Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông các tình huống dạy học điển hình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG (Các tình dạy học điển hình) TP.HCM – 2005 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách tài liệu đầy đủ lí luận dạy học môn toán (hay Phương pháp dạy học môn toán, ta thường gọi) Nó không đề cập hết nội dung Phương pháp dạy học môn toán với tư cách ngành khoa học hay với tư cách môn trường sư phạm Một giáo trình đầy đủ tác giả cố gắng hoàn thiện vài năm tới Tài liệu trình bày hai nội dung chủ yếu chương trình phương pháp dạy học môn toán – phần đại cương, mà tác giả giảng dạy cho sinh viên năm thứ ba Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh từ nhiều năm Đó số vấn đề liên quan đến phương pháp dạy học học theo định hướng tích cực hoá hoạt động học sinh, đặc biệt tình điển hình mà ta thường gặp thực tế dạy học toán trường phổ thông Việc xuất tài liệu nhắm tới mục đích chủ yếu sau đây: − Cập nhật số nội dung kiến thức mới, phù hợp với xu phát triển khoa học giáo dục nói chung định hướng đổi phương pháp trường phổ thông nói riêng; − Trình bày chi tiết hơn, sâu số nội dung liên quan tới tình điển hình dạy học môn toán trường THPT với nhiều ví dụ minh hoạ rút từ thực tế dạy học; − Tạo thuận lợi cho việc đổi cách dạy cách học trường Đại học Sư phạm, hạn chế tối đa việc ghi chép sinh viên Từ cho phép dành nhiều thời gian cho hoạt động thực hành soạn tập giảng, xem trao đổi giảng giáo viên phổ thông qua băng đóa, dự giáo viên trường Trung học phổ thông từ đầu năm thứ ba trình học tập môn Phương pháp dạy học Nó tạo thuận lợi cho việc tổ chức học tập hình thức thảo luận, xêmina, làm tập theo nhóm, … Tác giả hy vọng việc đào tạo đan xen lí thuyết thực hành cho phép sinh viên nắm vững kiến thức rèn luyện tốt kó sư phạm Hy vọng tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên phổ thông xu đổi phương pháp dạy học Tác giả biết ơn mong muốn nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để hoàn thiện dần nội dung đề cập tài liệu Tác giả Lê Văn Tiến Phần PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Những vấn đề lí luận dạy học tổng quát1 đề cập học phần Giáo dục học đại cương dành cho sinh viên năm thứ hai Đại học Sư phạm Vấn đề vận dụng chúng vào dạy học môn toán Để trả lời câu hỏi này, trước hết phải làm rõ đặc thù dạy học môn toán tương thích với lí luận dạy học nói chung Điều đề cập giáo trình đầy đủ phương pháp dạy học môn toán mà tác giả cố gắng hoàn thiện vài năm tới Trong phạm vi tài liệu này, sau sơ lược vài khái niệm bản, ta tập trung vào số vấn đề phương pháp dạy học toán theo định hướng tích cực hoá hoạt động học sinh Sau đó, ta quan tâm đặc biệt dạy học đặt giải vấn đề Khái niệm phương pháp dạy học Thuật ngữ phương pháp, theo tiếng Hy Lạp “Méthodos”, có nghóa đường, cách thức thực kiểu nhiệm vụ đó, nhằm đạt tới kết ứng với mục đích vạch Dạy học khái niệm hoạt động chung người dạy người học nhằm mục đích làm cho người học lónh hội kiến thức kó năng, phát triển lực trí tuệ phẩm chất đạo đức, thẩm mó, … Hoạt động dạy học bao hàm hoạt động dạy hoạt động học Tuy nhiên, hai hoạt động không diễn cách song song tách rời mà xen lẫn vào nhau, tương tác lẫn Như vậy, xem dạy học kiểu nhiệm vụ mà giáo viên học sinh có trách nhiệm hợp tác thực Phương pháp dạy học cách thức thực kiểu nhiệm vụ “Dạy học” cặp người dạy - người học nhằm đạt mục đích dạy học xác định Phân loại tổng thể phương pháp dạy học Hiện có nhiều hệ thống phân loại khác phương pháp dạy học, chưa có hệ thống phân loại thực hoàn chỉnh tối ưu (vả lại xây dựng hệ thống phân loại dường nhiều ý nghóa mặt thực tiễn) Tuy nhiên, dù có khiếm khuyết nó, hệ thống phân loại lại cho ta thấy rõ khía cạnh phương pháp dạy học Nếu dựa vào tiêu chí phân loại vai trò giáo viên, vai trò học sinh đặc trưng tri thức cần truyền thụ, ta có cách phân chia tổng thể phương pháp dạy học theo ba nhóm: Phương pháp giáo điều, phương pháp truyền thống phương pháp tích cực 2.1 Phương pháp giáo điều – Giáo viên: người có quyền lực tuyệt đối, thông báo, áp đặt kiến thức2 cách trực Quy trình dạy học, phương pháp dạy học, nguyên tắc dạy học, hình thức tổ chức dạy học, … Thực ra, có khác biệt Tri thức Kiến thức (tham khảo lí thuyết chuyển hóa sư phạm (transposition didactique) Y Chevallard, 1991) Tuy nhiên, giáo trình phân biệt rạch ròi hai khái niệm tiếp cho học sinh (theo kiểu giảng đạo) Giáo viên chi phối toàn mối quan hệ giáo dục – Học sinh: có vai trò lu mờ, thụ động nghe, học thuộc ghi nhớ điều mà giáo viên thông báo mà không cần hiểu “nghóa” kiến thức tiếp thu – Kiến thức : cho trực tiếp giáo viên dạng có sẵn “phi hoàn cảnh hoá”, “phi thời gian hoá” “phi cá nhân hoá” Nó mang “nghóa hình thức” – Giáo viên có quyền lực tuyệt đối việc đánh giá học sinh 2.2 Phương pháp truyền thống a) Đặc trưng tổng quát • Giáo viên : giữ vị trí trung tâm hệ thống dạy học, có trách nhiệm truyền đạt kiến thức cho học sinh, cho vài ví dụ minh họa hay vài toán mẫu, sau yêu cầu học sinh áp dụng kiến thức vào việc giải tình tương tự với tình mà giáo viên trình bày giải Trong kiểu dạy học này, giáo viên quan tâm chủ yếu tới trình bày cho xác, sáng sủa, rõ ràng, logic dễ hiểu, mà quan tâm đến mà học sinh cần, mà học sinh nghó hoạt động người học Để cho học sinh hiểu, ghi nhớ áp dụng tốt kiến thức trình bày, giáo viên thường ý đảm bảo số nguyên tắc phương pháp sư phạm tổng quát, chẳng hạn : đảm bảo tính hệ thống, tính trực quan, tính vừa sức, … Từ đó, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học3; coi trọng việc luyện tập ôn tập ; ý đặc biệt đến kó thuật đặt câu hỏi, … • Học sinh: học theo kiểu bắt chước thường thụ động tiếp thu Họ cố gắng ghi nhớ áp dụng “mẫu” mà giáo viên trình bày Hoạt động đích thực học sinh (nếu có) diễn trả lời số câu hỏi, làm tập áp dụng hay thực chứng minh định lí, … theo yêu cầu giáo viên • Kiến thức: cho trực tiếp giáo viên thường dạng có sẵn “phi hoàn cảnh hoá”, “phi thời gian hoá”, “phi cá nhân hoá” mang “nghóa hình thức” • Giáo viên có vai trò gần tuyệt đối việc đánh giá học sinh b) Các phương pháp dạy học truyền thống Hiện nay, thân phương pháp dạy học truyền thống, có nhiều hệ thống phân loại khác nhau, chúng chưa hoàn chỉnh chưa có thống cộng đồng nhà sư phạm Dưới đây, giới thiệu tóm tắt hệ thống phân loại – Nhóm phương pháp dùng lời : Thuyết trình; Đàm thoại; Làm việc với sách ; … – Nhóm phương pháp trực quan: Biểu diễn vật thật, vật tượng hình hay tượng trưng; Xem băng ghi hình, phim đèn chiếu, … – Nhóm phương pháp thực hành: Luyện tập ; Thực nghiệm, quan sát dự đoán … Trong thực tế dạy học, phương pháp thuộc ba nhóm thường sử dụng xen kẽ nhau, lồng vào Sơ đồ, biểu đồ, vật thật, phim ảnh, phần mềm MS Powerpoint, … Ở đây, ta không sâu nghiên cứu phương pháp dạy học truyền thống, chúng đề cập chi tiết môn Giáo dục học 2.3 Sư phạm tích cực phương pháp dạy học tích cực Ngay từ đầu kỉ 20 nhà tâm lí hay sư phạm Dewey, Parkhust, Dalton Mỹ, Freinner Pháp, Claparède Thu Só, Montessori Ý, Decroly Bỉ quan niệm : Cần phải đặt học sinh vào vị trí trung tâm hoạt động dạy học, phải xuất phát từ lợi ích học sinh điều mà họ quan tâm Đó thời điểm mà người ta bắt đầu nói “sư phạm tích cực” Tuy nhiên, gần suốt kỉ 20, sư phạm sống cách lay lắt bên cạnh sư phạm truyền thống Có nhiều xu hướng sư phạm tích cực khác : Sư phạm tương tác, Sư phạm khám phá, Sư phạm dự án, … Những xu hướng có nét tương đồng có nhiều khác biệt Trong phạm vi tài liệu này, ta không sâu nghiên cứu chúng Ở đây, thuật ngữ “Phương pháp dạy học tích cực” (hay gọi tắt Phương pháp tích cực) hiểu phương pháp dạy học thể tư tưởng xu hướng sư phạm tích cực4, mà sau ta nêu lên số đặc trưng Đặc trưng phương pháp tích cực : – Giáo viên tự nguyện rời bỏ vị trí trung tâm Họ người đạo diễn, trọng tài, cố vấn, tổ chức cho học sinh tự kiến tạo kiến thức – Học sinh trở thành chủ thể, thành trung tâm định hướng để tự xây dựng kiến thức, đặt trước kiến thức có sẵn sách giáo khoa, hay giảng áp đặt giáo viên – Nói chung, kiến thức khám phá người học phiến diện, khiếm khuyết, chưa đầy đủ, chưa hoàn chỉnh tri thức ta muốn truyền thụ Chính lớp học giáo viên giúp họ hoàn chỉnh kiến thức – Kiến thức không truyền thụ trực tiếp giáo viên mà học sinh khám phá qua trình hoạt động giải vấn đề (có thể có giúp đỡ giáo viên) Trong trường hợp này, kiến thức nảy sinh phương tiện hay kết hoạt động giải vấn đề học sinh – Kết hợp đánh giá thầy tự đánh giá trò – Học sinh tạo điều kiện tham gia vào việc đánh giá không sản phẩn cuối (như lời giải toán, …), mà trình mò mẫm, tìm kiếm cách giải vấn đề, đánh giá cách tổ chức giải vấn đề, tinh thần thái độ làm việc, khả sáng tạo, … hay bạn Từ đó, phát triển kó tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học 2.4 Phương pháp tích cực dạy học theo định hướng tích cực hoá hoạt động học sinh Phân biệt xu hướng sư phạm phương pháp tương đối, thực khái niệm phương pháp xét ba cấp độ khác : - Ở cấp độ quan điểm, tư tưởng hay cách tiếp cận tổng quát, ta nói đến xu hướng sư phạm (chẳng hạn, sư phạm tương tác, sư phạm khám phá, ) - Ở cấp độ quy trình, hay thao tác cách thức thực cụ thể ta thường dùng thuật ngữ “Phương pháp” Hiện chưa có trí hoàn toàn việc sử dụng thuật ngữ “Phương pháp tích cực” Có thể tính đến ba quan niệm trội sau đây: • Quan niệm thứ nhất: Dùng thuật ngữ “Phương pháp tích cực” để tất phương pháp dạy học cho phép phát huy tính tích cực học tập học sinh Quan niệm dựa khái niệm “tính tích cực học tập học sinh” mà theo G I Sukina (1977) dấu hiệu là: Học sinh khao khát học tập, hay nêu thắc mắc, chủ động vận dụng linh hoạt kiến thức học, tập trung ý kiên trì giải vấn đề, … Sukina5 phân chia tính tích cực làm ba cấp độ: Tính tích cực bắt chước, tái hiện: Xuất tác động kích thích bên (yêu cầu giáo viên), trường hợp này, người học thao tác đối tượng, bắt chước theo mẫu mô hình giáo viên, nhằm chuyển đối tượng từ vào theo chế “Hoạt động bên bên có cấu trúc” Nhờ đó, kinh nghiệm hoạt động tích luỹ thông qua kinh nghiệm người khác Tính tích cực tìm tòi: độc lập giải vấn đề đặt ra, tìm kiếm phương thức hành động sở có tính tự giác, có tham gia động cơ, nhu cầu, hứng thú ý chí học sinh Tính tích cực sáng tạo: thể chủ thể nhận thức tự tìm tòi kiến thức mới, tự tìm phương thức hành động riêng trở thành phẩm chất bền vững cá nhân Đây mức độ biểu cao tính tích cực Như vậy, theo quan niệm này, tình học tập “bắt chước” cần thiết phát huy tính tích cực học tập học sinh • Quan niệm thứ hai : Tư tưởng tương tự quan niệm thứ nhất, tránh dùng thuật ngữ “Phương pháp tích cực” hay “Phương pháp dạy học tích cực”, mà sử dụng cách nói khái quát “Phương pháp dạy học theo định hướng tích cực hoá hoạt động học sinh” hay theo định hướng “hoạt động hoá người học”, … • Quan niệm thứ ba: Dùng thuật ngữ “Phương pháp tích cực” theo nghóa chặt, để phương pháp dạy học có đặc trưng chủ yếu mà nêu Như vậy, theo quan niệm này, phương pháp tích cực phương pháp dạy học theo định hướng tích cực hoá hoạt động học sinh không đồng Nói cách khác, có phương pháp dạy học cho phép phát huy tính tích cực học tập học sinh, phương pháp tích cực Tài liệu biên soạn dựa quan niệm thứ ba Theo quan niệm này, điều kiện cần phương pháp tích cực xuất phát từ đặc trưng việc xây dựng kiến thức: kiến thức phải kiến tạo học sinh qua trình hoạt động giải vấn đề họ (có thể có giúp đỡ nhiều giáo viên) Để hiểu rõ quan niệm này, ta xét tiến trình dạy học định lí toán học (kiến thức cần lónh hội) sau đây: Trích dẫn theo Nguyễn Lan Phương (2000) - Bước 1: Trình bày định lí (giáo viên phát biểu định lí học sinh đọc định lí có sẵn sách giáo khoa) - Bước 2: Học sinh chứng minh định lí (có thể có giúp đỡ giáo viên nhờ vàp phương pháp vấn đáp gợi mở) - Bước 3: Học sinh làm tập củng cố vận dụng định lí (có thể có giúp đỡ giáo viên nhờ vào phương pháp vấn đáp gợi mở) Các phương pháp dạy học sử dụng giáo viên ứng với tiến trình không xem phương pháp dạy học tích cực, kiến thức cần xây dựng nội dung định lí thông báo trực tiếp mà học sinh kiến tạo nên Tuy nhiên, chúng cho phép phát huy tính tích cực học tập học sinh pha chứng minh định lí hay giải tập áp dụng Chú ý rằng, phương pháp tích cực hiểu theo nghóa chặt có tính tương đối Nếu quan niệm học sinh tự chứng minh định lí (thậm chí chứng minh nhiều cách khác nhau) học sinh tự khám phá dạng tri thức khác, chẳng hạn tri thức phương pháp Như vậy, phương pháp dạy học tương ứng phải phương pháp tích cực ! Quả thực, nhiều trường hợp việc khám phá cách chứng minh khác kết biết đòi hỏi tính tích cực, chủ động sáng tạo Như vậy, để không rơi vào tình lưỡng lự này, cần phải xác định rõ kiến thức mới, trọng tâm cần xây dựng học Đó phải kiến thức hình thành nên phần chủ yếu mục tiêu học, mà giáo viên phải làm rõ phần mục tiêu (hay mục đích yêu cầu) giáo án Hơn nữa, đây, khái niệm Kiến thức hiểu theo nghóa : kiến thức mà học sinh chưa có (một định nghóa khái niệm, định lí, phương pháp giải toán,…), kiến thức cũ điều chỉnh, tổ chức lại lấy nghóa Chẳng hạn, lớp 12 học sinh biết nhiều phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Nếu họ tự thực tổng hợp phương pháp, phân tích, so sánh xếp loại chúng, nhận điều kiện áp dụng phương pháp tính hiệu chúng (trong điều kiện áp dụng phương pháp này, mà phương pháp kia,…), … trường hợp này, ta quan niệm học sinh tự khám phá kiến thức Ở đây, không nằm thân phương pháp mà học sinh biết, mà tổng thể mối quan hệ chúng 2.5 Phát huy tính tích cực học tập học sinh phương pháp dạy học truyền thống Trước hết cần tránh chủ nghóa cực đoan cho nên tổ chức cho học sinh tự kiến tạo (khám phá lại) tất kiến thức môn học mà xã hội mong muốn họ lónh hội Điều không thể, mà trước hết không đủ quỹ thời gian làm việc I.Ia.Lécne (1977) nhấn mạnh : “Do chất xã hội nó, dạy học truyền thụ kinh nghiệm xã hội tích luỹ cho hệ trẻ Cho nên tổ chức dạy học học sinh phải khám phá lại tất điều mà loài người biết trước quy định chương trình học, điều kì quái” Như vậy, loại bỏ hoàn toàn phương pháp dạy học truyền thống, mà cần có vận dụng phối hợp loại hình phương pháp Hơn nữa, theo quan điểm thứ ba nêu trên, áp dụng phương pháp dạy học truyền thống, phương pháp tích cực, ta phát huy tính tích cực học tập học sinh Nói cách khác, ta khai thác yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống Như vậy, tính tích cực học sinh phát huy pha khám phá kiến thức mà pha : Hợp thức hoá kiến thức (chứng minh định lí, chẳng hạn); Giải toán có vận dụng kiến thức vừa lónh hội; Ôn tập; … Tuy nhiên, cần lưu ý rằng, kiến thức cần truyền thụ chiếm lónh học sinh theo cách thức lónh hội tiêu chuẩn hay hình mẫu có sẵn, tính tính cực người học (nếu hiện) thấp Dạy học đặt giải vấn đề đây: Trước vào nội dung dạy học đặt giải vấn đề, ta đề cập hai lưu ý sau • Về tên gọi: Đã có nhiều cách gọi khác Dạy học nêu vấn đề, Dạy học có tính vấn đề, Dạy học giải vấn đề, Dạy học nêu giải vấn đề, Dạy học phát giải vấn đề, Dạy học đặt giải vấn đề Mỗi cách gọi có lí lẽ riêng hàm chứa logic hình thức dạy học tương ứng, điểm mấu chốt cần nhấn mạnh Nhưng ta không sâu phân tích vấn đề Ở đây, ta dùng thuật ngữ Dạy học đặt giải vấn đề với lí sau đây: – Hiện nay, thuật ngữ thường hay dùng; – Cụm từ “đặt giải vấn đề” thể quan điểm sư phạm đại sau dạy học toán trường phổ thông vận dụng nhiều nước, chẳng hạn Pháp: “Học toán học phát hiện, học trình bày giải toán, học xem xét lại toán ánh sáng công cụ lí thuyết nảy sinh từ trình giải vấn đề.” (Lê Văn Tiến, 2001) Thuật ngữ Đặt vấn đề dùng bao hàm hai nghóa: phát vấn đề trình bày vấn đề Dạy cho học sinh tự phát vấn đề, sau trình bày giải vấn đề cho phép phát huy cao độ tính tích cực tư sáng tạo học sinh Tuy nhiên, việc thực không dễ dàng tình hình dạy học Vì tính đến hai cấp độ thấp giáo viên dùng vấn đáp gợi mở để giúp học sinh thực điều đó, giáo viên trình bày trình phát vấn đề • Dạy học đặt giải vấn đề xu hướng sư phạm phương pháp dạy học? Câu trả lời phụ thuộc vào góc độ mà ta xem xét – Từ góc độ quan điểm tư tưởng tổng quát cách tiếp cận xu hướng sư phạm, đặt sở lí luận triết học, tâm lí học, giáo dục học sinh học Từ quan điểm giáo dục học, tư tưởng tổng quát là: “Học sinh tham gia cách có hệ thống vào trình giải vấn đề toán có vấn đề xây dựng theo nội dung tài liệu học chương trình.” (I Ia Lecne, Phạm Tất Đắc dịch 1977) – Từ góc độ quy trình hay thao tác áp dụng tình dạy học cụ thể, phương pháp dạy học Bây giờ, ta bàn đến số nội dung dạy học đặt giải vấn đề 3.1 Những khái niệm 3.1.1 Vấn đề Trong phạm vi giáo trình này, thuật ngữ Bài toán hiểu “tất câu hỏi cần giải đáp kết chưa biết cần tìm số kiện, phương pháp cần khám phá, mà theo phương pháp đạt kết biết ” (Từ điển « Petit Robert »)6 Xét toán T chủ thể X có ý thức T tiếp nhận T để giải Khi có hai khả xảy ra: – Chủ thể X giải toán T nhờ vào việc áp dụng đơn hệ thống kiến thức có mà khó khăn – X giải T dựa vào hệ thống kiến thức có, giải T sau trình tích cực suy nghó để đồng hoá đối tượng nhận thức vào mô hình kiến thức cũ mình, để điều chỉnh lại kiến thức hay phương thức hành động cũ (nghóa kiến tạo kiến thức mới) Nói cách khác toán T đặt trước chủ thể X khó khăn nhận thức, mâu thuẫn biết chưa biết, chủ thể ý thức cách rõ ràng hay mơ hồ, chưa có phương pháp có tính thuật toán để giải Khi ta nói, toán T vấn đề7 chủ thể X Cần nhấn mạnh rằng, để toán T vấn đề chủ thể X, trước hết X phải có ý thức T tiếp nhận T để giải (tự nguyện hay bắt buộc) Như vậy, khái niệm vấn đề phụ thuộc vào chủ thể X vào thời điểm t xác định Một toán T vấn đề với chủ thể X, lại không vấn đề với chủ thể Y Cùng chủ thể X, T vấn đề X thời điểm này, lại vấn đề X thời điểm khác Một vài ví dụ: – Đối với học sinh vừa học xong đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, toán « Khai triển (m + 3) » vấn đề để giải, cần áp dụng mô hình cách thức hành động có từ việc học đẳng thức Nhưng, « Khai triển biểu Để hiểu rõ khái niệm toán, tham khảo mục D “Dạy học giải toán” phần Cách hiểu phần phù hợp với thuật ngữ «Vấn đề» theo nghóa đời thường : “Vấn đề” hiểu cách đơn giản vướng mắc, khó khăn sống mà ta đối mặt cần giải thức (a + b + c) » lại vấn đề với học sinh Việc giải thành công toán đòi hỏi, học sinh biết biến đổi (đồng hoá) đối tượng (a+b+ c)2 vào mô hình cũ, chẳng hạn (a + b + c) = [a + (b + c)] áp dụng đẳng thức biết cho hai số a (b+c) Sau giải xong toán, học sinh lónh hội kiến thức mới, đẳng thức (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc phương thức hành động đặt sở kiến thức Chẳng hạn, phương thức hành động cho phép khai triển trực tiếp bình phương tổng dạng (a + b + c)2, mà không cần quay phương thức hành động cũ – Giả thuyết tiếng Goldbach (1690 – 1764): «Tất số tự nhiên chẵn khác phân tích thành tổng hai số nguyên tố lẻ », vấn đề cá nhân X có ý muốn chứng minh Goldbach đưa khẳng định thư gửi cho Euler (1707 - 1783) vào năm 1742, chứng minh Nhiều nhà toán học thử giải vấn đề này, chưa khẳng định hay sai 3.1.2 Tình có vấn đề tình gợi vấn đề Tình có vấn đề tình tồn vấn đề (theo nghóa trên) Tình gợi vấn đề tình thoả mãn ba điều kiện sau: a) Tồn vấn đề b) Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình có vấn đề, lí mà họ hứng thú tìm hiểu, suy nghó để tìm cách giải (chẳng hạn họ cảm thấy chẳng có ích cho mình, hay mệt mỏi, …) tình gợi vấn đề Tình gợi vấn đề phải tình tạo cho học sinh cảm xúc hứng thú, mong muốn giải vấn đề c) Gây niềm tin khả năng: Nếu vấn đề tình hấp dẫn, lôi học sinh có nhu cầu giải quyết, họ mau chóng cảm thấy vấn đề khó, vượt khả mình, họ không hứng thú, không sẵn sàng giải vấn đề Tình gợi vấn đề phải bộc lộ mối quan hệ (có thể mờ nhạt) vấn đề cần giải vốn kiến thức sẵn có chủ thể, tạo họ niềm tin tích cực suy nghó thấy rõ mối quan hệ có nhiều khả tìm cách giải Tóm lại, tình gợi vấn đề tình gợi cho học sinh khó khăn lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết có khả vượt qua, tức nhờ vào quy tắc có tính thuật toán, mà phải trải qua trình tích cực suy nghó, hoạt động để đồng hoá hay điều chỉnh hệ thống kiến thức sẵn có nhằm thích nghi với điều kiện hành động Các điều kiện b c cho phép phân biệt tình gợi vấn đề với tình có vấn đề Một tình có vấn đề cần thoả mãn điều kiện a • Ví dụ tình có vấn đề: 10 4.2.5 Kiểm tra, đánh giá kết lời giải Thông thường, học sinh thói quen kiểm tra, đánh giá kết đạt nghiên cứu lại lời giải Nếu có đại đa số nghó bước cuối có tác dụng kiểm tra xem kết đạt có xác không, lời giải có sai sót không Thực ra, việc kiểm tra đánh giá kết lời giải có nhiều mục đích khác nhau, chẳng hạn : – Kiểm tra tính xác kết quả, lời giải (chú ý : nhiều lời giải sai lại cho kết đúng) : Kiểm tra xem tính toán có xác không, suy luận có hợp logic chặt chẽ không, kết có thích đáng không (nghóa có thỏa mãn điều kiện có đề hay điều kiện thực tế hay không), … – Phát cách giải khác ngắn gọn hơn, hay – Đánh giá mặt phương pháp giải để lónh hội sâu sắc tri thức phương pháp – Nghiên cứu toán cho phép phát trường hợp đặc biệt, khái quát hoá hay mở rộng toán Ví dụ (kiểm tra tính xác kết lời giải) : Giải phương trình 2x − + x − = Lời giải hoïc sinh : “ 2x − + x − = ⇔ 2x-1 + x – + 3 2x −1.3 x −1 = ⇔ 2x − 1.3 x − = –x ⇔ 2x² - 3x + = – 3x + 3x² - x3 ⇔ x3 – x² = ⇔ x = hay x = Đáp số : x = 0, x = ” Việc thử lại nghiệm cho thấy x = không nghiệm phương trình Do đó, kết luận lời giải sai, lời giải phép biến đổi tương đương, kết tìm phải Như vấn đề kiểm tra lại bước giải : bước biến đổi có sai sót không ? công thức vận dụng có xác không ? suy luận có chặt chẽ không ? tính toán có nhầm lẫn không ? … Ví dụ (Phát cách giải khác) : −1 ) = (1) x * Cách giải mà nhiều học sinh thường áp dụng : Giải phương trình : log1/2log2log2log2( Miền xác định : ⎧−1/ x > ⎧−1/ x > ⎪log (−1/ x) > ⎪ ⎪ ⎪−1/ x > ⇔⎨ ⎨ ⎪log log (−1/ x) > ⎪log (−1/ x) > ⎪⎩log log log (−1/ x) > ⎪⎩log log (−1/ x) > 112 ⎧−1/ x > ⎧−1/ x > ⎪ ⇔ ⎨−1/ x > ⇔⎨ ⇔ −4 < x < ⎩−1/ x > ⎪log (−1/ x) > ⎩ Khi đó, (1) ⇔ log2log2log2( −1 −1 ) = ⇔ log2log2( ) = x x −1 ) = ⇔ -1/x = 16 ⇔ x = - b 1/16 x * Nhận xét thứ lời giải : ⇔ log2( – Quá dài dòng bước tìm điều kiện (miền xác định phương trình) – Rất dễ sai tìm điều kiện – Chỉ có nghiệm Hơn nghiệm đưa dạng luỹ thừa Như vậy, thử lại nghiệm không khó khăn Những nhận xét gợi nên cách giải dùng phép biến đổi hệ : (1) ⇒ log2log2log2( − ) = ⇒ log2log2( − ) = x −1 ⇒ log2( ) = 4⇒ -1/x = 16 x x ⇒ x = -1/16 Thử lại nghiệm, cách x = -1/16 vào phương trình * Nhận xét : Với < a ≠ 1, ta có logaf(x) = α ⇔ f(x) = aα Từ dẫn đến cách giải sau đây, mà không cần đặt điều kiệm ban đầu : −1 −1 (1) ⇔ log2log2log2( ) = ⇔ log2log2( ) = x x −1 ⇔ log2( ) = ⇔ -1/x = 16 x ⇔ x = -1/16 Ví dụ (Hình thành tri thức phương pháp) : Trong ví dụ giải phương trình x + = 2(x² + 2) Đánh giá cách giải thứ (xem ví dụ trên), ta nêu lên đặc trưng phương pháp nhằm hình thành học sinh số tri thức phương pháp, mà ta dịp đưa vào dạy thức : – Đôi khi, phương trình giải cách đặt hai ẩn phụ Việc đặt hai ẩn phụ cho phép đưa phương trình bậc cao phương trình bậc thấp hay hệ phương trình hai ẩn – Một phương trình đẳng cấp bậc hai hai ẩn x, y giải nhờ vào ẩn x y hay t = (có thể mở rộng cho phương trình đẳng cấp bậc n) phụ t = y x 4.3 Lưu ý mặt sư phạm • Dù có yêu cầu học sinh giải nhiều tập (chưa có, hay thuật toán giải, hay thuật toán cũ tỏ hiệu quả), điều không đủ Việc học tập phương pháp tìm tòi lời giải toán cần thiết Nói cách khác, cần hướng dẫn học 113 sinh học cách suy nghó, cách tìm tòi lời giải Đây hội tốt để trang bị cho học sinh số tri thức phương pháp, phát triển lực phẩm chất tư Để làm điều đó, nên : – Rèn luyện thói quen giải toán theo tiến trình phân tích – Trong bước, cần có thói quen đặt câu hỏi, hệ thống câu hỏi mà G Polia đề nghị – Tập luyện số thủ thuật tìm tòi lời giải nêu – Giáo viên hạn chế tác động tốt nhiêu Chỉ sử dụng tác động có tính gợi ý số trường hợp cần thiết (học sinh gặp khó khăn) Nên trình bày gợi ý dạng vấn đáp tìm tòi (đàm thoại ơrixtic) : Giáo viên đề hệ thống câu hỏi xếp hợp lí thứ tự lẫn độ khó để qua học sinh bước phát phương hướng giải • Không hạn chế việc giải tập nhằm vào chức củng cố luyện tập Cần tăng cường khai thác tập động hay phương tiện hình thành kiến thức • Nên tăng cường khai thác toán thực tiễn với vai trò chức làm rõ phần Câu hỏi tập Trình bày quan điểm riêng Anh (Chị) cách dùng thuật ngữ « Bài toán » « Bài tập » Cho cách phân loại khái niệm « toán », khác với phân loại nêu giáo trình Việc nghiên cứu nhiều kiểu phân loại có lợi ích cho việc dạy học Anh (Chị) ? Tham khảo sách giáo khoa toán thuộc cấp học bậc THPT (lớp 10, lớp 11, hay lớp 12), từ đánh giá mục đích mức độ khai thác toán thực tiễn sách giáo khoa Trình bày phương án sử dụng toán thực tiễn với chức làm động đưa vào kiến thức thuộc chương trình toán THPT Giải phương trình bất phương trình sau nhiều cách khác (nếu có theå) : a) cosx + cos6x = b) |sinx-cosx| + 4sin2x = (đề 51) c) x − + x + + x ² + 2x − = − 2x d) lgx = x² e) log7(x+2) = 6-x x x Giải bất phương trình ⎛⎜ + ⎞⎟ + ⎛⎜ − ⎞⎟ ≥ 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Giải biện luận phương trình : x − + α ² x ² + 2.α x ( − ) = − Giải biện luận theo tham số a phương trình : 114 x3 + (2 – a²) a = Cho toán : Giải bất phương trình x + ( a ² − 2) a x − ≥ 10 − x + Tìm sai lầm làm sau học sinh lớp 10 : “Vì 10 − x + 1> 0, nên x − ≥ 10 − x + ⇔ x – ≥ 11 – x + 10 − x ⎧2x − 17 ≥ ⇔ 10 − x ≤ 2x – 17 ⇔ ⎨ ⎩4(10 − x ) ≤ 4x ² − 68x + 289 ⎧x ≥ 17 / ⇔ x ≥ 17/2.” ⇔ ⎨ ⎩∀x 10 Chứng minh nhiều cách khác định lí cosin tam giác : a² = b² + c² 2bc.cosA 11 Chứng minh hàm số f(x) = x ² + x + + x ² − x + đạt giá trị nhỏ a) Giải toán nhiều cách khác b) Dự đoán sai lầm mà học sinh gặp phải giải toán c) Phân tích khả sử dụng toán việc rèn luyện số phẩm chất tư : Tính linh hoạt, tính phê phán tính sáng tạo ⎧ ⎪⎪b1 = 12 Cho dãy (bn) xác định : ⎨ ⎪b = ⎪⎩ n +1 − b n với ∀n ≥ Tìm công thức tính số hạng tổng quát dãy phụ thuộc tham số n 13 Hãy xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt học sinh giải toán sau : log a c = + log a b a) Chứng minh hệ thức : log ab c b) Giải phương trình : sin3x + sin3x = 3 sin2x c) Giải phương trình : 8x+1 + 8.(0,5)3x + 3.2x+3 = 125 – 24.(0,5) x 14 Cho toán : Với giá trị m phương trình x2 - ⎜x⎜ + m = có nghiệm Đánh giá làm sau : Nếu x nghiệm –x nghiệm (-x) - ⎜-x⎜ + m = x2 - ⎜x⎜ + m = Do đó, phương trình có nghiệm x = -x hay x = Thay x = vào phương trình ta m = Vậy, với m = phương trình cho có nghiệm 15 Cho toán : Trong không gian, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Hai điểm M, N chia đoạn AC BD theo tỉ số k Chứng minh vectơ AB , CD , MN đồng 115 phẳng Đánh giá làm sau : A M I C B N D Gọi I điểm chia đoạn thẳng BC theo tỉ số k Xét tam giác ABC ta có : BI AM = = k ⇒ MI//AB (Theo định lí Talet) IC MC ⇒ AB//(MNI) (1) Tương tự xét tam giác BDC, ta có BN BI = = k ⇒ NI//CD ⇒ CD//(MNI) (2) ND IC Mặt khác, MN ⊂ (MNI) (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ Các đường thẳng chứa vectơ AB , CD , MN song song với mặt phẳng (MNI) thuộc mặt phẳng ⇒ AB , CD , MN đồng phẳng 16 Xét đề kiểm tra môn Phương pháp dạy học toán năm 2003 : « Cho toán : Giải phương trình x + + x − + x + − x − = (1) Anh (chị) phân tích làm sau học sinh : Pt (1) ⇔ ⇔ x − + 2.2 x − + + x − − x − + = ( x − + 2) + ( x − − 3) = ⇔ x −1 + + x −1 - = ⇔ x − = ⇔ x - = ⇔ x = 10 » Sau làm số sinh viên : Sinh viên : “Bài làm có hai sai lầm Sai lầm : Học sinh không nắm vững (khái niệm) định nghóa phương trình tương đương, phương trình hệ Trước giải toán cần phải có thói quen đặt điều kiện cho biểu thức dấu sau sử dụng dấu “⇔ “đề giải phương trình Còn không đặt điều kiện giải theo phương pháp “phương trình hệ quả”, sử dụng dấu “⇒ ”.Tìm nghiệm bắt buộc phải thử lại vào phương trình Em học sinh không đặt điều kiện cho biểu thức dấu mà sử dụng dấu tương đương để giải phương trình” 116 Sinh viên : “- Bài làm sai bước biến đổi tương đương ( x − + 2) + ( x − − 3) = ⇔ x − + + x − - = 5, … Ngoài bước giải phương trình thiếu điều kiện x≥1 ” Sinh viên : “Ở bước đầu em A xác định biến đổi tương đương, lời giải em thiếu điều kiện (Nếu biến đổi tương đương phải có điều kiện), … Bước cuối x − = ⇔ x - = ⇔ x = 10 phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả, nghóa laø x − = ⇒ x - = ⇒ x = 10 ” Hãy phân tích câu trả lời sinh viên 17 Cho toán : Giải phương trình x + + x − + x + − x − = (1) Phân tích làm sau số sinh viên năm thứ ĐHSP : Sinh vieân : “(1) ⇒ ⇒ x − + 2.2 x − + + x − − x − + = ( x − + 2) + ( x − − 3) = ⇒ ⎪ x − + 2⎪ + ⎪ x − - 3⎪ = ⎧⎪ x − + + x − − = neáu x -1 ≥ ⇒⎨ ⎪⎩ x − + − x − + = neáu x -1 < ⎧⎪ x − = neáu x ≥ 10 ⇒⎨ ⎪⎩5 = neáu ≤ x < 10 ⎧x = 10 neáu x ≥ 10 ⎧x = 10 ⇒⎨ ⇒ ⎨ ⎩1 ≤ x < 10 ⎩5 = neáu ≤ x < 10 Thử lại : x = 10 (1) thoả