Tích phân hàm ẩn

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG DẠNG NGUYÊN HÀM XUẤT HIỆN BIỂU THỨC CÓ DẠNG f '( x) f ( x) A PHƯƠNG PHÁP u u Từ công thức đạo hàm hàm hợp:  ln u    ln u   ta suy công thức nguyên u u f  x f  x dx  ln f  x   C ; đặc biệt f  x    dx  ln f  x   C hàm:  f  x g  x B VÍ DỤ MINH HỌA Câu Cho hàm số f  x   với x  , f    f  x    x  1 f   x  với x  Mệnh đề đúng? A f  3  B  f  3  C f  3  Lời giải Chọn B Ta có f  x  f  x  f  x  f  x  dx x 1    dx x 1  x  1 x  1  1     dx   x 1 x 1  Suy ln  f  x    dx x 1 ln C x 1 Mà f    nên C  Vậy Trang 1/13 D  f  3  ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT x 1  f  3  x 1 f  x  Câu , f  x   1 x  , f  0  thoả mãn Cho hàm số f liên tục có đạo hàm f   x  x   x f  x   Tính f A  3 B C D Lời giải Chọn C Ta có f  x  f  x f  x 1  dx   dx  ln  f  x    x   C f  x x 1 x 1 Mà f    nên C  2  f  x   e x 1  Vậy f  3  e2  Câu Cho hàm số f (x) liên tục, f ( x)  2, f (0)  thỏa f '( x)  sin A B x C f ( x)   Tính f ( ) D Lời giải Chọn A Từ giả thiết, ta có f  x f  x   Do f    nên ta được: Câu  x x2  x x 2 dx f  x    x   C Suy Vậy f f  x  f  x   dx    C  C   f  x   x2  2  Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f 1  e, f  x   f   x  3x  1, với x  Mệnh đề sau đúng? A 10  f  5  11 B  f  5  Lời giải Chọn A Xét x   0;   f  x   , ta có Trang 2/13 C 11  f  5  12 D  f  5  ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT f  x   f   x  3x   f  x  f  x 3x  Suy f  x  f  x  dx   1 dx   d  f  x    d  3x  1 f  x 3x  3x  Khi ln  f  x    Theo f 1  e nên e C 2 3x   C  f  x   e 3  e  C    f  x  e3 3 x 1  C x 1  Do f  5  10,3123  10  f  5  11 Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  2;4 f   x   0, x   2;4 Biết x f  x    f   x    x , x   2; 4 , f    A 40  B Giá trị f   20  C 20  D 40  Lời giải Chọn D Ta có: f   x   0, x   2;4 nên hàm số y  f  x  đồng biến  2;4  f  x   f  2 mà f    Do đó: f  x   0, x   2;4  Từ giả thiết ta có: x3 f  x    f   x    x 3  x  f  x   1   f   x   x f  x    f   x  f  x  f  x 1 x  Suy  f  x f  x 1 dx   xdx   d  f  x   1 x  C  f  x 1 2 33 x  f  x   1   C Từ f  2    2C  C   2 Vậy Trang 3/13 ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT f  x  4    x  1   40   f  4  4 C BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu Cho hàm số y  f ( x)  0, x thỏa mãn f '  x   x2 f  x  f  1  giá trị f   A e2 C e  B 2e D e3 Lời giải Chọn D Ta có f  x  f  x f  x   f  x  dx  x2 f  x   x2 f  x   x dx x3  C x3  C  ln f  x   ln  f  x    Theo giả thiết f  1  nên e Suy f  x   e x3  3  C f  x 1  C  e x3 C Vậy f    e3 Câu Cho hàm số f  x   với x  , f    f  x   x  f   x  với x  1 Mệnh đề đúng? A f  x   B  f  x   C f  x   D  f  x   Lời giải Chọn C Ta có f  x  f  x f  x 1  dx   dx  ln  f  x    x   C f  x x 1 x 1 Mà f    nên Trang 4/13 ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT C  2  f  x   e Câu x 1   f  3  e  (Đề 101-THPTQG 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x )   2 f '( x)  x  f ( x)  với x  Giá trị f 1 A  35 36 B  C  19 36 D  15 Lời giải Chọn B Ta có f '( x)  x  f ( x)   f '( x)  f ( x)     2x    2 x    x2  C  f ( x)  f ( x)  suy C   2 Do f (1)   Từ f (2)   Câu Cho hàm số y  f  x  đồng biến  0;   ; y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  f '  x     x  1 f  x  Tính f 8 49 B f 8  256 C f    D f    16 64 Lời giải  0;   thỏa mãn f  3  A f  8  49 Chọn A Ta có với x   0;   y  f  x   ; x   Hàm số y  f  x  đồng biến  0;   nên f   x   0, x   0;   Do  f   x     x  1 f  x   f   x   Suy  Vì f  3  f  x f  x  x  1dx dx    x  1 f  x    f  x  nên C    2 3 1 Suy f  x    3  x  1    Vậy f  8  49 Trang 5/13 f  x f  x  x  1  C  x  1 ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT Câu 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  x   , x   Cho biết f 1  f  x   f   x  3x  Mệnh đề sau đúng? A  f  5  B  f  5  C  f  5  D  f  5  Lời giải Chọn C Từ giả thiết f  x   f   x  3x   suy  f  x  f  x 3x  f  x dx dx    ln f  x   3x   C f  x 3x  Mà f 1   C   2 Vậy ln f  x   x   suy hàm số f  x   e 3 3 x 1  Tính f    e  3.79   3;  Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục f    và thỏa mãn f  x   , x  Cho biết f  x   x Định tham số m để phương trình f  x   m có hai nghiệm phân f  x biệt A m  e B  m  C  m  e D  m  e Lời giải Chọn C Giả thiết f  x f  x   2x   dx     x  dx  ln f  x   x  x2  C  f  x   A.e x  x f  x f  x Mà f  0   A  ; f  x   e x  x   Xét x  x2   x2  x     x  1  Do  e2 x  x  e Dấu “=” xảy   x  1   x  KL: Phương trình f  x   m có nghiệm phân biệt  m  e Câu 12 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục f    A  2; 3 thỏa mãn f  x   , x  Cho biết f  x x  , hiệu T  f 2  f 1 thuộc khoảng sau f  x x 1  B  7;   C  0; 1 Lời giải Chọn C Trang 6/13 D  9; 12  ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT Từ giả thiết f  x f  x x x   dx   dx  ln f  x   ln  x  1  C f  x x 1 f  x x 1 Mà f  0   C  Vậy ln f  x   ln  x  1  f  x   x    Tính f 2  f 1  2 Vậy   T  f 2  f 1   2   0; 1 Câu 13 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm, liên tục đoạn  1;1 f  x   với x thuộc , biết f   x   f  x   f 1  Khi f  1 A f  1  e2 B f  1  e3 C f  1  D f  1  e4 Lời giải Chọn D Ta có f  x   với x thuộc nên f  x  2 f  x f  x  f  x    f  x dx    2  dx  ln  f  x    2 x  C  f  x   e 2 x C f  x Từ f 1   e2.1C   2  C   C   f  x   e2 x2 Nên f  1  e 2. 1   e4 Câu 14 Cho hàm số y  f  x  đồng biến  0;   ; y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f  2   f '  x  A f  4  81 B f    20   x  1 f  x  Tính f   C f    88 D f    12 Lời giải Chọn B Ta có với x   0;   y  f  x   ; x   Hàm số y  f  x  đồng biến  0;   nên f   x   0, x   0;   Do  f   x     x  1 f  x   f   x    x  1 f  x   2 Suy Trang 7/13 f  x f  x  x 1 ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT  f  x f  x dx    x  1 dx  x2 f  x   x  C Vì f  2  nên  C    3 Suy f  4  16  43  Vậy f  4  81 Câu 15 Cho hàm số f (x) liên tục, f ( x)  2, f (0)  thỏa sin 2 x x f  x    f   x    co s  2 Mệnh đề đúng? A f    B  f    C f    D  f    Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta có 2 x x x sin f  x    f   x    cos   sin  f  x   1   f   x   2 f  x x x  sin f  x 1  f  x   sin 2 f  x 1      f ( x) x dx   sin dx f ( x)  f ( )     f ( x)   f (0)    f ( )   Vậy f ( )  Câu 16 Cho hàm số y  f  x  đồng biến  0;   ; y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f  3  A 2613  f 8  2614 2  f '  x     x  1 f  x  Mệnh đề đúng? B 2614  f 8  2615 C 2618  f 8  2619 D 2616  f 8  2617 Lời giải Chọn B Hàm số y  f  x  đồng biến  0;   nên suy f   x   0, x   0;   Mặt khác y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   nên  f   x    f  x f  x    f  x  f  x f  x f  x   x  1 f  x    x  1 f  x  , x   0;     x  1 , x   0;   dx    x  1dx  x  1  C Trang 8/13  ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT Từ f  3  1 Như f  x    3 Bởi 1 f     3  3 suy C  2 8  x  1    3 2  8  8 8 8  1          f 8       2613, 26 3  3 3  Câu 17 Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;    thỏa mãn f 1  , f  x   f   x  3x  , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f  5  B  f  5  C  f  5  D  f  5  Lời giải Chọn C Với điều kiện tốn ta có f  x f  x f  x     f   x  3x    f  x dx f  x d  f   x  f  x  ln f  x  f  x  3x   dx 3x    1  d  x  1 x    3  3x   C  e3 x 1  C Khi f 1   e C   C    f  x  e3 3 x 1  4  f    e  3, 79   3;  Vậy  f 5   cách đặt Chú ý: Chúng ta tính Câu 18 Cho f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến Giá trị f   bằng: 381 C 18 Lời giải 1;4 x  xf  x    f   x   , x  1; 4 , f 1  A 391 18 B 361 18 Chọn A Ta có Trang 9/13 D 371 18 thỏa mãn ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT x  xf  x     f   x   x 1  f  x     f   x    f   x     1 f  x 2 f  x  Suy  Mà f 1  nên f  x 1 f  x  x  x 1 f  x dx   xdx   f  x   x C 3  C  C  3 Do 1 f  x  x  3 suy 1 f  x   x3    f  x  2 7 x 4 x   9 4 Giá trị f  4  2  391 4  4    9  18 Chú ý: Nếu khơng nhận thấy ta sử dụng kỹ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) Vi phân: Đổi biến: Đổi cận Khi Trang 10/13 ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT Biết a phân số b Câu 19 Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f   x    x  3 f  x  f     tổng f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   tối giản Mệnh đề sau đúng? a a A  1 B  b b a với  a  , b  b C a  b  1010 *  D b  a  3029 Lời giải Chọn D Ta có f   x    x  3 f  x   f  x  2x  f  x   f  x  dx    x  3 dx f  x    x  3x  C f  x Vì f      C  Nên f  x    x  1 x    1  x  x 1 Do f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   1 1009   2020 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 Câu 20 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục f  x   , x  , f   x   e x f  x  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f    Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0  ln A x  y  ln   B x  y  ln   C x  y  ln   D x  y  ln   Lời giải Chọn A Ta có f   x   e x f  x    f  x  ex f  x Suy  f  x    f  x   dx   e dx   x Mà f     nên  e0  C  C  Trang 11/13  ex  C f  x ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT Vậy 1  e x  suy hàm f  x   x e 1 f  x Đạo hàm f   x   e e x x Tại xo  ln  yo   1 e ln 1  Hệ số góc tiếp tuyến f   xo   e eln ln  1 2  Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y    x  ln    x  y  ln   Câu 21 Cho hàm số f  x  có đạo hàm đồng biến  f   x   e x f  x  , x  A f    e thỏa mãn f    Tính f   ? B f    e D f    e3 C f    e Lời giải Chọn B Biến đổi  f   x   f   x    ex f  x   ex f  x f  x  f  x  ex f  x      f  x   df  x    e dx f  x dx   e x dx  x x  f  x   2e  C Vì f  0   C   f  x  e x  f  x   ex Suy f    e2 Câu 22 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;4 , đồng biến đoạn 1;4 thỏa mãn đẳng thức x  x f  x    f   x  , x  1;4 Biết f 1  , Mệnh đề sau đúng? A 15  f  3  20 B  f  3  C 10  f  3  13 Lời giải Chọn C Trang 12/13 D  f  3  ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT Ta có x  x f  x    f   x   x  f  x   f   x   Suy    Mà f 1   f  x 1 f  x df  x  1 f  x 1 f  x  f  x 1 f  x dx   xdx  C dx   xdx  C 32 x C 3 C  Vậy  32   x   1 3 f  x    f  3  11 Trang 13/13  x , x  1;4 ... nhận thấy ta sử dụng kỹ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) Vi phân: Đổi biến: Đổi cận Khi Trang 10/13 ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT Biết a phân số b Câu 19 Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều... Dấu “=” xảy   x  1   x  KL: Phương trình f  x   m có nghiệm phân biệt  m  e Câu 12 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục f    A  2; 3 thỏa mãn f  x   , x  Cho biết f... Mà f 1   C   2 Vậy ln f  x   x   suy hàm số f  x   e 3 3 x 1  Tính f    e  3.79   3;  Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục f    và thỏa mãn f  x   , x