tích phân hàm ẩn

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TỐN CÙNG THẦY HÀO KIỆT VIII PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT:  Phương trình vi phân ngơn ngữ xuất tốn cao cấp chương trình đại học Tuy nhiên, có xuất chương trình phổ thông với kiến thức phạm vi đơn giản khơng có khó khăn kiến thức Chúng ta vận dụng tảng kỹ xử lí đay để làm tập dạng  Phương trình vi phân phương trình có chứa đạo hàm cấp  y  f   x  , đạo hàm cấp  y  f   x  , …, đạo hàm cấp cao nữa; hàm số mà ta cần tìm  y  f  x Ví dụ: Cho số phương trình vi phân đây:  Phương trình vi phân cấp 1: x2 y  xy   x2 f  x   x f   x    Phương trình vi phân cấp 2: xy  yy   xf   x   f  x  f   x   8.1 Phƣơng trình vi phân dạng phân li biến số: y.U  y   V  x  dx  Phƣơng pháp giải bản: Từ phương trình phân li ta nhân hai vế với vi phân biến dx  Suy ra: y.U  y   V  x  dx  U  y  y.dx  V  x  dx  Nguyên hàm hai vế, ta được:  U  y  y.dx   V  x  dx  G  y   F  x   C  Đến đây, dựa vào điều kiện ban đầu ta xác định hàng số C Ví dụ 8.1.1 Cho hàm số y  f  x  thoả mãn phương trình: y  x  Hãy xác định hàm số y  f  x  biết f    ? Tính giá trị f   ?  Lời giải Phương trình vi dạng phân li (một bên hàm y đạo hàm y bên biến x )  y  x   ydx   x  3 dx  Ta tiến hành nguyên hàm hai vế:  Dựa điều kiện ban đầu, ta có: f  0  02  3.0  C   C   Vậy ta tìm f  x   x  3x   Suy giá trị hàm số x  là: f  2  22  3.2    ydx    x  3 dx  y  x  3x  C  f  x  Ví dụ 8.1.2 Cho hàm số y  f  x  thoả mãn phương trình: y  y  Hãy xác định hàm số y  f  x  biết f    ? Lời giải  Cách 1: Từ giả thiết suy ra: f   x   f  x    f  x f   x  dx 1  dx f  x 1 f  x  1  Nguyên hàm hai vế, ta được: f   x  dx   dx  ln f  x    x  C  f  x 1  Điều kiện ban đầu, cho ta:  Suy ra:  Suy ra: 1 ln f      C  ln 2.5   C  C  ln 2 1 1 f  x  1 ln f  x    x  ln  ln f  x    ln  x  x  ln 2 2 f  x  1 9e2 x   e  f  x  2x ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TỐN “ ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN DỤNG CAO Trang ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT  Cách 2: Vẫn làm cách viết lại theo kiểu khác vi phân dy dy dy  Ta có: y  y     dx     dx  ln y   x  C dx y 1 y 1  Dựa vào điều kiện ban đầu, cho ta: 1 ln f      C  ln 2.5   C  C  ln 2 1 9e2 x   Suy ra: ln y   x  ln  y  2 Ví dụ 8.1.3 Cho hàm số y  f  x  thoả mãn phương trình: f   x   f  x   3x  x  Biết f    Hỏi giá trị f 1 bao nhiêu? Lời giải  Từ giả thiết ta tiến hành phân li nguyên hàm hai vế sau: f  x f  x f  x  3x  x  dx   3x  x  dx   dx    3x  x  dx  ln f  x   x  x  C  f  x f  x f  x Dựa vào điều kiện ban đầu, suy ra: ln f    03  2.03  C  C  ln   Suy hàm số: ln f  x   x3  x  f  x   e x 2 x e Ví dụ 8.1.4 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục khoảng  0;   thoả mãn phương trình:  Suy ra: f 1  e1  2.1  f  x    f   x  x Biết f 1  Hỏi giá trị f   bao nhiêu?  Từ giả thiết suy Lời giải f  x f   x  dx f   x  dx  x2   x 2dx     x 2dx f  x 1 f  x 1 f  x 1  Suy ra: f  x      C x  Dựa vào điều kiện ban đầu: f 1       C  C  1  5x 1   Suy ra: f  x       f  x     1 x  2x  65  5.2    Suy ra: f      1  16  2.2  Ví dụ 8.1.5 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm xác định f   x   với x   0;   Thoả mãn điều kiện:  f   x   x  f  x   5 Biết f 1  Hãy xác định biểu thức hàm số?  Lời giải Vì ta có: f   x   0; x  với x   0;    Từ giả thiết ta suy ra: f   x   x f  x     Suy ra: Trang f  x    x2  C f  x f  x   2x   f   x  dx f  x    xdx ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TỐN CÙNG THẦY HÀO KIỆT  Dựa vào điều kiện ban đầu: f 1   1 f 1   12  C  C  2 x  1   1 f  x   x   f  x   Suy ra: 2 Ví dụ 8.1.6 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục toàn Biết f   x   f  x   f    Hãy xác định hàm số y  f  x  tính giá trị f 1 ? Ví dụ 8.1.7 Cho hàm số y  f  x xác định liên tục toàn thoả mãn: f   x  f  x   3x  x  Có f    Hãy xác định hàm số y  f  x  tính giá trị f   ? Ví dụ 8.1.8 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục toàn  thoả mãn: f  x   f   x  x3 Biết f 1  Hãy xác định hàm số y  f  x  tính giá trị f   ? Ví dụ 8.1.9 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục toàn  thoả mãn phương trình y  yx f 1  Hãy xác định hàm số y  f  x  tính giá trị f   ?   Ví dụ 8.1.10 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục toàn   ;   thoả mãn:   y  y x  Biết f    e Hãy xác định hàm số y  f  x  tính giá trị f   ?   Ví dụ 8.1.11 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục toàn   ;   thoả mãn:   y  y x  Biết f    Hãy xác định hàm số y  f  x  tính giá trị f 1 ? Ví dụ 8.1.10 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm nhận giá trị dương  f   x   thoả mãn: x3 , f 1  Hãy xác định giá trị f   ? f  x  8.1 Phƣơng trình vi phân dạng: e kx u   ekx  u  ku  evu   ev  u  vu        Ta có: ekxu  ekx  u  ku    ekx  u  ku  dx  ekxu  C     Đặc biệt: e xu  e x  u  u    e x  u  u  dx  e xu  C     Tổng quát: evu  ev  u  vu    ev  u  vu  dx  evu  C   Ví dụ 8.2.1 Tìm hàm số y  f  x  thoả mãn điều kiện: f   x   f  x   x , biết f    ? Lời giải  Từ giả thiết suy ra: e 2 x  f   x   f  x   e 2 x x  Nguyên hàm hai vế áp dụng cơng thức, ta có: 3    e 2 x  f   x   f  x   dx   e 2 x xdx  e 2 x f  x   e 2 x  3 x    C 2  3   Từ giả thiết ban đầu, suy ra: e 2.0 f    e 2.0  3.0    C   C  2  ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN “ ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN DỤNG CAO Trang ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT 3   e 2 x f  x   e 2 x  3 x     f  x   2.e x  x  2  Ví dụ 8.2.2 Tìm hàm số y  f  x  thoả mãn điều kiện: f   x   f  x   xe3 x , biết f    ? Lời giải  Giả thiết  e 3 x  f   x   f  x    x   e  f   x   f  x   dx   xdx 3 x    Suy ra: e 3 x f  x   x  C  e 3.0 f    02  C  C   e 3 x f  x   x   f  x   e3 x x  Ví dụ 8.2.3 Tìm hàm số y  f  x  thoả mãn điều kiện sau:   f   x   f  x   sin x  cos x , f    2 f   x   f  x   3x 2e x , f    f   x   f  x   2x , f  0  f   x   f  x   xe2 x , f  0  f   x   f  x   e x sin x , f  0  thoả mãn: f   x   f  x   e2 x  sin x  1 Hãy Ví dụ 8.2.4 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm xác định hàm số y  f  x  f    ? thoả mãn: f   x   f  x   e2 x  x  cos x  Ví dụ 8.2.5 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm Hãy xác định hàm số y  f  x  f    1? Ví dụ 8.2.6 Cho hàm y  f  x số có đạo hàm thoả mãn: f   x   2019 f  x   e2019 x  x  2cos x  Hãy xác định hàm số y  f  x f  0   ? Ví dụ 8.2.7 Tìm hàm số y  f  x  thoả mãn điều kiện: f   x   xf  x   x , biết f    ? Lời giải  Đối chiếu với công thức:  ev f  x    ev  f   x   vf  x     ev  f   x   vf  x   dx  e v f  x   C  Nhận thấy: v  x  v  x Từ giả thiết nhân vế với e x ta được: ex  f   x   xf  x    e x2 x   ex  f   x   xf  x   dx   e  Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có: e0 f    x2 xdx  e x f  x   x2 e C 02 e C C  x2 e  f  x   (đây hàng hằng) 2 Ví dụ 8.2.8 Tìm hàm số y  f  x  thoả mãn điều kiện:  x  1 f   x   f  x   x x  , biết f    ?  Vậy suy ra: e x f  x   Lời giải  Đối chiếu với công thức:  ev f  x    ev  f   x   vf  x     ev  f   x   vf  x   dx  e v f  x   C  Ta biến đổi: f   x    Nhận thấy: v  Trang f  x  2x 1 x 2x 1  * ln x 1 1 v  v  ln x   e  e  x  Ta nhân vế * với ev : 2x 1 ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT 1     2x 1  f  x  f  x    x   2x   f   x   f  x   dx   xdx 2x 1 2x 1       x2 C x x  x  f  x  dx   C  x  f  x    C  f  x   2 2x 1  2 02 C x2  Dựa vào điều kiện ban đầu : f      C   f  x  2.0  2x 1 Ví dụ 8.2.9 Xác định hàm số y  f  x  biết thoả mãn điều kiện sau: f   x   3x f  x   x f    1? f   x   xf  x   x3 f    ? xf   x   f  x   f 1  ? x x f   x    cos x  f  x   sin x f    ? Ví dụ 8.2.10 Tìm hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai xác định Biết thoả mãn điều kiện: 1 , f 1   e ? 2 Lời giải  Bổ đề: ta có  ekxu   ekx  u  ku  ;  ekxu   ekx  u  2ku  k  f   x   f   x   f  x   , đồng thời f     Suy ra:  ekxu  C1 x  C2   ekx  u  2ku   k 2u   Áp dụng:  e kx u  C1 x  C2   e kx  u   2ku   k 2u   g  x   e kxu     g  x  dx  dx  C x  C  Với tốn ta có: f   x   f   x   f  x    e2 x  f   x   f   x   f  x    2e2 x  e  f   x   f   x   f  x   dx   2e dx  C   e  f   x   f  x   dx     e  C  d x 2 x  Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:  e 2 x  f   x   f  x    e 2 x  e 2 x f  x   2 x 2 x 2 x 1 2 x e  C1 x  C2  f  x    e x  C1 x  C2  2 1   f     C1  C1    Dựa vào điều kiện ban đầu:  C2   f 1   e  C  C    2e 2  2  Suy ra: f  x    xe x Ví dụ 8.2.11 Tìm hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai xác định thoả mãn điều kiện: f   x   f   x   f  x   f  0  1, f 1  ? Ví dụ 8.2.12 Tìm hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai xác định thoả mãn điều kiện: f   x   f   x   f  x   e2 x f  0  1, f 1  ? 8.3 Cơng thức đạo hàm tích: ( xf ( x))'  xf '( x) (u f ( x))'  u f '( x)  u' f ( x) ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN “ ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN DỤNG CAO Trang ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT Ví dụ 8.3.1 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định thỏa mãn: xf '( x)  f ( x)  2x  f (0)  Hãy xác định giá trị f (1)  ? Lời giải Ta có: ( xf ( x))'  xf '( x)  f ( x) Ta có: ( xf ( x))'  xf '( x)  f ( x) ( x f '( x)  f ( x))dx   (2x  1)dx Nguyên hàm hai vế biểu thức giả thiết ta được:   x f ( x)  x2  x  C Cho x   f (0)  02   C  Suy hàm số: x f ( x)  x2  x  f ( x)  x  Suy ra: f (1)    Ví dụ 8.3.2 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định thỏa mãn: xf '( x)  f ( x)  3x  f (0)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Lời giải Với x   f (0)   f (0)  1( TM) Với x   xf '( x)  f ( x)  3x   x f '( x)  2xf ( x)  3x  2x  ( x f ( x))'  3x  x x2 f ( x)  x3  x2  C Cho x   C  Suy ra: x2 f ( x)  x3  x2  f ( x)  x  Ví dụ 8.3.3 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định \ 0 thỏa mãn điều kiện: tan f '( x)  (1 tan2 x) f ( x)  2x  f (0)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Lời giải Lưu ý: (tan x)'   (1  tan2 x)  (tan x f ( x))'  tan x f '( x)  (1  tan2 x) f ( x) cos2 x Từ giả thiết, suy : (tan x f ( x))'  tan x f '( x)  (1 tan2 x) f ( x)  2x  \  tan x f ( x)  x2  x  C Cho x  vào hai vế ta được: tan0 f ( x)  C  x2  x tan x Ví dụ 8.3.4 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định Suy ra: tan x f ( x)  x2  x  f ( x)  \ 0 thỏa mãn điều kiện: f ''( x) f ( x)  ( f '( x))2  6x  f (0)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Lời giải Ta có: (u.u ')  u ''.u  (u ')  ( f ( x) f '( x))'  f ''( x) f ( x)  ( f '( x))2 Từ giả thiết, suy : ( f ( x) f '( x))'  6x   f ( x) f '( x)  3x2  2x  a Thay f (0)  1, f '(0)  vào điều kiện ban đầu, ta được: f (0) f '(0)  a   f ( x) f '( x)  3x2  2x   f ( x) f '( x)dx   (3x2  2x)dx ( f ( x))2   x3  x2  b ( f (0))2 ( f ( x))2  b   x3  x2   f ( x)  2x3  2x2  2 2 k k k1 Ghi nhớ: Ta có cơng thức đạo hàm: (u u ')'  u ''.u  k.u (u ')2  uk1(k.(u ')2  u ''.u) Thay điều kiện x   Ví dụ 8.3.5 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định \ 0 thỏa mãn điều kiện: f ''( x) f ( x)  4( f '( x))2  f '( x) f (0)  1, f '(0)  , f ( x)  với x Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Trang ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TỐN CÙNG THẦY HÀO KIỆT Lời giải Ta có cơng thức đạo hàm: (u u ')'  u ''.u  k.uk1.(u ')2  uk1(k.(u ')2  u ''.u) k k Từ giả thiết, suy ra: ( f ( x))3 ( f ''( x) f ( x)  4( f '( x))2 )  ( f ( x))3 f '( x)  ( f ''( x).( f ( x))4  4( f '( x))2.( f ( x))3 )  ( f ( x))3 f '( x) Nguyên hàm hai vế ta được: ( f ( x))4 f '( x)  ( f ( x))4  C Thay điều kiện ban đầu vào ta được: ( f (0))4 (1)4  C  (1)4  CC0 4 ( f ( x))4 1  f '( x)   f ( x)  x  C Suy : ( f ( x))4 f '( x)  4 Thay x   f (0)  C   f ( x)  x  Ví dụ 8.3.6 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định \ 1 thỏa mãn điều kiện: ( f (0))4 f '(0)  f ( x).ln f ( x)  xf '( x)  f '( x) f (0)  e Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Lời giải Ta có: f ( x).ln f ( x)  xf '( x)  f '( x)  ln f ( x)  x Nguyên hàm hai vế ta được: x ln f ( x)   f '( x) f '( x) f '( x)    x.ln f ( x)  '  f ( x) f ( x) f ( x) f '( x) dx  ln f ( x)  C f ( x) Thay điều kiện vào ta được: 0.ln f (0)  ln f (0)  C   ln e C  C  1 1 x 1  f ( x)  e Suy : x ln f ( x)  ln f ( x)   ln f ( x)   x 1 x f '( x) Ghi nhớ: Ta có cơng thức :  x.ln f ( x)  '  ln f ( x)  f ( x) Ví dụ 8.3.7 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định thỏa mãn: xf '( x)  f ( x)  f (0)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Ví dụ 8.3.8 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định \ 0 thỏa mãn điều kiện: cot x f '( x)  (1 cot x) f ( x)  3x2  ex Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Ví dụ 8.3.9 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định f ''( x) f ( x)  3( f '( x))2  6x  f ( x)  2 \ 0 thỏa mãn điều kiện: f (0)  1, f '(0)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Ví dụ 8.3.10 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định \ 1 thỏa mãn điều kiện: f ( x).ln f ( x)  xf '( x)  2xf ( x) f (0)  e Hãy xác định hàm số y  f ( x)? f ''( x) f ( x)   f '( x)   f '( x)   f ( x)  x f '( x)  f ( x) ' 8.4 Công thức đạo hàm thƣơng:   '   x f ( x)  x   f ( x)  Ví dụ 8.4.1 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định thỏa mãn: xf '( x)  f ( x)  x3 , f (1)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Lời giải ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TỐN “ ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN DỤNG CAO Trang ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT Nhận thấy lờ việc xét điều kiện x  Từ giả thiết, ta có biến đổi: x f '( x)  f ( x)  x3  x f '( x)  f ( x) f ( x) x2  f ( x)   x  '  x   xdx  C  x   x2 x   x3 23 Suy : f ( x)   Cx Dựa vào điều kiện ban đầu f (2)   f (2)   C.2  C   2 x3  x Ví dụ 8.4.2 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định  0;  thỏa mãn: xf '( x)  f ( x)  x2 , Suy : f ( x)  f (1)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Lời giải Giả thiết suy ra: x2 f '( x)  2xf ( x)  x3  x2 f '( x)  2xf ( x)  f ( x)     ' x4 x  x  f ( x) dx   ln x  C  f ( x)  x2 ln x  Cx2 x x Nguyên hàm hai vế ta được: Dựa vào điều kiện ban đầu: f (1)  12 ln x  C.1   C  Suy hàm số: f ( x)  x2 ln x  2x2 k k 1  f ( x)  x f '( x)  k.x f ( x) x f '( x)  k f ( x) Ghi nhớ: Ta có cơng thức :  k  '   x2 k xk1  x  Ví dụ 8.4.3 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định  0;  thỏa mãn: f ''( x) f ( x)   f '( x)  3 f ( x)  , f (0)  f '(0)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? 2 Lời giải f ''( x) f ( x)   f '( x) Giả thiết suy ra:  f ( x)  f '( x)   3   '  f ( x)  Nguyên hàm hai vế ta được: f '( x)  3x  C f ( x) Dựa vào điều kiện ban đầu: f '(0)  3.0  C   C  f (0) f '( x) f '( x)dx 3x2 Suy :  3x       3x  1dx  ln f ( x)    x  C1 f ( x) f ( x) 2 3x  3x2  x  f ( x)  e Dựa vào điều kiện ban đầu: ln f (0)  C1   ln f ( x)   Ghi nhớ: Ta có cơng thức :  f '( x)   f ( x)  f ''( x)  k  f ( x)   ( f ( x))k  '  2k    f ( x)  k k 1  f '( x) Ví dụ 8.4.4 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định x f ( x) f ''( x)  k  f '( x)    f ( x)  k 1 thỏa mãn điều kiện: xf '( x)  f ( x)  x , f (1)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Ví dụ 8.4.5 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định thỏa mãn điều kiện: xf '( x)  f ( x)  x , f (1)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Ví dụ 8.4.6 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định xf '( x)  2020 f ( x) 1 , f (1)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Trang thỏa mãn điều kiện: ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT Ví dụ 8.4.7 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định thỏa mãn điều kiện:  tan x f '( x)  (1  tan2 x) f ( x)  6tan2 x, f ( )  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Ví dụ 8.4.8 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định thỏa mãn điều kiện: f ( x) f ''( x)  2 f '( x)  6 f ( x) , f (0)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Ví dụ 8.4.9 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định f ( x) f ''( x)  2019 f '( x)  2 f ( x) 2020 thỏa mãn điều kiện: , f (0)  Hãy xác định hàm số y  f ( x)?   f (x)  xf (x)  f (x) 8.5 Một số dạng phƣơng trình vi phân khơng mẫu mực    x2  x  y  f ( x ) có đạo hàm xác định Ví dụ 8.5.1 Cho hàm số  0;   thỏa mãn: xf ( x) - f ( x) f ( x)  - 2, f (1)  Hãy xác định hàm số y  f ( x ) ? x2 x Lời giải f ( x) xf '( x)  f ( x)  u  Đặt u  Khi giả thiết ban đầu trở thành: x x2 u u dx u  u   1   dx  ln u   x  C Dựa vào điều kiện ban đầu: u2 u2  f (1)  u (1)   ln    C   C  1 f ( x)  f ( x)  x  xe x 1 Suy ra: ln u   x   u   e x 1  x y  f ( x ) có đạo hàm xác định  0;   thỏa mãn: Ví dụ 8.5.2 Cho hàm số xf ( x) - f ( x)   f ( x)  , f (1)  Hãy xác định hàm số y  f ( x ) ? Lời giải  f ( x) xf ( x )  f ( x )  u  Đặt u  Khi giả thiết ban đầu trở thành: x x2 xf ( x) - f ( x)  f ( x)  u   u   u   Nguyên hàm hai vế, ta được:  x u  x  x   xC   Thay x  vào, suy ra: u f ( x) 1 C   1 3 x 2x   C    x    f ( x)   f (1) 2 f ( x) 2x   0;   thỏa mãn: ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN “ ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN DỤNG CAO Trang Ví dụ 8.5.3 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm xác định xf ( x) - f ( x)   f ( x )  -x , f (1)  Hãy xác định hàm số y  f ( x ) ? Lời giải Đặt u  f ( x) xf ( x )  f ( x )  u  Khi giả thiết ban đầu trở thành: x x2 xf ( x) - f ( x)  f ( x )  u   u  u     x u 1  x  Nguyên hàm hai vế, ta được: ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TỐN CÙNG THẦY HÀO KIỆT  f  x  x u 1 Thay x  vào, suy ra: ln  x  C  ln u 1 f  x  x  f 1  1 1 ln   C  ln  C  1  ln f 1  x  e x   3 f  x  x f  x  x 1 e2 x 2 x   ln  Suy ra: ln  x   ln  e   f  x   x 2 f  x  x f  x  x e 3 Ví dụ 8.5.4 Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định  0;    thỏa mãn: xf   x   f  x  x2  f  x x , f 1  Hãy xác định hàm số y  f  x  xf   x   f  x   f  x   Ví dụ 8.5.5 Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định  0;    thỏa mãn:   , x2 x   f 1  Hãy xác định hàm số y  f  x  Ví dụ 8.5.6 Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định  0;    thỏa mãn: xf   x   f  x  x  , x f  x f 1  Hãy xác định hàm số y  f  x  Ví dụ 8.5.7  4 Cho hàm số f  x  xác định thỏa mãn: f   x  e f  x  e x  2019  f 1  2020 Hỏi giá trị f   bao nhiêu? Lời giải  Trong nội dung này, dạng thứ tác giả muốn đề cập tới phương trình vi phân đưa dạng:  eu  e v  u  v  Như vậy, phương trình vi phân cho theo chuỗi triển khai sau: ueu ueu  eu  ev  ueu  vev  v    v  v   ueu v  v  ve e  Áp dụng vào tốn cụ thể ta có  Từ giả thiết suy f   x  e f  x  e x  2019  Lấy nguyên hàm hai vế, ta  e f  x f   x  dx   e x  2019 dx  e f  x *  e x  2019  C f 1  Thay x  vào hai vế * , suy e  e12019  C  e2020  C  Suy e f  x  e x  2019  f  x   x  2019  f    2021 thỏa mãn: f   x  e Ví dụ 8.5.8  4 Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định f  x   x3 1  x2  f 1  Hỏi giá trị f   bao nhiêu?  Từ giả thiết ta nhân hai vế với e x  Lấy nguyên hàm hai vế, được: 1 , suy ra: f   x  e e f  x f  x  x e x Trang 10 f  x  e x 1  f  x   1  f   x  e f   x  dx   e x 1.3x dx  e 3 f 1  e0  C  C   Thay x  vào hai vế (*), suy ra: e  Suy e x3   f    21 x f  x f  x  3x e x  e x 1  C (*) 3 1 ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT HỌC TỐN CÙNG THẦY HÀO KIỆT Ví dụ 8.5.9 (4) Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định R thỏa mãn: f   x  e f  x  3.e3 x 1  f    Hỏi giá trị f 1 bao nhiêu? Ví dụ 8.5.10 (4) Cho hàm số  f  x e f  x   ex 2 x  x  1  f  x có đạo hàm xác định R thỏa mãn: f 1  Hỏi giá trị f  3 bao nhiêu? Ví dụ 8.5.11 (4) Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định R thỏa mãn: f   x  e f  x   x 1  x  f 1  Hỏi giá trị f  3 bao nhiêu? Ví dụ 8.5.12 (5) Cho hàm số e f  x   f  x  1 f  x có đạo hàm xác định R thỏa mãn:   f  x   f   x  f    Hỏi giá trị f   tương ứng bao nhiêu? Lời giải  Đặt: u   f  x   f   x  ; thay vào giả thiết, ta được:  eu   u  g  u   eu   u ; đạo hàm: g   u   eu    u   Lập nhanh bảng biến thiên, suy ra:  Nhận thấy rằng: g  u   eu   u  Giả thiết cho dấu “=” xảy ra, suy ra:  u  1 f  x  f   x   f   x  1 f  x   Suy  f  x  s f  x 1 f  x 1 dx   dx  ln f  x    x  C f  x 1 2 (1)  Thay x  vào (1), ta được: ln f      C  ln  C  x  Thay vào (1), suy ln f  x    x  f  x   1  e  f    1  e Ví dụ 8.5.13 (5) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục xác định R thỏa mãn hệ thức: e f  x  3 f  x  1   f  x   f   x  f    Hỏi giá trị f   tương ứng bao nhiêu? Ví dụ 8.5.14 (5) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục xác định R thỏa mãn hệ thức: e f  x   f  x    f  x   f   x  f 1  Hỏi giá trị f   tương ứng bao nhiêu? Ví dụ 8.5.15 (5) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục xác định R thỏa mãn hệ thức: e f  x   f  x   f   x  e f  x  1 f    Hỏi giá trị f 1 tương ứng bao nhiêu? ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TỐN “ ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN DỤNG CAO Trang 11 ... hàm: (u u ')'  u ''.u  k.uk1.(u ')2  uk1(k.(u ')2  u ''.u) k k Từ giả thiết, suy ra: ( f ( x))3 ( f ' '( x) f ( x)  4( f '( x))2 )  ( f ( x))3 f '( x)  ( f ' '( x) .( f ( x))4  4( f '(. .. x))2 .( f ( x))3 )  ( f ( x))3 f '( x) Nguyên hàm hai vế ta được: ( f ( x))4 f '( x)  ( f ( x))4  C Thay điều kiện ban đầu vào ta được: ( f (0 ))4 (1 )4  C  (1 )4  CC0 4 ( f ( x))4 1  f '(. .. Hãy xác định hàm số y  f ( x)? Lời giải Ta có: (u.u ')  u ''.u  (u ')  ( f ( x) f '( x))'  f ' '( x) f ( x)  ( f '( x))2 Từ giả thiết, suy : ( f ( x) f '( x))'  6x   f ( x) f '( x)  3x2