(SKKN mới NHẤT) góp PHẦN HÌNH THÀNH và PHÁT TRIỂN NĂNG lực TOÁN học CHO học SINH THÔNG QUA dạy học CHỦ đề TÍCH PHÂN hàm ẩn

ĐỀ TÀI GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN MƠN: TỐN HỌC TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH _ ĐỀ TÀI GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN TÁC GIẢ: NGUYỄN ĐÌNH TÂM TỔ: TỐN - TIN SỐ ĐTDĐ: 0976.559.628 Tháng năm 2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 Sự đổi phƣơng pháp dạy học trƣờng trung học phổ thông Thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn Đổi kiểm tra đánh giá, thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh vào trƣờng Đại học Chọn đề tài nghiên cứu II PHẠM VI ĐỀ TÀI III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU IV ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU V KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU VI PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cơng thức tính tích phân Tính chất tích phân Phƣơng pháp tính tích phân II ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP II.1 QUY TẮC 1: II.2 QUY TẮC 2: II.3 QUY TẮC 3: 10 II.4 QUY TẮC 4: 12 II.5 QUY TẮC 5: 14 III PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 15 III.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: 15 III.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 18 III.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3: 20 III.4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4: 23 III.5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: CĨ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, CÓ CẬN ĐỐI XỨNG 24 III.6 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG : 27 IV PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 28 V PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 35 VI TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 39 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 45 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Sự đổi phƣơng pháp dạy học trƣờng trung học phổ thông Đổi phƣơng pháp dạy học thực bƣớc chuyển từ chƣơng trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực ngƣời học, nghĩa từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học đƣợc đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng đƣợc qua việc học Để đảm bảo đƣợc điều đó, phải thực chuyển từ phƣơng pháp dạy học theo lối "truyền thụ chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành lực phẩm chất Tăng cƣờng việc học tập nhóm, đổi quan hệ giáo viên - học sinh theo hƣớng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển lực xã hội Bên cạnh việc học tập tri thức kỹ riêng lẻ môn học chuyên môn cần bổ sung chủ đề học tập tích hợp liên mơn nhằm phát triển lực giải vấn đề phức hợp Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động ngƣời học, hình thành phát triển lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thơng tin ), sở trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tƣ Có thể chọn lựa cách linh hoạt phƣơng pháp chung phƣơng pháp đặc thù môn học để thực Tuy nhiên dù sử dụng phƣơng pháp phải đảm bảo đƣợc ngun tắc “Học sinh tự hồn thành nhiệm vụ nhận thức(tự chiếm lĩnh kiến thức) với tổ chức, hƣớng dẫn giáo viên” Việc sử dụng phƣơng pháp dạy học gắn chặt với hình thức tổ chức dạy học Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tƣợng điều kiện cụ thể mà có hình thức tổ chức thích hợp nhƣ: học cá nhân, học nhóm; học lớp, học lớp Cần chuẩn bị tốt phƣơng pháp thực hành để đảm bảo yêu cầu rèn luyện kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng thú cho ngƣời học Cần sử dụng đủ hiệu thiết bị dạy học môn học tối thiểu qui định Có thể sử dụng đồ dùng dạy học tự làm xét thấy cần thiết với nội dung học phù hợp với đối tƣợng học sinh Tích cực vận dụng cơng nghệ thơng tin dạy học Thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn Tích phân hàm ẩn dạng tích phân mà hàm số bị ẩn Tức hàm số không đƣợc cho dƣới dạng tƣờng minh công thức Thông qua quan sát, nghiên cứu, thăm dị số ý kiến tơi nhận thấy thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn giáo viên học sinh bên cạnh thuận lợi cịn khó khăn tồn nhƣ: - Học sinh có cảm giác “sợ” nên khơng tâm học rèn luyện mảng kiến thức TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com - Học sinh đâu, thực hoạt động để giải toán Trong đề thi đánh giá lực, thi tốt nghiệp THPT học sinh thƣờng gặp số câu tính tích phân hàm ẩn tốn có liên quan, mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hƣớng dẫn em vận dụng tốt phần tạo đƣợc cho em có lực, linh hoạt việc tính tích phân nâng cao tƣ giải toán nhằm lấy đƣợc điểm cao thi Trƣớc áp dụng đề tài vào dạy học, khảo sát chất lƣợng học tập học sinh trƣờng THPT Nguyễn Duy Trinh (các lớp trực tiếp giảng dạy) tốn tính tích phân hàm ẩn, thu đƣợc kết nhƣ sau: Giỏi Khá TB Yếu Kém Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 12A 45 11,1 15 33,3 25 55,6 0 0 12A1 45 2,2 10 22,2 30 66,7 8,9 0 12A6 44 0 11,4 30 18,2 2.2 Lớp 68,2 Nhƣ số lƣợng học sinh nắm bắt dạng khơng nhiều, có nhiều em chƣa định hình đƣợc lời giải chƣa có đƣợc nguồn kiến thức lực cần thiết Đổi kiểm tra đánh giá, thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh vào trƣờng Đại học Hiện không kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, học sinh trải qua kỳ thi đáng giá lực để đƣợc tuyển sinh vào trƣờng Đại học Điều đòi hỏi học sinh phải thay đổi cách học, cách tiếp cận giải vấn đề cách chủ động, sáng tạo đáp ứng yêu cầu thời đại Chọn đề tài nghiên cứu Tích phân hàm ẩn chủ đề mới, thƣờng xuất kỳ thi đánh giá lực, kỳ thi chọn học sinh giỏi, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng, … Hiện tài liệu viết chủ đề tích phân hàm ẩn thể đầy đủ, phù hợp với đa số học sinh trung học phổ thông Từ tầm quan trọng, thực trạng, qua thực tế giảng dạy nghiên cứu tài liệu chọn đề tài: “Góp phần hình thành phát triển lực Tốn học cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn” để nghiên cứu II PHẠM VI ĐỀ TÀI - Chƣơng giải tích 12 III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khó khăn, thuận lợi mặt tƣ học trò tiếp cận chủ đề tích phân hàm ẩn Rèn luyện cho học sinh kỹ trình bày tốn theo hình thức TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com tự luận cách để giải nhanh toán theo hình thức trắc nghiệm Phát triển tƣ suy luận, tƣ thuật tốn phát huy tính tích cực, sáng tạo giải tốn góp phần hình thành phát triển lực Toán học cho học sinh IV ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh lớp 12 - Học sinh ôn thi đánh giá lực, ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông trƣờng THPT Nguyễn Duy Trinh - Giáo viên dạy môn toán bậc THPT V KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU TT Thời gian Từ 20 tháng 10 năm 2021 đến 10 tháng 12 năm 2021 Từ 11 tháng 12năm 2021 đến 01 tháng năm 2022 Từ 02 tháng năm 2022 đến 01 tháng năm 2022 Từ 02 tháng Năm 2022 đến 15 tháng năm 2022 Từ 16 tháng năm 2022 đến 15 tháng năm 2022 Nội dung công việc Chọn đề tài, viết đề cƣơng nghiên cứu Đọc tài liệu lí thuyết viết sở lý luận Trao đổi với đồng nghiệp đề xuất sáng kiến Dạy thử nghiệm lớp 12A, 12A1,12A6 Sản phẩm Bản đề cƣơng chi tiết Tập hợp tài liệu lý thuyết Tập hợp ý kiến đóng góp đồng nghiệp Thống kê kết thử nghiệm Hoàn thiện đề tài Đề tài thức VI PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Trao đổi với đồng nghiệp, với học trò, dự thăm lớp để tìm hiểu thực trạng việc học tập chủ đề tích phân hàm ẩn - Tìm hiểu tài liệu tốn liên quan đến tích phân hàm ẩn, sáng kiến kinh nghiệm phƣơng pháp dạy học, tìm đề thi thử tốt nghiệp trung học phổ thông trƣờng, Sở, đề thi đánh giá lực, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng Bộ để hình thành sở lý thuyết - Trao đổi với đồng nghiệp giải pháp thực đề tài - Trực tiếp dạy thực nghiệm lớp 12A, 12A1,12A6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cơng thức tính tích phân b  b f ( x)dx  F( x) a  F( b)  F( a) a * Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu b b a a  f ( x)dx hay  f (t)dt Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f  x  g  x  liên tục K , a, b, c ba số thuộc K Khi ta có : a  f ( x)dx  a b a  f ( x)dx    f ( x)dx a b b c a a b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx c b b b a a   f ( x)  g( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx a b b a a  kf ( x)dx  k. f ( x)dx Nếu f ( x)  0, x  a; b : b  f ( x)dx  0x  a; b a b b a a Nếu x   a; b  : f ( x)  g( x)   f ( x)dx   g( x)dx b Nếu x   a; b Nếu M  f ( x)  N M  b  a    f ( x)dx  N  b  a  a Phƣơng pháp tính tích phân 3.1 Phương pháp đổi biến 3.1.1 Phương pháp đổi biến dạng *Định lí Nếu hàm số u  u( x) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn  a; b  cho TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com b u( b ) a u( a ) f ( x)dx  g  u( x)  u '( x)dx  g(u)du thì: I   f ( x)dx   g(u)du *Phƣơng pháp chung  Bước 1: Đặt u  u( x)  du  u' ( x)dx  Bước 2: Đổi cận : xb xa  u  u(b) u  u( a)  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u b b u( b ) a a u( a ) Vậy: I   f ( x)dx   g u( x) .u '( x)dx   g(u)du 3.1.2 Phương pháp đổi biến số dạng *Định lí Nếu 1) Hàm x  u(t ) có đạo hàm liên tục  ;   2) Hàm hợp f (u(t)) đƣợc xác định  ;   3) u( )  a, u(  )  b b  a  Khi đó: I   f ( x)dx   f (u(t ))u' (t )dt *Phƣơng pháp chung  Bước 1: Đặt x  u  t   Bước 2: Tính vi phân hai vế : Đổi cận: xb xa  x  u(t)  dx  u'(t)dt t t   Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t b   a    Vậy: I   f ( x)dx   f u(t ) u '(t )dt   g(t )dt  G(t )  G(  )  G( )  3.2 Phương pháp tích phân phần *Định lí Nếu u  x  v  x  hàm số có đạo hàm liên tục  a; b  thì: b b b ' u ( x ) v ( x ) dx  u ( x ) v ( x )   a   v( x)u' ( x)dx a a b Hay  udv  uv a b a b   vdu a TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com *Phƣơng pháp chung  Bước 1: Viết f  x  dx dƣới dạng udv  uv'dx cách chọn phần thích hợp f  x  làm u  x  phần lại dv  v '( x)dx  Bước 2: Tính du  u' dx v   dv   v '( x)dx  Bước 3: Tính b  vu '( x)dx uv a b a * Cách đặt u dv phƣơng pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tự ƣu tiên: b b b b  P( x)e dx  P( x)ln xdx  P( x)cos xdx  e u P(x) ln x P(x) ex dv e xdx P(x)dx cosxdx cosxdx x a a a x cos xdx a Lốc-đa-mũ-lượng Chú ý: Nên chọn u phần f  x  mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv  v'dx phần f  x  dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm II ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP II.1 QUY TẮC 1: - Nếu u  u  x  v  v  x   uv   uv  uv - Nếu  f  x  g  x    h  x  f  x  g  x    h  x  dx Ví dụ Cho f ( x) có đạo hàm 0;1 thỏa mãn f ( x)   x  1 f ( x)  với x  0;1 Biết f (5)  , tính tích phân I   f ( x)dx Hướng dẫn : Ta có  f ( x)   x  1 f ( x)    x  1 f ( x)   x  1 f ( x)    x  1 f ( x)     x  1 f ( x)   dx   x  1 f ( x)  x  c , f (5)    x  1 f ( x)  x   f ( x)  7    c  c  6 x2 Khi x1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  x2  I   f ( x)dx   dx     dx  x  ln x  x1 x   0 0 1     ln Nhận xét: Nếu u( x) biểu thức cho trước ta có u( x) f ( x)  u( x) f ( x)  u( x) f ( x) Đặt v( x)  u( x) ta u( x) f ( x)  v( x) f ( x)  u( x) f ( x) (*) Như biểu thức có dạng v( x) f ( x)  u( x) f ( x) ta biến đổi đưa dạng u( x) f ( x) Khi ta có tốn tổng qt sau: Cho A( x); B( x) ; g( x) biểu thức biết Tìm hàm số f ( x) thỏa mãn A( x) f ( x)  B( x) f ( x)  g( x) (**) Do vế trái có dạng (*) nên ta biến đổi (**)  u( x) f ( x)  g( x) Trong u( x) chọn cho : u( x)  A( x) u( x) A( x) u( x) A( x)    dx   dx  u( x) B( x) u( x) B( x) u( x)  B( x)  ln u( x)  G( x)  c (với G( x) nguyên hàm A( x) )  từ ta chọn đƣợc B( x) biểu thức u( x) Ví dụ Cho f ( x) có đạo hàm 0;1 thỏa mãn f (1)  2022 2022 f ( x)  x f ( x)  2x 2022 với x  0;1 Tính tích phân I   f ( x)dx Nhận xét : trước hết ta tìm biểu thức u( x) Ta có  ln u( x)   2022 dx  ln u( x)  2022ln x  c  ln u( x)  ln x 2022  c x nên ta chọn u( x)  x2022 , ta có lời giải sau:  x 2022 f ( x)  2022 x 2021 f ( x)  x 2022 f ( x)    2021  x  2022 f ( x)  xf ( x)   x 2021  x 2022   x 4043 Khi x2022 f ( x)   x 4043dx x 2022 f ( x)  f (1)  x4044  c , 2022 1   c 2022 2022 2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com I   3x f  x  dx  x f  x  1 1   x f   x  dx  f 1  f     x f   x  dx 0 1 0 Mà:  3x f  x  dx      x f   x  dx   x f   x  dx  1    x f   x  dx 0 1 0   x f   x  dx  7   x3 f   x  dx     f   x   dx , (theo giả thiết:   f   x   dx  )     x3 f   x  +  f   x   dx    f   x  7 x + f   x  dx  0  x3 + f   x    f   x   7 x3  f  x    x  C 7 Với f 1    14  C   C  4 7 Khi đó: f  x    x  Vậy: 4    x5  7   f  x  dx     x  dx   x  4 4 0 0 Phân tích: 1 0  x f ( x)dx   f  x d 1 x3 x3 x3  f ( x) |10   df ( x)    x f '( x)dx 3 30 Từ đây, quan sát giả thiết toán: Ta thấy xuất  f '( x) x3 f '( x) Nghĩ đến đẳng thức  f '( x)  ax3  , số a  ? tương ứng với toán? +   f '( x)  dx  +  2ax f '( x)dx  2a +   ax  a2 dx  a2 Do số a chọn tƣơng ứng   f '( x)  ax  dx   2a    a  Suy f '( x)  7 x  f ( x)  7 x4  4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 32 Nhận xét: Nếu trắc nghiệm cần sử dụng kỹ thuật đồng suy đáp số dễ dàng   f '( x) dx    7 x  f '( x)dx  Vì trắc nghiệm nên đồng hai biểu thức 7 x  4 dƣới dấu tích phân Suy f '( x )  7 x  f ( x )   Hƣớng tiếp cận khác theo đƣờng bất đẳng thức: 1 + Quan sát giả thiêt toán: f (1)  0,   f '( x ) dx   x f ( x )dx  + Ta nghĩ đến đánh giá bất đẳng thức: Thật sử dụng kiến thức dấu tam thức bậc hai Chúng ta có kết bất đẳng thức Cauchy – Schawz b b b b t  f  x dx  2t  f  x g  x  dx   g  x dx   t f  x   g  x  dx  0, t  a a a a Suy ra: BĐT Cauchy – Schawz b b b  2 f x g x dx  f x dx g  x  dx           a a a  Do ta có hƣớng giải toán trên: 1 1 x3 x3 x3   x f ( x )dx   f  x d  f ( x ) |10  df ( x )    x f '( x )dx 3 3 30 0  11 2  1 Ta suy ra:    x f '  x  dx    x dx   f '  x   dx    90 Tƣơng đƣơng f '  x   k.x    Ý tưởng sáng tạo: Tạo tích phân có dạng đẳng thức: a a   A  B  dx  Hoặc … Chọn a A, B, C thích hợp a a a 0   A  B  C dx  tương ứng ta có tốn    A  B  dx   A2 dx   A.Bdx   B dx Bài tập tƣơng tự Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  , 1   f   x  dx  36  x f  x  dx  0 2 Cho hàm số   x  1 Tính tích phân  f  x  dx f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f  x  dx   , f    , 2   f   x  dx  Tính I   f  x  dx TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 33 Cho hàm   f   x  dx  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f   =0 , 1   x  1 f  x  dx   Tính I   f  x dx 45 30 Đôi cần phải kết hợp hai phương pháp tích phân phần đổi biến số thỏa mãn f (0)  Ví dụ Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục Tích phân  xf ( x)dx f ( x)  f (2  x)  x2  x  2, x  A 4 B C D 10 Hướng dẫn: Chọn D Cách 2 Áp dụng công thức tích phân phần, ta có:  xf ( x)dx  xf ( x)   f ( x)dx Từ f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x  1 Thay x  vào 1 ta đƣợc f (0)  f (2)   f (2)   f (0)    1 x   t  2 Xét I   f ( x)dx Đặt x   t  dx  dt , đổi cận:  x   t  0 2 0 Khi I    f (2  t )dt   f (2  t )dt  I   f (2  x)dx 2 2 Do ta có   f ( x)  f (2  x)  dx    x  x   dx  2 f ( x)dx    f ( x)dx  3 0 0 2 Vậy  xf ( x)dx  xf ( x)   f ( x)dx  2.(1)    0 10 Cách  f ( x)  f (2  x)  x  x  1 Từ  f (0)   Thay x  0; x  vào 1 ta đƣợc f (2)  1; f (1)   c3  c3   1   Xét hàm số f ( x)  ax2  bx  c từ giả thiết ta có  a  b  c   a  2   4a  2b  c  1 b  3 2 10 Vậy f ( x)  x  3x   f ( x)  x  suy  xf ( x)dx   x  x  3 dx   0 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 34 - Đây tốn tích phân hàm ẩn dạng toán mà đề thi hay gặp - Trong tốn để tính tích phân  xf ( x)dx sử dụng tích phân phần đưa tính tích phân  f ( x)dx Mặt khác từ biểu thức hàm số cho chứa f ( x) f (2  x) , nên ta biến đổi tạo hai biểu thức cách đặt x   t - Để làm toán học sinh cần nắm vững hai phương pháp tính tích phân đổi biến phần Bài tập tƣơng tự: Cho hàm số f ( x) liên tục R thỏa mãn f ( x)  xf ( x2 )  x  với x  R Tính tích phân I   xf ( x)dx Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm f  x   f 1  x    x  x  , x  thỏa mãn Biết tích phân I   x f '  x dx   a a ( với b b phân số tối giản) Tính T  8a  3b   Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn  ;1 thỏa mãn f ( x)  f ( )  x với 3x 3  2 2  x   ;1 Tính tích phân  ln x f ( x)dx 3  V PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f   x   p  x  f  x   h  x  Phƣơng pháp: + Tìm P( x)   p( x)dx p x dx + Nhân hai vế với e  ta đƣợc p x dx p x dx p x dx f   x  e   p  x  e  f  x   h  x  e   f '( x)e P( x )  p( x).e P ( x ) f ( x)  q( x)e P ( x )   f  x  e   p x dx   h x e  p x dx    + Lấy tích phân hai vế ta đƣợc f ( x)e P( x )   q( x)e P( x )dx Từ suy f ( x) Hệ 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x  Phƣơng pháp:  + Nhân hai vế với e x ta đƣợc e x f   x   e x f x   e x h x   e x f x  e x h x  TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 35 + Suy e x f  x    e x h  x  dx + Từ ta dễ dàng tính đƣợc f  x  Hệ 2: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x  Phƣơng pháp:  + Nhân hai vế với e  x ta đƣợc e  x f   x   e  x f x   e  x h x   e  x f x  e  x h x + Suy e  x f  x    e  x h  x  dx  + Từ ta dễ dàng tính đƣợc f  x  Các dạng mở rộng  1)  f  x  e kx   e kx f   x   ke kx f  x   2)  f  x  e  kx   e  kx f   x   ke kx f  x   e  kx  f ( x)  kf ( x)   3)  f  x  e  kx   e  kx f ( x)  kf ( x)  k f ( x)    4)  f  x  e kx   e kx f ( x)  kf ( x)  k f ( x)   Ví dụ Cho hàm số f  x  liên tục; có đạo hàm đoạn 0;  thỏa mãn f  x   f   x   2, x  0;  , f    Tính  f  x  dx Hướng dẫn : Ta có: f  x   f   x   2, x  0;   e x f  x   e x f   x   2e x   e x f  x   2e x  e x f  x     2e x  dx  2e x  C Do f    nên C  Khi đó: e x f  x   2e x   f  x   2  Vậy   4 f  x  dx    2  x  dx  x  x e  e 0 ex 2 e Ví dụ Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm đoạn  1;1 f  x   f   x   x, x  1;1 , f    1 Tính  f  x  dx 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 36  x x x Hướng dẫn : Ta có: f  x   f   x   x  e f  x   e f   x   xe   e x f  x    xe x  e x f  x    xe xdx  xe x  e x  C x x x Do f    1 nên C  Khi đó: e f  x   xe  e  f  x   x  Vậy  f  x  dx  1   x  1 dx  2 1 Ví dụ Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm đoạn 0;1 f  x   f  x   3e x , x  0;1  , f    Tính ln  f  x  dx 2x x x 3x Hướng dẫn : Ta có: f  x   f   x   3e  e f  x   e f   x   3e    e x f  x    3e x  e x f  x    3e xdx  e x  C Do f    nên C  Khi đó: e x f  x   e x   f  x   e x  Vậy ln ln 0  f  x  dx    2x  2x  e  x  dx  e  x e  e  ex ln  3 Ví dụ Cho hàm số f  x  thỏa mãn f    f  x   f   x   x , x  Giá trị f  1 A 4  10 e B 10 C 2 D 2  10 e Hướng dẫn: +) Từ giả thiết, ta có  e x f  x   e x f   x   x3 e x  e x f  x   x 3e x  e x f  x    x 3e xdx  e x f  x   x3e x  3 x2 e xdx  x3e x  3x2 e x  6 xe xdx  x3e x  3x2e x   x  1 e x  C +) Lại có f     C  10  f  x   x3  3x2  x   Ví dụ Cho f  x  thỏa mãn f  1  10 10  f 1  2  x e e   '  x3 f  x   3x f  x   15x  12x e , x  e Tính I   f  x  dx A I   e B I  2e  C I   e D I  2e+1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 37 Hướng dẫn: Ta có  e f  x   e  f  x   3x f  x   e 15x ' 3x 3x ' 3x   12x e 3 x  15x4  12x   Do đó: e x f  x    (15x4  12x )dx  3x5  6x2  C  f  x   3x  6x  C e 3 x Vì f 1     C   f  x   3x5  6x2 e 3x e 1    Khi I   f  x  dx   3x5  6x2 e 3x dx   e 0 Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục thỏa mãn f     f    f  x   f   x   f   x   x3  2x2 , x  Tích phân  f  x  dx 107 21 107 12 B   12 e 21 e Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có: A C 107 21  12 e D 107 12  21 e  f  x   f   x   f   x   f   x   x  2x  f  x   f   x   f  x   f   x   x  2x      e x f  x   f   x   e x f  x   f   x   e x x  2x        e  x  2x   f  x   f   x    e  x  2x  dx  e  x  ex f  x  f  x  ex   x x  x     x  2x   C Mặt khác f    f     nên   2  C  C      e x f  x   f   x   e x x  x  2x    Do e x f  x   e x x  x  2x            e x f  x    e x x3  x2  2x    dx  e x x  4x  10x  12  4x  C   f     C  13  f  x    4x  13 e  x  x3  4x2  10x  12 1 0   f  x  dx    x  13  e  x  x  x  10 x  12 dx  107 21  12 e Bài tập tƣơng tự: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1 , f    f   x   f  x   e x  1, x  0;1 Tính I   f  x  dx Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục x  , f    1 Tính f   x thỏa mãn f   x   f  x   x e  , với TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 38 Cho hàm số f  x  có đạo hàm x  f 1  e Tính f   Cho hàm số f  x  có đạo hàm   thỏa mãn f   x   f  x   x  e x2  x 1 , thỏa mãn f 1  e  x  2 f  x   xf   x   x3 với x  Tính f   Trong hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f ( x)  xf ( x)  x ' 2018 Tìm giá trị nhỏ I   f ( x)dx Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f      xf  x   f   x   x x  với x  0;1 Tính tích phân  xf  x  dx VI TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM Trong phân phối chƣơng trình chủ đề: Tích phần hàm ẩn đƣợc thực lồng ghép q trình dạy học ơn thi cho học sinh lớp 12 Để kiểm tra tính thiết thực, hiệu đề tài tổ chức dạy thử nghiệm tiết tự chọn chủ đề tích phân chƣơng Giải tích 12 Tiết PPCT 61: Tự chọn: Chủ đề tích phân hàm ẩn Địa điểm: Lớp 12A- trƣờng THPT Nguyễn Duy Trinh (đây lớp có lực học khá) Thời gian: Tiết – Thứ ngày 8/2/2022 Ngƣời dự: Thầy Luyện, Thầy Nho, Thầy Bang, Cô Tuệ, Thầy Ngà, Thầy Sơn, Thầy Giang, Cô Hiền - Tổ Toán Tin - Trƣờng THPT Nguyễn Duy Trinh A Chuẩn kiến thức kĩ phát triển lực học sinh a Kiến thức Qua giảng học sinh cần nắm đƣợc: - Một số dạng toán liên quan đến tích phân hàm ẩn b Kỹ - Thành thạo kỹ tính tích phân, tích phân hàm ẩn c Tư duy, thái độ - Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia học, rèn luyện tƣ logic - Cẩn thận, xác tính tốn, vẽ hình TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 39 - Phát huy tính độc lập, sáng tạo học tập d Góp phần rèn luyện số yếu tố lực toán học - Năng lực phát biểu tái định nghĩa, kí hiệu - Năng lực tính tốn cẩn thận sử dụng kí hiệu - Năng lực phân tích tốn xác định định lí, tính chất áp dụng - Năng lực giải tốn B Chuẩn bị: - HS: Bài cũ, sách giáo khoa, thƣớc, bút, - GV: Giáo án, bảng phụ, máy tính, máy chiếu C Tiến trình dạy học Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số, vắng, chậm Hoạt động 1: Khởi động - GV cho HS nhắc lại quy tắc tính đạo hàm GV cho HS nhắc lại tính tích phân phƣơng pháp đổi biến số tích phân phần Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nhóm 1,2: - GV cho HS (học sinh) chuẩn bị uv  uv  u    ; 1) u.v  u.v   uv  ; 2) cũ nhà báo v2 v cáo sản phẩm  u  3)  u ; 4) nun1u  un u u   5)     u u   Ghi bảng - GV chiếu câu hỏi lên hình   Nhóm 3: PP đổi biến:  Bước 1: Đặt u  u( x)  du  u' ( x)dx  Bước 2: Đổi cận : - GV yêu cầu nhóm nhận xét lẫn nhau? xb xa  u  u(b) u  u( a)  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u Nhóm 4: PP tích phân phần:  Bước 1: Viết f  x  dx dƣới dạng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 40 udv  uv'dx cách chọn phần thích hợp f  x  làm u  x  phần lại dv  v '( x)dx  Bước 2: Tính du  u' dx   v '( x)dx  Bước 3: Tính v   dv b b  vu '( x)dx uv a a Dưới dấu tích phân ngồi hàm số tường minh cho trước cịn có hàm số dấu tích phân bị ẩn địi hỏi học sinh cần phải tìm, cần sử dụng linh hoạt kiến thức tích phân để tính Hoạt động 2: Hình thành kiến thức Bài (Nhóm 1) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;  thỏa mãn   f  1   f  x   xf   x   2x3  x2 f  x  , x  1;  Tính tích phân Bài (Nhóm 2) Cho hàm số y  f  x  liên tục 3 1  xf  x dx thỏa mãn f   x   f  x  Biết  xf  x  dx  Tính I   f  x  dx Bài (Nhóm 3) Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f '  x  dx  10 f 1  f    Tính I   f  x  dx Bài (Nhóm 4) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , f    f   x   f  x   e x  1, x  0;1 Tính I   f  x  dx Hoạt động giáo Hoạt động học sinh viên - GV chia lớp thành Sản phẩm nhóm 1: nhóm, nhóm cử nhóm trƣởng, thƣ ký - GV cho nhóm thảo luận, trình bày vào bảng phụ thời gian phút - Các nhóm báo cáo sản phẩm - GV cho nhóm nhận xét, bổ sung lẫn Ghi bảng - GV chiếu nội dung tập lên hình TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 41 - GV chốt kiến thức, nhận xét, cho điểm nhóm Sản phẩm nhóm 2: Sản phẩm nhóm 3: Sản phẩm nhóm 4: Hoạt động 3: Luyện tập, củng cố, mở rộng (Phiếu học tập) Câu 1: Cho hàm số f  x  liên tục   thỏa mãn f x3  x  x2  Tính I   f  x  dx A I   B I  15 16 C I   D I   TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 15 16 42 Câu 2: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn x  f  x   f  x    Tính I   xf   x  dx 1 A I  B I  51 C I  D I  Câu 3: Cho hàm số y  f  x  liên tục nhận giá trị dƣơng 0;1 biết f  x  f 1  x   với x  0;1 Tính giá trị I   dx  f  x A B C D 2 Câu 4: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)   ; f '( x)  x  f ( x)  , x  Giá trị f (1) A 35 36 B 2 C 19 36 D 2 Câu 5: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn 0;  thỏa mãn f  x   f   x   2x Tính  f  x  dx A 4 B C D Câu 6: Xét hàm số f  x  liên tục đoạn  1,2  thỏa mãn   f  x   2xf x2   f 1  x   4x Tính tích phân I   f  x  dx 1 C I  D I  15 Sau thử nghiệm dạy nội dung qua việc lồng ghép dạy lớp, dạy tự chọn, bồi dƣỡng thấy học sinh hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lƣợng học toán đƣợc nâng lên rõ rệt A I  B I  Sau áp dụng đề tài khảo sát lại học sinh thu đƣợc kết nhƣ sau: Giỏi Khá TB Sĩ số SL % SL % SL 12A 45 30 68,2 15 31,8 12A1 45 20 44,4 20 44,4 12A6 44 11,4 10 22,7 Lớp Yếu % Kém SL % SL % 0 0 11,2 0 0 25 56,8 9.1 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 43 Nhƣ qua kết trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu nhận thấy chất lƣợng học tập mơn tốn học sinh đƣợc nâng lên rõ rệt, số lƣợng học sinh giỏi tăng lên nhiều Với đề tài đƣa trƣớc tổ môn để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo đƣợc hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất biến đổi việc tính tích phân hàm ẩn, nhƣ tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 44 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ * Kết luận Dạy tốn trƣờng THPT q trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đƣờng ngắn nhất, kinh nghiệm hay để đạt đƣợc mục tiêu giảng dạy đào tạo, bồi dƣỡng nhân tài, chủ nhân tƣơng lai đất nƣớc Việc tính tích phân ứng dụng dạng tốn khơng thể thiếu đƣợc chƣơng trình tốn phổ thơng nhƣ kì thi đánh giá lực, kỳ thi tốt nghiệp THPT Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chƣa đủ, địi hỏi ngƣời giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo, thƣờng xun bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Sau trình nghiên cứu nghiêm túc, tìm tịi vận dụng thực tế vào lớp tơi trực tiếp giảng dạy, đề tài “Góp phần hình thành phát triển lực Tốn học cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn” giúp học sinh có đƣợc hệ thống kiến thức, linh hoạt việc định hƣớng biến đổi có kinh nghiệm việc tính tích phân nói chung tích phân hàm ẩn nói riêng góp phần hình thành phát triển lực tốn học cho học sinh Đề tài mở rộng sang ứng dụng tích phân, liên quan đến kiến thức liên mơn Tốn học, Vật lý,… Cuối dù cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dƣỡng học hỏi đồng nghiệp song tránh khỏi thiếu sót Rất mong đƣợc góp ý , bổ sung đồng nghiệp để đề tài đƣợc hoàn thiện * Kiến nghị + Đối với tổ chun mơn : Cần có nhiều buổi họp thảo luận nội dung phƣơng pháp tính tích phân Khuyến khích học sinh xây dựng tập tốn liên quan đến dạng tập toán giảng + Đối với trường : Cần bố trí tiết thảo luận để thơng qua học sinh bổ trợ kiến thức.Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phƣơng pháp quy trình giải tốn + Đối với sở giáo dục: Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau năm sở tập hợp sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội để gửi trƣờng làm sách tham khảo cho học sinh giáo viên TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 45 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ GD&ĐT Đề thi TNTHPT BGD qua năm [2] Internet Đề thi thử TNTHPT mơn Tốn trƣờng THPT [3] Internet Đề thi đánh giá lực trƣờng Đại học [4] Trần Văn Hạo Giải tích 12 (SGK) [5] Nguyễn Bá Kim Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn [6] Bộ GD&ĐT Tài liệu Bồi dƣỡng thƣờng xuyên giáo viên THPT [7] Bộ GD&ĐT Tăng cƣờng lực dạy học giáo viên [8] Bộ GD&ĐT Tăng cƣờng lực nghiên cứu khoa học giáo viên [9] Internet Một số tài liệu liên quan đến tích phân [10] Internet Một số SKKN mơn Tốn bậc THPT TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 46 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH _ ĐỀ TÀI GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN TÁC... với đối tƣợng học sinh Tích cực vận dụng công nghệ thông tin dạy học Thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn Tích phân hàm ẩn dạng tích phân mà hàm số bị ẩn Tức hàm số không đƣợc cho dƣới dạng... tài liệu tơi chọn đề tài: ? ?Góp phần hình thành phát triển lực Toán học cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn? ?? để nghiên cứu II PHẠM VI ĐỀ TÀI - Chƣơng giải tích 12 III MỤC ĐÍCH