  f  x      x  1  x  1 4 C  4 2   x  1  Vậy I   f  x  dx      dx   4   1  Do f     f  x   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 117 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 215 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  , 1 0  f   x  dx  0 x f  x  dx  Tích phân A B  f  x  dx Hướng dẫn giải C D Chọn B Ta có:   f   x   dx  1 1 - Tính  x f  x  dx  du  f   x  dx u  f  x    Đặt  x4 d v  x d x v     1 1  x4  1 1    x f  x  dx   f  x     x f   x  dx    x f   x  dx 40  0 1   x f   x  dx  1  18 x f   x  dx  18   0 1 - Lại có:  x8dx  x  1  81 x8 dx    - Cộng vế với vế đẳng thức 1 ,     ta được: 1 4 0   f   x    18 x f   x   81x  dx   0  f   x   x  dx    0  f   x   x  dx  Hay thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f   x   x , trục hoành Ox , đường thẳng x  , x  quay quanh Ox  f   x   x   f   x   9 x  f  x    f   x  dx   x  C 14 14 Lại f 1   C   f  x    x5  5 1 14  14      f  x  dx     x5   dx    x  x   5 0  10 0     Câu 216 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;  f    Biết  4 4    f  x  dx  , A I      f   x  sin 2xdx   Tính tích phân I   f  x  dx B I  C I  Hướng dẫn giải D I  Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 118 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tính sin x  u  Tích Phân Ứng Dụng 2cos xdx  du  f   x  sin 2xdx   Đặt  f   x  dx  dv   f  x   v ,   f   x  sin 2xdx  sin 2x f  x   0    f  x  cos2xdx  sin  f       sin f     f  x  cos2xdx     2  f  x  cos2xdx  Theo đề ta có   0  Mặt khác ta lại có  cos 2 xdx     f  x   cos2x  Do   f   x  sin 2xdx     f  x  cos2xdx    dx    f  x   2f  x  cos2x  cos 2 x  dx     2  0 8 8 nên f  x   cos x   1 Ta có I   cos xdx  sin x  4 0 Câu 217 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f    f 1  Biết  f  x  dx  ,  f   x  cos   x  dx  B  A   Tính  f  x  dx  Hướng dẫn giải C D 3 Chọn C u  cos  x  du   sin   x  dx Đặt   dv  f   x  dx v  f  x  Khi đó:  1 f   x  cos   x  dx  cos  x  f  x     f  x  sin  x  dx 0 1    f 1  f       f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx   f  x  sin  x  dx  0 Cách 1: Ta có Tìm k cho   f  x   k sin  x   dx  0 Ta có: 1 2   f  x   k sin  x  dx   f  x  dx  2k  f  x  sin  x  dx  k  sin  x  dx 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 119 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân Ứng Dụng k2  k    k  2 2 Do   f  x   sin  x   dx   f  x   sin   x  (do  f  x   sin  x    x   ) Vậy  f  x  dx   sin  x  dx   0 Cách 2: Sử dụng BĐT Holder b b b  f x g x d x  f x d x g  x  dx           a  a a Dấu “  ” xảy  f  x   k g  x  ,  x   a; b  1   Áp dụng vào ta có    f  x  sin  x  dx    f  x  dx. sin   x  dx  , 0 0  suy f  x   k sin   x  , k   1  Mà f  x  sin   x  dx  Vậy 1  k  sin   x  dx   k   f  x   sin  x  2  f  x  dx   sin  x  dx   0 Câu 218 Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục đoạn  0;1 thỏa f 1  ,   f   x 2   dx   cos  x  f  x  dx  Tính 2   A  f  x  dx  Hướng dẫn giải B  C D  Chọn D du  f   x  dx u  f  x   Đặt  x x  d v  cos d x v  sin    2 1   Do  cos  x  f  x  dx  2  1 x   sin f  x    sin    2  Lại có:  sin  2 1     x  f   x  dx    sin  x  f   x  dx    2   x  dx      2   I     f   x   dx      sin     0 2 0  1   x  f   x  dx   sin   2  x  dx        f   x   sin  2 0  2   x   dx    0   2    Vì   f   x   sin  2    x    đoạn  0;1 nên  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 120 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 2         0    f   x   sin  x   dx     f   x  =sin  x   f   x  =  sin      Suy f  x  =cos  x   C mà f 1  f  x  =cos  x  2  2   x    0 f  x  dx  0 cos  x  dx   Câu 219 Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện f 1  f    Vậy  f  x  f  x 1 Tính J      dx x x2  1 A J   ln B J   ln C J  ln  D J   ln Hướng dẫn giải Chọn D 2 f  x f  x  f  x  f  x 1 2  dx   dx      dx Cách 1: Ta có J      dx   x x x x x x   1 1 1 1   u  du   dx x  x Đặt  dv  f   x  dx v  f  x    2 2 2  f  x  f  x 1 f  x f  x 2  J    d x  f x  d x  d x         dx 2   x x x x x x x    1 1 1   f    f 1   ln x     ln x 1   f  x  f  x 1  xf   x   f  x   Cách 2: J     d x     dx  1  x x2  x2 x x  1 2  f  x    f  x 1 2     ln x     ln  dx      dx   x 1 x  x   x 1 1 x Cách 3: ( Trắc nghiệm) a   f 1  Chọn hàm số f  x   ax  b Vì   , suy f  x   x   f    b  2 2 1  3x    Vậy J      dx   ln x    ln  x  x 1  1 x Câu 220 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 A e2  f 1  Tính  f  x  dx e 1 B e C e  D e Hướng dẫn giải Chọn C 1 - Tính: I    x  1 e x f  x  dx   xe x f  x  dx   e x f  x  dx  J  K 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 121 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Tính K   e x f  x  dx x x x u  e f  x  du   e f  x   e f   x   dx Đặt   v  x dv  dx 1 1  K   xe f  x      xe f  x   xe f   x   dx    xe f  x  dx   xe x f   x  dx  f 1   x x x x 0 1  K   J   xe x f   x  dx  I  J  K    xe x f   x  dx 0 - Kết hợp giả thiết ta được: 1 1 2 e2  e2     f x  d x   f x  d x  (1)           4 0 0   2 e   xe x f  x dx  2 xe x f  x dx   e  (2)           e2  (3) - Mặt khác, ta tính được:  x2e2 x dx  - Cộng vế với vế đẳng thức (1), (2), (3) ta được:   2  f   x    xe x f   x   x2e2 x dx     f   x   xe x  dx      f   x   xe x  dx  0 o o x hay thể tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f   x   xe , trục Ox , đường thẳng x  , x  quay quanh trục Ox  f   x   xe x   f   x    xe x  f  x    xe x dx  1  x  e x  C - Lại f 1   C   f  x   1  x  e x 1 1   f  x  dx   1  x  e x dx   1  x  e x    e x dx  1  e x  e  0 0 Vậy  f  x  dx  e  Câu 221 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  , 1 0  f   x   dx  0 x f  x  dx  Tích phân A B  f  x  dx Hướng dẫn giải C D Chọn A du  f   x  dx u  f  x    Cách 1: Tính:  x f  x  dx Đặt  x3 dv  x dx v   1 x3 f  x  Ta có:  x f  x  dx    x f   x  dx 30 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 122 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân Ứng Dụng 1 f 1  f  0 1   x f   x  dx    x3 f   x  dx 30 30 1  x f  x  dx  Mà Ta có   f   x   1 1    x3 f   x  dx    x3 f   x  dx  1 30 dx  (1) 1 x7 1 x d x    49 x 6dx  49  (2) 0  7 1 3  x f   x  dx  1  14 x f   x  dx  14 (3) 0 1 Cộng hai vế (1) (2) (3) suy   f   x   dx   49 x dx   14 x3 f   x  dx    14    2    f   x    14 x3 f   x   49 x6 dx     f   x   x3  dx  0 2 Do  f   x   x      f   x   x  dx  Mà   f   x   x3  dx   f   x   7 x 0 7x 7  C Mà f 1     C   C  4 4 7x  Do f  x    4 f  x   Vậy  1  x4   x5  f  x  dx       dx     x  4  20  0 Cách 2: Tương tự ta có:  x f   x  dx  1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1  1  1  2 2    x3 f   x  dx      x3  dx      f   x   dx       f   x   dx    f   x   dx 0 0  0  0  Dấu xảy f   x   ax , với a   1 ax7  1  a  7 Ta có  x f   x  dx  1   x ax dx  1  0 3 Suy f   x   7 x3  f  x    x4  C , mà f 1  nên C  4  x  x    1  x4   x5  Vậy  f  x  dx       dx     x  4  20  0 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f  x  g  x  liên tục đoạn  a; b  Do f  x   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 123 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng b  b  b  Khi đó, ta có   f  x  g  x  dx     f  x  dx     g  x  dx  a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h  x  liên tục khơng âm đoạn  a; b   h  x  dx  a Xét tam thức bậc hai   f  x   g  x     f  x   2 f  x  g  x   g  x   , với    Lấy tích phân hai vế đoạn  a; b  ta b b b   f  x  dx  2  f  x  g  x  dx   g  x  dx  , với    *  a a a Coi *  tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   b  b  b     f  x  dx     f  x  dx   g  x  dx   a  a  a  b  b  b     f  x  dx     f  x  dx   g  x  dx  (đpcm) a  a  a  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 124 ... Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 11 16 B  C D 7 7 Câu 57: Cho f  x  , g  x  hai hàm số liên tục đoạn  1;1 f  x  hàm số chẵn, g  x  A hàm số lẻ Biết... Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 96: Cho hàm  f  x số xác Tích Phân Ứng Dụng định   2  f  x  sin  x    d x  Tích phân      f  x   2 ...  x  dx   g  x  dx  2 0 Tính tích phân I    f  x   g  x   dx A 10 B 10 D 2 C Câu 43: Cho hàm số f  x   ln x  x  Tính tích phân I   f '  x  dx  A I  ln 