• Hiểu được GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn của một số hàm thường gặp • Nắm được các phương pháp tìm GTLN và GTNN của một số hàm số có đạo hàm. trên một khoảng, một đoạn.[r]
(1)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1 Tóm tắt lý thuyết 1.1 Định nghĩa:
Cho hàm số y= f x( )xác định miền D • Số M gọi giá trị lớn hàm
số y= f x( ) D ( )
( )
0
, ,
f x M x D
x D f x M
=
Kí hiệu max ( )
x D
M f x
= max ( )
D
M = f x
• Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y= f x( )trên D ( )
( )
0
, ,
f x m x D
x D f x m
=
Kí hiệu ( )
x D
m f x
= ( )
D
m= f x
(Cần ý phân biệt GTLN, GTNN với cực đại, cực tiểu hàm số, hình vẽ minh họa GTLN, GTNN hàm số đoạn [ ; ]a b để em phân biệt.)
1.2 Một số dạng tốn thường gặp
a) Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Cho hàm số y= f x( )xác định liên tục đoạn a b;
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y', giải phương trình y' = tìm nghiệm x1, x2, xn thỏa mãn
1 n
a x x x b
- Bước 2: Tính giá trị f a( ) ( ),f x1 , ,f x( ) ( )n ,f b
- Bước 3: So sánh giá trị tính kết luận:
(2)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí • Giá trị nhỏ tìm số giá trị GTNN m hàm số
a b;
b) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng Cho hàm số y= f x( ) xác đinh liên tục ( )a b;
Phương pháp:
- Bước 1: Tính f( )x , giải phương trình \(y' = 0\) tìm nghiệm x1, x2, xn thỏa mãn
1 n
a x x x b
- Bước 2: Tính giá trị f x( ) ( )1 ,f x2 , ,f x( )n lim ( ); lim ( )
x a x b
A + f x B − f x
→ →
= =
- Bước 3: So sánh giá trị tính kết luận
• Nếu GTLN (hoặc GTNN) số giá trị A B kết luận hàm số khơng có GTLN (hoặc GTNN) khoảng ( )a b;
• Nếu GTLN (hoặc GTNN) số giá trị f x i( ) i , 1;2; ;n kết luận hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN) f x x( )i =xi
c) Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước
Cho hàm số y= f x( )xác đinh liên tục đoạn a b;
Phương pháp: (chỉ áp dụng cho số tốn dễ dàng tìm nghiệm y') - Bước 1: Tính y', giải phương trình y' = tìm nghiệm x1, x2, xn
- Bước 2: Tính giá trị f a( ) ( ),f x1 , ,f x( ) ( )n ,f b
- Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn a b;
- Bước 4: Thay vào điều kiện cho để tìm m 2 Bài tập minh hoạ
2.1 Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Tìm GTLN-GTNN hàm số: ( )
2
y= f x = − x +x − x+ đoạn −1;0
Hướng dẫn giải
Hàm số ( )
2
y= f x = − x +x − x+ xác định đoạn −1;0
• /( )
2
f x = − +x x−
• /( )
0 2
f x = − +x x− = • Ta có: ( )1 11; ( )0
3
(3)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí
• Vậy ( )
1;0 1;0( )
11
max ;
3
f x f x
− −
= =
2.2 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng Tìm GTLN-GTNN hàm số:
2 , (1;3] x x y x x + + = − Hướng dẫn giải
Xét hàm số
2 x x y x + + =
− xác định (1;3]
• 2 2
( 1) x x y x − − = + • ( (
2 1;3
0
1 1;3
x
y x x
x
= +
= − − =
= −
• Bảng biến thiên:
• Vậy hàm số có giá trị nhỏ
(1;3]
xMin y = , hàm số khơng có giá trị lớn
2.3 Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước
Cho hàm số
2 x m y x − =
+ với m tham số thực Tìm giá trị m để hàm số có giá trị nhỏ đoạn [0; 3] -2
Hướng dẫn giải TXĐ: D = \R −8
Ta có:
2
2
8 ' ( 8) m y x x + = + − Khi đó: 2 [ 1;1]
min (0) 16
8
m
y y m m
− = = − = − = =
3 Luyện tập 3.1 Bài tập tự luận
(4)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí b) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – đoạn [-4; 3]
c)
( ) 25
f x = −x đoạn [-4; 4]
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số sau:
a) 2
4
x y
x =
+ khoảng (− +; ) b)
cos
y
x
= khoảng ;3 2
Câu 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( ) x x
= + đoạn [2;4] Câu 4: Tìm giá trị tham số m để phương trình
3
x − x − =m có ba nghiệm phân
biệt
Câu 5: Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng hai số dương cho tích chúng
3.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giá trị lớn hàm số y= − +x2 4x−5trên đoạn [0;3] bằng:
A - B C D
Câu 2: Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3+3x2−9x−7trên đoạn [-4;3] bằng:
A - B C D - 12
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ m hàm số
2
log log
y= x− x+ đoạn [1;8]
A m = -2 B m = C m = -3 D m = -5
Câu 4: Gọi M m GTLN GTNN hàm số
1
y=x −x tập xác định Tính M - m
A B C D
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ hàm số
3
y=x − x − x+ −4; 4
A
4;4 21 Min y
− =
B
4;4 14 Min y
− = −
C
4;4 11 Min y
(5)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí D
4;4 70 Min y
− = −
4 Kết luận
Qua học giúp học sinh
• Hiểu GTLN GTNN hàm số đoạn số hàm thường gặp • Nắm phương pháp tìm GTLN GTNN số hàm số có đạo hàm
www.eLib.vn Tìm giá trị nhỏ m hàm số 2 Gọi M m GTLN GTNN hàm số 2 96