Bài giảng số 3: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

thì bằng nhau. iv)Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.. Chứng minh rằng quỹ tích AP AQ. không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác B[r]

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

BÀI GIẢNG SỐ 3: GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG

I.Tóm tắt lý thuyết

i) Góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung góc có đỉnh nằm đường tròn, cạnh tiếp

tuyến đường tròn cạnh lại dây cung đường trịn

ii) Số đo góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung nửa số đo cung bị chắn

iii) Trong đường tròn góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung

thì

iv)Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa góc tâm chắn cung

II Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1: giả sử A Blà hai điểm phân biệt đường tròn ( )O Các tiếp tuyến đường tròn ( )O tại A B cắt M Từ A kẻ đường thẳng song song với MB, cắt đường tròn ( )O C

MC cắt đường tròn ( )O E Các tia AE MB cắt K Chứng minh rằng:

.

MK  AK EK MK KB

Giải:

Do MB/ /AC nên BMC ACM (1)

Lại có: ACM  ACEMAE ( chắn cung MK KB) (2)

Từ (1) (2) suy ra: KMEKAM g g( )

MK EK

AK MK

  hay MK2 AK EK. (3)

Ta thấy: EAB EBK(cùng chắn cung MK KB)

Từ EBK BAK g g( ) BK EK

AK BK

   

Hay BK2 AK EK. (4)

Từ (3) (4) suy MK2  KB2, nghĩa MK KB

Bài tập mẫu 2: Cho đường tròn ( )C tâm O, AB dây cung ( )C không qua O I

trung điểm AB Một dường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI

E

C M

A

P Q Chứng minh quỹ tích AP AQ. khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ ln qua điểm cố định khác B

Giải:

Ta có: PQI PIA( chắn cung PI), nên ( )

API AIQ g g

 

Suy AP AI AP AQ. AI2

AI  AQ   (không đổi)

Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ cắt AB D(D B)

Khi ADPAQB suy AD AP AQ  AB

Hay AD AB. AP AQ. AI2 ( khơng đổi)

Do điểm D điểm cố định

Bài tập mẫu 3: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H BAC  600 Gọi M N P, , theo thứ tự chân đường cao kẻ từ A B C, , tam giác ABC I trung điểm BC

a) Chứng minh tam giác INP

b) Gọi E K trung điểm PB NC Chứng minh điểm I M E K, , , cùng thuộc đường tròn

c) Giả sử IA phân giác NIP Tìm số đo góc BCP

Giải:

a) Từ giả thiết ta có: 1 2

IN IP BC nên tam

giácINP cân I

Lại B P N C, , , nằm đường trịn tâm I, đường kính BC nên theo mối liên hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung ta có:

 

2 60

PIN  PBN 

Vậy tam giác ABC

b) Rõ ràng bốn điểm I M E K, , , nằm

đường trịn đường kính AI

H A

B M C

P

N

I

K E

j

Q

P

O B

A

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com c) Từ điều kiện ta thấy AI tia phân giác

của BAC  600, mà I trung điểm BC nên tam giác ABC Từ suy BCP 300

Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm D cạnh AC (AC 2DC ) làm tâm vẽ đường tròn tiếp xúc với BC E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF cắt AD I cắt AE K Trung tuyến AM tam giác ABC cắt BF N

a) Chứng minh năm điểm A B E D F, , , , nằm đường tròn

b) Chứng minh hệ thức: IF BF

IK  BK

c) Cho AEC 1300, tính số đo góc ANB

Giải:

a) Năm điểm A B E D F, , , , nằm đường

tròn BD

b) Trên đường tròn đường kính BD có DEDFnên

 

FAD EAD

Suy AI phân giác FAK, IF AF

IK  AK (1)

Lại AFK BEK nên AF BE BF

AK  BK  BK (2)

Từ (1) (2) ta thu IF BF IK  BK

c) Ta có  AFB AEB1800 1300 500

Mặt khác:

      

AFB ADBACBDBC MACDAF NAF

Từ ANB  AFBNAF 500 500 1000

Bài tập mẫu 5: Cho hai đường tròn ( )O ( ')O tiếp xúc với A Một tiếp tuyến

đường tròn ( )O điểm B cắt đường tròn ( ')O C D (C nằm B D ) Các tia CA DA

cắt đường tròn ( )O theo thứ tự E F

a) Chứng minh EF / /CD

I K N

B

A

C D

E F

b) Gọi M điểm cung CD (M A khác phía CD) Tính số đo góc 

BAM

Giải:

a) Qua A kẻ tiếp tuyến chung xy

hai đường tròn ( )O ( ')O

Ta có: EFA ADCEF / /CD

b) Kẻ đường kính BG đường trịn ( )O

Ta có: BG EF.

Từ đó: GEGF, suy AG tia phân

giác góc EAF Lại thấy CM DM

nên AM tia phân giác góc CAD

Ta lại có EAF CAD đối đỉnh nên , ,

G A M thẳng hàng

Do BAG nên BAM  900

III Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường trịn ( )O điểm M nằm ngồi ( ).O Từ M ta kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB với

( ).O Chứng minh ta ln có MA MB MT2 tích khơng phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MAB

Hướng dẫn: Sử dụng tam giác đồng dạng

Bài 2: Cho đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác ABC Vẽ tia Bx thỏa mãn CBx BAC tia BC nằm hai tia Bx BA Chứng minh Bx tiếp tuyến ( ).O

Hướng dẫn:

Cách 1: Chứng minh OB vng góc với Bx cách kẻ OH vng góc với BC

Cách 2: Kẻ By tiếp tuyến ( )O chứng tỏ ByBx

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đưòng tròn  O Qua A vẽ tiếp tuyến xy Từ B vẽ BM song song với xy M AC.Chứng minh rằng:

a) AB2  AM AC

j C

A

O O'

x

B

D G

M F

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com b) AB tiếp tuyến đường tròn BMC 

Hướng dẫn: a) Sử dụng tam giác đồng dạng

b) Giả sử AB cắt BMC  B'. Chứng tỏ B'B

Bài 4: Cho hai đường tròn  O  O' cắt A B Vẽ dây ACcủa đường tròn  O tiếp xúc với đường tròn  O' dây AD đường tròn  O' tiếp xúc với đưòng tròn  O Chứng minh

2 BC.BDBA

2

2 BC AC

. BD  AD

Hướng dẫn: Sử dụng tam giác đồng dạng

Bài 5: Cho đường tròn O; 22 Gọi M điểm bên ngồi đường trịn, N điểm bên đường tròn Đoạn thẳng MNcắt đường tròn A. Cho biết AM AN 3, ON 2. Tính độ dài tiếp tuyến

MT với đường trịn

Hướng dẫn: Gọi B giao điểm khác MN  O , vẽ đường kính CD

qua N Đáp số: MT 6.

Bài 6: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB. Trên tia đối tia AB lấy điểm M Từ M vẽ tia

Mx tiếp xúc với nửa đường tròn C. Gọi H hình chiếu C AB.

a) Chứng minh CA CB tia phân giác góc tạo tiếp tuyến Mx với tia CH

b) Cho MAa; MC 2a. Tính CH

Hướng dẫn:

a) Chứng minh góc

b)

a CH 

Bài 7: Cho nửa đường trịn đường kính AB,C điểm nửa đường tròn Trên cung BC lấy  điểm M Trên tia AM lấy điểmNsao cho AN BM

a) Chứng minh tam giác CMN vuông cân