Bài giảng số 3: Các phương trình quy về bậc hai ôn thi vào lớp 10

[r]

BÀI GIẢNG SỐ 03: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Dạng 1: Phương trình phân thức

Phương pháp:

- Tìm điều kiện xác định phương trình

- Quy đồng khử mẫu

- Giải phương trình vừa nhận

- So sánh nghiệm vừa tìm với điều kiện kết luận nghiệm phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) x

1

 + x 2

 = 3(x

 – x  )

b)

2

3 15

9

x x x

x

x x



 

 

c)

4

9 17

1

x x

x x x x

 



   

Giải:

a)

  

2 8

2 4

x x x

x x x x



 

    (1)

TXĐ: x   4; 2

2 ( 4) ( 2) 8 (1)

( 2)( 4) ( 2)( 4)

x x x x x

x x x x

   

 

   

2

2

2 8

2

x x x x x

x x

     

   

Ta có:      ' Vậy phương trình vơ nghiệm

b)

2

3 15

9

x x x

x

x x



 

  (1)

TXĐ: x  3

2

3 15

(1)

( 3)( 3)

x x x x

x x x

 

 

2

2

3

2

2

3 15 ( )( 3)

3 15 12

4

( 3)

0

1

4

3 ( )

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x x x x x l                                  

Vậy nghiệm phương trình x x      c)

4

9 17

1

x x

x x x x

 



    (1)

TXĐ: x  1

2

9 17

(1)

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x

x x x x x

         2 2

9 17( 1)

9 17 17

8 16

( 4)

4

4 ( / )

x x x

x x x

x x

x

x

x t m

                     

Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập:

Giải phương trình sau:

1) 12

1

x x  3)   

3

3

x x

x x x

 



  

2) 16 30

3

x  x  4)

3 2

3

7 30 16

1

x x x x x

x x x

    



  

ĐS: 1) x x       2) 13 x x       

3) x = 4) x x       

Dạng 2: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

a)

8 15

x  x  x

b)

2 x x  x 

Giải:

+ Nếu

8 15

5 x

x x

x       

 

phương trình cho tương đương với

2

8 15

9 18

3

( / )

x x x

x x

x

t m x

   

   

    



+ Nếu

8 15

x  x   x phương trình cho tương đương với

2

8 15

7 12

3 ( )

4

x x x

x x

x l

x x

    

   

 

  

 

Vậy nghiệm phương trình cho x3, x4, x6

b) Lập bảng xét dấu hai biểu thức

x x 2x 4

TH1: Với x 0 1x2, phương trình cho tương đương với

 

2

2 3

2

x  x x  x  x  x  (loại)

TH2: Với 0 x1, phương trình cho tương đương với

2

1

2

1 ( )

x x x x x

l               

    

2

1 29 ( )

2

1 29

x l

x x x x x

x   

           

     

Vậy phương trình có nghiệm 5; 29

2

x   x 

Bài tập:

a) x 1 2x1 c) 2 x   1

b)

1

x x



 

 d)  

2

1 2

x x   x 

ĐS: a)

3 b)

4 x

x      

c)

x   d) 1;  2

x  

 

 

Dạng 3: Phương trình thức

Ví dụ 3: Giải phương trình sau

a)

2x 4x 1 x1

b) 2

2

x  x  x  x

c) x 3 x 1 x 8 x 1 Giải:

a) Đk:

2

2

2 x

x x

x

         

     

Phương trình cho tương đương với

2 2

2 2

1

x x x x x x

x x

         



 

  

1

1 ( / )

1

1

x

x t m

x x

    

        

  

Vậy nghiệm phương trình x   1

b) 2

2

0 x

x x

x       

 

Đặt

2

y x  x ta phương trình

2

1

2 3 3

( )

y

y y y y y

y l

  

         

   

Với 2

1 2 1

y  x  x  x  x x  x  x  

Vậy nghiệm phương trình cho x   1 c) Đk : x 1

Phương trình cho tương đương với

1 4

x  x   x  x  

 22  32

1

x x

x x

      

      

 

2

1 4 1 1

2 10 10

5

5

25 10 25

5

15 50 ( / )

10

x x x x

x x

x x

x x

x x x

x

x x t m

x

          

    

   

   

    

 

     

 

Bài tập:

Giải phương trình sau:

a)  

4x 101x642 x10

b)   

1

x x x  x

c) x 14x49 x 14x49  14

d) 2

1 2

x   x x  x

ĐS: a) 16 b) 37  

c) 7

x

x

     

d) 1

Dạng 4: Đưa phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ Ví dụ 4: Giải phương trình sau đây:

a) (4x5)2 6(4x5) 8 0;

b) (x2 3x4)(x2 3x2)3;

c)

2

2

2 5

3 0;

( 1) 1

x x

x  x  

d) x x  1

e)

2 3

x  x  x  x  Giải:

a) Đặt t = 4x – 5, phương trình cho trở thành t2 – 6t + = (1)

'     

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt t

t     

Với

4

t  x  x

Với 4

4

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x

x 

     

b) Đặt

3

tx  x , ta phương trình

( 2) 3

t t  t  t 

1 '

3 t

t        

  

Với 2 3

2 t x  x   x  x  x 

Với 2

3 3

t   x  x   x  x  (vô nghiệm)

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 

c) Đk x  1

Đặt

x t

x  , ta phương trình

2t 5t 3

25 24

    phương trình có hai nghiệm

3

t t

     

Với 1 1

1

x

t x x x

x

       

 (vô nghiệm)

3

2 3

2

x

t x x x

x

        

 ( tmđk)

Vậy phương trình cho có nghiệm x = -

d) Đk x 1

Đặt x  1 t Khi ( )

(1)

2

t l

t t

t         

 

Với t2 x 1 2x 1 4x5 (tmđk)

Vậy phương trình có nghiệm x =

e)

2 3

x  x  x  x 

   

   

4 2

2

2

2 2

2

1

x x x x x

x x x x x

x x x x

      

      

      

Đặt tx x 1, phương trình cho trở thành 2

3 t

t t

t       

  

Với  

1 1

2 t x x   x   x x 

Với  

3 3

t   x x   x   x (vô nghiệm)

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 

Bài tập:

Giải phương trình sau:

a) 2

(x 3x1) 2(x 3x1) 8 0; e)(x1)(x3) )(x5) (x7)20

b)  2

2x  x 10x 5x160 f)

4

x x  x   x

c) 2

1

x .

x x x



 

  g)

4

2 4

x  x  x  x 

d) 2

(x  x 1)(x x2) 12 0.  h)

5

x  x  x  x 

i)  4

3 ( 5)

ĐS: a) Đặt 21

2

tx  x x  b) Đặt

1

2

2 3

2 x

t x x

x   

    

  

c) Đặt t x 0 x1. d) Đặt 1

2 x t x x

x       

  

e) Phương trình   

8 15 20

x x x x

      Đặt

8 11

tx  x x  

f) x 0 chia vế cho

x Sau đặt  

1

2 3 5

2 x

t x t

x x

  

     

  

g) x 0 chia vế cho

x Sau đặt t x 2t 2

x

   pt ẩn t vô nghiệm

h) x 0 chia vế cho

x phương trình 2

1

5

x x

x x

   

      

   

Đặt

1

5 29 x

t x

x x

   

   

   i)Đặt tx 4 x 4

Dạng 5: Đưa phương trình tích

Phương pháp: Bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa phương trình dạng A(x).B(x) = ( )

( ) A x

B x  

  



Sau lấy tất nghiệm chúng

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:

a) 3x36x2 4x 0; b) (x1)3  x 1 (x1)(x2);

Giải:

a)

3x 6x 4x0

 

3

x x x

   

2

0

3 21

3

3 x

x

x x x

  

 

   



   





Vậy phương trình cho có nghiệm 0, 21 x x 

 

3 2

3

2

2

3 1

2

2

0

2 ( )

x x x x x x

x x x

x x x

x

x x vn

        

   

   

   

   

Vậy nghiệm phương trình cho x = Bài tập:

Giải phương trình sau:

a)

2x x 5x   x 0. b) (2x2 3)2 10x315x0;

c) x3 5x2   x

ĐS: a)

x  ; 17

4

x  . b)

3

x x

     

c) x5,x 1

Dạng 6: Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = a 0

Phương pháp:

- Đặt

0

x  t , ta phương trình bậc hai ẩn t:

at bt c (1)

- Giải phương trình (1) nhận t 0

- Giải phương trình

x t kết luận nghiệm phương trình trùng phương Ví dụ 7: Giải phương trình sau:

a)

8 x  x  

b)

1,16 0,16

x  x  

Giải:

a) Đặt

0

x  t , phương trình cho trở thành ( )

9

t l

t t

t        

Với

9

t x   x 

Vậy phương trình có nghiệm x  3

b) Đặt

0

x  t , phương trình cho trở thành 1,16 0,16

0,16 t

t t

t  

    

 

Với

1 1

t x  x 

Với

0,16 0,16 0, t x  x 

Vậy nghiệm phương trình x 1,x 0,

Bài tập:

Giải phương trình sau:

a)

7 144

x  x   c) 3x 2x 6 

b)

36x 13x  1 d)  

3x  2 x  2

ĐS: a) x  4 b) 1,

2

x  x  c) 1, 2

x  x  d) 3

x  

Dạng 7: Một số dạng phương trình đặc biệt khác

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: a) (x2)2 3x 5 (1x)(1x)

b) x x( 6)(x2)2 (x1)3

Giải:

a) (x2)2 3x 5 (1x)(1x)

2

2

4

2

x x x x

x x

      

   

1 16 17

    17

Vậy nghiệm phương trình 17 x  

b) x x( 6)(x2)2 (x1)3

3

2

6 4 3

4 5

x x x x x x x

x x

        

   

25 80 55

     

Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tập:

Giải phương trình

a) 2009 2010 1( )

2

x  y  z  x yz

b) x yz42 x24 y36 z5

c)

5

a

x  xa 

ĐS:

a) Phương trình

2

2 2 2009 2010 2009

2010

x

x y z x y z y

z

  

            

  

  2  2 2

2 2009 2010 3, 2008, 2011

x y z x y z

              

b) Phương trình   2  2 2

2

2 3

5

x

x y z y

z

  

           

   3, 7, 14

x y z

   

c) Điều kiện xa x, 5 phương trình a x a5x52x5xa

   

1

2

2

5

2 5 5

2 x a

x a x a a

x   



       

  

thoả mãn điều kiện a

a    

 