Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn

ĐỀ TÀI GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN MƠN: TỐN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH _ ĐỀ TÀI GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN TÁC GIẢ: NGUYỄN ĐÌNH TÂM TỔ: TỐN - TIN SỐ ĐTDĐ: 0976.559.628 Tháng năm 2022 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 Sự đổi phương pháp dạy học trường trung học phổ thông Thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn Đổi kiểm tra đánh giá, thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh vào trường Đại học Chọn đề tài nghiên cứu II PHẠM VI ĐỀ TÀI III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU V KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cơng thức tính tích phân Tính chất tích phân Phương pháp tính tích phân II ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP II.1 QUY TẮC 1: II.2 QUY TẮC 2: II.3 QUY TẮC 3: 10 II.4 QUY TẮC 4: 12 II.5 QUY TẮC 5: 14 III PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 15 III.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: 15 III.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 18 III.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3: 20 III.4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4: 23 III.5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: CÓ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, CÓ CẬN ĐỐI XỨNG 24 III.6 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG : 27 IV PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 28 V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 35 VI TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 39 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 45 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Sự đổi phương pháp dạy học trường trung học phổ thông Đổi phương pháp dạy học thực bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học, nghĩa từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng qua việc học Để đảm bảo điều đó, phải thực chuyển từ phương pháp dạy học theo lối "truyền thụ chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành lực phẩm chất Tăng cường việc học tập nhóm, đổi quan hệ giáo viên - học sinh theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển lực xã hội Bên cạnh việc học tập tri thức kỹ riêng lẻ môn học chuyên môn cần bổ sung chủ đề học tập tích hợp liên mơn nhằm phát triển lực giải vấn đề phức hợp Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thơng tin ), sở trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư Có thể chọn lựa cách linh hoạt phương pháp chung phương pháp đặc thù môn học để thực Tuy nhiên dù sử dụng phương pháp phải đảm bảo ngun tắc “Học sinh tự hồn thành nhiệm vụ nhận thức(tự chiếm lĩnh kiến thức) với tổ chức, hướng dẫn giáo viên” Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với hình thức tổ chức dạy học Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng điều kiện cụ thể mà có hình thức tổ chức thích hợp như: học cá nhân, học nhóm; học lớp, học ngồi lớp Cần chuẩn bị tốt phương pháp thực hành để đảm bảo yêu cầu rèn luyện kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng thú cho người học Cần sử dụng đủ hiệu thiết bị dạy học mơn học tối thiểu qui định Có thể sử dụng đồ dùng dạy học tự làm xét thấy cần thiết với nội dung học phù hợp với đối tượng học sinh Tích cực vận dụng cơng nghệ thông tin dạy học Thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn Tích phân hàm ẩn dạng tích phân mà hàm số bị ẩn Tức hàm số không cho dạng tường minh công thức Thông qua quan sát, nghiên cứu, thăm dò số ý kiến nhận thấy thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn giáo viên học sinh bên cạnh thuận lợi cịn khó khăn tồn như: - Học sinh có cảm giác “sợ” nên không tâm học rèn luyện mảng kiến thức - Học sinh đâu, thực hoạt động để giải toán Trong đề thi đánh giá lực, thi tốt nghiệp THPT học sinh thường gặp số câu tính tích phân hàm ẩn tốn có liên quan, mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn em vận dụng tốt phần tạo cho em có lực, linh hoạt việc tính tích phân nâng cao tư giải toán nhằm lấy điểm cao thi Trước áp dụng đề tài vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường THPT Nguyễn Duy Trinh (các lớp tơi trực tiếp giảng dạy) tốn tính tích phân hàm ẩn, thu kết sau: Giỏi Khá TB Yếu Kém Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 12A 45 11,1 15 33,3 25 55,6 0 0 12A1 45 2,2 10 22,2 30 66,7 8,9 0 12A6 44 0 11,4 30 18,2 2.2 Lớp 68,2 Như số lượng học sinh nắm bắt dạng khơng nhiều, có nhiều em chưa định hình lời giải chưa có nguồn kiến thức lực cần thiết Đổi kiểm tra đánh giá, thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh vào trường Đại học Hiện không kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng, học sinh cịn trải qua kỳ thi đáng giá lực để tuyển sinh vào trường Đại học Điều đòi hỏi học sinh phải thay đổi cách học, cách tiếp cận giải vấn đề cách chủ động, sáng tạo đáp ứng yêu cầu thời đại Chọn đề tài nghiên cứu Tích phân hàm ẩn chủ đề mới, thường xuất kỳ thi đánh giá lực, kỳ thi chọn học sinh giỏi, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, … Hiện tài liệu viết chủ đề tích phân hàm ẩn thể đầy đủ, phù hợp với đa số học sinh trung học phổ thông Từ tầm quan trọng, thực trạng, qua thực tế giảng dạy nghiên cứu tài liệu tơi chọn đề tài: “Góp phần hình thành phát triển lực Tốn học cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn” để nghiên cứu II PHẠM VI ĐỀ TÀI - Chương giải tích 12 III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khó khăn, thuận lợi mặt tư học trò tiếp cận chủ đề tích phân hàm ẩn Rèn luyện cho học sinh kỹ trình bày tốn theo hình thức tự luận cách để giải nhanh toán theo hình thức trắc nghiệm Phát triển tư suy luận, tư thuật tốn phát huy tính tích cực, sáng tạo giải tốn góp phần hình thành phát triển lực Toán học cho học sinh IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh lớp 12 - Học sinh ôn thi đánh giá lực, ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông trường THPT Nguyễn Duy Trinh - Giáo viên dạy môn toán bậc THPT V KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU TT Thời gian Từ 20 tháng 10 năm 2021 đến 10 tháng 12 năm 2021 Từ 11 tháng 12năm 2021 đến 01 tháng năm 2022 Từ 02 tháng năm 2022 đến 01 tháng năm 2022 Từ 02 tháng Năm 2022 đến 15 tháng năm 2022 Từ 16 tháng năm 2022 đến 15 tháng năm 2022 Nội dung công việc Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu Đọc tài liệu lí thuyết viết sở lý luận Trao đổi với đồng nghiệp đề xuất sáng kiến Dạy thử nghiệm lớp 12A, 12A1,12A6 Sản phẩm Bản đề cương chi tiết Tập hợp tài liệu lý thuyết Tập hợp ý kiến đóng góp đồng nghiệp Thống kê kết thử nghiệm Hoàn thiện đề tài Đề tài thức VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Trao đổi với đồng nghiệp, với học trò, dự thăm lớp để tìm hiểu thực trạng việc học tập chủ đề tích phân hàm ẩn - Tìm hiểu tài liệu tốn liên quan đến tích phân hàm ẩn, sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy học, tìm đề thi thử tốt nghiệp trung học phổ thông trường, Sở, đề thi đánh giá lực, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng Bộ để hình thành sở lý thuyết - Trao đổi với đồng nghiệp giải pháp thực đề tài - Trực tiếp dạy thực nghiệm lớp 12A, 12A1,12A6 B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cơng thức tính tích phân b f x dx  F x a b a  F b F a * Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu b  f x dx hay a b f t dt a Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f x g x liên tục K a b c ba số thuộc K Khi ta có : a  f x dx  a b a  f x dx   f x dx a b b c a a b  f x dx   f x dx   f x dx c b b b a a   f x  g x  dx   f x dx   g x dx a b b a a  kf x dx  k  f x dx Nếu f x  x  a b : b f a x dx  x   a b b b a a Nếu x   a b f x  g x   f x dx   g x dx b Nếu x  a b  Nếu M  f x  N M b  a   f x dx  N b  a a Phương pháp tính tích phân 3.1 Phương pháp đổi biến 3.1.1 Phương pháp đổi biến dạng *Định lí Nếu hàm số u  u x đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn  a b cho b u b a u a f x dx  g u x u x dx  g u du thì: I   f x dx   g u du *Phương pháp chung  Bước 1: Đặt u  u x  du  u x dx  Bước 2: Đổi cận : xb xa  uu b uu a  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u b b u b a a u a Vậy: I   f x dx   g u x  u x dx   g u du 3.1.2 Phương pháp đổi biến số dạng *Định lí Nếu 1) Hàm x  u t có đạo hàm liên tục  xác định  2) Hàm hợp f u t 3) u a u   b b Khi đó: I   f x dx   f u t u t dt a *Phương pháp chung  Bước 1: Đặt x  u t  Bước 2: Tính vi phân hai vế : Đổi cận: xb xa  x  u t  dx  u t dt t t  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t b Vậy: I   f x dx   f u t  u t dt   g t dt  G t G G a 3.2 Phương pháp tích phân phần *Định lí Nếu u x v x hàm số có đạo hàm liên tục  a b thì: b u x v a x dx  u x v x b a b   v x u x dx a b Hay b b  udv  uv a  vdu a a *Phương pháp chung  Bước 1: Viết f x dx dạng udv  uv dx cách chọn phần thích hợp f x làm u x phần lại dv  v x dx  Bước 2: Tính du  u dx v   dv   v x dx  Bước 3: Tính b  vu x dx uv a b a * Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tự ưu tiên: b x  P x e dx a b P x xdx a b b xdx  e x P x a xdx a Lốc-đa-mũ-lượng u P(x) x dv e xdx P(x)dx P(x) ex cosxdx cosxdx Chú ý: Nên chọn u phần f x mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv  v dx phần f x dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm II ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP II.1 QUY TẮC 1: - Nếu u  u x v  v x uv   uv  uv  - Nếu  f x g x   h x f x g x   h x dx Ví dụ Cho f x có đạo hàm  x    Biết f  f x   thỏa mãn f x  x  với , tính tích phân I   f x dx Hướng dẫn : Ta có f x  x f x   x  f x  x   x f x   dx  x   x f x  x  f x  f  x    x  f x  x  c , f    f x    c c  x Khi x I   f x dx   x   dx     dx  x  x x    x   Nhận xét: Nếu u x biểu thức cho trước ta có u x f x   u x f x  u x f  x Đặt v x  u x ta u x f x   v x f x  u x f  x (*) Như biểu thức có dạng v x f x  u x f  x ta biến đổi đưa dạng u x f x  Khi ta có tốn tổng qt sau: Cho A x B x ; g x biểu thức biết Tìm hàm số f x thỏa mãn A x f x  B x f  x  g x (**) Do vế trái có dạng (*) nên ta biến đổi (**)  u x f x   g x Trong u x chọn cho : u x  A x u x Ax u x Ax    dx   dx  ux Bx ux Bx u x  B x  u x  G x  c (với G x nguyên hàm Ax )  từ ta chọn Bx biểu thức u x Ví dụ Cho f x có đạo hàm  f x x f x  x với x    thỏa mãn f   Tính tích phân I   f x dx Nhận xét : trước hết ta tìm biểu thức u x Ta có  u x  x dx  nên ta chọn u x  x x c  ux  x c , ta có lời giải sau:  f x   x f x x f x   x  x  f x  xf  x   x   x  x Khi x f ux   f x  x   dx x f x  x  c , c c x x f x  I   f x dx   x f x   dx    Ví dụ Cho f x có đạo hàm  x    Biết f x     x  thỏa mãn x  f x  x f  x  e x với  e , tính tích phân I   x f x dx Nhận xét : trước hết ta tìm biểu thức u x Ta có   x dx  u x  x  x  c  u x  e x  x  c x u x  xe x  c nên ta chọn u x  xe x , ta có lời giải sau: u x    Ta có  xe x f x   xe x f x  xe x f  x  e x  xe x f x  xe x f  x  e x  x   f x  xf  x   xe x f x   e x  e x   xe x f x   e xdx x x  xe f x  e  c f ex  e  e e  e  c  c   xe f x  e  f x  x x x Khi I   x f x dx   e x dx  e x  e  e Bài tập tương tự Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục khoảng f  x  f  x  f x  x   thỏa mãn điều kiện Tính f Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục khoảng   thỏa mãn đẳng thức f x  x  f x  x  x x x  với x    Tính f II.2 QUY TẮC 2:  u  uv  uv u  u x v  v x - Nếu    với v  v v  f x  f x - Nếu    h x dx   h x g x  g x     u Hệ quả: Nếu u  u x    với u  u u     g x dx - Nếu    g x f x  f x   Ví dụ Cho hàm số f x  , liên tục đoạn  x f x  f x với x    x Hướng dẫn : Ta có x f  x    x  thỏa mãn f  Tính tích phân I   f x dx   f x  x f x        f x x  f x  x        dx      x  c , f f x f x x x  Nên ta có   f x   c x  x f x  x x  Khi I   f x dx   x  x dx   d  x  x  x    Ví dụ (ĐỀ THPT QG NĂM 2018-BGD ) Cho hàm số f x thỏa mãn f f  x  x  f x  x  A  Giá trị f   B  C  D  Hướng dẫn: Chọn B +)Ta có f  x  x  f x    f x    x    xdx   x f x  f x   f x  f x  x  C +) Lại có f   C    f x  x  f  thỏa mãn điều kiện f  x  Ví dụ Cho hàm số f x  f  Tính tổng S  f f Hướng dẫn: Ta có f  x   f x f x x Vậy f x   Do f x  x x x  x f f x f f  f x f x f x f  x x  x  x  C Vì f f   f x  f x x  C   f   Bài tập tương tự Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn  f x  xf  x  x x f x x    thỏa mãn f   Tính tích phân  xf x dx Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn   đồng thời thỏa mãn f  f f  x   f  x  x   Tính T  f Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục đoạn   f x  x f  x  xf A  x x   B  Giá trị  C Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn   thỏa mãn f f  D  x dx   thỏa mãn f  f x  f  x   f x  với x    Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f x , trục hoành hai đường thẳng x  x  II.3 QUY TẮC 3: - Nếu u  u x  u u  với u  u  - Nếu  f x   h x   f x   h x dx 10 Ví dụ Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn  f x , x   f x   f  Hướng dẫn: +) Từ giả thiết, ta có f x f x  f x    f x Tính tích phân  f x   f  thỏa mãn x dx f x   dx  f x  x C +) Lại có f   f x dx   x   C   f x  x dx  x  Ví dụ Cho hàm số f x liên tục, không âm R thỏa mãn f x f x  x f x   với x  R f  Tính I   f x dx Hướng dẫn: Ta có f x f x  x  f x    f x    xdx  f x  x   f f x f x f x   x f x   x  c Do f x   x  f  f x   x   c  nên ta có x x x  f x x x  (vì f x khơng âm R ) Khi I   f x dx   x x  dx   x x  dx   x  dx    x   x      Ví dụ Cho hàm số f x đồng biến, có đạo hàm đoạn  x  x f x   f  x  với x    Biết f Hướng dẫn: Do f x đồng biến đoạn  Ta có x  x f x   f  x   x f  x  x     f x   f  x  x    thoản mãn , tính I   f x dx   f  x  x   f x   f  x  , x    f x  f x  f x  x    f x   x 11  f  f x   xdx      x x  c Vì cc   f x   f x     f x  x x  x x  Khi I   f x dx    x  x     dx        f x   x  x  x   x   x  Bài tập tương tự Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn   f  x   với x   x f x  Cho hàm số y  f x  x f g x   t x Tính  g x  thỏa mãn: x Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm lên tục đoạn  f   Tính tích phân I   f x dx xác định, có đạo hàm đoạn  , g x  f  thỏa mãn f  thỏa mãn   f x  xf  x   f x x    Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f x , trục hoành hai đường thẳng Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục đoạn   , đồng biến đoạn  thỏa mãn đẳng thức x  x f x   f  x  , x    Biết f If x   , tính x II.4 QUY TẮC 4:  - Nếu u  u x eu  u e u - Nếu e f x   g x e f x   g x dx Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn  f x e f x x   x x   Hướng dẫn: +) f  x e  Tính f x x  f  thỏa mãn f  x dx  x f x e f x  xe x   e f x   xe x  12 e f x   xe x  dx  e +) Lại có f +) Do f x  ex f x  C  e f  C  ex Ví dụ Cho f x có đạo hàm f x e x f x e Thế x  Do e I x  x  ex x   x  x ex x x   xf   e x  f x f x  x  ex  e  f x x  f x  x  f x với x e  f x f  e  ex  f x  ex  x f x C x   x x   f x  x  x  x   x   x  x  Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục f x f x e ta e  e  C  C  vào f f f  thỏa mãn  , tính tích phân I  Hướng dẫn: Ta có  f  f x x    dx   x  x    x dx   x  x  Biết f  f x   e x x  thỏa mãn f  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f x , trục hoành hai đường thẳng Hướng dẫn: +) Ta có e f x  f x e f x f x +) Lại có f   ex  f  x  f  x e f x   ex   f x  e  f x    e x   x  ex  C  C   f x e t Xét hàm số g t  t  e với t  Suy f x  e f x f x  x  ex g t   et  t   x  e x  f x  x Do S   xdx  nên g t đồng biến x  13 II.5 QUY TẮC 5: u - Nếu u  u x nhận giá trị dương K  u  K u  - Nếu  f x   g x f x   g x dx   Ví dụ Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn  f f  x  x   f x  x   Hướng dẫn: +) Từ giải thiết, ta có   f x  f x  x  x   f x  f x Tính   thỏa mãn xf x dx  f x   x    f x    xdx    f x   x  C +) Lại có f   C     f x   x   f x  e x  f x  e x   +) Vậy  xf x dx   x e x  dx  e x x  e Ví dụ Cho hàm số f x nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục   thỏa x  x  Mệnh đề ?  f x  f  x mãn điều kiện f A  f  f B  Hướng dẫn: Chọn D +) Từ giải thiết, ta có f x  f  x  f x  +) Lại có f x dx   C   x  f x   f x  f C f x f x   x D    f x     x x C x   f e  Ví dụ Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn  điều kiện f f  thỏa mãn f  x  f x x    Tính thể tích khối trịn xoay cho x hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f x , trục hoành hai đường thẳng x x A quay quanh trục hoành B C D 14