PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011) Gi tng: www.Mathvn.com Bm sn. 16.03.2011 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 2 PHNG PHÁP TÍCH PHÂN TNG PHN I. Công thc tích phân tng phn: Cho hai hàm s ( ), ( ) u x v x liên tc và có đo hàm trên đon [a; b]. Ta có     ' ' ' ' ' ' uv u v uv uv dx u vdx uv dx        ( ) b b b a a a d uv vdu udv d uv vdu udv          b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu           . Ta có công thc:   1 b b b a a a udv uv vdu    Công thc (1) còn đc vit di dng:     ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b b b b a a a a f x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx          II. Phng pháp gii toán: Bài toán: S dng CT.TPTP xác đnh: I =  b a dxxf .)( Phng pháp chung: Cách 1: Bc 1: Bin đi TP v dng: I =  b a dxxf .)( =  b a dxxfxf .)().( 21 Bc 2: t:          v du dxxfdv xfu )( )( 2 1 (Chn 0 C  ) Bc 3: Khi đó: I =    b a b a b a vduuvudv . (công thc (1)) Chú ý: Vic đt ( ), ( ) u f x dv g x dx   (hoc ngc li) sao cho d tìm nguyên hàm ( ) v x và vi phân ' ( ) du u x dx  không quá phc tp. Hn na, tích phân b a vdu  phi đn gin hn tích phân b a udv  Cách 2: Phân tích ' 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x f x dx f x f x dx    và s dng trc tip công thc (2) - Nhn dng:  s dng tích phân tng phn thì du hiu thng gp đó chính là tích ca hai loi hàm s khác nhau (đôi khi là tích ca cùng mt loi hàm) -Ý ngha: Phng pháp TPTP nhm đa tích phân phc tp v tích phân đn gin hoc đ kh bt hàm s di du tích phân (cui cùng ch còn li 1 loi hàm s di du tích phân) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 3 Chú ý: - ôi khi tính TPTP mà cha có mt dng c th ta phi dùng các công thc đi s, lng giác hoc kt hp vi phng pháp bin đi s thì mi xut hin các dng c th Ví d 1: (HDB – A 2003) Tính tích phân sau 4 0 1 cos 2 x I dx x     Gii: Nhn xét: Tích phân này nu đ nguyên mà tính TPTP thì… không ra đâu nhng nu ta s dng công thc nhân đôi 2 2 1 cos2 1 2cos 1 2cos x x x      thì ly nguyên hàm ca đc ngay Ta đc 4 2 0 1 2 cos x I dx x    t 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Khi đó 4 0 1 1 1 1 tan tan ln cos ln 2 4 4 2 2 8 2 8 4 0 0 I x x xdx x             Chú ý: - Ta có th s dng công thc (2) nh sau 4 4 4 2 0 0 0 1 1 1 1 (tan ) tan tan ln cos ln 2 4 4 2 2 2 4 8 4 2cos 0 0 x I dx xd x x x xdx x x                         - ng quên 1 2 trc du tích phân nhé Ví d 2: (HDB – D 2003) Tính tích phân sau 2 1 3 0 x I x e dx   Gii: Ta có 2 2 1 1 3 2 0 0 x x I x e dx x e xdx     t 2 2 2 dt t x dt xdx xdx      i cn 0 0 1 1 x t x t            Khi đó 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 2 2 t t t t e I te dt te e dt e         (s dng công thc 2) Chú ý: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 4 - D nhiên ta không cn bin đi s mà làm trc tip. Ta có   2 2 1 1 3 2 2 0 0 1 2 x x I x e dx x e d x     . n đây ta có th s dng công thc (1) hoc công thc (2) tuy là ngn hn nhng đ phc tp cao hn nên tôi không đa ra, bn đc t tìm hiu nhé Ví d 3: (HTCKT – 1998) Tính tích phân sau   4 2 0 2cos 1 I x x dx     Gii: Nhn xét: Nu đ nguyên nh th mà tính thì qu tht nan gii. S dng công thc h bc     4 4 4 2 0 0 0 2cos 1 2 1 cos 2 1 cos 2 I x x dx x dx x xdx                t sin 2 cos 2 2 du dx u x x dv xdx v              Khi đó 4 0 sin 2 1 cos2 1 2 . sin 2 4 4 2 2 8 4 8 4 8 0 0 x x I x xdx                - ôi khi tính TPTP ta phi tính đn 2 hay 3 ln TPTP Ví d: (H – D 2007) Tính tích phân sau 4 3 2 1 5 1 ln 32 e e I x xdx     Gii: t 2 4 3 2ln ln 4 dx du x u x x x dv x v                  Khi đó 4 4 2 3 1 1 1 1 ln . ln . 1 4 2 4 2 e e x e I x x x dx I      Tính 3 1 1 ln . e I x x dx   t 3 4 ln 4 dx du u x x dv x x v                Khi đó 4 4 4 3 4 1 1 1 1 3 1 ln . 1 1 4 4 4 16 16 e e e x e e I x x dx x        Vy 4 4 4 4 1 1 1 3 1 5 1 . 4 2 4 2 16 32 e e e e I I        www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 5 - ôi khi tính TPTP ta còn gp trng hp lp li tích phân ban đu (tích phân luân hi) hoc gp mt tích phân mà làm trit tiêu mt tích phân Ví d 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: 2 1 ln e x I dx x   Gii: t 2 ln 2ln ln dx u x du x x dx dv v x x                Khi đó 2 2 1 ln ln .ln 2 1 2 1 e e x I x x dx I x      n đây ta coi nh mt phng trình bc nht theo I ta đc 1 3 I  Chú ý: - ng nhiên ta có th làm bng phng pháp bin đi s t ln dx t x dt x    . i cn 1 1 0 x e t x t            Khi đó 1 3 2 0 1 1 0 3 3 t I t dt     Hoc: a vào vi phân nh sau   2 3 2 1 1 ln ln 1 ln ln 1 3 3 e e e x x I dx xd x x       -  tránh tích TPTP 2 ln ta có th bin đi s trc bng cách đt ln t t e x t x e dt dx          sau đó mi TPTP Ví d 2: Tính tích phân sau 4 2 0 (sin cos 1) (1 cos ) x e x x I dx x       Gii: 4 4 4 1 2 2 2 0 0 0 (sin cos 1) sin 1 cos (1 cos ) (1 cos ) x x x e x x e e x I dx dx dx I I x x x                 Tính 4 2 2 0 sin (1 cos ) x e x I dx x     t   2 sin 1 1 cos 1 cos x x u e du e dx x dv dx v x x                  Khi đó 4 4 2 1 0 1 4 1 cos 1 cos 2 2 0 1 2 x x e e e I dx I x x             www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 6 Vy 4 2 1 2 2 1 2 e I I      Chú ý: Nu nh ta tính đng thi 1 2 và I I thì cng ra nhng va mt công mà li dài nên ta chn tính 1 I hoc 2 I đ làm trit tiêu đi 2 I hoc 1 I …Tùy vào tng bài đ ta chn (kinh nghim thôi) - Thông thng ta s dng CT (1) vì nó d nhìn hn là CT (2) MT S DNG C TH Dng 1: Tính tích phân     n I P x Q x dx     vi   n P x là mt đa thc bc n và   2 2 1 1 ; ;sin ;cos ; , cos sin x x x x x Q e x x a  t     n P x Q x dx u dv       (Nu   n P x có bc n thì ta phi tính tích phân tng phn n ln (mi ln   n P x s gim 1 bc)) c bit: - Khi     ln ;ln ;log ;ln n m x x x f x Q x      t     n Q x P x dx u dv       (nu   ln n Q x x  ta phi tính n ln tích phân) - Khi           sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log a a x xQ x x x  t     n Q x P x dx u dv       (thng thì ngi ta chn     1; k n P x Q x x   cho đn gin) Chú ý: Trong dng này chúng ta s gp tích phân luân hi (Sau khi tính tích phân ln th hai s tr v tích phân ban đu) Loi 1: Khi   2 2 1 1 ; cos sin Q x x x  Bài tp gii mu: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 7 Bài 1: Tính tích phân sau 3 2 4 sin xdx I x     Gii: t 2 cot sin u x du dx dx v x dv x               Áp dng công thc tính tích phân tng phn   3 3 2 4 4 9 4 3 1 1 3 3 3 cot cot . ln sin ln 3 36 2 2 sin 3 4 4 xdx I x x xdx x x                       Hoc: S dng trc tip công thc (2)   3 3 2 4 4 cot sin xdx I xd x x          Bài 2: Tính tích phân sau 3 2 0 cos x I dx x    Gii: t 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Áp dng công thc tính tích phân tng phn:   3 3 34 2 0 0 0 0 cos 3 sin 3 tan tan 3 3 cos 3 cos cos 0 3 3 ln cos ln 2 3 3 3 0 d x x x I dx x x xdx dx x x x x                         Hoc: S dng trc tip công thc (2)   3 3 2 0 0 tan cos x I dx xd x x       Bài tp t gii có hng dn: Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau 1 2 0 sin cos x x I dx x    www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 8 HD: t   2 sin 1 cos 1 tan cos u x x du x dx dv dx v x x                  Hoc - Tách thành tng hai tích phân 1 2 3 3 3 2 2 2 0 0 0 sin sin cos cos cos I I x x xdx x I dx dx x x x             Tính 1 I bng TPTP và tính 2 I bng đi bin s - S dng trc tip công thc (2) ta có     1 1 2 0 0 sin sin tan cos x x I dx x x d x x       Bài 2: (HDB – A 2003) Tính tích phân sau: 4 0 1 ln 2 1 cos2 8 4 x I dx x        HD: S dng công thc nhân đôi 2 2 1 cos2 1 2cos 1 2cos x x x      Khi đó 4 2 0 1 2 cos x I dx x    . t 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Hoc: S dng trc tip công thc (2) Ta có 4 4 4 2 0 0 0 1 1 1 1 (tan ) tan tan ) ln ln 2 4 4 2 2 2 4 8 4 2cos 0 0 x I dx xd x x x xdx x                         Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau:   1 2 0 tan tan1 ln cos1 0,5 I x xdx     HD: Phân tích 1 1 2 0 0 cos x I dx xdx x     t 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Chú ý: Công thc 2 2 1 tan 1 cos x x   Bài 4: Tính tích phân sau: 2 0 1 sin 2 xdx I x     HD: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 9 Bin đi 2 1 sin 2 1 cos 2 2cos 2 4 x x x                     ri mi TPTP Loi 2: Khi   sin ;cos Q x x x  Chú ý: i vi dng này ta có th s dng phng pháp h s bt đnh Nu bc ca   P x bng hoc ln hn 3 ta nên gii theo phng pháp sau: Bc 1: Ta có ( )cos ( )sin ( )cos I p x xdx A x x B x x C        , (1) (A(x) và B(x) cùng bc vi   P x ) Bc 2: Ly đo hàm hai v ca (1) :     ( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos p x x A x B x A x B x       S dng phng pháp h s bt đnh tìm đc A(x) và B(x) Bc 3: Thay A(x) và B(x) vào (1) ri kt lun. (Có th áp dng cách này cho các dng cos ax e bxdx  ; sin ax e bxdx  ) Bài tp gii mu: Bài 1: Tính tích phân sau 1 2 2 0 sin . I x x dx    Gii:   1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 cos2 1 1 sin . cos 2 2 2 2 x I x xdx x dx x dx x x dx             S dng công thc (2) ta đc 2 1 1 3 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 (sin2 ) sin2 2 in2 . 6 4 6 4 x x d x x x xs x dx              2 1 1 2 2 2 3 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (cos2 ) cos2 cos2 sin(2 ) 0 6 6 6 6 4 4 4 8 4 xd x x x xdx x                             Bài 2: (HDB – 2006) Tính tích phân sau 2 0 ( 1)sin 2 I x xdx     Gii: t 1 1 sin 2 cos2 2 du dx u x dv xdx v x                Khi đó 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 cos 2 cos 2 sin 2 1 2 2 4 2 2 4 4 x I x xdx x                       Hoc: S dng trc tip công thc (2) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 10     2 2 0 0 1 ( 1)sin 2 1 cos 2 2 I x xdx x d x          Bài 3: Tính tích phân sau 2 4 0 cos I xdx    Gii: t 2 2 t x x t dx tdt      i cn 2 0 0, 4 2 x t x t         S dng công thc (2) Khi đó   2 2 2 0 0 0 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 0 I t tdt td t t t xdx               Vy 2 I    . Bài 4: Tính nguyên hàm 3 2 ( 2 3)sin I x x x xdx      Gii: 3 2 3 2 3 2 ( 2 3)sin (a )cos (a' ' ' ')sin I x x x xdx x bx cx d x x b x c x d x C               (1) Ly đo hàm hai v ca (1): 3 2 3 2 3 2 ( 2 3)sin [ ' (3 ') (2 ') ']cos [ (3 ' ) (2 ' ) ' ]si n (2) x x x x a x a b x b c x c d x ax a b x b c x c d x                  ng nht đng thc trên ta đc h : ' 0 3 ' 0 2 ' 0 ' 0 a a b b c c d               và ' 1 3 ' 1 2 ' 2 ' 3 a a b b c c d                   Gii h trên tìm đc : 1; 1; 4; 1; ' 0; ' 3; ' 2; ' 4 a b c d a b c d            Vy 3 2 2 ( 4 1)cos (3 2 4)sin I x x x x x x x C          . Hoc: t   2 3 2 3 2 2 2 3 sin cos du x x dx u x x x dv xdx v x                    Hoc: S dng trc tip công thc (2)   3 2 3 2 ( 2 3)sin ( 2 3) cos I x x x xdx x x x d x            Bài tp t gii có hng dn: Bài 2: (HM C – 1998) Tính nguyên hàm sau: 3 sin 2 cos 6 sin 12 cos 12sin I x xdx x x x x x x x C         www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]... x tan x 4 Bài 5: Tính tích phân sau: I tan xdx ln cos x dx sin 2 x 6 HD: u ln cos x dv dx sin x 2 x du v sin x dx cos x cot x 2 Bài 6: Tính tích phân sau: I tan xdx cos x ln sin x sin 2 x dx 1 2 ln 2 6 HD: Bi t sin x 3 Bài 7: Tính tích phân sau: I ln tan x 2 cos x dx 3 ln 3 2 3 1 4 HD: Bi D t 5: Tích phân là tích c Tính tích phân I Lo u àm gi P ' x dx du Q x Q ' x dx Tính tích phân I (tham kh P x Q... www.MATHVN.com dx x x 4 Bài 2: Tính tích phân sau: I 1 ln 2 4 cos 2 x.ln(cos x)dx 0 8 1 4 HD: u ln cos x dv cos 2 x sin x dx cos x sin 2 x 2 u v ex a x Q x dx v ln x Tính tích phân I D 1 1 ; 2 ;sin x;cos x 2 cos x sin x Q x ex ax u ln x dv Q x dx Chú ý: - Trong d ày chúng ta s TPTP thì l òng” trong tích phân thì ào thì l ài toán tích phân mà ta ph Bài t e x sin xdx Bài 1: Tính tích phân sau I 0 Gi ex u dv du... 3 xdx – B 1998) Tính tích phân sau: I Bài 1: 0 3 2e 13 HD: u du sin 3x e 2 x dx dv v 3cos 3 xdx e2 x 2 2 1 2e 2 5 e x cos 2 xdx – 1996) Tính tích phân sau: I Bài 2: 0 HD: H 3 ành t 3 4 – 1997) Tính tích phân sau: I Bài 3: 4 e4 25 3x e sin 4 xdx 0 2 2 e x sin 3xdx I – 1999) Tính tích phân sau: I Bài 4: 0 I 1 10 1 3 ;J e 1 1 10 e 0 e 2x 0 HD: H e x cos 3 xdx 3 1 Bài 5: Tính tích phân sau I 1 sin 2 x.dx... Tính tích phân sau: I 0 HD: u dv du x x 2 e dx v dx 2e x 2 2 Bài 5: 0 www.MATHVN.com 2 esin x sin x.cos3 xdx – 1999) Tính tích phân sau: I 1 e 1 2 16 Giáo viên: Nguy D HD: 2 Phân tích I e ành Long sin 2 x www.MATHVN.com 2 2 esin x sin x cos x 1 sin 2 x dx 3 sin x.cos xdx 0 0 dt 2 sin 2 x t Email: Loinguyen1310@gmail.com sin x cos xdx 3 Bài 6: Tính tích phân sau: I x3 e x2 1 x2 1 0 dx HD: 3 Phân tích. .. tích phân sau: I ln 2 x dx x 1 1 3 HD: ln 2 x dx dv x Chú ý: u 2 ln x du dx x ln x v t h tích TPTP 2 l ln x et et dt x dx 2 – D 2008) Tính tích phân sau: I Bài 2: ln x 3 1 x HD: u ln x dx dv x3 I dx x 1 2x2 du v 1 ln x 2x2 2 2 1 1 1 dx 2 x3 3 2 ln 2 16 3 ln x 2 – D 2004) Tính tích phân sau: I Bài 3: x dx 3ln 3 2 2 HD: u ln x 2 dv dx x 2x 1 dx x2 x du v x Chú ý: N ln x 2 Bài 4: – B 2005) Tính tích phân. .. Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com t 2 ln x dx 2 1 x – 1998) Tính tích phân sau: I Bài 15: ln x et x t e dx dx 10 ln 2 3 1 6 1 l ln 2 2 HD: u ln x dx dv x2 2 – 2006) Tính tích phân sau: I Bài 16: x 2 ln x dx 1 5 4 ln 4 HD: u ln x x 2 dv 1 x 2 ln 1 – D 1997) Tính tích phân sau: I Bài 17: 0 1 dx x 3ln 3 HD: u 1 x ln 1 dv x 2 dx 10 x lg 2 xdx – 2001) Tính tích phân sau: I Bài 18: 1 50 50 ln10 99 4 ln 2 10 HD: TPTP... 2 e dx 0 ln 2 x.e x dx Bài 13: Tính tích phân sau J 0 Gi u x dv e x dx J x.e du dx v e x ln 2 x ln 2 e x dx 0 x.e x e 1 ln 2 2 ln 2 x 0 0 Bài t p t 3 2 e3 x sin 5 xdx Bài 1: Tính tích phân sau: I 0 3.e 2 5 34 HD: u dv du sin 5 x e3 x dx 5cos 5 xdx e3 x 3 – 1999) Tính tích phân sau: I v Bài 2: 2x2 x 1 ex 2x2 3x 4 e x C HD: u dv 2 x2 x 1 x e dx 1 2 – 1998) Tính tích phân sau: I Bài 3: 2x 1 x e dx 0 5e... e 9 x 2 ln xdx – 2005) Tính tích phân sau: I Bài 5: 1 u dv Email: Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com 1 9 ln x x 2 dx 1 x ln x 2 Bài 6: (HVKTQS – 1997) Tính tích phân sau: I x 1 dx 0 3 ln 3 4 3 12 HD: u dv ln x 2 2x 1 dx x x 1 du x 1 x 2 dx 2 x2 2 v e – 1997) Tính tích phân sau: I Bài 7: 1 e ln x x 1 dx 2 0 HD: u ln x du dx dv x 1 2 v dx x 1 x 1 e 2 – 1997) Tính tích phân sau: I Bài 8: 1 ln x dx... toán s 2 – 2000) Tính tích phân sau: I Bài 9: 1 ln 1 x x 2 dx 3 ln 3 3ln 2 2 HD: u dv ln 1 x dx x2 du v dx x 1 1 x www.MATHVN.com 23 Giáo viên: Nguy D ành Long www.MATHVN.com 3 x ln x 2 Bài 10: Tính tích phân sau: I 5 dx 0 Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 14 ln14 5 ln 5 9 2 HD: u ln x 2 dv xdx t Ho 5 x2 5 sau e x3 1 ln x dx x Bài 11: Tính tích phân sau: I 1 2e 3 9 11 18 HD: x3 1 Phân tích x x u 1 x 2 dv... Tính I1 b I2 ên hàm và tích I 2 b du u 2x 1 dv cos 2 xdx 2dx v sin 2 x 2 2 x 2 1 sin xdx - 1997) Tính tích phân sau I Bài 10: 0 HD: u dv S Ho x2 1 sin xdx 2 du v 2 x 2 1 sin xdx I 2 xdx cos x 0 x 2 1 d cos x 0 2 x sin 2 x cos xdx Bài 11: (TN – 2004) Tính tích phân sau I 0 2 2 3 HD: u x sin 2 x dv cos xdx Chú ý: - Tách thành t - Có th du v 1 sin 2 x dx sin xdx ì Bài 12: Tính các tích phân sau www.MATHVN.com . Bm sn. 16.03.2011 www. MATHVN. com www. MATHVN. com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail .com D: 01694 013 498 2 PHNG. loi hàm s di du tích phân) www. MATHVN. com www. MATHVN. com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail .com D: 01694 013 498 3 Chú