Đang tải... (xem toàn văn)
cho MD = MA. Gọi E và F lần lượt trên các đoạn AB,CD sao cho AE = DF.. Trên d lấy điểm N sao cho C,N cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB và AN = BC.. I là giao điểm của MN và BC. Đường t[r]
(1)Bài giảng số 8: PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC BẰNG NHAU
Dạng 1: Dạng chứng minh
1) Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc
*Phương pháp giải:
- Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai
tam giác nào?
- Bước 2: Chứng minh hai tam giác
- Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng
nhau
Ví dụ 1: Cho góc xOy khác góc bẹt Lấy điểm A,B nằm Ox cho OA < OB Gọi C,D điểm nằm Oy cho OC = OA, OD = OB E giao điểm AD BC Chứng minh rằng:
a) AD = BC
b) ∆EAB = ∆ECD
c) OE tia phân giác góc xOy
Giải:
GT xOy 180 o;
A, BOx; OA < OB
C, DOy; OA = OC; OB = OD
ADBCE KL a) AD = BC
b) ∆EAB = ∆ECD
c) OE tia phân giác góc xOy
x
(2)Chứng minh
a) Chứng minh AD = BC
Xét OADvà OCBcó:
- OA = OC (gt)
- OB = OD (gt)
- BOC chung
OAD = OCB (c-g-c) AD = BC (Cạnh tương ứng)
b) Chứng minh ΔEAB = ECD
Ta có: OB = OD (gt)
OA = OC (gt)
OB – OA =OD – OC hay AB = CD (1)
Có: BCO = DAO (góc tương ứng)EAB = ECD (hai góc kề bù với góc nhau) (2)
Xét ΔEABvà ΔECDcó:
- AB = CD {theo (1)}
- EAB = ECD {theo (2)}
- EBA = EDC (góc tương ứng OADvà OCB)
ΔEAB = ECD (đpcm) (3)
c) Chứng minh OE phân giác góc xOy
(3) EA = EC (cạnh tương ứng)
Xét ΔOEAvà ΔOECcó:
(3)- EA = EC (cmt)
- OE chung
ΔOEA = ΔOEC (c-c-c) EOA = COA hay xOE = yOE
OE tia phân giác góc xOy
Ví dụ 2:Cho tam giác ABC Lấy E,F nằm BC cho BE=CF Từ E F kẻ
đường thẳng song song với AB, cắt AC G H Chứng minh rằng: EG+HF=AB
GT ΔABC; E, FOx; BE = CF
EG // AC; FH // AC; G, HBC
KL EG + HF = AB
Chứng minh
Từ E kẻ DE // AC𝐷𝐸𝐵 = 𝐴𝐶𝐹 (đồng vị)
Có FH // AB𝐷𝐵𝐸 = 𝐻𝐹𝐶 (đồng vị)
*Xét ∆BDE ∆FHC có:
- 𝐷𝐸𝐵 = 𝐴𝐶𝐹 (cmt)
- BE = CF (gt)
- 𝐷𝐵𝐸 = 𝐻𝐹𝐶 (cmt)
Vậy ∆BDE = ∆FHC (g-c-g)
(4)*Xét ∆ADE ∆EGA có:
- 𝐷𝐴𝐸 = 𝐺𝐸𝐴 (đồng vị)
- AE chung
- 𝐷𝐸𝐴 = 𝐺𝐴𝐸 (đồng vị)
Vậy ∆ADE = ∆EGA(g-c-g)
AD = EG (2 cạnh tương ứng)(2)
Lại có: AB = BD + DA(3)
Từ (1); (2); (3) AB = EG + FH (đpcm)
2) Chứng minh quan hệ song song, vng góc, ba điểm thẳng hàng
*Phương pháp chứng minh
a) Chứng minh đường thẳng vng góc
- Chứng minh góc tạo thành 90 độ
- Vận dụng định lý: đường thẳng vng góc với đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại
b) Chứng minh đường thẳng song song
- Chứng minh góc so le nhau; góc đồng vị góc phía bù
- Vận dụng tính chất từ vng góc đến song song
c) Chứng minh điểm thẳng hàng
- Vận dụng tính chất tia đối
- Vận dụng đường thẳng qua điểm song song vng góc với đường thẳng trùng
- Vận dụng tiên đề Ơclit
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D
(5)a) Chứng minh E, M, F thẳng hàng
b) Từ A dựng đường thẳng d song song với BC Trên d lấy điểm N cho C,N thuộc nửa mặt phẳng bờ AB AN = BC Chứng minh điểm N, C, D thẳng hàng
GT ΔABC, AM = BM, MBC MD = MA, AE = DF KL a) E, M, F thẳng hàng
b) AN // BC; AN = BC chứng minh N, C, D thẳng hàng
Chứng minh
a, Xét ∆AMB ∆DMC có:
- MB = MC (M trung điểm BC)
- 𝐴𝑀𝐵 = 𝐷𝑀𝐶 (đối đỉnh)
- MA = MD (gt)
Vậy ∆AMB = ∆DMC(c-g-c)
𝐵𝐴𝑀 = 𝐶𝐷𝑀 (2 góc tương ứng)
Xét ∆EAM ∆FDM có:
- EA = FD (gt)
- 𝐵𝐴𝑀 = 𝐶𝐷𝑀 (cmt)
- AM = DM (gt)
Vậy ∆EAM = ∆FDM(c-g-c)
𝐸𝑀𝐴 = 𝐹𝑀𝐷 ( góc tương ứng)
(6)𝐸𝑀𝐴 + 𝐴𝑀𝐹 = 1800
Hay 𝐸𝑀𝐹 = 1800
E,M,F thẳng hàng
b, có 𝐵𝐴𝑀 = 𝐶𝐷𝑀 (cmt)
AB // CD (2 góc so le nhau)(1)
Xét ∆ABC ∆CAN có:
- BC = AN (gt)
- ACB = CAN (so le trong)
- AC chung
Vậy ∆ABC = ∆CAN (c-g-c)
BAC = NCA (2 góc tương ứng)
Mà góc vị trí so le
CN // AB(2)
Từ (1); (2) C,N,D thẳng hàng
Bài tập áp dụng phần
Bài 1: Cho tam giác ABC cóAB < AC, A x, tia phân giác góc A cắt BC D Lấy điểm
E cạnh AC cho CDE x Chứng minh BD = DE
Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Điểm D nằm BC, điểm E nằm tia đối CB
sao cho BD = CE Từ D E kẻ đường vng góc với BC cắt AB , AC M N I giao điểm MN BC Đường thẳng vng góc với MN I cắt tia phân giác góc BAC điểm O Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) I trung điểm MN
c) ∆AOB = ∆AOC
(7)Gợi ý:
d) OCA = OCN mà OCA + OCN 180o(2 góc kề bù) OC vng góc AN
Bài 3:Cho tam giác ABC có AB = AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối
của tia CB lấy E cho DB = CE Chứng minh
a) AD = AE
b) Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt BC H Chứng minh H trung điểm DE AH tia phân giác góc DAE
Bài 4: Cho tam giác ABC có o
B = 50 ; C 30 o Kẻ AHBC (H BC ) Trên AC lấy điểm
D cho AD = AB Chứng minh AH = 1BD
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AHBC, HBC Trên tia đối tia AH, lấy điểm
D cho AD = BC Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ đoạn thẳng CE vng góc CA Chứng minh CDBE
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB < AC O trung điểm BC Từ O kẻ đường thẳng
vng góc với BC cắt AC D Trên tia BD lấy điểm E cho BE = AC Gọi S giao điểm AB CE Chứng minh rằng:
a) AE // BC
b) điểm S,D,O thẳng hàng
Bài 7: Tam giác ABC vuông A, đường cao AH Từ H hạ đường vng góc
xuống AB AC, cắt AB AC P Q Trên tia đối tia PH lấy điểm E cho PE = PH Trên tia đối tia QH lấy điểm F cho QF = QH Chứng minh rằng:
a) ∆APE = ∆APH ; ∆AQH = ∆AQF
b) điểm E,A,F thẳng hàng AE = AF
c) BE // CF
Bài8: Cho tam giác ABC vuông A, AB=AC Qua A vẽ đường thẳng d cho B,C
cùng phía so với d kẻ BH CK vng góc với d
(8)b) Kết câu a) thay đổi B, C nằm khác phía d
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = AC Trên tia đối cua tia BC lấy M, tia đối
tia CB lấy điểm N cho BM = CN Vẽ BD vng góc với AM D, CE vng góc với AN E
a)Chứng minh AM = AN
b) Chứng minh BD = CE
c) Gọi K giao điểm BD CE Chứng minhADK = AEK
d) So sánh độ dài KD + KE với 2AK
Bài 10*: Cho tam giác ABC nhọn AHBC (H thuộc BC) Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác vng cân A ABE, ACF Chứng minh AH qua trung điểm EF
HD: Gọi M giao điểm AH EF
Kẻ EIAM, FKAM
Chứng minh EI = FK = AHΔOKF = ΔOIE
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc
*Phương pháp giải:
- Suy từ góc nhau, cạnh tam giác
- Áp dung tính chất “cộng đoạn thẳng”
- Dựa vào tổng góc tam giác, góc ngồi tam giác
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng B, AC =2AB Kẻ phân giác AE (E ∈ BC)
a) Chứng minh EA = EC
b) Tính góc A góc C tam giác ABC?
(9)GT ABC,B 90 o
,AC = 2AB,
BAE = CAE
KL a) EA = EC
b) Tính góc A góc C
a) Gọi D trung điểm AC AB = AD = DC
Xét ∆ABE ∆ADE có:
- AB=AD (cmt)
- A = A1 2(vì AE phân giác góc A)
- AE chung
Vậy ∆ABE = ∆ADE (c-g-c)
𝐵 = 𝐴𝐷𝐸 = 900 (2 góc tương ứng)
𝐸𝐷𝐴 = 𝐸𝐷𝐶 = 900
b) Xét ∆ADE ∆CDE có:
- AD = CD (cmt)
- 𝐸𝐷𝐴 = 𝐸𝐷𝐶 = 900
(cmt)
- ED chung
Vậy ∆ADE = ∆CDE (c-g-c)(1)
EA = EC (2 cạnh tương ứng)
Từ (1) C = A 2𝐶 =
𝐵𝐴𝐶
Mà 𝐶 + 𝐵𝐴𝐶 = 900
𝐶 = 300; 𝐵𝐴𝐶 = 600
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng A Phân giác góc B cắt AC D Lấy H BC
sao cho BA = BH
2
D
E A
(10)a) Chứng minh DH vuông góc với BC
b) Cho góc ADH = 1100 Tính góc AHD ?
GT ABC, o
A = 90 ;ABD = CBD
BA = BH KL a) DHBC
b)ADH = 1100,AHD = ?
Chứng minh
Xét ∆ABD ∆AHD có:
- AB = BH (gt)
- B = B1 2(vì BD phân giác góc B)
- BD chung
Vậy ∆ABD = ∆AHD(c-g-c) (1)
𝐵𝐴𝐷 = 𝐵𝐻𝐷 = 900DHBC
Từ (1) suy ra:
- DA = DH (2 cạnh tương ứng)
- 𝐴𝐷𝐵 = 𝐻𝐷𝐵 (2 góc tương ứng)
Gọi K = BD ∩ AH
Xét ∆ADK ∆HDK có:
- AD = DH (cmt)
- ADK = HDK (cmt)
- KD chung
Vậy ∆ADK = ∆HDK (c-g-c)
𝐴𝐻𝐷 = 𝐷𝐴𝐻 (2 góc tương ứng) (2)
2
K H
D B
(11)Xét ∆DAH có 𝐴𝐷𝐻 = 1100
𝐴𝐻𝐷 + 𝐷𝐴𝐻 = 700 (3)
Từ (2) (3)𝐴𝐻𝐷 = 𝐷𝐴𝐻 = 700
: = 350
Bài tập áp dụng dạng
Bài 1:Cho tam giác ABC có góc A =350 Đường thẳng AH vng góc với BC H
Trên đường vng góc với BC B lấy điểm D không nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A cho AH = BD
a) Chứng minh ΔAHB = ΔDBH
b) Chứng minh AB//HD
c) Gọi O giao điểm AD BC Chứng minh O trung điểm BH
d) Tính góc ACB , biết BDH = 350
Bài Cho tam giác ABC vuông A M trung điểm BC Trên tia AM lấy điểm
N cho M trung điểm AN
a) Chứng minh CN = AB, CN vng góc với AC
b) Cho AM = 3cm Tính độ dài cạnh BC?
Bài 3.Cho ABC vng cân A, M điểm đoạn AC (MA, C Kẻ
AFBM (F BC), đoạn BF lấy điểm E cho EF = FC Kẻ EI // BM Tính
AIM?
HD: Gọi K giao điểm IE AC Chứng minh ABM = AKI AM = AI
AIMAIM45o