Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.. Nếu không biết thì phải chia làm hai trường hợp dươn[r]
(1)Chương Bất phương trình bậc ẩn Bài 1, 2: Bất đẳng thức
(Bài 1, 2: Liên hệ thứ tự phép cộng phép nhân (SGK))
1/ Các định nghĩa
Định nghĩa 1:
a b a b
a b a b a b
a b
: đọc nhỏ : đọc lớn
Ví dụ: x 3tức x 3hoặc x
x đọc xâm (hoặcxnhỏ 0) x đọc x dương (hoặc x lớn 0)
x đọc x không âm (hoặc x lớn 0) x đọc x không dương ( x nhỏ 0) Định nghĩa 2: (định nghĩa bất đẳng thức)
Biểu thức có dạng: a b, a b, a b, a bđược gọi bất đẳng thức * a bthì a gọi vế trái, b gọi vế phải
Định nghĩa 3:
a b a b
a b a b
Tương tự cho dấu “ ”, dấu “ ”
(2)Muốn chứng minh: a < b Ta chứng minh a – b < (Tương tự cho dấu “ ”, “ ”, “ ”)
Ví dụ:
Ta có: 4> – > (Vì – = > 0)
-4 < -1 Vì (-4) – (-1) < (Vì -4 – (-1) = -4 + = -3 < 0) Biểu diễn số trục số:
Các số nằm phía trái nhỏ ngược lại (các số nằm phía phải lớn)
a -4 b c d Trên trục số ta có: a< -4 < b < < < c < < d
2/ Tính chất bất đẳng thức
Tính chất 1: Cộng vế cho số (1)
Nếu cộng hai vế bất đẳng thức cho số ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho
a b a c b c (1)
Chú ý:
Tính chất cho phép trừ Vì ta có dấu “ ” (1)
Tính chất tính chất chuyển vế đổi dấu đẳng thức
a c b a b c
Tính chất 2: Nhân hai vế cho số
Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho
(3) Nếu c > 0, ta có:
a b a.c b.c (2)
Nếu c < 0, ta có:
a b a.c b.c (3)
Chú ý:
Tính chất cho phép chia Vì (2) (3) ta có dấu “ ” Khi nhân (chia) hai vế cho số ta cần ý đến điều kiện dương
hay âm để dùng (2) hay (3) Nếu phải chia làm hai trường hợp dương hay âm để làm
Tính chất 3: Tính chất bắc cầu
a b a c b c
Tính chất 4: Cộng hai vế bất đẳng thức chiều
a b a c b d c d
Tính chất 5: Nhân hai vế bất đẳng thức chiều cho vế dương
(4)3/ Áp dụng:
VD1: Chứng minh:
a) a < a + 3, a
b) a – < a + 2, a
Giải:
a) Vì < => a + < a + (cộng hai vế cho a) a < a +
b) Tương tự: Vì -1 < => a + (-1) < a + a – < a +
VD2: Cho a < b Chứng minh:
a) 2a + < 2b + b) -3a + > -3b +
Giải:
a) Vì a < b => 2a < 2b ( nhân hai vế cho số > 0) 2a + < 2b + (cộng hai vế cho số 3)
b) Vì a < b => -3a > -3b (nhân hai vế cho -3 < 0) -3a + > -3b +
VD3: Cho a > b Chứng minh:
a) 3a > 2a + b b) a + > b –
Giải:
a) Vì a > b => a + 2a > b + 2a (cộng hai vế cho 2a) 3a > 2a + b
b) Cách 1:
Vì a > b => a + > b + (1) (cộng hai vế cho 2) Vì > -1 => b + > b – (2) ( cộng hai vế cho b) Từ (1), (2), ta có: a + > b – (tính chất bắc cầu)
Cách 2:
a b
a b
2 (Tính chất: cộng hai vế bất đẳng thức chiều)
Chú ý: Các ví dụ ta dùng tính chất chuyển vế đổi dấu để làm
4/ Bài tập nhà