TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC
Giáo viên: Nguy D www.MATHVN.com ành Long TÍCH PHÂN HÀM PHÂN TH M I ìm hi ÀM HÀM NH ày tìm hi Có d x m (a bx n ) p dx v Tùy thu m quan h m m p; p ; n n p Z ta x t q v q m m s Z, p , r, s Z , r, s n r C TH 1: N TH 2: N -N r s r s p -N R , m, n , p p Z p m, n, p mà c a bx n p m n ho t a bx n p t TPTP m a bx n t Z ta ch Q , n, p – LOGARIT qua tích phân hàm nh vào tính ch a, b Email: Loinguyen1310@gmail.com 2,3, ta có th p TPTP hai l m n TH 3: N p s , r, s r Z, p Z ta a bx n xn tr Bài t p gi p TH 1: N Z ta tq v x m n dx Bài 1: Tính tích phân sau I q m x x Gi Ta có I Nh dx x xét: m x x 1 x dx 1 ,p 1, n Z q Cách 1: x t x dx www.mathvn.com t2 2tdt Giáo viên: Nguy D x x t t Email: Loinguyen1310@gmail.com 2 t 2 dt t t I www.MATHVN.com ành Long dt t t 1 t t 2 ln t ln t 2 ln 2ln 4 Cách 2: t x x I r s r s p 3 t t m n p -N t t 2 -N t dt t dt TH 2: N t dx x x s , r, s r Z, p dt t 1t Z p dt t t 2 ln t ln t p a bx n t ho t a bx n p Z , r, s TPTP m a bx n t Z ta ch 2,3, ta có th p TPTP hai l Bài x x dx – 1996) Tính tích phân sau I – A 2003 – Gi 1 x x dx Phân tích I x x xdx m Nh 3, n 2, p m n Cách 1: x2 x2 t t2 xdx x x t t tdt 1 I t t 2 dt t t dt t t dt t t 15 Cách 2: www.mathvn.com Giáo viên: Nguy D www.MATHVN.com ành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com x2 x t t dt xdx t t x x 0 1 t t dt 21 I Cách 4: x cos t dx t 3 dt 2 t 3 2 t 15 sin t cos tdt sin t sin t cos tdt 0 Cách 4.1 t u tdt du u (1 u )du I 1 t2 20 sin tdt I Kh 1 t t dt 20 u2 u du u3 u5 15 Cách 4.2 2 sin t sin t d sin t I sin t sin t d sin t 0 sin t sin t 2 15 Cách 4.3 12 2 cos 4t 12 12 sin 2t costdt cos tdt cos tdt cos 4t cos tdt 40 40 80 80 Cách 5: 1 1 x2 1 x d x I x x2 d x2 20 20 I 1 x2 20 Cách 3: t d x 1 x2 20 dt x2 d x2 xdx Bài 3: Tính tích phân I Gi x dx x2 : x2 Cách 1: t x www.mathvn.com t3 xdx t dt Giáo viên: Nguy D I 2 t t dt 21 t x xdx x Email: Loinguyen1310@gmail.com t t x x www.MATHVN.com ành Long t4 21 t dt t5 t2 2 93 10 Cách 2: x2 x2 t x x t dt xdx t t t dt 21 t3 ó I Cách 3: Phân tích x t3 21 t x x2 dt x3 x Cách 4: S u x2 du 3 x x2 x x2 dx – 1999) Tính tích phân I Bài xdx v 1d x x2 dx 3 t x x2 x2 x dv 3 t x x2 Gi Phân tích I dx x x x2 1, n x2 4 x dx x m n tdt t t xdx I t2 xdx x 2, p x2 x t x m Nh tdt t (t 9) dt t t ln t ln Cách 2: www.mathvn.com Giáo viên: Nguy D www.MATHVN.com ành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com x2 t x t dt xdx dt t t 25 16 I u2 t2 u t 2udu dt th …b x5 x3 KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I Bài dx Gi I x x 6 x3 x3 dx x dx m Nh 5, n 3, p m n Z Cách 1: x t dt 3 x dx x3 x x ic t t t 1 t t dt 31 I 1 t t dt 30 t 30 t7 7 t dt t8 168 Cách 2: x5 x3 I x2 dx x3 x3 1 1 x3 30 6 x x3 dx 1 d x3 x 1 x d x3 x x dx dx 1 x 8 1 168 2 Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau I x x dx Gi Cách 1: S u x dv du xdx I x v www.mathvn.com x2 2 x dx x2 2 x x dx x3 x dx x4 x3 34 Giáo viên: Nguy D Cách 2: t 3 t3 t t dt t4 t dt Cách 3: S Ta có x x x x2 I x 2x x4 x dx Cách 4: S Ta có x x x t3 3 x3 2x p x2 2 34 x 2 x dx x d x s , r, s r Z, p Bài 7: Tính tích phân sau I x x d x m n x x x dx 2x2 2 I 34 x3 x TH 3: N Email: Loinguyen1310@gmail.com x t dx dt t t x x x I www.MATHVN.com ành Long a bx n xn Z ta x 3 34 tr dx x x2 Gi xét: m Nh 2; n x2 x2 x2 2; p t2 m n t tdt t t x x2 t x2 Z t2 2 xdx x p Ta có I dx x4 x2 www.mathvn.com dx x6 x2 t2 t tdt t2 t 2 dt t3 t 24 Giáo viên: Nguy D www.MATHVN.com ành Long x x3 x4 Bài 8: Tính tích phân sau: I 3 Email: Loinguyen1310@gmail.com dx HD: 1 x2 Ta có I x2 t 2, p dt 1 dx x3 3, n m Nh x 3 dx 3 m 1 Z n dx … x3 b I dx Bài 9: Tính tích phân sau I (1 x )3 Gi x : Ta có m 0; n 2; p x x t t2 x x2 t 3 t 3 xdx I x4 Z p tdt (t 1) xdx x m n (1 x ) x x2 x 2 3 tdt (t 1)2 (t 1) t t dt t2 3 t 3 Bài t – A 2000) Tính tích phân I dx x x3 HD: t x3 dt 3x2 x3 dx dx dt x x3 Bài – A 1999) Tính tích phân I www.mathvn.com t dx x x2 1 ln Giáo viên: Nguy D www.MATHVN.com ành Long – 1995) Tính tích phân I Bài dx 12 x x2 Email: Loinguyen1310@gmail.com Cách 1: x2 t C1: cos t t x x2 1 ,t cos t t Cách 2: x dt 0; t v xdx x x2 dx 0; x2 t x2 t x C4: t C5: Phân tích x2 dx dx x x2 ho x dt x2 x2 t t tanu , u , t dt du dt sin t C2: C3: Bài 4: Tính tích phân I C1: x tan t C2: Phân tích x u C3: dv x x2 x2 x3 x2 dx x x2 x x2 dx C4: x t C5: Phân tích x dx x xdx x2 1 d x2 Bài – 1997) Tính tích phân I x3 x 2 Bài 6: dx x4 – 2004) Tính tích phân I x5 141 20 dx Bài 7: x x dx – 2007) Tính tích phân I 14 Bài 8: x x dx – 2006) Tính tích phân I 1 Bài 9: 2 x x 1dx – 2006) Tính tích phân I 468 Bài 10: ( x 1.x5 dx – 2005) Tính tích phân I www.mathvn.com 848 105 Giáo viên: Nguy D www.MATHVN.com ành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com x3 x – 2005) Tính tích phân I Bài 11: ( 3dx x5 x dx – 2005) Tính tích phân I Bài 12: ( 1 x2 Bài 14: Tính tích phân I I dx x x 3 1 12 Bài 16: Tính tích phân I dx x2 x 2 b Tích phân hàm phân th M – u m x a bu n x I ln 2 3 2 – 2007) Tính tích phân x dx Bài 15: ( x dx x2 ịng – 2006) Tính tích phân I Bài 13: ( 105 p d u x v àm nh a, b v R , m, n , p Q , n, p Và c N m n s , r, s Z , r, s r r p Z ta ch s Z, p N t t a bu n x p ho t a bu n x a bu n x Ta xét thí d ln – B 2003) Tính tích phân sau I Thí d ln e2 x ex dx L ln e ln m ln e2 x Ta có I x 1 n 1, p I e x dx ln ln 2 t t t tdt t www.mathvn.com ex de x ln m n ex t ex t x x ex dx Z u x ex 2tdt 2 t dt 2 2t t 20 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguy ành Long D Cách khác: ex t e – B 2004 ) Tính tích phân sau I Thí d Email: Loinguyen1310@gmail.com 3ln x ln x dx x L e e 1 3ln x ln x dx ln x 3ln x d ln x x 1 m Z u x ln x m n 1, p n t2 ln x 3ln x t dx tdt x x e t Ta có I x t 2 t2 t dt 31 I Cách khác: t t5 (t t )dt 91 t3 116 135 3ln x e (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I Thí d ln x ln x dx x L e e ln x ln x dx ln x ln x d ln x x 1 m 2, p Z u x ln x n Ta có I m 1, n t3 ln x x e x I t dt t 33 t 3 t.t dt 232 Cách khác: ln x dx x 3 3 t dt 32 ln x t4 3 3 3 23 t e Thí d – B 2010) Tính tích phân sau I ln x x ln x dx L www.mathvn.com 10 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguy ành Long D e ln x Ta có I dx ln x ln x d ln x ln x x m Z, p n ln x t m 1, n 1, t ln x dx x t I t 2 dt t t2 dt ln x dt Z u x 2 ln t t ln ln Thí d – 2002) Tính tích phân sau I ( Email: Loinguyen1310@gmail.com 3 e x dx ex L ln Ta có I ex m ln e x dx e x de x m 1 Z u x n e x 2tdt e x dx dx 2tdt 12 tdt I 2 t t 0, n 1, p t2 dx Tính tích phân sau I Thí d ex x x3 L Ta có I t x 2 dx x5 x3 x x Ta có I x x I 2 www.mathvn.com m dx 3, n 2, p Z t xdx dx dt t t 1 x2 3 x2 dt t t x 22 x x x2 1 t dx dt t t t ln t t ln ln 2 11 Giáo viên: Nguy D www.MATHVN.com ành Long x dx Tìm nguyên hàm: I Thí d Email: Loinguyen1310@gmail.com x 39 L x dx Ta có I t 39 dx t dt 39 t m n dt x x t x t I x2 x 39 39 dt t 38 dx 2, n 1, p m dt t 37 dt 1 38 t 38 37 t 37 1 36 t 36 C v t 39 Z Z x – B 2005) Tính tích phân sau I Thí d sin x.cos x dx cos x L Phân tích I v m t 2, n 1, p Z u x I t d cos x cos x t x 2 cos x cos x sin xdx dt cos x t 1 cos x x sin x.cos x dx cos x sin x.cos x dx cos x t t 2 dt t 1 dt t t2 2t ln t 2 ln 2 – 1999) Tính tích phân sau I Thí d sin x cos x cos x dx L Ta có I 2 sin x cos x cos x dx m 1, n 1, p t cos x cos x d cos x cos x www.mathvn.com Z u x cos x sin xdx dt cos x t 12 Giáo viên: Nguy D x t x 2 t t dt I Email: Loinguyen1310@gmail.com t www.MATHVN.com ành Long t3 t4 t dt Nh N lý thuy t3 17 12 àt ì ta v – A 2005) Tính tích phân sau I Thí d sin x sin x 3cos x dx L Ta có I sin x cos x 1 3cos x dx cos x 3cos x 2 d cos x 3cos x u x Nh 0, n d cos x I1 ta có m I2 cos x v I1 ta có m n m n Z v I2 m 1 Z n V t2 sin x dx 3cos x cos x t2 3cos x x t x I 4t t 2dt 2 dt t 27 2 t 34 27 QG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I Thí d sin x dx cos x L Ta có I sin x dx cos x 3sin x 4sin x dx cos x hai tích phân nh t cos x www.mathvn.com m cos x dt 4cos x 1 cos x d cos x 2, n 1, p Z m n Z u x cos x nên ta t sin xdx 13 Giáo viên: Nguy D x x t I t t ài vi dt 4t dt t 2t 2 8t ln x – D 2005) Tính tích phân sau I x ln x 1 ln e2 x – 2000) Tính tích phân sau I e e ln x – 98) Tính tích phân I = x ln x e Bài 4: ( 3ln t – 2006) Tính tích phân sau I x 76 15 dx 2 dx 2 dx ln x x ln x ln x dx x ln x 10 11 dx e Bài – 1999) Tính tích phân sau I e log x Bài 7: Tính tích phân sau I dx x 3ln x ln ex – 2004) Tính tích phân sau I 1.e x dx ln e ln Bài 9: Tính tích phân sau I x e ex ln (ln 1) 27 ln ln Bài 3ln 2 ày m e3 Bài 3: Email: Loinguyen1310@gmail.com t www.MATHVN.com ành Long ex 1.e x e x dx ln x dx Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I sin x sin x dx Bài 11: Tính tích phân sau I sin x dx cos x ln 15 sin x cos x dx cos x Bài 12 – 1997) Tính tích phân sau I sin x sin 3 x dx cos x Bài 13: Tính tích phân I www.mathvn.com ln 14 Giáo viên: Nguy D www.MATHVN.com ành Long Bài 14: – B 2004) Tính tích phân sau I Bài 15: Tìm nguyên hàm I S 15 – Khu ph www.mathvn.com – x dx ( x 1)10 1 ( x 1)6 dx x x3 ln ( x 1)7 Email: Loinguyen1310@gmail.com ( x 1)8 Loinguyen1310@gmail.com ho – Th ã b – Thành ph 1 ( x 1)9 C ành Long 15 ... Tính tích phân I I dx x x 3 1 12 Bài 16: Tính tích phân I dx x2 x 2 b Tích phân hàm phân th M – u m x a bu n x I ln 2 3 2 – 2007) Tính tích phân x dx Bài 15: ( x dx x2 òng – 2006) Tính tích phân. .. Tính tích phân I x3 x 2 Bài 6: dx x4 – 2004) Tính tích phân I x5 141 20 dx Bài 7: x x dx – 2007) Tính tích phân I 14 Bài 8: x x dx – 2006) Tính tích phân I 1 Bài 9: 2 x x 1dx – 2006) Tính tích phân. .. C5: Phân tích x2 dx dx x x2 ho x dt x2 x2 t t tanu , u , t dt du dt sin t C2: C3: Bài 4: Tính tích phân I C1: x tan t C2: Phân tích x u C3: dv x x2 x2 x3 x2 dx x x2 x x2 dx C4: x t C5: Phân tích