Bài giảng số 3: Phương trình đẳng cấp bậc 2 và bậc 3 đối với sinx và cosx

 Nhận biết: Phương trình đẳng cấp là phương trình chứa sin , cos x x thỏa mãn bậc của tất cả các hạng tử đều là số chẵn hoặc là số lẻ.. (Tương tự đối với việc chia cho sinx để đưa [r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC VÀ BẬC ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Nhận biết: Phương trình đẳng cấp phương trình chứa sin , cosx x thỏa mãn bậc tất các hạng tử số chẵn số lẻ Chẳng hạn:

 sin , cosx x bậc

 2

sin x, cos x, sin cos ,x x cos2 , sin 2x x bậc

 3 2

sin x, cos x, sin xcos , sin cosx x x c, os3 , sin 3x x bậc  Cách giải: Ta xét trường hợp sau:

 Trường hợp 1: cosx 0

 Trường hợp 2: cosx 0 Khi ta chia vế cho osm

c x (ở m bậc

phương trình đẳng cấp), ta phương trình bậc m với ẩn tan x

(Tương tự việc chia cho sinx để đưa cotx)

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải phương trình: cos2x sin 2x 1 sin2x 1

 

Giải

Vì cosx 0 khơng nghiệm (1) nên chia vế (1) cho cos2x  ta được: 0





1 tan x tan x tan x   tanxtan2x

tan

x

x  

 

 







3 x k

k Z

x k

 

   

 

    

Vậy nghiệm phương trình





x k

k Z

x k

 

  

 

    

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos3x4 sin3x3cos sinx 2xsinx0 2

 

Giải

Khi

2

x k cosx 0 sinx  1 

 

(2)





3 2

1 tan x3 tan xtanx tan x 

3

3 tan x tan x tanx

    









tanx tan x

   

tan

3 tan

3 x

x   

 

  







4

6

x k

k

x k

 

  

   

 

    







x k

k Z

x k

 

  

   

 

    

Ví dụ 3: Giải phương trình: 3cos4x4 sin2 xcos2xsin4x0 3

 

Giải

Do cosx 0 không nghiệm nên chia vế (3) cho cos4x  , ta được: 0

2

3 tan xtan x0

2

tan

x

 

 

 

tan tan

4 tan tan

3 x

x



  

     

 

 

  

 

  

 







4

3

x k

k Z

x k

 

  

   

 

    

Ví dụ 4: Giải phương trình: os2

 

cot sin sin

1 tan

c x

x x x

x

   



Giải Điều kiện: sin 2x 0 tanx  1

Ta có:





2

2 cos os sin

os2 os sin

sin

1 tan cos sin

1 cos

x c x x

c x c x x

x

x x x

x

 

 

 







cosx cosx sinx

 

(do tanx  1 nên sinxcosx0)

Do đó:

 





sin

x

c x x x x x

x

     

cos sin

1 sin sin

x x



(3)





cos sin

sin cos sin

x x

x x x

 



   











2

tan tan

1 sin

tan cos os cos

x tm x

x

x x

c x x

   

 

   



 





2

4

2 tan tan

x k

k

x x l

  

 



 



  









4

x  k k

     (nhận sin 2x 0)





4

x k k  Ví dụ 5: Cho phương trình:

















 

4 6 m sin x3 2m1 sinx2 m2 sin xcosx 4m3 cosx0

a) Giải phương trình m 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm 0; 

 

 

  Giải

Khi

2

x k cosx 0 sinx  1 nên (5) trở thành:



m





m



      1 0(vô nghiệm)

Do cosx 0 không thỏa mãn (5) nên chia vế (5) cho cos3x , ta được:

























4 6 m tan x3 2m1 tanx tan x 2 m2 tan x 4m3 tan x 









 

3

tan

2

t x

t m t m t m

 

 



      











tan

1

t x

t t mt m

 

  

    

 

a) Khi m 2 (5) trở thành:









tan

1

t x

t t t

 

 

   

 





tan

4

x x  k k

      

b) Ta có: 0; x  

  tanx t





Xét phương trình:

 

2

t  mt m  





3 2

t m t

   

2

3 2 t

m t



 

 (do t 2 không nghiệm)

Đặt

 

2

3 t

y f t C

t 

 

(4)

Ta có:

 





2

4

2

t t

y f t t

 

   

Do

 

t  





(d) cắt (C) điểm t 1

3

2

m

m 

  

  

3 m

m 

  

  

Vậy với

3 m

m 

  

 

thỏa mãn yêu cầu toán

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải phương trình sau:

1 2sin 2 x6 cos2x ĐS:

 

arctan

x k

 

 

 

 

  



2 2sin3x cosx ĐS:

4

x  k

3 sin x2 2sinxcosx3cos x2   ĐS: x k

x k

 

   

  



4 4sin x3 3cos x3 3sinxsin xcosx2  ĐS:

x k

 

  

 

 

   

5

6

2

sin xcosx sinx cos x

cos x

(5)

6 3( )

sin x  sinx ĐS:

4

x k

7 sin 2x2 tanx3 ĐS:

4

x k

8 sin sin 2x xsin 3x6 cos3x ĐS:

arctan

3

x k

 



 

 

   

 Bài 2: Giải phương trình sau:

1 sin 3xcos3x2 cosx0 ĐS:

3

x k

 

  

   



    

2 5sin cos

6sin cos

2 cos

x x

x

  ĐS: Vô nghiệm

3 sinx4sin3xcosx ĐS:

4

x k

4 2





tan sinx x2 sin x3 cos2xsin cosx x ĐS:

3

x k

 

  

   



    

Bài 3: Cho phương trình: sin2x(2m2)sin cosx x(m1)cos2x m a) Giải phương trình với m 2 ĐS:

4 k

 



b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS:  2 m1

Bài 4: Tìm m để phương trình 2

3sin x(2m1)sin cosx x(m1) cos xm có nghiệm 0; x  

 

ĐS: m

Bài 5: Cho phương trình 6

sin cos sin

2

x xm x

a) Giải phương trình với m 1 Đs: sin 2

x 