Bài tập vận dụng - Giáo viên Việt Nam

e. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để khoảng cách BC là nhỏ nhất. Gọi F là giao điểm của BE và CD. D FBC là tam giác cân. Kéo dài AF cắt BC tại M. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao[r]

(1)

PHẦN LÝ THUYẾT

1 Hai góc đối đỉnh : Là góc có cạnh góc tia đối cạnh góc kia, hai góc đối đỉnh nhau

GT ^xOy và ^x ' Oy ' là hai góc đối đỉnh KL ^xOy=¿ ^x ' Oy '

Chú ý:

- Với n đường thẳng phân biệt giao điểm có 2n tia chung gốc Số góc tạo hai tia chung gốc là: 2n(2n-1) : = n( 2n – 1) Trong có n góc bẹt Số góc cịn lại 2n(n – 1) Số cặp góc đối đỉnh là: n(n – 1).

- Hai góc bù hai góc có tổng 1800, hai góc phụ hai góc có tổng 900, góc bẹt góc có số đo 1800, góc tù góc có số đo nằm khoảng từ 900 đến 1800, góc vng = 900, góc nhọn có số đo nằm khoảng 00 đến 900

2 Đường trung trực đoạn thẳng: Là đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng.

- d trung trực AB

t¹i I IA = IB

d AB

    -Tính chất:

Mọi điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng M  d  MA = MB.

3 Góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng:

- Khi đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo cặp góc sole trong, sole ngồi, đồng vị, phía - Các cặp góc sole trong: A1 B3; A4 B2

- Các cặp góc sole ngồi: A3 B1; A2 B4

- Các cặp góc đồng vị: A2 B2; A1 B1;A3 B3; A4 B4 - Các cặp góc phía : A1 B2; A4 B3

- Các cặp góc ngồi phía: A2 B1; A3 B4

(2)

3 Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song cặp góc sole nhau, cặp góc sole ngồi nhau, cặp góc đồng vị nhau, cặp góc phía, ngồi phía bù nhau.

- Có a // b ; c  a = {A}; c  b = {B}

* Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song - Cặp so le trong; so le ngoài; trong đồng vị nhau

- Cặp góc phía; ngoài cïng phÝa bï nhau

  

   

 a // b

4 Tiên đề Ơclit : Qua điểm nằm đường thẳng tồn đường thẳng song song với đường thẳng cho.

qua A

b // a A a

b

 

   

 b nhất 5 Từ vng góc đến song song:

GT Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b // c KL a // c

GT Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b  c KL a  c

GT Cho a ; b phân biệt ; a  c ; b  c KL a // b

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trình cho học sinh du học

1

4

3

1

B A M

(3)

6 Tổng góc tam giác: Trong tam giác, tổng ba góc trong 1800

GT ΔABC

KL ^A +^B+^C=180

Trong tam giác vuông, tổng hai góc đáy 900 GT ΔABC; ^A=90

KL B+ ^^ C=90 Trong tam giác, tổng hai góc trong

GT ΔABC;

Cx góc ngồi C KL ^A +^B=^BCx

7 Các trường hợp tam giác *Trường hợp : Cạnh – cạnh – cạnh

- Nếu cạnh tam giác cạnh tam giác hai tam giác *Trường hợp : Cạnh – góc – canh

- Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác

*Trường hợp : Góc – cạnh – góc

Nếu cạnh hia góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác

8 Các trường hợp tam giác vuông. *Trường hợp : Hai cạnh góc vng

- Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng

*Trường hợp : Cạnh góc vng góc nhọn kề

- Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng

*Trường hợp : Cạnh huyền góc nhọn

1

4

3

1

B A M

(4)

- Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng

*Trường hợp : Cạnh huyền cạnh góc vng

- Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng

9 Tam giác cân

- Định nghĩa: ΔABC cân A  AB = AC

- Tính chất: ΔABC cân A {

AB=AC ^

B=^C=180−^A

- Tính chất đường: Đường cao từ đỉnh phân giác, đường trung trực cạnh đáy… 10 Tam giác đều

- Định nghĩa: ΔABC  AB = BC = AC

- Tính chất: ΔABC A  {AB= AC=BC^ B=^C=^A

- Tính chất đường: Đường cao từ đỉnh đồng thời đường phân giác, đường trung trực cạnh đáy……

11 Tam giác vuông:

Tam giác ABC vuông A, đường cao AH:

AC2=BC.HC ; AB2=BC.HB ; AB.AC=BC.AH ;

AH2=

1 AB2+

1 AC2

Định lí Pi-ta-go : Trong tam giác vng, tổng bình phương hai cạnh góc vng bình phương cạnh huyền.

- Thuận:

GT ΔABC có ^A=90

KL BC2=AB2+AC2

- Đảo:

GT ΔABC có BC2=AB2+AC2

KL ^A=90

12 Quan hệ cạnh góc tam giác

Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn lớn ngược lại. GT ΔABC; AB < AC

KL C< ^^ B

(5)

GT ΔABC; C< ^^ B KL AB < AC 13 Bất đẳng thức tam giác

Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu hai cạnh nhỏ tổng hai cạnh lại. |AC – AB| < BC < AC + AB

14 Quan hệ đường vng góc đường xiên

Đường xiên lớn đường vng góc, đường xiên lớn hơn thì hình chiếu tương ứng lớn ngược lại.

GT A d ;B,Cd AH;  d  H

KL AH ngắn Có AC > AB  HC > HB

AB = AM  HB = HM 15 Các đường tam giác

a) Đường cao: Là đường kẻ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện, đường cao tam giác đồng quy điểm gọi trực tâm tam giác

b) Đường phân giác tam giác: Là đường chia góc tam giác thành phần Ba đường phân giác cắt điểm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ( đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách cạnh tam giác

- Một điểm nằm đường phân giác góc ln có khoảng cách tới hai cạnh - Phân giác phân giác ngồi góc vng góc với

- Trong tam giác, hai đường phân giác ngồi hai góc đồng quy với đường phân giác góc cịn lại

(6)

Tính chất: Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc Nếu điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc

c) Đường trung tuyến tam giác: Là đường kẻ từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện Ba đường trung tuyến đồng quy điểm trọng tâm tam giác

Nếu O trọng tâm tam giác 2OE=OA; 2OD=OC; 2OF=OB

d)Đường trung trực tam giác: Là đường qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Ba đường trung trực tam giác đồng quy điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( Đường tròn qua đỉnh tam giác)

- Một điểm nằm trung trực ln cách hai đầu mút đoạng thẳng

e) Đường trung bình tam giác: Là đường qua trung điểm cạnh bên tam giác Đường trung bình song song nửa cạnh đáy

(7)

CÁC CHÚ Ý ĐẶC BIỆT

- Trong tam giác cân, đường cao, đường trung tuyến, trung trực, phân giác đỉnh cân một. - Trong tam giác đều, tất đường từ đỉnh một.

- Trong tam giác vuông: đường trung tuyến nửa cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 300 có độ lớn nửa cạnh huyền.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HAY DÙNG TRONG HÌNH HỌC 7

1 Các phương pháp chứng minh định lý :

Muốn chứng minh định lý " Nếu A B " ( ký hiệu A ⇒ B) ta dùng phương pháp

sau :

1 Chứng minh từ A ta suy C từ C ta suy B Phương pháp gọi phương pháp: chứng minh trực tiếp

2 Giả sử A ta suy ¯B ( B¯ có nội dung trái ngược với B ) ta dẫn đến điều vô lý Vậy giả sử sai, nghĩa từ A suy B

Phương pháp gọi phương pháp: chứng minh phản chứng 2 Các phương pháp chứng minh hai góc đối đỉnh :

Muốn chứng minh hai góc xOy x'Oy' hai góc đối đỉnh ta dùng phương pháp sau :

1 Chứng minh tia Ox tia đối tia Ox' ( Oy' ) tia Oy tia đối tia Oy' ( Ox' ), tức hai cạnh góc tia đối hai cạnh góc ( định nghĩa )

2 Chứng minh ∠ xOy = ∠ x'Oy' ; tia Ox tia Ox' đối hai tia Oy tia Oy' nằm hai

nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng xx' (hệ định nghĩa )

3 Các phương pháp chứng minh điểm trung điểm đoạn thẳng

Muốn chứng minh điểm B trung điểm đoạn thẳng AC ta dùng phương pháp sau đây:

1.Chứng minh rằng: AB + BC = AC AB = BC (định nghĩa )

(8)

3.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB = BC (hệ định nghĩa )

4.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB, BC hai cạnh tương ứng hai tam giác

4 Các phương pháp chứng minh đường thẳng đường trực đoạn thẳng :

Muốn chứng minh đường thẳng a đường trung trực đọan thẳng AB ta dùng phương pháp sau :

1.Chứng minh a vng góc với AB trung điểm I AB ( định nghĩa ) Lấy điểm M tùy ý đường thẳng a chứng minh MA = MB 5 Các phương pháp chứng minh hai góc nhau:

Muốn chứng minh hai góc ta dùng phương pháp sau : 1.Chứng minh hai góc có số đo

2.Chứng minh hai góc góc thứ ba,chứng minh hai góc phụ với góc ,chứng minh hai góc bù với góc

3.Chứng minh hai góc tổng ,hiệu hai góc tương ứng 4.Chứng minh hai góc đối đỉnh

5.Chứng minh hai góc nhọn tù có cạnh tương ứng song song vng góc 6.Chứng minh hai góc hai góc tương ứng hai tam giác

7.Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân 8.Chứng minh hai góc hai góc tam giác 9.Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác góc

10.Chứng minh dựa vào tính chất hai đường thẳng song song (đồng vị, so le) 6 Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng :

Muốn chứng minh hai đoạn thẳng ta dùng phương pháp sau : 1.Chứng minh hai đoạn thẳng có số đo

2.Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba

3.Chứng minh hai đoạn thẳng tổng, hiệu, hai đoạn thẳng đôi 4.Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh tương ứng hai tam giác

5.Chứng minh hai đoạn thẳng suy từ tính chất tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, v.v

6.Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào định nghĩa trung điểm đoạn thẳng ,định nghĩa trung tuyến tam giác,định nghĩa trung trực đoạn thẳng,định nghĩa phân giác góc

7.Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

8.Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào tính chất giao điểm ba đường phân giác tam giác,tính chất giao điểm ba đường trung trực tam giác

9.Chứng minh dựa vào định lí Pitago

7 Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song :

Muốn chứng minh a // b ta dùng phương pháp sau : Chứng minh hai góc so le : a A

(9)

^

A1= ^B1 ^A2= ^B2 ( dấu hiệu song song )

2 Chứng minh hai góc đồng vị : ^

A1= ^B3 Â2= ^B4 Â3= ^B1 Â4=^B2 b (Dẫn tới dấu hiệu song song ) B

3 Chứng minh hai góc phía bù : ^

A1+ ^B2=1800 A^2+ ^B4=1800 c

( Dẫn tới dấu hiệu song song )

4 Chứng minh hai góc sole ngồi (Dẫn tới dấu hiệu song song )

5.Chứng minh hai góc ngồi phía bù

(Dẫn tới dấu hiệu song song ) c 6.Chứng minh a b vng góc a với đường thẳng c

7.Chứng minh a b song song với đường thẳng c b

8 Để chứng minh a//b Ta giả sử a b có điểm chung dẫn đến điều vô lý ( chứng minh phản chứng )

8 Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc :

Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với ta dùng phương pháp sau :

1.Chứng minh góc tạo thành hai đường thẳng góc vng (định nghĩa ) 2.Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù

3.Chứng minh dựa vào tính chất tổng góc tam giác 180 , ta chứng minh cho tam giác

có hai góc phụ suy góc thứ ba 90

4.Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng "

5.Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao tam giác, định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng 6.Chứng minh dựa vào tính chất tam giác cân , tam giác

7.Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao tam giác 8.Chứng minh dựa vào định lí Pitago

9.Chứng minh dựa vào định lí nhận biết tam giác vng biết tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nửa cạnh

9 Các phương pháp chứng minh tam giác tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông : *Muốn chứng minh ∆ ABC tam giác cân ta dùng phương pháp sau :

1.Chứng minh hai cạnh : AB = AC BA = BC CA = CB ( định nghĩa )

2.Chứng minh hai góc : B= ^C^ ^A= ^C B= ^A^

(10)

A A B

3.Chứng minh:Một đỉnh nằm đường trung trực cạnh đối diện ( để dẫn tới định nghĩa )

4.Chứng minh : Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh trùng với đường cao phát xuất từ đỉnh (để dẫn tới định nghĩa )

5 Chứng minh hai đường trung tuyến, hai đường cao…bằng

*Muốn chứng minh ∆ ABC tam giác ta dùng phương pháp sau : 1.Chứng minh ba cạnh : AB = BC = CA ( định nghĩa )

2.Chứng minh ba góc 600 : ^A= ^B=600 ^B= ^C=600 ^A= ^C=600 .

3.Chứng minh : Tam giác ABC tam giác cân có góc 60 (để dẫn tới định nghĩa ) *Muốn chứng minh ∆ ABC tam giác vng ta dùng phương pháp sau :

1 Chứng minh tam giác có góc vng 2.Dùng định lý Pytago đảo

3.Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vuông”

TAM GIÁC CÂN TAN GIÁC ĐỀU TAM GIÁC VNG

CÂN

HÌNH VẼ

Định nghĩa

Δ ABC cân A

<=> AB = AC Δ CBC <=> AB = BC = CA

Δ ABC vuông cân tại A

<=> A = 900 và

AB = AC

Tính chất

+ ∠ B = ∠ C

=

1800−∠ A 2

∠ A = ∠ B = ∠

C

= 600 ∠ B = ∠ C = 45

0

Dấu hiệu nhận biết

- Tam giác có hai cạnh nhau(ĐN) - Tam giác có hai góc

bằng nhau(TC)

- Tam giác có cạnh - Tam giác có góc

nhau

- Tam giác cân có góc 600

- Tam giác vng có hai cạnh góc vng

nhau

- Tam giác cân có góc đỉnh 900

B

C

(11)

11 Các phương pháp chứng minh đường vuông góc :

Muốn chứng minh AH đường vng góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng a ta dùng phương pháp sau đây:

1.Chứng minh : AH ¿ a (định nghĩa)

2.Lấy điểm B tùy ý a Chứng minh AH < AB (Dễ chứng minh AH ¿ a phản chứng )

12 Các phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng:

Muốn chứng minh điểm thẳng hàng ta dùng phương pháp sau:

1.Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm hai cạnh hai tia đối x

Ta có ∠ BAx + ∠ xAC = 180

⇒ B, A, C thẳng hàng.

B A C

2.Chứng minh ba điểm thuộc tia thuộc đường thẳng

3.Chứng minh ba đoạn nối hai ba điểm có đoạn thẳng tổng hai đoạn thẳng

A C B

AB = AC + CB

4.Chứng minh hai đường thẳng qua hai ba điểm song song với đường thẳng thứ ba

AB, AC song song với a

hoặc BA, BC song song với a ⇒ A, B, C thẳng hàng

hoặc CA, CB song song với a 5.Sử dụng vị trí hai góc đối đỉnh

Đường thẳng a qua A, ta chứng minh ^A1= ^A2 ba điểm B, A, C thẳng hàng.

6.Chứng minh hai đường thẳng qua hai ba điểm vuông góc với đường thẳng thứ ba AB, AC vng góc với a

hoặc BA, BC vng góc với a ⇒ A, B, C thẳng hàng

hoặc CA, CB vng góc với a

7.Đường thẳng qua hai ba điểm có chứa điểm thứ ba

8.Sử dụng tính chất đường phân giác góc, tính chất đường trung trực đoạn thẳng, tính chất ba đường cao, tam giác

(12)

13.Các phương pháp chứng minh đường thẳng đồng quy:

Muốn chứng minh đường thẳng đồng quy ta dùng phương pháp sau:

1.Tìm giao hai đường thẳng, sau chứng minh đường thẳng thứ ba qua giao hai đường thẳng

2.Chứng minh điểm thuộc ba đường thẳng

3.Chứng minh dựa vào tính chất đồng quy tam giác: Ba đường thẳng chứa đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao tam giác

14 Các phương pháp chứng minh tia Oz phân giác góc xOy: Cách 1: Chứng minh góc xOz yOz

Cách 2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz cách cạnh Ox Oy

PHẦN BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1: Cho hình vẽ, tìm x.

a) b)

Giải:

a, ^BAC =1000 ( đối đỉnh) nên ^BAC +^DBA =1000+800=1800 mà hai góc vị trí phía nên AC//BD ( dấu hiệu nhận biết)

Vì AC//BD nên ^ACD +^CDB=1800 (hai góc phía) suy x= 1800-1350= 450 b, Tương tự: Chứng minh ME//NF tìm x.( ĐS: x=900)

Bài 2: Cho hình vẽ, chứng minh AB//CD

a) b)

HD: a, Từ O kẻ Ox song song với AB, Tính xOA suy xOC, xOC+OCD=180 nên CD//Ox//AB Bài 3: Cho hình vẽ biết a//b Hãy tính x?

E 420

x G

1380 F

a

(13)

Phương pháp giải tốn Hình học 7

HD: Từ G kẻ Gc//Ea x=EGc+cGF

Bài 4: Cho hình vẽ, đường thẳng song song với By? Vì sao?

HD: Gọi Bt tia đối tia By, Tính góc ABt từ suy Ax//By//Cz

Bài 5: Cho hình vẽ: a) Chứng tỏ rằng: Ax//Bz b) Tìm x để: Bz//Cy

HD:Hai đường thẳng song song tổng hai góc phía 1800 ngược lại.

Bài 6: Cho hình vẽ Chứng rằng: a) Nếu Cm//En C+ ^^ D+ ^E=3600

b) Nếu C+ ^^ D+ ^E=3600 Cm//En

HD: Kẻ Dx // Cm

Bài 7: Chứng minh hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau.

x

z

A

B y

C 1400

1300

B A

C

500 x

1450

C

D

E

m

(14)

HD: Gọi Om On hai tia phân giác xOy yOz, mOn=

2 . ^xOy +

2 . ^yOz= .

( ^xOy+^yOz) =900

Bài 8: Cho góc xOy góc yOz hai góc kề bù Tia Om phân giác góc xOy Trên nửa mặt phẳng bờ xz chứa tia Oy, vẽ tia On cho: On vng góc với Om Chứng minh rằng: Tia On tia phân giác góc yOz

HD: Dựa vào cách làm 7.

Bài 9: Cho đường thẳng xy, lấy điểm O thuộc xy Trên nửa mặt phẳng bờ xy vẽ hai tia Oa, Ob cho ^

xOa=^yOb<900 Vẽ tia Om vng góc với xy Chứng minh rằng: tia Om phân giác góc aOb HD: Chứng minh Om nằm aOb bOm=^^ mOx dựa vào hai góc có tổng 900

Bài 10: Cho góc xOy nhọn Từ điểm M cạnh Ox, dựng MN vng góc với Oy N, dựng NP vng góc với Ox P, dựng PQ vng góc với Oy tai Q, dựng QR vng góc với Ox R Chứng minh rằng:

a) MN//PQ; NP//QR b) Tìm tất góc góc PNM

HD: a, Dựa vào tính chất từ vng góc tới song song b, Dựa vào góc sole trong, đồng vị. Bài 11: Cho góc bẹt AOB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia OM OM cho

^AOM =^BON=300

a) Hai góc AOM BON có đối đỉnh không?

b) Vẽ tia OE cho tia OB phân giác góc NOE Hai góc AOM BOE có đối đỉnh khơng? Vì sao?

Bài 12: Cho tam giác ABC có B=50^ Trên tia đối tia AB lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng không chứa C bờ

AB vẽ ^xOB=500 .

a) Chứng minh rằng: Ox//BC b) Qua A vẽ d//BC, Chứng minh rằng: ^ABC + BAC^ + ^ACB =1800

Bài 13: Cho tam giác ABC có ^A =2 B^ Tia phân giác góc A cắt BC D Vẽ DE//AB, căt AC E Vẽ EF//AD, cắt BC F Vẽ FG//DE, cắt AC D

a) Những góc đỉnh A, D, E, F B^

b) DE, EF, FG phân giác góc nào? Vì sao?

Bài 14: Cho ^MON =1200 Vẽ OP OQ nằm hai tia OM ON cho OP vng góc với OM; OQ vng

góc với ON

a) So sánh hai góc MOQ NOP b) Tính số đo góc POQ

Bài 15: Cho ∆ ABC, phân giác BM (M ∈ AC) Vẽ MN // AB cắt BC N Phân giác góc MNC cắt MC P. a) CMR: ^MBC = ^BMN , BM // NP

b) Gọi NQ phân giác ^BNM , cắt AB Q CMR: NQ ⊥ BM

Bài 14: Cho ^xOy = 1200 Lấy A ∈ Ox, B ∈ Oy Vẽ tia Am, An ^xOy cho ^xAm = 700,

^

OBn = 1300 Chứng minh Am // Bn.

Bài 16: Cho ^xOy A ∈ Ox, B ∈ Oy Qua A dựng đường thẳng a ⊥ Ox Qua B dựng đường thẳng b ⊥ Oy Chứng minh rằng:

a) Nếu a cắt b ^xOy < 1800 b) Nếu a // b ^xOy = 1800 c) Nếu a ⊥ b ^xOy = 900

(15)

Bài 17: Cho ∆ ABC Trên cạnh AB lấy M, nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, vẽ tia Mx cho ^AMx = B^ a) CMR: Mx // BC Mx cắt AC

b) Gọi D giao điểm Mx với AC Lấy N nằm C D Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ny cho CNy^ = C^ CMR: Mx // Ny

Bài 18: Qua A đường thẳng a, vẽ 101 đường thẳng phân biệt CMR: có 100 đường thẳng cắt a. Bài 19: Cho ∆ ABC, phân giác AD, qua B kẻ đường thẳng d // AD.

a) Chứng tỏ: d cắt AC E b) CMR: ^ABE = ^AEB

c) Vẽ m qua A vng góc với AD, cắt BE F CMR: AF phân giác ^EAB m ⊥ EB Bài 20: Cho ∆ABC Vẽ phân giác A ∆ABC Từ B kẻ d//AD.

a) CMR: d cắt AC E b) CMR: ^ABE = ^AEB

b) Từ B kẻ b ⊥ AD, từ A kẻ a // b CMR: b ⊥ d a phân giác góc BAC Bài 21: Vẽ hình viết giả thiết, kết luận định lí sau :

Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ chúng song song với Bài 22: a) Hãy viết định lí nói đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song.

b) Vẽ hình minh họa, viết GT/KL kí hiệu Bài 23: Phát biểu định lí, viết GT, KL diễn tả

hình vẽ sau:

a A

b B

Bài 24:

a) Hãy phát biểu định lí diễn tả hình vẽ sau b) Viết giả thiết kết luận định lí kí hiêu

c

b a

Bài 25: Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận định lí: “Nếu hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau.”

Bài 26 : Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận chứng minh định lí: “Nếu hai đường thẳng vuông goc với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau.”

Bài 27: Cho hình vẽ bên Biết hai đường thẳng a b song song với ^A

1

1/ Hãy viết tên cặp so le cặp góc phía

2/ Tính số đo ^A

3 , B^3

3/ Kẻ đường thẳng c vng góc với đường thẳng a

(16)

110 y' y x' x 30 O 100 B A a b A B 2 4 2 400 Hình x n m 1200 B A D C Hình M

Chứng tỏ rằng: c  b

Bài 28:

Cho hình 1: ( a //b, B^

2=40 )

a) Chỉ góc so le trong, đồng vị, phía với góc B2

b) Tính số đo góc: B^4 c) Tính số đo góc: ^A

2; ^A4

Bài 29:

Cho hình vẽ (hình 2)

1) Vì m // n?

2) Tính số đo x góc ABD

Bài 30: Vẽ hình theo trình tự sau:

a) Góc xOy có số đo 600 , điểm A nằm góc xOy

b) Đường thẳng m qua A vuông góc với Ox c) Đường thẳng n qua A song song với Oy

Bài 31: Cho đoạn thẳng AB dài 12cm Hãy vẽ đường trung trực đoạn thẳng Nêu rõ cách vẽ. Bài 32: Hình vẽ sau cho biết a//b

^A=40 ;^AOB=90 , Tính số đo góc B^

1 B 2 A 0 b a ) 40

Bài 33: Cho hình vẽ Biết : ^

xAO=30 ;^AOB=100 ; ^OBy=110 Chứng minh: xx’ // yy’

(17)

Bài 34: Cho hình vẽ, biết Ax// By, ^xAB = 1200,

^

BCz = 1200

a) Tính số đo ^ABy ? b) Các cặp đường thẳng song song với

nhau ? sao?

B y

z C

x A

Bài 35: Cho hình vẽ Biết B^

1 = 400; C^2 = 400

a) Đường thẳng a có song song với đườngthẳng b khơng ? Vì sao?

b) Đường thẳng b có song song với đườngthẳng c khơng ? Vì sao?

c) Đường thẳng a có song song với đườngthẳng c khơng ? Vì sao? c b a A B C

Bài 36: Cho hình vẽ (H.2), có B^

1 =1300 thì:

Số đo góc ^A

1 là:

Bài 37:

Cho hình vẽ: Biết a // b ^A = 700, ^A = 900

Tính số đo góc B1 D1

Bài 38:

Cho hình vẽ sau: Biết ^A = 300 ; B^ = 450;

^

AOB = 750.

Chứng minh : a // b

(18)

? n m 120°

B A

D C

Bài 39 : Cho hình vẽ sau:

a) Qua O vẽ tia Ot // Ax cho ^xAO = ^

AOt hai góc so le Vẽ tia Ot, sao? b) Tính số đo góc AOB?

Bài 40: Cho hình vẽ bên Biết E trung điểm AB ; ME vng góc AB E ME, MF tia phân giác ^AMB ^AMC .

1/ Vì EM đường trung trực đoạn thẳng AB ?

2/ Chứng tỏ rằng: MF//AB

Bài 41: Cho hình vẽ

1) Vì m // n ? 2) Tính số đo ^ABD

Bài 42:

a) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau: Trên đường thẳng aa’ lấy điểm O Vẽ tia Ot cho góc aOt tù Trên nửa mặt phẳng bờ aa’ không chứa tia Ot vẽ tia Ot’ cho góc a’Ot’ nhọn

b) Dựa vào hình vẽ cho biết góc aOt a’Ot’ có phải cặp góc đối đỉnh khơng? Vì sao?

Bài 43 :

Cho đường thẳng cắt , góc tạo hành có góc có số đo 50

a Hãy kể tên cặp góc đối đỉnh b Tính số đo góc cịn lại Bài 44 : cho hai đường thẳng MN&PQ cắt tạo thành PAQ330

F

E M

C B

A

A M

N P

(19)

330

a Tính số đo góc cịn lại

b Vẽ Ot tia phân giác góc PAN Hãy tính số đo góc TOQ , &MOQ

Vẽ Ot’ tia đối tia Ot , Chứng tỏ Ot’ tia phân giác góc MAQ

Bài 45 : Hai đường thẳng MN PQ cắt tạo thành góc đố tổng góc có số đo 290 Tính số đo góc

Bài 46 : Cho đường thẳng xy qua điểm O vẽ tia Oz sao cho ^xOz=1350 Trên nủa mặt phẳng bờ không chứa

tia Oz vẽ tia Ot cho ^yOt=900 Gọi OV tia phân

giác ^xOt

a) Chứng tỏ Oz Ov hai tia đối

b) Các góc ^xOv & ^yOz có phải hai góc đối đỉnh khơng ? Vì

Bài 47 :Cho hai đường thẳng xx’ yy’ giao O cho góc xOy = 450 Tính số đo góc cịn lại

hình vẽ

Bài 48 :Cho hai đường thẳng xx’ yy’ giao O Gọi Ot tia phân giác góc xOy; vẽ tia Ot’ tia phân giác góca x’Oy’ Hãy chứng tỏ Ot’ tia đối tia Ot

Bài 49 : Cho đường thẳng phân biệt xx’; yy’; zz’ cắt O; Hình tạo thành có:

a) tia chung gốc?

b) Bao nhiêu góc tạo hai tia chung gốc? c) Bao nhiêu góc bẹt?

d) Bao nhiêu cặp góc đối đỉnh?

Bài 50: Từ kết tập số 9, cho biết:Nếu n đường thẳng phân biệt cắt điểm có góc bẹt? Bao nhiêu cặp góc đối đỉnh?

Bài 51 : Vẽ hai đường thẳng cắt cho góc tạo thành có cặp góc đối đỉnh có tổng số đo

O M

N P

(20)

0

130 tính số đo góc

Bài 52 : Vẽ hai đường thẳng cắt góc tạo thành có góc có số đo 90 , chứng tó góc cịn lại có số đo

Bài 53 : Hãy thực cơng việc sau a Vẽ góc xOy600

b Vẽ góc x’Oy’ góc đối xOy c Vẽ tia Ot tia phân giác góc xOy d Vẽ tia ot’ tia đối tia Ot

e viết tên cặp góc đối đỉnh tính số đo góc

Bài 54 : hai đường thẳng cắt tạo thành góc

1; 2; 3;

O O O O

    Tính góc cịn lại

trường hợp sau

a O1 750

b O1 O3 1400

c.O1 O2 O3 2400

d.O2 O1300

e.O2  2 O1

Bài 55 : Cho hìnhchữ nhật ABCD, hai đường chéo AC BD giao O Gọi tên cặp góc đối đỉnh có hình vẽ

Bài 56 :trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ tia Ot cho góc xOt 300 Trên nửa mặt bờ xy không chứa Ot vẽ

tia Oz cho góc xOz = 1200 Vẽ tia Ot’ tia phân giác

của góc yOz Chứng tỏ góc xOt góc yOt’ hia góc đối đỉnh

CHƯƠNG 2

BÀI TẬP HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

Chú ý: Có TH tam giác, chương để chứng minh hai cạnh, hai góc nhau ta thường đưa hai tam giác nhau, chứng minh qua cạnh, góc trung gian.

(21)

I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Các câu sau hay sai?

1 Tam giác có góc 45 tam giác vng cân

2 Hai tam giác có cặp góc tương ứng cặp góc cịn lại tương ứng Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng cặp cạnh tương ứng lại

4 Nếu cạnh góc vng góc nhọn tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn tam giác vng hai tam giác

5 Tam giác cân có góc 60 tam giác Tam giác cân có góc 45 tam giác vng cân

7 Nếu tam giác có độ dài cạnh 3,4,5 tam giác tam giác vng Hai tam giác

9 Góc ngồi tam giác ln lớn góc tam giác

10 Nếu cạnh huyền tam giác vuông cân cạnh huyền tam giác vng hai tam giác

11 Trong tam giác cân , đường phân giác góc đỉnh đồng thời đương trung trực cạnh đáy 12 Tam giác ABC vuông A, M trung điểm BC, B=300, AM=6cm AC=6cm.

13 Tam giác ABC vuông A, M trung điểm BC, AB=2cm, AC=1cm AM= √5 14 Nếu hai tam giác cân có hai cặp cạnh bên hai tam giác

15 Nếu cạnh bên cạnh đáy tam giác cân cạnh bên cạnh đáy tam giác cân hai tam giác

16 Nếu hai tam giác cân có trung góc đỉnh hai cạnh đáy song song

17 Nếu hai cạnh góc tam giác hai cạnh góc tam giác hai tam giác

18 Nếu tam giác cân ANM, BNM, CNM trung cạnh đáy MN A,B,C thẳng hàng 19 Nếu hai tam giác vng cân có cặp cạnh góc vng hai tam giác 20 Trong tam giác cân góc góc nhọn tù

HD:

1Đ 5Đ 9S 13Đ 17S

2Đ 6S 10Đ 14S 18Đ

3S 7Đ 11Đ 15Đ 19Đ

4S 8S 12Đ 16Đ 20S

II BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài Cho tam giác ABC có ^A =40, AB = AC Gọi M trung điểm BC Tính góc tam giác AMB tam giác AMC

HD: DABC cân A

Bài Cho tam giác ABC có AB = AC D, E thuộc cạnh BC cho BD = DE = EC Biết AD = AE.

(22)

a Chứng minh ^EAB = ^DAC

b Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM phân giác ^DAE c Giả sử ^DAE=60 Tính góc cịn lại tam giác DAE.

HD: DDAE cân A

Bài Cho DABC có AB = AC Kẻ AE phân giác góc BAC^ (E thuộc BC) Chứng minh rằng: a DABE = DACE

b AE đường trung trực đoạn thẳng BC

Bài Cho DABC có AB < AC Kẻ tia phân giác AD BAC^ ( D thuộc BC) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB, tia AB lấy điểm F cho AF = AC Chứng minh rằng:

a DBDF = DEDC b BF = EC

c F, D, E thẳng hàng d AD  FC

Bài Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox, lấy điểm A C Trên tia Oy lấy điểm B D cho OA = OB ; OC = OD (A nằm O C; B nằm O D)

a Chứng minh DOAD = DOBC

b So sánh góc CAD^ CBD^ .

Bài Cho DABC vuông A TRên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC. a Chứng minh DABC = DABD

b Trên tia đối tia AB, lấy điểm M Chứng minh DMBD = D MBC

Bài Cho góc nhọn xOy tia phân giác Oz góc Trên Ox, lấy điểm A, Oy lấy điểm B cho OA = OB Trên tia Oz, lấy điểm I Chứng minh:

a D AOI = D BOI b AB  OI

Bài Cho DABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA, lấy điểm E cho ME = MA

a Chứng minh AC // BE

b Gọi I điểm AC, K điểm EB cho AI = EK Chứng minh điểm I, M, K thẳng hàng

Bài Cho DMNP , E, F trung điểm MN MP Vữ Q cho F trung điểm EQ CM: a NE=PQ b DNEP=DQPE c EF//=1/2NP

Bài 10 Cho DABC có góc A=900 Đường cao AH, BC lấy M cho CM=CA, AB lấy N cho AN=AH,

a Góc CAM=góc CMA b AM phân giác BAH, c MN vng AB Bài 11 Cho DABC có A=1200, phân giác AD, kẻ DE vuông AB, AF vuông AC CM:

a DE=DF góc EDF=600

b lấy K nằm EB, I nằm FC cho EK=FI CMR: DK=DI c Từ C kẻ đường thẳng //AD cắt AB M tính góc DAMC

(23)

d Tính AF cho AD=4cm

Bài 12 Cho DABC vuông A phân giác BE, kẻ EH vuông BC, AB giao HE K CMR: a DABE=DHBE b BE trung trực AH

c EK=EC d AH//KC

HD: a, DABE=DHBE (ch-gn) c, DHEC=DAEK (cgv-gnk) d, KC vuông BE Bài 13 Cho góc xOy nhọn, Ox lấy A, Oy lấy B cho OA=OB, A kẻ đt vng góc Ox cắt Oy D, B kẻ đt vuông Oy cắt Ox C DA giao BC E

a CMR: OE phân giác xOy b EC=ED

c OE giao CD H, CMR: OE vuông CD d Cho ^AOB=600 , CD=18cm, tính OH?

HD: a, DOEB=DOEA(ch-cgv) suy DCEA=DDEB(cgv-gnk) suy DOEC=DOED c,DOHC=DOHD(ch-gn) d, DOCD

Bài 14 Cho DABC vuông A AH vuông BC, HP vuông AB, kéo dài để PE=PH, kẻ HQ vuông AC kéo dài để QF=QH CNR:

a DAPE=DAPH ; DAQH=DAQF

b A trung điểm EF c BE//CF

Bài 15 Cho DABC có AB>AC, từ trung điểm M BC vẽ đường thẳng vng góc với phân giác góc A, cắt phân giác H, cắt AB , AC E F CMR:

a BE=CF b AE=(AB+AC):2; BE=(AB-AC):2 c góc BME^ =( ^ACB - B^ ):2

HD: a F=E; Kẻ CD // AB=>BE=CD mà DCDF cân=>CF=CD

b AB+AC=AE+EB+AC=AE+AC+CF=2AE; AB-AC=AE+EB-AC=AF-AC+EB=2EB

c ^CMF + ^MFC = C^ , ^EMB =180- ^MEB - B^ , cộng vế đẳng thức trên, ý ^AFM = ^AEM

Bài 16 cho góc xAy, M thuộc Ax, N thuộc Ay cho AM=AN, At phân giác xAy, lấy P thuộc At. a CMR: DAMP=DANP

b kẻ PH vuông Ax, PK vuông Ay, chứng minh DMHP=DNKP c lấy Q xAy, cho QM=QN, chứng minh A,P,Q thẳng hàng

HD: b NP=MP góc ^KNP = ^HMP (theo a) c DNAQ=MAQ nên AQ phân giác MAN,

Bài 17 Cho DABC có AC>AB, CA lấy E cho CE=AB đường trung trực cạnh BE AC cắt tại O CMR:

a DAOB=DCOE b OA phân giác góc A

HD:a Gọi trung trực EB AC H P, DEOH=DBOH; DAOP=DCOP nên OA=OC; OE=OB b Góc OAP^ = OCE^ mà OCE^ = OAB^

Bài 18 Cho tam giác ABC có AB=AC, góc A<900, kẻ BD vuông AC, AB lấy E cho AE=AD CMR:

a ED//BC b CE vuông AB

(24)

HD:a DAED DABC cân A nên góc B=gocE mà góc sole trong b Chứng minh DBEC=DCDB suy E=D=900

Bài 19 Cho xOy=900, vẽ cung trịn tâm O bán kính tùy ý cắt Ox A, Oy B Từ điểm C tùy ý cung AB kẻ

đường thẳng //AB cắt Ox A’, Oy B’ CMR: CA’2+CB’2 không đổi.

HD: Kẻ HC vuông OB, CP vng OA, suy CA’2+CB’2=2HC2+2CP2=2CO2=2R2

TAM GIÁC VNG-CÂN-ĐỀU

Chú ý: Có TH tam giác vuông, Trong tam giác cân đường cao phân giác, trung trực… Trong tam giác vuông, trung tuyến nửa cạnh huyền, cạnh đối diện góc 300 cũng

bằng nửa cạnh huyền. Bài 1:

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH  BC ( H BC ) Cho biết AB = 13cm; AH = 12cm; HC = 16cm Tính độ dài cạnh AC; BC (HD: Dùng Pitago AC=20cm; BC=21cm)

Bài 2:

Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE

a/ Chứng minh tam giác ADE tam giác cân

b/ Kẻ BH  AD ( H  AD ), kẻ CK  AE ( K  AE) Chứng minh BH = CK HK//BC c/ Gọi O giao điểm BH CK Tam giác OBC tam giác gì? Vì sao?

d/ Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM,BH,CK đồng quy

HD: a DABD=DACE b DBDH=DCKE (ch-gn) c DOBC cân O B=^^ C d, Chỉ A,O,M thẳng hàng

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông B có AB = 12cm, AC = 20cm Tính độ dài cạnh BC (HD:Pitago BC=16cm) Bài 4:

Cho D ABC cân A Vẽ BH  AC ( H  AC), CK  AB, ( K AB ) a/ Vẽ hình

b/ Chứng minh AH = AK

c/ Gọi I giao điểm BH CK Chứng minh ^KAI=^HAI d/ Đường thẳng AI cắt BC P Chứng minh AI  BC P HD: b DAHB=DAKC c DKAI=DHAI d DABH=DACH Bài 5:

Cho D ABC có Â = 90o , BC = 15, AC = 12 Tính AB (HD: Pitago suy AB=9cm)

Bài 6:

Cho D ABC cân A Kẻ AH  BC ( H  BC ) a/ Chứng minh BH = HC

b/ Kẻ HE  AC ( E  AC), HF  AB ( F  AB ) Hỏi D HEF tam giác gì? Vì sao?

(25)

HD: a DABH=DACH b DHFB=DHEC Bài 7:

Cho tam giác ABC cân có AB = AC = 5cm, BC= 8cm Kẻ AH vng góc với BC H a/ Chứng minh: HB = HC BAH =^^ CAH .

b/ Tính độ dài AH

c/ Kẻ HD  AB ( D  AB ), Kẻ HE  AC (E  AC ) Chứng minh: êHDE tam giác cân

HD: a, DABH=DACH b Pitago AH=3cm c DBHP=DCHE Bài 8:

a Cho êABC có: AB = 4,5cm, BC = 6cm AC = 7,5cm Chứng tỏ êABC tam giác vuông? HD: AB2+BC2=AC2

b Cho êABC vuông A có AC=5cm, trung tuyến AM=3,5cm Tính cạnh tam giác hai đường trung tuyến lại

Bài 9:

Cho êABC cân A Kẻ BD vng góc với AC kẻ CE vng góc với AB BD CE cắt I Chứng minh:

a) DABDDACE b) BAI =^^ CAI

c) AI đường trung trực BC

HD:b DEAI=DDAI c Gọi H giao AI BC, DABH=DACH Bài 10:

Cho tam giác ABC cân A Gọi D trung điểm cạnh BC Qua A vẽ đường thẳng d // BC Chứng minh rằng:

a) êABD = êACD

b) AD tia phân giác góc BAC c) AD  d

HD: b DADB=DADC c AD vuông BC, BC//d Bài 11:

Cho êABC có góc A 600 Tia phân giác góc ABC cắt tia phân giác góc ACB I.

a) Cho biết CBA=2 ^^ ACB Tính số đo ^ACB . b) Tính số đo BIC^ .

HD: a B+ ^^ C=120 Bài 12:

Cho êABC, D trung điểm cạnh BC Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = DA Chứng minh rằng:

a) êADB = êEDC b) AB//CE

c) ^ABE = ^ECA

(26)

HD:b ^DAB = ^DEC theo a c êACE=êEBA Bài 13:

Cho êABC vng A Tia phân giác góc B cắt AC D; E điểm cạnh BC cho BE = BA a) Chứng minh rằng: êABD = êEBD

b) Chứng minh rằng: DE  BC

c) Gọi F giao điểm DE AB Chứng minh DC = DF HD:c êDEC=êDAF (cgv-gn)

Bài 14:

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có góc A 600 D trung điểm cạnh AC Trên tia AB lấy điểm E

sao cho AE = AD Chứng minh rằng: a) êADE tam giác b) êDEC tam giác cân c) CE  AB

HD:b DE=CD=AD c Góc CED=30 Bài 15:

Cho êABC vng cân A M trung điểm cạnh BC Điểm E nằm M C Vẽ BH  AE H, CK  AE K Chứng minh rằng:

a) BH = AK b) êHBM = êKAM c) êMHK vng cân

HD:a êABH=êACK ch-gn c MK=MH, góc MKH=MHK=MHB=45

Bài 16: Cho đoạn AB=7cm, AB lấy C cho AC=2cm, nửa mặt phẳng bờ AB kẻ Ax By vng góc với AB Lấy D Ax, E By cho AD=10cm, BE=1cm

a) Tính CD, CE

b) Chứng minh CD vng góc CE

HD: b Kẻ DH vng By, suy ADHB HCN, từ tính ED

Bài 17: Tam giác ABC có góc A tù, ^C = 300; AB = 29, AC = 40 Vẽ đường cao AH, tính BH.

(HD: HA=1/2AC=20cm Từ dung Pitago tính HB)

Bài 18: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24 Tính BC. HD: Dùng Pitago tính HB HC

Bài 19: Độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với 15, cạnh huyền dài 51cm Tính độ dài hai cạnh góc vng

HD: AB =

AC

15 AB2+AC2=512

Bài 20: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, lấy điểm D Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = AD Đường thẳng vng góc với AH D cắt AC F Chứng minh EB  EF

(27)

HD:AD=HE nên AH=DE, BF2=AB2+AF2=BH2+AH2+AD2+DF2; BF2=HB2+DE2+HE2+DF2=BH2+HE2+DE2+DF2=BE2+EF2 Bài 21: Cho D ABC, trung tuyến AM phân giác.

a/ Chứng minh D ABC cân

b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC

HD:a Kẻ MK vuông AB, MP vuông AC, suy MK=MP, dt(AMB)=dt(AMC) nên AC=AB b BC=2BM

Bài 22: Một tam giác có ba đường cao nhau. a/ Chứng minh tam giác tam giác

b/ Biết đường cao có độ dài

a√3

2 , tính độ dài cạnh tam giác đó. HD: a Dùng cơng thức diện tích D ABC b Đặt MB=x, suy AB=2x

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A, ^C = 150 Trên tia BA lấy điểm O cho BO = 2AC Chứng minh

rằng tam giác OBC cân

HD: Vẽ D BMC, góc ^OBM =150; gọi H trung điểm OB =>D HMB =

D ABC, H = ^A^ = 900

Bài 24: Cho tam giác ABC cân A, Â = 800 Gọi O điểm tam giác cho góc OBC^ = 300; góc

^

OCB = 100 Chứng minh D COA cân.

HD: vẽ tam giác BCM, DOBC=DAMC(g.c.g) nên CO=CA

Bài 25: Cho D ABC cân A, Â = 1000 Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho góc CBO^

= 300 Tính góc CAO^ .

HD:Vẽ tam giác BCM, góc CAO^ = ^CMA + ^MCA

Bài 26: Cho tam giác ABC cân A, Â = 300 Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx  BA Trên tia Bx

lấy điểm N cho BN = BA Tính góc BCN^

HD: kẻ By cho BC phân giác ^NBy Lấy D cho

BD = BA. B=C=75,

AB  BN (gt) ABN

^

¿=

¿ 90o



^

¿+CBN

^

¿=

ABC¿

¿ 90o



^

¿=90o

−ABC

^

¿=

CBN¿

¿ 90o – 75o = 15o



^

¿=2 CBN

^

¿=

DBN¿

¿ 2 ´ 15o = 30o  ^

¿− D BN

^

¿=

^

¿= AB N¿

AB D¿

¿ 90o – 30o = 60o DABD đều

(28)

 BAD

^

¿=

¿ 60o ^

¿−BA C¿^= ^

¿=B AD¿

CA D¿

¿ 60o – 30o = 30o

^

¿=CAD^¿ BAC¿

¿ (= 30o)

DBAC = DDAC (c – g – c)  BC = CD

DBDC = DBNC (c – g – c) CD = CN  BC = CN

DBCN cân C 

^ ¿ ^

¿+CNB¿

CBN¿

=180o−2 CBN¿^=

^

¿=180o

−¿

BCN¿

¿ 180o – ´ 15o = 150o

Bài 27: Cho DABC cân A, Â = 1000 Trên tia AC lấy điểm D cho AD = BC Tính góc CBD^ .

HD: Dựng tam giác ADE ; BAE^ =400; DBAE=DABC (c.g.c) nên AB=BE=AC; DADB=DDEB(c.c.c) nên ^CDB=^EDB=300 nên ^CBD=100

Bài 28: Cho DABC cân A, Â = 1080 Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho CBO^ = 120.

Vẽ tam giác BOM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh rằng: a Ba điểm C, A, M thẳng hàng

b Tam giác AOB cân

HD: a, ^MOC =1500; DBOC=DMOC nên OCB^ = ^OCM mà OCB^ = OCA^

Bài 29: Cho DABC cân A, Â = 800 Trên cạnh BC lấy điểm I cho góc BAI^ = 500; cạnh AC lấy điểm

K cho góc ^ABK = 300 Hai đoạn thẳng AI BK cắt H Chứng minh D HIK cân.

Bài 30: Cho DABC vuông cân A Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi Vẽ BD CE vng góc với d (D, E  d) Chứng minh tổng BD2 + CE2 có giá trị không đổi.

HD: DADB=DCEA(ch-gn)

Bài 31: Tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AM Trên cạnh AB lấy điểm E, cạnh AC lấy điểm F sao cho góc ^EMF = 900.Chứng minh AE= CF.

HD: DAEM=DCFM (g.c.g)

Bài 32: Tam giác ABC có AB = cm; Â = 750, ^B=600 Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx cho

^

CBx = 150 Từ A vẽ đường thẳng vng góc với AB, cắt Bx D

a Chứng minh rằng: DC  BC b Tính tổng BC2 + CD2.

HD: a, Lấy E thuộc BC cho AB=BE, DBAE đều, DBAD vuông cân, DEAC=DDAC (c.g.c) b, CB2+CD2=BD2=2.

Bài 33: Cho D ABC cân A (AB > BC) Trên tia BC lấy điểm M cho

MA = MB Vẽ tia Bx // AM (Bx AM nằm nửa mặt phẳng bờ AB) Trên tia Bx lấy điểm N cho BN = CM Chứng minh rằng:

a DABN = DACM b D AMN cân

HD: DABN = DACM (c.g.c)

(29)

Bài 34 :

Cho D ABC cân B ( B<90^ ), vẽ AD  BC CE  AB Gọi H giao điểm AD CE. a) Chứng minh : D ABD = D CBE

b) Chứng minh: DBED cân

c) Trên tia đối tia DA lấy điểm M cho DM = DA Chứng minh ^ECA=^DMC d) Gọi N trung điểm AC Chứng minh ba điểm B, H, N thẳng hàng

Bài 35: Cho ∆ ABC có C=60^

, ^A=450 , tia đối BC lấy D cho BC=2DC Tính CDA^ ? HD: Kẻ MB vuông AC, BC=2DC=2CM, DM=MB=MA Suy CDA^ =45.

Bài 36: Cho DABC cân A, cạnh đáy nhỏ cạnh bên, tia đối BC lấy M cho MA=MC, tia đối AM lấy N cho AN=BM

a ^AMC=^BAC . b CM =CN

c Tìm điều kiện DABC để CM vng CN. HD: a ^AMC=^BAC =1800

−2 ^C , b DABC cân A có ^A=45

Bài 37: Cho DABC cân A có ^A <90 , kẻ BD vuông AC, CE vuông AB, BD giao CE K a DBCE=DCBD

b DBEK=DCDK

c AK phân giác góc BAC

d Ba điểm A,K,I thẳng hàng ( I trung điểm BC)

Bài 38: Một tre cao 9m bị gãy ngang than, trạm đất cách gốc 3m Hỏi tử chỗ gãy tới gốc bao nhiêu? HD: x2+32=(9-x)2

Bài 40: mặt phẳng tọa độ cho điểm A(5;4), B(2;3), C(6;1) Tính góc DABC HD: DABC vng cân.

Bài 41: Cho DABC trung tuyến AM phân giác, a Chứng minh DABC cân

b AB=37cm, AM=35cm, Tính BC?

HD: Vẽ MH vng AB MK vng AC Thì DMHA=DMKA (ch-gn)

Bài 42: Cho DABC, đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành phần a CMR: DABC vuông

b CMR: DABM tam giác đều?

HD: Vẽ MI vuông AC suy BH=MH=MI=1/2BM=1/2MC nên ^C=300

Bài 43: Cho DABC vuông A, BC lấy M,N cho BM=BA; CA=CN, Tính góc ^MAN ? HD:góc MAN=180-M1-N1=45.

Bài 44: Cho DABC nhọn có ^A=60 , M N trung điểm AB,AC, đường cao BD. a DBMD DAMD tam giác gì?

b Trên tia AB lấy E cho AE=AN CMR: CE vuông AB

(30)

HD: a, MD=MA=MB=AB:2 b, DAEN nên EN=AC:2=NC, ^ENC=1200 nên ^

CEN =300 , suy ^

CEA=^CEN +^NEA=300+600

Bài 45: Cho DABC vuông A, vẽ miền tam giác tam giác vuông cân ABD ACF(AB=BD; AC=CF). a CMR: A,D,F thẳng hàng

b Từ D F kẻ DD’, FF’ vuông BC CMR: DD’+FF’=BC

HD: a, Chỉ ^DAF=180 b, Kẻ AH vuông BC, DHAC=DF’CE (ch-gn) nên F’F=CH, DHBA =DD’DB (ch-gn) nên DD’=HB,

Bài 46: Cho DABC có góc B=2C, kẻ AH vng BC, tia đối BA lấy BE=BH, EH cắt AC F, CMR: FH=FA=FC

HD: DHEB ,DFHC, cân ^EHB=^HBE=^CBA :2 mà C=^^ B :2 DFHA cân ^FHA+^FHC =900 ; ^

ACH +^CAH =900 mà ^FHC = ^ACH . Bài 47: Cho DABC có BC=2AB, M trung điểm BC, D trung điểm BM, CMR: AC=2AD.

HD: Trên tia đối AD lấy DE=DA suy ME=MC(cùng =AB) Có: AB//EM nên ^EMA+^MAB=1800 , ^

CMA+^AMB=1800 mà ^MAB=^AMB nên ^CMA = ^EMA =>DAME=DAM nên AE=AC.

Bài 48: Cho DABC vuông A, vẽ phía ngồi DABC tam giác cân CBD(cân D) Gọi H trung điểm BC. Chứng minh rằng: CD2=DH2+AH2

HD: Gọi H trung điểm BC AH=HC=HB(tính chất đường trung tuyến tam giác vng) Vì DCDB cân D nên DH vuông BC => CD2=DH2+CH2=DH2+AH2

Bài 49: Cho DABC vuông cân A, d đường thẳng qua A (khơng cắt đoạn BC) Từ B C kẻ BD CE vng góc với d

a CMR: BD//CE b DADB=DCEA c BD+CE=DE

d Gọi M trung điểm BC CMR: DDAM=DECM DDME vuông cân HD: b, DADB=DCEA(ch-gn) d, DDAM=DECM(c.g.c) AM=MC,

^DAM=45+^DAB ; ÊCM=45+ÊCA ; ^DMA=ÊMC nên ^DME=90

Bài 50: Cho DABC cân A có A<450 Qua M thuộc BC (MB<MC) kẻ MH//AB, MI//AC.CMR:

a DAIH=DMHI b AI=HC

c Vẽ N cho HI trung trực MN, CMR: NI=IB

d NH giao AB D, CMR: Chu vi DAHD không đổi M thay đổi

HD: a, DAIH=DMHI(g.c.g) b, AI=MH DHMC cân H, c, IN=IM DIMB cân I, d, ND=DA nên Chu vi = AD+DH+HA=NH+HA=MH+HA=AC

Bài 51: Cho đoạn thẳng BC, nửa mặt phẳng bờ BC vẽ tia Bx Cy cắt A cho ^

CBx=2 ^BCy , Kẻ AH vuông BC, tia đối Bx lấy E cho BE=BH, EH giao AC D CMR: a DHDC DADH cân

(31)

b Trên BC lấy B’ cho H trung điểm BB’, CMR: DABB’ cân c DAB’C cân

d AE=HC

HD: a, BHE=^

2 ^HBA , c, C+^^ CAB '=^AB ' B nên C=^^ CAB ' d, AE=BE+BA=HB’+B’A=HC. Bài 52: Cho điểm M nằm B A, nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB vẽ tam giác MAC MBD, AC cắt BD O, CMR:

a DAOB

b MC=OD MD=OC c DA=BC

d Gọi I K trung điểm AD BC, chứng minh DMIK e DA giao BC E, tính góc CEA?

HD: b, DMOD=DOMC (g.c.g) c, DODA=DACB (c.g.c) d, DIDM=DKBM(c.g.c) ý góc ^KBM=^IDM =^DAO , e, CEA=180-ECA-EAC=180-(ECM+60)-(60-EAM)=60

Bài 53: Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vuông cân đỉnh A ABD và ACE

a, CMR: BE = CD

b, Gọi I trung điểm B, K trung điểm CE, M trung điểm BC CMR: Tam giác IMK vuông cân

HD:a, DADC=DABE (c.g.c) b, DC vuông BE DC=BE, IM MK đường trung bình.

Bài 54: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM

= MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC

HD: AB cắt EI F, BA//DC nên DCAI=DFIA, => DAEF=DCBA

Bài 55: Cho tam giác ABC cân có AB=AC=5cm, BC= 8cm.Kẻ AH vng góc với BC ( H thuộc BC) a, Chứng minh HB=HC

b, Tính độ dài AH

c, Kẻ HD vng góc với AB(D thuộc AB), kẻ HE vng góc với AC ( E thuộc AC).Chứng minh tam giác HDE cân d, So sánh HD HC

HD:

a, DAHB=DAHC(ch-cgv)

b, BH=4cm , áp dụng ĐL Pytago cho DABH để tính AH. c, DBDH=DCEH(ch-gn) nên DH=HE.

d, HD=HE<HC

Bài 56: Cho tam giác ABC cân A có đường cao AH

a, Chứng minh DABH =D ACH AH tia phân giác góc BAC b, Cho BH= 8cm, AB= 10cm.Tính AH

(32)

c, Gọi E trung điểm AC G giao điểm BE AH.Tính HG d, Vẽ Hx song song với AC, Hx cắt AB F Chứng minh C, G, F thẳng hàng

HD:

a, DABH=DACH(ch-cgv) nên BAH =^^ CAH (hai góc tương ứng). b, Áp dụng định lí Pytago cho DABH.

c, Vì H trung điểm BC, E trung điểm AC nên AH,BE hai đường trung tuyến DABC, suy G trọng tâm DABC nên HG=1/3.AH.

d,Vì H trung điểm BC HF//AC nên HF đường trung bình =>F trung điểm AB, mà G trọng tâm DABC nên C,G,F thẳng hàng.

Bài 57: Cho tam giác ABC có CA= CB= 10cm, AB= 12cm Kẻ CI vng góc với AB Kẻ IH vng góc với AC, IK vng góc với BC

a, Chứng minh IB= IC tính độ dài CI b, Chứng minh IH= IK

c, HK// AB HD:

a,b, Tương tự 55,56.

c, DAHI=DBKI nên AH=BK => CH=CK =>DCHK cân nên HK//AB.

Bài 58: Cho DABC cân A, vẽ AH vng góc với BC H Biết AB= 10cm, BH= 6cm a Tính AH

b D ABH= D ACH

c BA lấy D, CA lấy E cho BD= CE.Chứng minh DHDE cân d AH trung trực DE

HD:

c, DBDH=DCEH(c.g.c) nên DH=HE

Bài 60: Cho DABC cân A có góc A < 900 kẻ BH vng góc với AC ,CK vng góc với AC.Gọi O giao điểm BH CK

a Chứng minh DABH=DACH b DOBK = DOCK DOBC cân

c nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I cho IB=IC.Chứng minh điểm A, O, I thẳng hàng

HD:

a, DABH=DACH.(ch-gn)

b, Theo a =>BK=HC ^KBO=^HCO =>DKOB=DHOC(cgv-gnk) nên OB=OC.

c, Gọi M trung điểm BC , Vì DABC, DOBC, DIBC nên AM vng BC, OM vuông BC, IM vuông BC suy O,I,M thẳng hàng.

Bài 61: Cho tam giác ABC cân A Kẻ BD vng góc với AC, CE vng góc với AB BD CE cắt H a DABD=DACE

b D BHC cân

(33)

c ED//BC

d AH cắt BC K, HK lấy M cho K trung điểm HM.Chứng minh tam giác ACM vuông

HD:

a, DABD=DACE (ch-gn)

b, Vì ^ABD=^ACE B=^^ C nên ^HBC=^HCB .

c, DABC cân, DAED cân nên ED//BC

d, ^HCK=^MCK , ^ACM =^ACB+^BCM=^ACB +^HCK= ^B+^HCK =900

Bài 62: Cho tam giác ABC cân A Kẻ BD vuông góc với AC, CE vng góc với AB BD CE cắt H a AH trung trực BC

b Trên tia BD lấy K cho D trung điểm BK.So sánh góc ECB góc DKC

HD:

a, Theo 61, DEHA=DDHA nên ^EAH =^DAH

Bài 63: Cho ∆ ABC cân A.vẽ trung tuyến AM Từ M kẻ ME vng góc với AB E.kẻ MF vng góc với AC F

a chứng minh ∆ BEM= ∆ CFM. b AM trung trực vủa EF

c Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB B, từ C kẻ đường thẳng vng góc với AC C, hai đường cắt D.Chứng minh A,M,D thẳng hàng

Bài 64: Cho ∆ ABC cân A Gọi M trung điểm AC.Trên tia đối MB lấy D cho DM= BM a Chứng minh Tam giác BMC= tam giác DMA.Suy AD//BC

b ∆ ACD cân

c Trên tia đối CA lấy E cho CA= CE.Chứng minh DC qua trung điểm I BE

Bài 65: Cho ∆ ABC cân A (AB = AC ), M trung điểm BC Gọi D điểm điểm nằm A M Chứng minh rằng:

a AM tia phân giác góc A? b êABD = êACD

c êBCD tam giác cân ?

Bài 66: Cho tam giác ABC vuông A , đường phân giác BD Kẻ DE vng góc với BC (E ¿ BC) Gọi F giao điểm

của BA ED Chứng minh rằng: a êABD = êEBD

b êABE tam giác cân ? c DF = DC

Bài 67: Cho tam giác ABC có ^A = 900, AB = 8cm, AC = 6cm a Tính BC

b Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = 2cm; tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Chứng minh ∆BEC = ∆DEC

c Chứng minh DE qua trung điểm cạnh BC

(34)

Bài 68 :Cho ∆ ABC vuông A.Vẽ đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA

a C/m góc BAD = góc ADB

b C/m AD phân giác góc HAC

c Vẽ DK vng góc AC ( K thuộc AC) C/m AK = AH

Bài 69 Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc ABC cắt AC D Từ D kẻ DH vng góc với BC H

và DH cắt AB K

a Chứng minh: AD = HD

b So sánh độ dài cạnh AD DC

c Chứng minh tam giác KBC tam giác cân

Bài 70:Cho Δ ABC vuông A, có BC = 10cm ,AC = 8cm Kẻ đường phân giác BI (IAC) , kẻ ID vng góc với BC (DBC)

a Tính AB

b Chứng minh ∆ AIB = ∆ DIB

c Chứng minh BI đường trung trực AD

d Gọi E giao điểm BA DI Chứng minh BI vng góc với EC

Bài 71 : Cho DABC cân A ( ^A <900

) Kẻ BDAC (DAC), CE AB (E AB), BD CE cắt H a Chứng minh: BD = CE

b Chứng minh: DBHCcân

c Chứng minh: AH đường trung trực BC

d Trên tia BD lấy điểm K cho D trung điểm BK So sánh: góc ECB góc DKC

Bài 73 : Cho tam giác ABC, hai cạnh AB,AC lấy hai điểm D E cho BD = CE Gọi M trung điểm DE

Trên tia đối tia MB lấy điểm F cho MF = MB a chứng minh Δ MDB = Δ MEF

b Chứng minh Δ CEF cân

c Kẻ phân giác AK góc BAC Chứng minh AK // CF

HD:

b, EF=BD mà BD=EC nên EF=EC. c, Kéo dài EF cắt AK G,

^

BAG=^AGF (sole) ;mà ^BAG=^GAE nên ^GAE=^EGA=¿∆ AEG cân E=¿AG song song FC

Bài 74:Cho tam giác ABC vuông A, A BC = 600 Tia phân giác góc B cắt AC E Từ E vẽ EH ¿ BC ( H ¿

BC)

a Chứng minh ∆ ABE = ∆ HBE

b Qua H vẽ HK // BE ( K ¿ AC ) Chứng minh ∆ EHK

c HE cắt BA M, MC cắt BE N Chứng minh NM = NC

Bài 75 Cho tam giác ABC vuông A có góc C=300 Tia phân giác góc B cắt BC E Từ E vẽ EH ¿ BC ( H ¿

BC)

(35)

a So sánh cạnh tam giác ABC b Chứng minh ∆ ABE = ∆ HBE c Chứng minh ∆ EAH cân

d Từ H kẻ HK song song với BE (K thuộc AC ) Chứng minh : AE=EK=KC

Bài 76 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BE Kẻ EH vng góc với BC (H  BC) Gọi K giao điểm AB HE Chứng minh rằng:

a DABE = DHBE

b BE đường trung trực đoạn thẳng AH c Tam giác EKC cân

Bài 77 Cho ∆ ABC cân A ( góc A nhọn ) Tia phân giác góc A cắt BC I a Chứng minh AI vng góc BC

b Gọi D trung điểm AC, M giao điểm BD với AI Chứng minh M trọng tâm tâm giác ABC

c Biết AB = AC = 5cm; BC = cm Tính AM

Bài 78 Cho D ABC cân A Gọi M trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho DM = BM a Chứng minh D BMC = D DMA Suy AD // BC

b Chứng minh DACD tam giác cân

c Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CA = CE Chứng minh DC qua trung điểm I BE

Bài 79 Cho tam giác ABC có AB < AC tia phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E cho AE =AB

a So sánh ^C ^B b Chứng minh BD = DE

c AB cắt ED K Chứng minh Δ DBK = Δ DEC d Δ AKC tam giác ?

e Chứng minh AD ¿ KC

Bài 80 Cho góc xOy = 1200 Điểm A thuộc tia phân giác góc Kẻ AB vng góc với Ox (B ¿ Ox) ; AC vng

góc với Oy (C ¿ Oy) Chứng minh rằng:

a AB = AC b AO ¿ BC

c Kẻ BE vng góc với phần kéo dài Oy E Cho OE = 3cm; Oc = 5cm Tính BC? d Tam giác ABC tam giác ? Vì ?

Bài 81 Cho DABCcân có AB = AC = 5cm, BC = 8cm Kẻ AH vng góc BC (HBC) a Chứng minh: HB = HC

b Tính độ dài AH

c Kẻ HD vng góc với AB (DAB), kẻ HE vng góc với AC (EAC) Chứng minh DHDE cân d So sánh HD HC

Bài 82: Cho DABC cân A, cạnh BC lấy điểm D E cho BD = CE (D nằm B E)

a Chứng minh:DABD = DACE

(36)

b Kẻ DM  AB (M  AB) EN  AC (N  AC ) Chứng minh: AM =AN

c Gọi K giao điểm đường thẳng DM đường thẳng EN BÂC= 1200 Chứng minhDDKE đều

Bài 83: Cho tam giác ABC có ^A = 900, AB = 8cm, AC = 6cm a Tính BC

b Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = 2cm; tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Chứng minh ∆BEC = ∆DEC

c Chứng minh DE qua trung điểm cạnh BC

Bài 84: Cho tam giác ABC có góc A 900 ; AC> AB Kẻ AH ¿ BC Trên DC lấy điểm D cho HD = HB Kẻ

CE vuông góc với AD kéo dài Chứng minh rằng: a Tam giác BAD cân

b CE phân giác góc

c Gọi giao điểm AH CE K Chứng minh: KD// AB d Tìm điều kiện tam giác ABC để tam giác AKC

Câu 85: Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = cm; kẻ AH  BC ( H  BC)

a Chứng minh BH = HC góc BAH= góc CAH b Tính độ dài BH biết AH = cm

c Kẻ HD  AB ( d  AB), kẻ EH  AC (E  AC) Tam giác ADE tam giác gì? Vì sao?

Câu 86: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = cm , BC = cm Kẻ AH vng góc với BC (H  BC)

a Chứng minh : HB = HC góc CAH = góc BAH b.Tính độ dài AH ?

Bài 87 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D , cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Gọi M

giao điểm BE CD Chứng minh : a BE = CD

b Δ BMD= ΔCME

c AM tia phân giác góc BAC

Bài 88 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên tia đối tia BA CA lấy hai điểm D E cho BD = CE

a Chứng minh DE // BC

b Từ D kẻ DM vng góc với BC , từ E kẻ EN vng góc với BC Chứng minh DM = EN c Chứng minh tam giác AMN tam giác cân

d Từ B C kẻ đường vng góc với AM AN chúng cắt I Chứng minh AI tia phân giác chung hai góc BAC góc MAC

Bài 89 Cho tam giác cân ABC có Â = 450 , AB = AC Từ trung điểm I cạnh AC kẻ đường vng góc với AC cắt

đường thẳng BC M Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = BM Chứng minh :

a A ^M C=A ^BC

b Δ ABM= ΔCAN

c Tam giác MNC vuông cân C

(37)

Bài 90 Cho tam giác ABC vng A có

AB AC=

5

12 AC – AB = 14cm Tính cạnh tam giác

Bài 91 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác ACD

và BCE Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh : a AE = BD

b ΔCME=ΔCNB

c Tam giác MNC tam giác

Bài 92 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Các

đường thẳng vng góc kẻ từ A E với CD cắt BC G H Đường thẳng EH đường thẳng AB cắt M Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH I Chứng minh :

a Δ ACD=Δ AME

b Δ AGB=Δ MIA c BG = GH

Bài 93 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD=CE

Từ D kẻ đường vng góc với BC cắt AB M Từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC N a Chứng minh MD = NE

b MN cắt DE I Chứng minh I trung điểm DE

c) Từ C kẻ đường vuông góc với AC , từ B kẻ đường vng góc với AN chúng cắt O Chứng tỏ AO đường trung trực BC

Bài 94 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho DA=AC Chứng minh tam giác BCD

vuông

Bài 95 Cho tam giác ABC đều, Tia phân giác góc ABC cắt AC D, tia phân giác góc ACB cắt AB E Gọi O

giao điểm BD CE.CMR:

a BD vuông góc với AC CE vng góc với AB b OA= OB = OC

Bài 96 Cho tam giác vng ABC vng A có AC = 20cm Kẻ AH vng góc với BC H.Biết BH= 9cm,

HC=16cm Tính AB AH

Bài 97 Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH vuông góc với BC H Biets AB = 10cm.AH=8cm, HC=15cm Tính chu vi

tam giác ABC

Bài 98 Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC H Chứng minh rằng: BH2+CH2+ 2AH2 = BC2 Bài 99 Cho tam giác ABC có AB=8cm, AC= 6cm, BC= 10cm Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD= 1cm Tính độ

dài đoạn thẳng BD

Bài 100 Cho tam giác ABC vuông A Biết 3AB= 4AC BC= 20cm Tính độ cạnh AB AC. Bài 101 Cho tam giác ABC vuông A , Vẽ AH vng góc với BC H Chứng minh AH2 = BH.CH

Bài 102 Cho tam giác ABC có góc A= 300 Dựng bên ngồi tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh AD2

= AB2 + AC2

Bài 103 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM= BA, CN = CA Tính góc

MAN

(38)

Bài 104 Cho tam giác ABC vuông A( AB< AC), phân giác AD Từ D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt AC

tại M Tính góc MBD

Bài 105 Tam giác ABC có góc B= 750, góc C = 600 kéo dài BC đoạn thẳng CD cho CD=

2 BC Tính góc ABD

Bài 106 Cho tam giác ABC, AB= AC Tia phân giác góc B Góc C cắt AC AB D E Chứng minh

rằng:

a Tam giác AED cân đỉnh A b DE // BC

c BE= ED = DC

Bài 107 Cho tam giác ABC, phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC E, qua E kẻ đường

thẳng song song với BC cắt AB K Chứng minh: a Tam giác AED cân

b AE= BK

Bài 108 Cho tam giác ABC có góc B = 450, góc A = 150 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD= 2BC Kẻ DE

vng góc với AC a Chứng minh EB= ED b Tính góc ADB

Bài 109 Cho tam giác ABC, góc A= 600 Tia phân giác góc B góc C cắt cạnh đối diện D E, BD CE cắt

nhau O Tia phân giác ggocs BOC cắt BC F Chứng minh rằng: a OD= OE = OF

b Tam giác DEF đều,

Bài 110 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = 1/3 AB Từ D kẻ đường thẳng vng góc với

AB cắt AC E Qua E kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt BC F Chứng minh rằng:

a DF vng góc với BC b Tam giác DEF

Bài 111 Cho tam giác ABC có góc B= 500 Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác góc B E.

a Chứng minh tam giác AEB cân b Tính góc BAE

Bài 112 Cho tam giác cân ABC( AB= AC) Trên cạnh AB AC lấy tương ứng hai điểm D E cho AD = AE

Gọi M trung điểm BC.CMR: a DE//BC

b DMBDDMCE c DAMDDAME

Bài 113 Cho DABC Các tia phân giác góc B góc C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D, cắt AC E Chứng minh rằng: DE= BD + CE

Bài 114 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự điểm D, E, F cho AD= BE =

CF.chứng minh tam giác DEF

(39)

Bài 115 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên đáy BC lấy hai điểm M, N cho BM= CN= AB

a chứng minh tam giác AMN cân b tính góc MAN

Bài 116 Cho DABCcó góc A = 600 Vẽ phía ngồi tam giác hai tam giác AMB ANC.

a Chứng minh M,A, N thẳng hàng b.BM= CN

Bài 117 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối AB lấy điểm D, tia đối AC lấy điểm E cho AD = AE Chứng

minh:

a DE//BC b BE= CD

c DBEDDCDE

Bài 118 Cho tam giác ABC vng cân A Vẽ phía ngồi tam giác hai tam giác ABD ACE.

a Chứng minh BE= CD

b Gọi I giao điểm BE CD Tính góc BIC

Bài 119 Cho tam giác ABC vuông cân A, biết AB= AC= 4cm.

a tính BC,

b từ A kẻ đường thẳng vuông govs với BC Chứng minh D trung điểm BC c từ D kẻ DE vng góc với AC Chứng minh tam giác AED tam giác vng cân d tính AD

Bài 120 Cho tam giác ABC vuông A( AB> AC)

a cho AB= 8cm, BC= 10cm Tính AC

b gọi M trung điểm BC.trên tia đối MA lấy D cho MD= MA Vẽ AH vng góc với BC H, tia đối HA lấy E cho HE = HA CMR:

a CD vng góc với AC b DCAE cân c BD= CE d AE vng góc với ED

Bài 121 Cho tam giác ABC cân A Vẽ AH vng góc với BC H Vẽ HD vng góc với AB D HE vng góc

với AC E CMR:

a BH= HC b BD= CE

Bài 122 Cho rABC , kẻ AH BC Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 8cm Tính độ dài cạnh AH, HC, AC?

Bài 123 Cho tam giác cân ABC cân A (AB = AC) Gọi D, E trung điểm AB AC.

a Chứng minh DABEDACD b Chứng minh BE = CD

c Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh ∆ KBC cân tạ K d Chứng minh AK tia phân giác góc BAC

Bài 124 Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH BC ( H BC ) Biết AB = 13 cm; AH = 12 cm HC = 16 cm Tính chu vi tam giác ABC

Bài 125 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC CB lấy theo thứ tự hai điểm Q R cho BQ = CR.

a Chứng minh AQ = AR

b Gọi H trung điểm BC Chứng minh : ^QAH=^REH

(40)

Bài 126 Cho DABC có AB = AC = cm; BC = cm Kẻ AH  BC (HBC) a Chứng minh HB = HC BAH =^^ CAH

b Tính AH

c Kẻ HD  AB (DAB); HE  AC (EAC) Chứng minh: DHDE cân

Bài 127 Cho rABC , kẻ AH BC Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 10cm a) Biết C=300 Tính ^HAC

b) Tính độ dài cạnh AH, HC, AC

Bài 128 Cho tam gíac ABC cân A Kẽ AI BC, I BC. a CMR: I trung điểm BC

b Lấy điểm E thuộc AB điểm F thuộc AC cho AE = AF Chứng minh rằng:DIEF tam giác cân. c Chứng minh rằng: DEBI = DFCI.

Bài 129 Tam giác ABC có phải tam giác vuông hay không cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với 9; 12 15

Bài 130 Cho góc nhọn xOy N điểm thuộc tia phân giác góc xOy Kẻ NA vng góc với Ox (AOx), NB vng góc với Oy (B Oy)

a Chứng minh: NA = NB

b Tam giác OAB tam giác gì? Vì sao?

c Đường thẳng BN cắt Ox D, đường thẳng AN cắt Oy E Chứng minh: ND = NE

d Chứng minh ONDE

Bài 131 Tam giác ABC vng A, vẽ AH vng góc với BC ( HBC ) Tính AH biết: AB:AC = 3:4 BC = 10 cm

Bài 132 Cho góc nhọn xOy K điểm thuộc tia phân giác góc xOy Kẻ KA vng góc với Ox (AOx), KB vng góc với Oy ( BOy)

a Chứng minh: KA = KB

b Tam giác OAB tam giác gì? Vì sao?

c Đường thẳng BK cắt Ox D, đường thẳng AK cắt Oy E Chứng minh: KD = KE

d Chứng minh OKDE

Bài 133 Cho tam giác ABC cân A, Kẻ BD vng góc với AC, CE vng góc với AB BD CE cắt I.

a Chứng minh BDC =^^ CEB b So sánh góc IBE góc ICD

c AI cắt BC H Chứng minh AI BC H

Bài 134 Cho tam giác ABC cân A, Kẻ AH BC H BC

a Chứng minh BAH =^^ CAH

b Cho AH = cm, BC = cm Tính độ dài AC

c Kẻ HEAB HD, AC Chứng minh AE = AD d Chứng minh ED // BC

Bài 135 Cho tam giác ABC cân A, Kẻ BD vng góc với AC, CE vng góc với AB BD CE cắt I.

(41)

a Chứng minh ∆ BDC=∆ CEB b So sánh góc IBE góc ICD

c AI cắt BC H Chứng minh AI BC H.

Bài 136 Cho tam giác ABC cân A, Kẻ AH BC H BC

a Chứng minh BAH =^^ CAH

b Cho AH = cm, BC = cm Tính độ dài AC

c Kẻ HEAB HD, AC Chứng minh AE = AD d Chứng minh ED // BC

Bài 137 Cho tam giác MNP cân N Trên tia đối tia MP lấy điểm I, tia đối tia PM lấy điểm K cho MI

= PK

a Chứng minh: DNMI = DNPK ;

b Vẽ NH  MP, chứng minh DNHM = DNHP HM = HP c Tam giác NIK tam giác gì? Vì sao?

Bài 138 Cho Δ ABC vuông A, đường phân giác BE Kẻ EH ¿ BC ( H ¿ BC ) Gọi K giao điểm AH

và BE Chứng minh rằng:

a Δ ABE = Δ HBE b BE đường trung trực AH

Bài 139 Cho tam giác ABC cân A Vẽ AH  BC

a Chứng minh: DAHB = DAHC ; b.Vẽ HM  AB, HN  AC Chứng minh DAMN cân c Chứng minh MN // BC ; d.Chứng minh AH2 + BM2 = AN2 + BH2

Bài 140 Cho tam giác ABC , có AC < AB , M trung điểm BC, vẽ phân giác AD Từ M vẽ đường thẳng vng góc với

AD H, đường thẳng cắt tia AC F ,cắt AB E Chứng minh :

a Δ AFE cân b Vẽ đường thẳng Bx // EF, cắt AC K Chứng minh : KF = BE

c Chứng minh : AE = AB AC

Bài 141 Cho ΔABC vuông A, M trung điểm BC, vẽ MH vuông AB Trên tia đối tia MH lấy điểm K cho MK =

MH

a.CMR: ΔMHB = ΔMKC b.CMR: AC = HK

c.CH cắt AM G, tia BG cắt AC I CMR: I trung điểm AC

Bài 142 Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E

cho BD=CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M,N DM=EN, đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN Chứng minh rằng:

a DM=EN.

b MN cắt BC trung điểm I MN.

c đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC. HD:

(42)

a, ∆ BDM= ∆ CEN(cgv-gnk) nên DM=EN. b, ∆ DMI= ∆ ENI(cgv-gnk) nên MI=NI.

c, Từ B C kẻ đường thẳng vuông AB AC cắt J, ∆ ABJ= ∆ ACJ (ch-cgv) nên J thuộc trung trực BC Suy ∆ BMJ= ∆ CNJ => MJ=NJ hay trung trực MN qua J cố định.

Bài 143 Cho tam giác ABC vuông A, K trung điểm cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vng góc với

AK, đường cắt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm DE a Chứng minh rằng: AI vng góc với BC

b Có thể nói DE nhỏ BC khơng? Vì sao? HD: a,

^

C=^CAK ; ^CAK =ÎDA(cùng phụ ^KEA); ÎDA=ÎAD ;suy ^C=ÎAD , mà ^C +^B=900nên ^B+ÎAD=900

=¿AI vng BC b, Vì AI=IE=ID; AK=KC=KB; mà AI>AK nên DE>BC.

Bài 144 Cho tam giác ABC (AB>AC), M trung điểm BC Đường thẳng qua M vng góc với tia

phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E F CMR:

a EF2 +AH

2

=AE2 b ^BME = ^ACB− ^B c) BE=CF

HD: a, ∆ AHF= ∆ AHE(cgv-gnk) nên HE=HF, suy EF

2

4 =HE

2 mà ∆

AHE vuông H nên AH2

+HE2 =AE2 => AH2+ EF2

4 =AE

2.

b, ^B+^BME=^MEA mà ^MEA=(180− ^A):2=(^B+^C):2 hay ^B+^BME=(B +^^ C):2 => ^BME = ^ACB− ^B c, Trên tia đối MF lấy P cho MF=MP, suy ∆ MCF= ∆ MBP(c.g.c) nên

^MPB=^MFC CF=BP(1)mà ^MFC=^MEA=^PEB nên ∆ BPE cân B=¿BE=BP(2) Từ (1)(2) suy BE=CF

Bài 145 Cho tam giác ABC có góc B C góc nhọn Ax tia nằm tia AB AC Gọi H, K

lần lượt hình chiếu B C tia Ax a Chứng minh BH+CK ≤ BC

b Xác định vị trí tia Ax để tổng BH+CK có giá trị lớn

HD: a, Gọi N giao Ax BC Ta có: BH≤ BN, CK ≤CN nên BH+CK ≤ BN+CN=BC.

b, Theo a, BH+CK lớn BC H K trùng với N suy Ax đường cao từ đỉnh A.

Bài 146 : Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao AH, miền ngồi tam giác ABC ta vẽ tam giác

vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M,N thuộc AH)

(43)

a CM: EM+HC=NH b CM: EN // FM

Bài 147 Cho tam giác ABC cân A có A=200, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC)

Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a Tia AD phân giác góc BAC

b AM = BC

HD: a Chứng minh DADB = DADC (c.c.c) suy ^DAB=^DAC

b, ^ABM =100 nên DABM = DBAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC nên AM = BC

Bài 148: Cho ∆ ABC nhọn đường cao AD, Gọi M N cho AB trung trực DM, AC trung trực DN a Chứng minh ∆ ANM cân

b. Chứng minh AD phân giác ^IDK c. Chứng minh BK vuông AC, CI vuông AB

d. Chứng minh ∆ ABC có ba đường cao đường phân giác ∆ IDK HD:

a, AM=AN ( AD)

b, ^IDA=ÎMA ; ÂDK =ÂNK Mà ÂMI=ÂNK nên ÎDA=ÂDK .

c, Xét ∆ IDK có BI BD phân giác ngồi góc I D nên BK phân giác góc K, mà KC là phân giác ngồi góc K nên BK vuông KC Chứng minh tương tự suy CI vuông AB.

d, Theo c) AD, BK, CI đường cao ∆ ABC phân giác ∆ DIK.

Bài 149: Cho ∆ ABC có ^A=600 , Gọi BM CN phân giác góc B C (M thuộc AC, N thuộc

AB) CN giao BM G. a Tính BGC^ .

b Chứng minh ∆ NGM cân. c Chứng minh BN+CM=BC.

HD:

a, GBC+^^ GCB=(B+ ^^ C):2=1200:2=600=¿^BGC=1200 .

b, Kẻ GD phân giác BGC^ , ∆ GBD= ∆ GBN(g.c.g) nên GN=GD(1)

∆ GDC= ∆ GMC(g.c.g) nên GD=GM (2) Từ (1)(2) => GN=GM.

c, ∆ GBD= ∆ GBN(g.c.g) nên BN=BD

∆ GDC= ∆ GMC(g.c.g) nên MC=CD Suy MC+BN=BD+DC=BC.

Bài 150:

a Cho tam giác ABC, chứng minh phân giác ngồi góc B C đồng quy với phân giác trong góc A.

(44)

b Chứng minh phân giác phân giác ngồi góc vng góc với nhau.

HD: a, Gọi giao điểm phân giác ngồi góc B C D,

Vì D nằm phân giác ngồi góc B suy khoảng cách từ D tới AB BC nhau.(1) Tương tự khoảng cách từ D tới BC AC (2).

Từ (1) (2) suy khoảng cách từ D tới AB AC => D nằm phân giác góc A.

Bài 151: Cho ∆ ABC có ^A=1200 , đường phân giác AD,BE Chứng minh DE phân giác

ngồi góc D.

HD: Xét ∆ ABD có AC phân giác ngồi góc A, BE phân giác góc B => DE phải phân giác ngồi góc D.

Bài 152: Cho ∆ ABC trung tuyến AM, Từ M kẻ //AB cắt AC N, cho AN=NM BN cắt AM O. CMR:

a ∆ ABC cân.

b Ol tr ọ ng t â m ∆ ABC

HD:

a, ∆ ANM cân nên ^NAM=^NMA mà ^NMA=^BAM (sole trong) => AM vừa trung tuyến, vừa phân giác nên ∆ ABC cân A.

b, Vì ∆ ABC cân nên ∆ MNC cân N( C=^^ NMC b ngằ ^B¿ nên NM=NC suy N trung điểm AC suy BN AM hai trung tuyến => O trọng tâm ∆ ABC.

Bài 153: Cho ∆ ABC cân A, đường cao AH, tia đối HA lấy D cho HD=HA, tia đối CB lấy E cho CB=CE.

a Chứng minh C trọng tâm ∆ ADE. b AC cắt DE M, chứng minh HM//AE HD:

a, ∆ ADE có EH đường trung tuyến, C thuộc EH mà CE=2CH nên C trọng tâm ∆ ADE. b, Vì C trọng tâm nên M trung điểm DE, mà H trung điểm AD nên HM đường trung bình

∆ ADE nên HM//AE.

Bài 154: Cho ∆ ABC có trung tuyến DA,BE,CF cắt G CMR: a 2AD<AB+AC

b BE+CF> BC

c

4 (AB+BC+AC)<AD+BE+CF<AB+AC+BC HD:

(45)

Xét ∆ AMC có AC+MC>AM hay AC+AB>2AD. b, EF đường trung bình nên FE=1/2.BC

EG+GF>EF (1); BG+CG>BC (2) Cộng theo vế (1)(2): EG+FG+CG+BG>EF+BC hay BE+CF>1/2BC+BC=3/2BC.

c, GA+GB>AB hay 32 (DA+BE)>AB => AD+BE> 32 AB Tương tự: AD+CF> 32 AC; CF+BE>

3 BC

Suy (AD+CF)+(AD+BE)+(BE+CF)> 32 (AB+BC+AC) hay 2(AD+BE+CF)> 32 (AB+BC+AC)

 (AD+BE+CF)> 34 (AB+BC+AC)(3)

Theo AB+AC>2AD Chứng minh tương tự: AB+BC>2BE; AC+BC>2CF cộng theo vế bất đẳng thức : AB+AC+AB+BC+BC+AC>2AD+2BE+2CF hay AB+AC+BC>AD+BE+CF (4)

Từ (3)(4) => đpcm.

Bài 155: Cho ∆ ABC phân giác góc B góc C cắt O Từ A kẻ đường thẳng vuông OA cắt OB OC M N Chứng minh BM vuông BN; CM vuông CN

HD:

OA phân giác góc A mà MN vng OA nên MN phân giác ngồi góc A

Trong ∆ ABC có NC phân giác góc C, NM phân giác ngồi góc A nên NB phân giác ngồi góc B (1)

Mà BM phân giác góc B (2) Từ (1)(2) => BN vuông BM Chứng minh tương tự CM vng CN.

Bài 156: Cho ∆ ABC có B=450; đường cao AH, phân giác BD Cho BDA =45^ , chứng minh HD//AB.

HD: tam giác ABD có ^ADB=450

;^BAH =450 ; ^ABD=22,50 nên ^

A=112,50 , suy AC phân giác ngồi góc A, Mà BD phân giác góc B nên DH phân giác ngồi góc ^AHC =>

^AHD=450mà ^BAH =450 => HD//AB

Bài 157: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H, Lấy K cho AB trung trực HK, chứng minh ^KAB=^KCB .

HD: ^KAB=^EAH Mà ^EAH =^HCB nên ^KAB=^KCB .

Bài 158: Cho tam giác ABC có A=1200, phân giác AD, AD lấy O tia đối AC lấy M cho:

^ABM =^ABO , tia đối AB lấy N cho ^ACN =^ACO a Chứng minh AM=AN

b Tam giác MON HD:

a, ^CAM=^NAB=600 => ∆ ACO= ∆ ACM(g.c.g) nên AM=AO ∆ AOB= ∆ ANB(g.c.g) nên

AO=AN

(46)

 AM=AN.

b, ∆ MAO cân A có ^A=1200

=¿^AMO=ÂOM=300 , tương tự: ^ANO=ÂON =300;ÂMN =ÂNM =300 nên ∆ MON đều.

Bài 159: Cho tam giác ABC không vuông đường trung trực AB AC cắt O cắt đường thẳng BC M N Chứng minh OA phân giác ^MAN

HD:

a, Gọi Q,P trung điểm AB AC ∆ AOM= ∆ BOM(c.c.c) nên ^OBM=^OAM ∆ ANO=∆ CNO nên ^

OCN=ÔAN mà ^OBM=ÔCN nên ÔAM =ÔAN

TỔNG HỢP Bài 1: (2 điểm) Câu đúng, câu sai?

Câu Đúng Sai

1 Tam giác cân có góc 450 tam giác vng cân.

2 Tam giác có cạnh có góc 600 tam giác đều.

3 Mỗi góc ngồi tam giác tổng góc khơng kề với

4 Nếu ba góc tam giác ba góc tam giác tam giác

Bài 2: Tam giác có độ dài ba cạnh 24cm, 18cm, 30cm có phải tam giác vng khơng? Vì sao?

Bài 3: Cho đoạn thẳng BC Gọi I trung điểm BC Trên đường trung trực BC lấy điểm A (A khác I) Chứng minh Δ AIB = Δ AIC

2 Kẻ IH vng góc với AB, kẻ IK vng góc với AC

a) Chứng minh Δ AHK cân b) Chứng minh HK//BC

Bài 4: Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N điểm BC ED cho CM = EN Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng Bài 5: Hãy ghép số chữ tương ứng để câu trả lời đúng:

* Tam giác ABC có: * Tam giác ABC là: ∠ A = 900 ; ∠B = 450

2 AB = AC ; ∠ A = 450

3 ∠ A =∠C = 600

4 ∠B+∠C = 900

A Tam giác cân B Tam giác vuông C Tam giác vuông cân D Tam giác

Bài 6: Tính số đo x góc hình sau đây:

(47)

Hình Hình

50 x y

x 70

100

B C

A

N P

M

Bài 7: Cho tam giác ABC vng A có AB = 3cm , AC = 4cm a) Tính độ dài cạnh BC

b) Trên tia đối tia AC lấy D cho AD = AB Tam giác ABD có dạng đặc biệt nào? Vì sao? c) Lấy tia đối tia AB điểm E cho AE = AC

Chứng minh DE = BC

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc với CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Bài 9: Định nghĩa tam giác cân Nêu tính chất góc tam giác cân.

Áp dụng: Cho tam giác ABC cân A có góc A = 700 Tính góc B C.

Bài 10:

a) Tam giác có độ dài ba cạnh tỉ lệ với : : Chu vi tam giác 60cm Tính độ dài ba cạnh tam giác b) Tam giác có độ dài ba cạnh tìm có phải tam giác vng khơng? Vì sao?

Bài 11: Cho tam giác ABC cân A, kẻ BD vng góc với AC kẻ CE vng góc với AB BD CE cắt I

a) Chứng minh Δ BDC=ΔCEB b) So sánh ^IBE ^ICD

c) Đường thẳng AI cắt BC H Chứng minh AI ¿ BC H

Bài 12: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên Các đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng

Bài 13:

a) Phát biểu định lí Pytago

b) Áp dụng: Cho tam giác ABC vng B có AB = 12cm, AC = 20cm Tính độ dài BC Bài 14:

(48)

Hình Hình Hình Hình 20 x x x 35 90 x 30 50 x 28 72 B C A E F D I H G K L J

Hình hình có số đo x 800? (đánh dấu X vào vng)

Hình Hình

Hình hình Hình 1, hình hình Bài 15:

1 Vẽ tam giác vuông ABC có góc A = 900, AC = 4cm, góc C = 600.

2 Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC

a) Chứng minh Δ ABD=Δ ABC

b) Tam giác BCD có dạng đặc biệt nào? Vì sao? c) Tính độ dài đoạn thẳng BC, AB

Bài 16: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Bài 17: Khoanh tròn vào chữ đứng trước câu trả lời nhất.

1/ Tam giác tam giác vuông tam giác có độ dài ba cạnh sau ?

A 5cm, 5cm, 7cm B 6cm, 8cm, 9cm

C 2dm, 3dm, 4dm D 9m, 15m, 12m

2/ Cho DABC vng A, có cạnh AB = 3cm AC = 4cm Độ dài cạnh BC là:

A 1cm B 5cm C 7cm D 25cm

3/ DMNP cân M có ^M = 600 thì:

A MN = NP = MP B M = ^N= ^P^

C Cả A B D Cả A B sai

Bài 18: Điền dấu “X” vào thích hợp

Câu Đúng Sai

1 Góc ngồi tam giác lớn góc kề với

2 Trong tam giác, góc lớn góc tù

3 Tam giác vng có góc 450 tam giác vng

cân ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

Bài 19: Cho góc nhọn xOy Gọi I điểm thuộc tia phân giác góc xOy Kẻ IA vng góc với Ox (điểm A thuộc tia Ox) IB vng góc với Oy (điểm B thuộc tia Oy)

(49)

a) Chứng minh IA = IB

b) Cho biết OI = 10cm, AI = 6cm Tính OA

c) Gọi K giao điểm BI Ox M giao điểm AI với Oy So sánh AK BM? d) Gọi C giao điểm OI MK Chứng minh OC vng góc với MK

Bài 20: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng

Bài 21:

TT Nội dung Đúng Sai

1 Nếu hai tam giác có ba góc đơi hai tam giác

2

Nếu Δ ABC Δ DEF có AB = DE, B = E, Δ ABC = Δ DEF Trong tam giác, có hai góc nhọn

4

Nếu A góc đáy tam giác cân A < 900.

Câu 22: Cho tam giác cân DEF (DE = DF) Trên cạnh EF lấy hai điểm I, K cho EI = KF Chứng minh DI = DK. Câu 23: Cho rABC, kẻ AH BC Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 10cm

Tính độ dài cạnh AH, HC, AC

Câu 24: Cho tam gic ABC cân A , ^A = 1080, Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho

CBO = 120 Vẽ tam giác BOM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M

thẳng hàng

Câu 25: Điền dấu “x” vào chỗ trống cách thích hợp:

Câu Đúng Sai

a) Nếu góc tam giác góc tam giác hai tam giác

b) Góc ngồi tam giác lớn góc kề với c) Tam giác vng có góc 450 tam giác vuông cân

d) Nếu góc B góc đáy tam giác cân góc B góc nhọn

Câu 26: Khoanh tròn vào đáp án em cho đúng:

Tam giác ABC cân A, có Â = 400 Góc đáy tam giác bằng:

A 500 B 600 C 700

Câu 27: Cho tam giác ABC có CA = CB = 10cm, AB = 12cm Kẻ CI  AB (IAB). Kẻ IH AC (H AC), IK BC (K BC)

a) Chứng minh IA = IB b) Chứng minh IH = IK c) Tính độ dài IC

d) HK // AB

(50)

Câu 28: Cho D ABD, có B^ = 2 ^D , kẻ AH  BD (H  BD) Trên tia đối tia BA lấy BE = BH Đường thẳng EH cắt AD F Chứng minh: FH = FA = FD

Câu 29 : Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối BC lấy điểm M, tia đối CB lấy điểm N cho BM = CN

a) Chứng minh : D ABM = D ACN

b) Kẻ BH  AM ; CK  AN ( H ¿ AM; K ¿ AN ) Chứng minh : AH = AK

c) Gọi O giao điểm HB KC Tam giác OBC tam giác ? Vì sao?

Câu 30: Cho tam giác ABC, kẻ BE ¿ AC CF ¿ AB Biết BE = CF = 8cm độ dài đoạn thẳng BF BC

tỉ lệ với

a) Chứng minh tam giác ABC tam giác cân b) Tính độ dài cạnh đáy BC

c) BE CF cắt nhao O Nối OA EF

Chứng minh đường thẳng AO trung trực đoạn thẳng EF Câu 31: Quan sát (H.1) chọn giá trị x (biết IK // MN) A 1000 ; B 900 ; C 800 ; D 500

Câu 32: Quan sát (H.2) cho biết đẳng thức viết theo quy ước:

A DPQR = DMEF ; C DPQR = DEMF

B DPQR = DMFE ; D DPQR = DEFM

Câu 33: Quan sát (H.3) chọn giá trị y: A y = B y = 25

C y = 225 D y = 15

Câu 34: Tam giác có độ dài ba cạnh sau có phải tam giác vng khơng? Vì sao? a) 3cm, 4cm, 5cm;

b) 4cm, 5cm, 6cm

Câu 35: Cho tam giác ABC có số đo góc A, B, C tỉ lệ với 3; 2; 1. a) Tính số đo góc tam giác ABC

b) Lấy D trung điểm AC, kẻ DM  AC (M  BC) Chứng minh tam giác ABM tam giác Câu 36: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC ( D không trùng với B; C) Lấy M trung điểm AD Trên

tia đối tia MB lấy điểm E cho ME = MB Trên tia đối tia MC lấy điểm F cho MF = MC Chứng minh rằng:

a) AE // BC;

b) Điểm A nằm hai điểm D E

Bài 37: Nếu tam giác ABC có AB = 13 cm, AC = 12 cm , BC = cm tam giác ABC:

A Là tam giác vuông A C Là tam giác vuông C B Là tam giác vuông B D Không phải tam giác vuông Bài 38: Nối ô cột trái với ô cột phải để có khẳng định đúng:

(H.2)

80 60 40

60

F E

D

R Q

P

y (H.3)

(51)

A Nếu tam giác cân có góc 600 là

A nối với B nối với

1 Tam giác cân Tam giác vuông cân B Nếu tam giác có hai góc

bằng 450 là

3 Tam giác vng Tam giác

Bài 40: Điền chữ Đ (đúng) S (sai) thích hợp vào trống:

A Nếu hai tam giác có ba góc tương ứng hai tam giác giác B Nếu hai tam giác có ba cạnh tương ứng hai tam giác giác Bài 41:

2 Nếu Δ ABC Δ DEF có AB = DE, BC = EF, góc B = góc E Δ

ABC = Δ DEF

3 Trong tam giác, có hai goc nhọn

4 Nếu góc A góc đáy tam giác cân góc A<900.

Bài 42: Cho góc nhọn xOy Và M điểm thuộc tia phân giác góc xOy Kẻ MA vng góc với Ox (A  Ox), MB vng góc với Oy (B Oy)

a) Chứng minh: MA = MB

b) Tam giác OAB tam giác gì? Vì sao?

c) Đường thẳng BM cắt Ox D, đường thẳng AM cắt Oy E Chứng minh: MD = ME

d) Chứng minh OM DE

Bài 43: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BA Chứng minh DC  AC.

Bài 44:

a) Phát biểu định lý pi ta go

b) Vận dụng tìm x hình vẽ sau

Bài 45:

Tính số đo x hình vẽ

8 10 x

A B

C

A

H

B K I

40 1

2

(52)

Bài 46: Cho tam giác cân DEF (DE = DF) Trên cạnh EF lấy hai điểm I, K cho EI = FK Chứng minh DI = DK. Bài 47: Cho tam giác ABC có góc A = 1200 , phân giác AD Từ D kẻ đường thẳng vng góc với AB AC

lần lượt cắt AB ; AC E F Trên EB FC lấy điểm K I cho EK = FI a) Chứng minh DDEF

b) Chứng minh DDIK cân

c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA M Chứng minh DMAC Tính AD theo CM = m CF = n KIỂM TRA TIẾT MÔN : HÌNH HỌC 7

Câu (1đ): Cho DABC cân A, có B^ = 700 Tính số đo độ ^A ?

Câu (2đ) Đánh dấu x vào thích hợp.

a) Tam giác vng có góc nhọn

b) Tam giác cân có góc 600 tam giác đều.

c) Trong tam giác có góc nhọn

d) Nếu tam giác có cạnh 12, cạnh cạnh 13 tam giác tam giác vng

Câu (7đ) Cho góc ^xOy=120 .Trên Ox lấy điểm A , Oy lấy điểm B cho

OA = OB Qua A kẻ đường thẳng a vng góc với Ox ; qua B kẻ đường thẳng b vng góc với Oy Hai đường thẳng a b cắt C Chứng minh :

a) D OAC = D OBC b) CA = CB c) OC phân giác góc ^xOy .

êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê

KIỂM TRA TIẾT MÔN : HÌNH HỌC 7

Bài (1đ): Cho DABC cân A, có ^A = 700 Tính số đo độ C^ ?

Bài 2: (2 ) Đánh dấu x vo ô thích hợp.

2 Nếu Δ ABC Δ DEF có AB = DE, BC = EF,  ê 

thì Δ ABC = Δ DEF

3 Nếu góc A góc đáy tam giác cân ^A > 900.

4 Nếu tam giác vng có góc nhọn 450 tam giác tam giác

vuông cân

Bài 3: Cho tam giác ABC vng A, có B=60^ và AB = 5cm Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DE vng góc với BC E

ĐỀ 1

(53)

a) Chứng minh: D ABD = D EBD b) Chứng minh: D ABE tam giác c) Tớnh di cnh BC

ỉìỉìỉìỉìàỉìỉìỉìỉì KIM TRA TIẾT MƠN : HÌNH HỌC 7

Bài (2đ) Cho D ABC cân A có AB = 5cm, BC = 6cm Kẻ AD vng góc với BC (D BC )

a) Tìm tam giác hình b) Tính độ dài AD ?

Bài (2đ) a) Cho tam giác MNP vuông N biết MN = 20cm; MP = 25cm. Tìm độ dài cạnh NP?

b) Cho tam giác DEF có DE = 10 cm; DF = 24cm; EF = 26cm Chứng minh tam giác DEF vuông?

Bài (6đ) Cho tam giác ABC có ^A=90 ; AB < AC ; phân giác BE, E AC Lấy điểm H thuộc cạnh BC cho BH = BA

a) Chứng minh EHBC

b) Chứng minh BE đường trung trực AH

c) Đường thẳng EH cắt đường thẳng AB K Chứng minh EK = EC d) Chứng minh AH // KC

e) Gọi M trung điểm KC Chứng minh ba điểm B, E, M thẳng hàng êêêêêêêêêêêêêêêêê

KIỂM TRA TIẾT MƠN : HÌNH HỌC 7

Câu 1: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ^A= ^B= ^C Tính số đo góc tam giác ABC

Câu 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi D trung điểm cạnh BC Qua A vẽ đường thẳng d song song với BC Chứng minh rằng:

a) ΔABD = ΔACD

b) AD tia phân giác góc BAC c) AD ⊥ d

Câu 3: (5 điểm) Cho ΔABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh ΔAMB = ΔAMC, từ suy AM ⊥ BC

b) Trên cạnh AB lấy điểm D cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE

Chứng minh: A ^B E=A ^C D c) Chứng minh: DE // BC

ĐỀ 3

(54)

KIỂM TRA TIẾT MƠN : HÌNH HỌC 7

Câu 1: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ^A=2 ^B ^

C=3

2B^ Tính góc tam giác ABC.

Câu 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC vng A Tia phân giác góc ABC cắt AC D, E điểm cạnh BC cho BE = BA

a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD b) Chứng minh DE ⊥ BC

c) Gọi F giao điểm DE AB Chứng minh rằng: DC = DF

Câu 3: (5 điểm) Trên cạnh Ox Oy x ^O y , lấy điểm A B cho OA = OB Tia phân giác

x ^O y cắt AB C.

a) Chứng minh ΔAOC = ΔBOC b) Chứng minh: AB⊥ OC

c) Lấy điểm D tia OC cho C trung điểm OD Chứng minh: AD // OB KIỂM TRA TIẾT

MƠN : HÌNH HỌC 7

Câu 1: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ^A=800, ^B=400

Tia phân giác góc C cắt AB D Tính A ^CB, A ^DC

Câu 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC, D trung điểm cạnh BC Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = DA Chứng minh rằng:

a) ΔADB = ΔEDC b) AB // CE

c) A ^B E=E ^C A

Câu 3: (5 điểm) Cho ΔABC vuông A, tia phân giác A ^BC cắt cạnh AC D Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA

a) Chứng minh ΔADB = ΔEDB DE ⊥ BC

b) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = FC Chứng minh: MD = CD c) Chứng minh M, D, E thẳng hàng

CHƯƠNG 3

QUAN HỆ GÓC – CẠNH TRONG MỘT TAM GIÁC

Chú ý: Trong chương này, cho phân giác ta thường vẽ thêm tam giác cân, cho trung tuyến ta thường lấy đối xứng.

ĐỀ 5

(55)

Bài 1: Cho ABC, AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. a So sánh ba góc DABC

b ABC tam giác gì? Vì sao?

c Vẽ đường cao AH, lấy điểm M AH, so sánh MB MC HD: b ∆ABC vuông, c HC>HB

Bài 2: Cho tam giác ABC cân A có số đo góc A 400.

a Tính số đo góc cịn lại tam giác ABC? b So sánh độ dài cạnh tam giác ABC? HD: ^B=^C=700 nên AB=AC>BC

Bài 3: So sánh cạnh tam giác MNP, biết: M = 65o ; N = 70o.

HD: Tính góc so sánh cạnh.

Bài : Cho D ABC vuông B ^A = 570 So sánh cạnh tam giác.

HD: Tính góc so sánh cạnh.

Bài 5: Cho ∆ABC có góc A 100˚ góc B gấp lần góc C. a So sánh cạnh ∆ABC

b Vẽ AH vuông góc với BC H So sánh HB HC

HD:a, Vì ^B=3 ^C ^B+^C=180=¿ B=60, ^^ C=20 b, HB<AH<HC

Bài : Cho D ABC vuông A ; BM đường phân giác Vẽ MH ^ BC, MH cắt AB E Chứng minh : a D ABM = D HBM

b So sánh: AM CM c BM ^ EC

HD: b.AM=MH c Tính chất đường cao đồng quy

Bài 7: Cho D ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC Chứng minh : ^MAB>^MAC HD: Lấy H đối xứng A qua M Suy AB=HC => AC>CH nên ^MAC<^MHC=^MAB

Bài 8: Cho D ABC vuông A, đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA Đường vng góc với BC D cắt AC E

a So sánh AE DE

b Chứng minh tia AD phân giác góc HAC

c Vẽ DK vng góc với AC K Chứng minh AK = AH d Chứng minh AB + AC < BC + AH

HD: a ∆BAE=∆BDE b ∆AED cân AH//DE, c ∆ADH=∆ADK d BD+AK+KC<BD+DC+AH Bài 9: Cho tam giác ABC có Â = 90o Tia phân giác góc ABC cắt AC E Qua E kẻ EH  BC

a Chứng minh DABE = DHBE b Chứng minh EA < EC HD: b EA=EH

Bài 10 :Cho tam giác ABC có AB < AC, vẽ trung tuyến AD Trên tia đối DA lấy điểm E cho DA = DE Chứng minh :

(56)

a DABD =DECD. b EC < AC

c Góc DAB > góc DAC

HD: b EC=AB c BAD=^^ DEC

Bài 11 : Cho DABC, có chu vi 24cm ba cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với 3; 5; 4 a So sánh ba góc DABC

b DABC tam giác ? Tại ? c Gọi M điểm nằm D ABC Chứng minh MB + MC < AB + AC

HD: a, AB =

AC =

BC =

AB+ AC+BC

3+5+4 =2 nên AB=6 cm , AC=10 cm , BC=8 cm

b ∆ABC vuông c Kéo dài MB giao AC H AB+AH>BH; HM+HC>MC cộng vế biểu thức trên

Bài 12 : Cho DABC cân A Gọi M trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho DM = BM a Chứng minh DBMC = DDMA Suy AD // BC.

b Chứng D ACD tam giác cân

c Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CA = CE Chứng minh DC qua trung điểm I BE HD :b ∆ACD cân C c C trọng tâm ∆BED

Bài 13: Cho ∆ABC vuông A Vẽ phân giác BM (M thuộc AC) Từ M vẽ MH vng góc với BC H. a Chứng minh: ∆ABM = ∆HBM

b Tia HM cắt BA E So sánh MC ME

c Gọi O trung điểm EC Chứng minh điểm B; M; O thẳng hàng HD:b MC=ME c ∆CBE cân B mà MB phân giác

Bài 14: Cho D ABC cân B có ˆB tù a So sánh độ dài cạnh AC AB?

b Biết số đo góc A 250 Tính số đo góc C góc B?

HD: b C=250; B=1300

Bài 15 : Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), đường cao AH Trên HC lấy điểm M cho BH = HM. a Chứng minh D AHB= D AHM Từ suy D ABM cân A ?

b Biết AH = cm; AC = 5cm Tính độ dài cạnh HC ?

c Trên cạnh AB lấy điểm E, cạnh AM lấy điểm F cho AE = AF Chứng tỏ EF // BC ? HD:b HC=4cm c ^EFA=^BMA

Bài 16: Cho tam giác ABC có Â = 90o Tia phân giác góc ABC cắt AC E Qua E kẻ EH  BC

a Chứng minh DABE = DHBE b Chứng minh EA < EC HD: b AE=EH

Bài 18: Cho D ABC vuông A ; phân giác BD Kẻ DE  BC (E thuộc BC) Gọi F giao điểm BA ED Chứng minh :

(57)

a DABD = DEBD

b BD đường trung trực AE c DF = DC

d AD < DC

HD : a, DABD = DEBD (ch-gn) b, Gọi I=AE ∩ DB suy DAIB = DEIB(c.g.c) nên IE=IA ^EIB=900 c, DDEC = DDAF(cgv-gnk) d, AD=DE<DC

Bài 19: Cho tam giác ABC (AB > AC) Gọi AD phân giác góc A Trên tia AB lấy điểm M cho AM = AC Chứng minh:

a D ADM = D ADC b ^ADB >^ADC .

HD: a, D ADM = D ADC(c.g.c) b, ^ADC =^ADM < ^ADB

Bài 20: Cho tam giác DEF có Ê = 900, tia phân giác DH Qua H kẻ HI vng góc với DF Chứng minh:

a D DHE = D DHI

b DH đường trung trực EI c EH < HF

d Gọi K giao điểm DE IH.Chứng minh DH  KF

HD: a, D DHE = D DHI(ch-gn) b,c câu 18 d,Dùng tính chất đường cao D AKF chứng minh DAKF cân.

Bài 21: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Chứng minh: AB + AC > 2AM HD: Lấy D đối xứng A qua M AB+AC=DC+CA>AD

Câu 22:Cho DABC cân A; AB = 10 cm, BC = 12 cm, M trung điểm BC. a Chứng minh DABM tam giác vng, tính AM

b So sánh góc DABM

HD: a, Dùng Pytago đảo b, So sánh góc dựa vào cạnh

Câu 23: Cho DABC vuông A, D trung điểm AC Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AB = AE. a Cho B=35^ , So sánh cạnh AB AC.

b Chứng minh DABD = DAED

c Trung tuyến AF DABC cắt BD G; trung tuyến AK DAEC cắt ED H Chứng minh: DGDH tam giác cân

HD: c G H trọng tâm ∆ABC ∆ACE nên DG=DH

Bài 24: Cho tam giác ABC, Â³ 900 Trên cạnh AB, AC lấy điểm M N không trùng với đỉnh

của tam giác Chứng minh BC > MN

HD: Gọi I đối xứng với N qua M, IN<IB+BN=AN+BN<AC+BN<BC+BC hay 2MN<2BC. Bài 25: Cho D ABC, tia phân giác góc B C cắt O.

a Trong D BOC, cạnh lớn nhất?

b Giả sử OB < OC so sánh AB với AC

(58)

HD: a, OBC+^^ OCB=^B+^C =

1800−^A

2 ; BOC =180^

0

−(OBC +^^ OCB)=1800−B+^^ C =

1800+ ^A

2 nên ^

BOC có số đo lớn => cạnh BC lớn nhất.

b, OB<OC => , OBC>^^ OCB =>, B> ^^ C => AC>AB.

Bài 26: Cho DABC, trung tuyến AM Biết ^BAM > ^CAM so sánh ^B ^C

HD: Lấy D đối xứng với M qua A, DBMA=DCMD (c.g.c) nên ^BAM = ^CDM > ^CAM nên AC>DC=AB => ^

B > C^

Bài 27: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM= 1

3BC Chứng minh góc ^BAM < 200

HD: Lấy N thuộc BC cho CN=NM=MB, lấy H đối xứng với M qua A Trong DBAM có ^

B=600; ^BAM <300nên ^BMA >900 => cạnh AB >AM, mà AB=NH, AN=AM=MH =>AN<NH => ^MAN >^MHN=^MAB (1)

Giả sử ^BAM >200 => ^NAC >200 => ^MAN <200Vì ^B=600=¿^MAN <^BAM (2) Mâu thuẫn với (1) Vậy

^

BAM <200 .

Bài 28: Tam giác ABC có AB < AC Vẽ ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M trung điểm BC So sánh MD với ME

HD: DDAC=DBAE (c.g.c) nên DC=BE Mà AC=CE>DB nên ^DBC<ÊBC hay ^DCM <ÊBM Xét DDCM và DBEM có BE=DC; MB=MC; ^DCM <ÊBM nên DM<ME.

Bài 29: Cho DABC cân A Gọi M điểm nằm cạnh BC cho MB < MC Lấy điểm O đoạn thẳng AM Chứng minh ^AOB > ^AOC .

HD: ^BAM <^MAC nên ^BOM < ^MOC .

Bài 3: Cho DABC có B góc tù, D nằm B C, chứng minh AB<AD<AC. HD: DABD có B tù nên AB<AD

Vì ^ADC =^B+^BAD nên ^ADC là góc tù => AD<AC.

Bài 5: Cho DABC vuông A, điểm K nằm A C So sánh BK BC. HD:

Cách 1: Ta có BK2=AB2+AK2; BC2=AB2+AC2, AC2>AK2 nên KB2<BC2 hay BC>BK Cách 2: Vì ^A=900 mà BDC =^^ A +^DBA nên BDC^ là góc tù nên cạnh BC>BK.

Bài 6: Cho DABC vng A, phân giác góc B cắt AC D So sánh AD,DC. HD:Kẻ DI vuông BC, DABD=DIBD (ch-gn) nên AD=DI mà DI<DC nên AD<DC Bài 7: Cho DABC có AB<AC, gọi M trung điểm BC, So sánh góc ^BAM ^MAC .

HD: Gọi H điểm đối xứng với A qua M, DBAM=DCHM(c.g.c) nên ^BAM =^CHM CM=AB Trong DAHC có CH=AB<AC nên CHA>^^ CAH , hay ^BAM >^MAC

Bài 8: Cho DABC có AB<AC, phân giác góc A cắt BC D So sánh BD DC.

(59)

HD: Lấy K AC cho AB=AK, suy DADK=DDAB (c.g.c) nên BD=DK Trong DABC có C+ ^^ A=^DBx (góc kề bù với góc B) mà ^DBx = ^DKC nên C<^^ DKC , suy DK<DC hay BD<DC.

Bài 9: Cho DABC, có AB<AC, BC lấy M khắc B C CMR: AM<AC. HD: Ta có: ^AMC +^AMB=1800 .

- Nếu ^AMC >900 tam giác AMC có ^AMC góc tù nên AM<AC. - Nếu ^AMB >900 tam giác AMB có AM<AB mà AB<AC nên AM<AC.

Bài 10: Cho DABC có AB≤ BC≤ AC Trên BC AC lấy M N Chứng minh MN<AC. HD: Xét DMAC, tương tự 9, MN<a với a cạnh lớn hai cạnh AM MC, Trong DABC có AB≤ AC nên AM<AC ( theo 9) mà MC<BC≤ AC nên a≤ AC Vậy MN<AC. Bài 11: Cho DABC có A góc tù, lấy D thuộc AB, E thuộc AC, chứng minh DE<BC.

HD: xét DDEC: ^DEC=Â+ÊDA nên ^DEC góc tù =>CD>ED Xét DBDC có BDC =^^ A +ÊCD nên BDC^ góc tù => DC<BC. Vậy DE<BC.

ĐƯỜNG VNG GĨC-ĐƯỜNG XIÊN-HÌNH CHIẾU

Bài 1: Cho O điểm nằm D ABC Biết AO = AC, chứng minh DABC cân A

HD: Giả sử DABC cân A, mà AO=AC nên O trùng với C B, không thỏa mãn điều kiện O nằm tam giác.

Bài 2: Cho xOy = 450 Trên tia Oy lấy hai điểm A, B cho AB=√2 Tính độ dài hình chiếu đoạn thẳng

AB Ox

HD: Gọi C D hình chiếu A B lên Ox, kẻ AH vng BD suy AH=CD Vì DAHB vng cân nên AH=BH, suy AH2+BH2=AB2 hay 2AH2=2, suy AH=1cm.

Bài 3: Cho D ABC, góc B C nhọn Điểm M nằm B C Gọi d tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM

a Chứng minh d £ BC

b Xác định vị trí M BC cho d có giá trị lớn HD:

a, Gọi H Q chân đường cao kẻ từ C B xuống AM, suy d=CH+BQ. Vì BQ<BM, CH<CM nên d<BM+MC=BC.

b, d lớn BC CH=CM, BQ=BM => BC vuông AM Vậy M chân đường cao kẻ từ A.

Bài 4: Cho D ABC vuông B, phân giác AD Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AD E Chứng minh chu vi D ECD lớn chu vi D ABD

HD: Kẻ DI vuông AC =>DADI=ADB (ch-gn) nên BD=DI<DC (1);

Ta có: ^DEC=^DAB=^DAC nên DAEC cân mà AD<AC =AE(2); nên AB<DE (3) Cộng theo vế (1)(2)(3) suy ra đpcm.

Bài 5: Cho DABC cân A, hai cạnh AB AC lấy hai điểm M N thay đổi cho AM = AN Chứng minh rằng:

(60)

a Các hình chiếu BM CN BC

b BN >BC+MN

c Chứng minh BC-MN< 2BM

d Chứng minh trung trực MN qua điểm cố định HD:

a, Gọi chân đường vng góc kẻ từ M N xuống BC, DBMP=DCNQ(ch-gn) nên BP=CQ.

b, Ta có : NM=PQ nên BC+MN=(BQ+QC)+PQ=BQ+(QC+PQ)=BQ+CP=2BQ nên (BC+MN):2=BQ<BN c, Kẻ ME//AC ^MEB=^ACB ( đ ngồ vị) nên ^MEB=^ABC => DBME cân M => MB=ME (1)

DMEN=DCNE(g.c.g) nên MN=EC => MC-MN=BC-EC=BE.(2) Trong DMBE có BM+ME>BE (3) Từ (1)(2)(3) => 2MB>BC-MN. d, Trung trực MN qua trung điểm đoạn BC.

BẤT ĐẲNG THỨC BA CẠNH TRONG TAM GIÁC

Bài 1: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt O; AB = 6, CD = Chứng minh đoạn thẳng AC, CD,

BD, DA tồn hai đoạn thẳng nhỏ

Bài 2: Chu vi tam giác cân 21cm Biết cạnh dài 4cm, cạnh cạnh bên hay cạnh đáy? HD: Giả sử DABC cân A.

TH1: AB=AC=4cm suy BC=13cm (Loại) AB+AC=8cm<BC=13cm. TH2: BC=4cm, suy AB=AC=8,5cm (thỏa mãn) Vậy cạnh đáy có độ dài 4cm.

Bài 3: Chu vi tam giác cân 15cm, cạnh đáy a Biết độ dài cạnh số tự nhiên (cm) Tìm giá trị a

HD:Gọi cạnh bên b suy 2b+a=15 Suy b≤ Mà a<2b nên 2b+a<4b hay 15<4b Suy b>15/4 Kết hợp với b≤ suy b=4,5,6,7.

b=4 =>a=7; b=5 =>a=5 b=6 =>a=3 b=7 =>a=1

Bài 4: Tam giác ABC có AB > AC, phân giác AD Lấy điểm M thuộc AD (M không trùng với A) Chứng minh AB - AC > MB – MC

HD:Lấy E AB cho AC=AE, DCAM=DEAM(c.g.c) nên ME=CM

Trong DMEB có: MB-MC=MB-ME<EB mà EB=AB-AE=AB-AC nên AB - AC > MB – MC.

Bài 5: Cho DABC vuông cân A, cạnh bên hai điểm M, N Chứng minh cạnh của

ABC tồn điểm cho tổng khoảng cách từ đến M N lớn

Bài 6: Cho tam giác ABC,điểm D điểm nằm B C. a) Chứng minh AD bé nửa chu vi tam giác ABC

(61)

b) E điểm nằm tùy ý bên tam giác ABC chứng minh tổng khoảng cách từ E đến đỉnh tam giác lớn nửa chu vi bé chu vi tam giác ABC

c)Gọi S diện tích:Chứng minh SAEB+SAEC≤1

2 AE BC HD: AD<AB+BD(1)

AD<AC+DC(2)

Cộng (1) (2) ta có 2AD<AB+AC+BD+DC 2AD<AB+AC+BC

Bài 8: Cho tam giác ABC ( AB > AC) Trên tia AB lấy điểm F cho AC = AF Trên tia phân giác AD

tam giác ABC, lấy E tùy ý Chứng minh : a ΔAEC =Δ AEF

b AB – AC = BF c BE – EC < BF HD:

a, ΔAEC =Δ AEF( c.g.c) b, AB-AC=AB-AF=BF. c, BE-EC=BE-EF<BF

Bài 9: Cho tam giác ABC có điểm M nằm tam giác BM cắt AC D.

a Chứng minh : MB +MC < DB + DC b So sánh : DB +DC AB + AC c Chứng minh : MB +MC < AB + AC

d So sánh : MA + MB +MC AB + AC + BC

HD: a, Giả sử: MB +MC < DB + DC MB+MC<MB+MD+DC  MC<MD+DC đúng. b, AB+AD>BD => AB+AD+DC>BD+DC hay AB+AC>DB+DC

c, Dùng tính chất bắc cầu câu a,b

d, Theo b) MB+MC<AB+AC, chứng minh tương tự: MB+MA<CB+CA; MA+MC<BA+BC Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 2(MA+MB+MC)<2(AB+BC+CA) hay MA+MB+MC<AB+BC+CA.

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân A đường thẳng d qua A từ B C kẻ BE CF vng góc d (E,

F thuộc d)

a Chứng minh : ΔABE = ΔACF b Chứng minh : BE + CF = EF

c Xác định vị trí d để A trung điểm EF HD:

a, ^EAB+^CAF=900

; ^CAF +^FCA=900nên ^EAB=^FCA => ΔABE = ΔACF(ch-gn). b, BE+CF=AF+AE=EF.

c, để A trung điểm FE AE=FA mà FA=EB nên EB=EA suy ^EAB=450 hay d//BC.

(62)

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên cạnh huyền BC lấy M cho BM = BA, Trên

cạnh AC lấy N cho AN = AH Chứng minh : a AM phân giác góc HAC

b MN vng góc AC c AH + BC > AB + AC HD:

a, ^MAH +^AMH =900 ; ^MAN +^MAB=900 mà ^MAB=^AMH (vì BM =BA) nên ^MAN=^MAH b, ∆ MAH= ∆ MAN (c.g.c) nên ^H= ^N =900 .

c, Giả sử AB+AC<BC+AH  AB+AN+NC<BM+MC+AH  NC<MC (do AB=BM; AH=AN) đpcm

Bài 12: Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x số tự nhiên Tìm x ?

HD:

Gọi cạnh tương ứng a,b,c Suy a.4=b.12=c.x=2S hay a=S:2; b=S:6; c=2S:x Vì |a-b|<c<a+b suy x.

S 3<

2 S x <

2 S =¿

2 6<

2 x<

2

3=¿3<x<6 hay x=4 ;5

ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Bài 1: Cho DABC Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD = BE Trên cạnh AC lấy điểm F H cho AF = CH Chứng minh tam giác BFH CDE có trọng tâm

HD: Gọi M trung điểm AC suy MF=MH, suy DABC DBFM có đường trung tuyến BM nên có cùng trọng tâm.

Chứng minh tương tự: DABC DCDE có trọng tâm nên DBFH DCDE có trọng tâm.

Bài 2: Tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE cà CF cắt G Gọi D trung điểm BC Chứng minh rằng:

a Ba điểm A, G, D thẳng hàng b BE < CF

c AD, BE, CF thỏa mãn bất đẳng thức tam giác HD:

a, G trọng tâm DABC nên A,G,D thẳng hàng.

b, BAD >^^ DAC , Vì AB<AC nên C< ^^ B => BAD +^B>^^ DAC +^C hay 1800-( BAD +^B^ )<1800-( ^

DAC+ ^C )

Suy GDB<^^ GDC nên BG<CG hay BE<CF.

c, BE<CF nên BE<CF+AD (1) Lấy I thuộc GD cho D trung điểm GI, =>AG=GI=2GD

DBDI=DCDG(c.g.c) nên BI=CG GI<BG+BI mà GI=AG, BI=CG =>AG<BG+CG hay 2/3.AD<2/3.BE+2/3.CF => AD<BE+CF (2) Tương tự: CF<AD+BE (3)

(63)

Từ (1)(2)(3) =>đpcm.

Bài 3: Cho D ABC, trung tuyến AD, BE, CF cắt G Chứng minh rằng:

a/ AD <

AB+ AC

2 ; b/ BE+CF >

2BC c/ 3

4 chu vi D ABC < AD + BE + CF < chu vi D ABC

d/ Gọi H điểm đối xứng G qua D:

- So sánh cạnh DCGH với đường trung tuyến DABC - So sánh đường trung tuyến DCGH với cạnh DABC HD:

a, lấy M đối xứng với A qua D ∆ ADB= ∆ MDC(c.g.c) nên MC=AB mà MC+CA>AM => AB+AC>2AD. b, FE đường trung bình ∆ ABC nên FE=1/2BC.

Ta có: GE+GF>FE; GB+GC>BC suy GE+GF+GB+GC>EF+BC hay BE+CF> 1/2BC+BC=3/2BC. c, BE+CF>3/2BC, tương tự: CF+AD>3/2AC; BE+AD>3/2AB cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 2(BE+CF+AD)>3/2(AB+BC+CA) hay BE+CF+AD>3/4(AB+BC+CA).(1)

Theo câu a: AB+AC>2AD, tương tự: AC+CB>2CF; BC+BA>2BE cộng vế bất đẳng thức ta được: 2(AB+BC+CA)>2(AD+BE+CF) hay AB+BC+CA>AD+BE+CF.(2).

Từ (1)(2) => 3

4 chu vi D ABC < AD + BE + CF < chu vi D ABC d, - GH=GA=2/3AD; GC=2/3CF; CH=BG=2/3BE.

- Ba đường trung tuyến HI; GJ; BD Ta có: BD=1/2BC; HI==AE=1/2AC; GJ=1/2AB( GJ đường trung bình tam giác HAB).

Bài 4: Cho D ABC cân A, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho HD = HA Trên tia đối của tia CB lấy điểm E cho CE = CB

a Chứng minh C trọng tâm D ADE b Tia AC cắt DE M Chứng minh AE// HM

Bài 5: Cho D ABC, O điểm nằm tam giác Vẽ BH CK vng góc đường thẳng AO Cho biết tam giác AOB, BOC, COA có diện tích nhau, chứng minh rằng:

a BH = CK

b O trọng tâm D ABC

Bài 6.Cho tam giác ABC cân A có AD đường phân giác.

a Chứng minhDABDDACD b Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm A; D; G thẳng hàng c Tính DG biết AB = 13cm ; BC = 10cm

Bài 7:Cho DABC cân A, AB đường phân giác AI a Chứng minh DIBA=DICA

b Các đường trung tuyến BM CN cắt G Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng c Cho AB = 10 cm, BC = 12 cm Tính AG?

(64)

Bài 8: Cho ΔABC vuông A, đường trung tuyến CM

a) Cho biết BC = 10cm, AC = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, BM b) Trên tia đối tia MC lấy điểm D cho MD = MC

Chứng minh ΔMAC = ΔMBD AC = BD c) Chứng minh AC + BC > 2CM

d) Gọi K điểm đoạn thẳng AM cho AK= 2

3AM Gọi N giao điểm CK AD, I giao điểm BN CD Chứng minh rằng: CD = 3ID

Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = 2AB Gọi M trung điểm BC, N trung điểm BM Trên tia đối

của tia NA lấy điểm E cho AN = EN Chứng minh: a) tam giác NAB = tam giác NEM

b) Tam giác MAB tam giác cân

c) M trọng tâm tam giác AEC AB > 2 3 AN

ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

Bài 1: Cho D ABC, Â = 1200, phân giác AD, BE, CF Tính chu vi DDEF biết DE = 21cm, DF = 20cm.

Bài 2: Cho góc xOy Lấy điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Vẽ tia phân giác góc BAx ABy cắt M Từ M vẽ đường thẳng vng góc với OM, cắt Ox, Oy C D Chứng minh D ACD cân

Bài 3: Cho DABC, B=1200, phân giác BD, CE Đường thẳng chứa tia phân giác đỉnh A D ABC cắt

đường thẳng BC F Chứng minh rằng: a ADF = BDF

b Ba điểm D, E, F thẳng hàng

Bài 4: Cho DABC, tia phân giác góc B góc C cắt O Từ A vẽ đường thẳng vng góc với OA, cắt tia BO CO M N Chứng minh BM  BN CM  CN

Bài 5: Cho DABC, B=450, đường cao AH, phân giác BD Cho biết góc BDA = 450 chứng minh HD// AB

Bài 6: Cho D ABC vng góc A, AB =3, AC = Phân giác góc B, góc C cắt O Vẽ OE  AB; OF  AC

a Chứng minh AB + AC - BC = 2AE

b Tính khoảng cách từ O tới đỉnh cạnh D ABC c Tính OA, OB, OC

Bài 7: Cho tam giác ABC vng A có AB = 5cm, BC = 10cm. a) Tính độ dài AC

b) Vẽ đường phân giác BD ΔABC gọi E hình chiếu D BC

(65)

Chứng minh ΔABD = ΔEBD AE⊥ BD c) Gọi giao điểm hai đường thẳng ED BA F

Chứng minh: ΔABC = ΔAFC

d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt CF G Chứng minh ba điểm B, D, G thẳng hàng

ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

Bài 1: Cho D ABC cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm M N cho AM + AN = AB. a Đường trung trực AB cắt tia phân giác góc A O Chứng minh D BOM = D AON

b Chứng minh M N di động hai cạnh AB AC có AM + AN = AB tbì đường trung trực MN qua điểm cố định

Bài 2: Cho góc xOy = a0, A điểm di động góc góc Vẽ điểm M N cho đường Ox là

đường trung trực AM, đường thẳng Oy đường trung trực AN

a Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định b Tính giá trị a để O trung điểm MN

Bài 3: Cho góc vng xOy A điểm cố định góc Một góc vng đỉnh A quay quanh A, có hai cạnh cắt Ox, Oy B C Gọi M trung điểm BC Chứng minh M di động đường thẳng cố định

Bài 4: Cho D ABC không vuông Các đường trung trực AB AC cắt O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự M N Chứng minh tia AO tia phân giác góc MAN

Bài 5: Cho D ABC Trên tia BA lấy điểm M, tia CA lấy điẻm N cho BM + CN = BC Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định

ĐƯỜNG CAO

Bài 1: Cho ∆ ABC vuông cân B Trên cạnh AB lấy điểm H cho A ^C H= 1

3A ^C B Trên tia đối của tia BC lấy điểm K cho BK = BH Tính góc AKH

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE gặp H Vẽ điểm K cho AB trung trực HK. Chứng minh góc KAB = góc KCB

Bài 3: Tam giác ABC có cạnh BC cạnh lớn Trên cạnh Bc lấy điểm D E cho BD = BA CE = CA Tia phân giác góc B cắt AE M; tia phân giác góc C cắt AD N Chứng minh tia phân giác góc BAC vng góc với MN

Bài 4: Cho ∆ ABC cân A ( ^A <900 ), vẽ BD AC CE AB Gọi H giao điểm BD CE. a) Chứng minh : D ABD = D ACE

(66)

b) Cho ^DBC=250 tính số đo góc BCE c) Chứng minh D AED cân

d) Chứng minh AH đường trung trực BC

Bài 5: Cho ∆ ABC , hai đường cao BD CE, Gọi M N trung điểm BC DE Chứng minh MN vuông DE

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Cho DABC cân A, Â = 300; BC = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = √2 .

a Tính góc ABD

b So sánh ba cạnh D DBC

Bài 2: Cho D ABC cân A, Â= 1080 Gọi O giao điểm đường trung trực, I giao điểm tia phân

giác Chứng minh BC đường trung trực OI

Bài 3: Cho D ABC có C+ ^^ B=60 , phân giác AD Trên AD lấy điểm O Trên tia đối tia AC lấy điểm M sao cho góc ABM = góc ABO Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho góc CAN = góc ACO Chứng minh rằng:

a AM = AN

b D MON tam giác

Bài 4: Cho D ABC cân A, cạnh đáy nhỏ cạnh bên Đường trung trực AC cắt đường thẳng BC M Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = BM

a Chứng minh ^AMC=^BAC b Chứng minh CM = CN

c Muốn cho CM  CN tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì?

HD: a, ^AMC=^BAC =1800-2. C^ b,DANC=DBMA nên NC=MA c, D ABC cân A có C=45^ Bài 5: Cho DABC nhọn, M trung điểm BC, đường cao BD CE.

a Chứng minh ME=MD

b Gọi H trung điểm DE CMR : MH vuông ED

c Gọ I,K trung điểm BE DC Tìm điều kiện DABC để MI=MK HD: a ME=MD=1/2.BC c DABC cân A.

Bài 6: Cho DABC trung tuyến AM, I trung điểm BM, tia đối IA lấy E cho IE=IA a Điểm M trọng tâm tam giác nào?

b Gọi F trung điểm CE, CMR: A,M,F thẳng hàng c So sánh BE AF

d EM cắt AC K, chứng minh IK//EC

HD: a Tam giác AEC, c.BE=AM, d IK đường trung bình kéo dài KQ=KI, DIQC=DCEI

(67)

Bài 7: DABC cân A đường phân giác ngồi góc B C cắt E Gọi G,H,K chân đường vuông góc kẻ từ E tới BC, AB, AC

a So sánh EH,EG,EK

b Chứng minh AE phân giác góc BAC

c Đường thẳng d vng góc với AE A cắt EB,EC D,F Chứng minh BF phân giác góc B d Gọi O giao AE BF Chứng minh C,O,D thẳng hàng

HD:a, EH=EG=EK c, DACF cân nên DABE cân, d, Chứng minh DC phân giác góc C Bài 8: Cho DABC có góc B>C kẻ AH vng BC.

a So sánh BH,CH.

b Lấy D thuộc tia đối BC cho BD=BA Lấy E thuộc tia đối CB cho CE=CA Chứng minh ^

ADE >^AED Từ so sánh AD,AE

c M K trung điểm AD AE, BM đường DABD. d MB giao KC I, Chứng minh AI phân giác góc A.

e Chứng minh trung trực DE qua I.

HD: DEDA DCBA cân, từ tính hai góc đáy

Bài 9: Cho Δ ABC vng C, có góc A 600 Tia phân giác góc BAC cắt BC E Kẻ EK vng góc với

AB( K thuộc AB)

a Chứng minh AC =AK AE ¿ CK

b Chứng minh KA = KB c Chứng minh EB > AC

d Kẻ BD vuông góc với tia AE( D thuộc tia AE) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, KE qua điểm Bài 10: Cho ∆ABC nhọn có AC > AB, đường cao AH.

a Chứng minh HC > HB

b Vẽ trung tuyến AM, tia đối tia MA lấy điểm D cho AM = MD Chứng minh : ∆ABM =∆DCM So sánh góc ADC góc DAC

c So sánh góc BAH góc CAH

d) Vẽ hai điểm P, Q cho AB, AC trung trực đoạn thẳng HP HQ Chứng minh tam giác APQ cân

HD:

a, Cách 1: AC có hình chiếu HC, AB có hình chiếu HB mà AC>AB nên HC>HB Cách 2: Theo Pytago: HC2=AC2-AH2; HB2=AB2-AH2 mà AC>AB nên HC>HB

b, ∆MAB=∆MDC nên AB=CD mà AB<AC nên CD<AC Xét ∆ACD có CD<AC nên ^ADC >^DAC c, ^B+^BAH =900; ^C +^CAH =900 mà B> ^^ C nên BAH < ^^ CAH .

d,AP=AH mà AH=AQ nên AP=AQ.

Bài 11: Cho tam giác DEF có DE < DF Vẽ đường cao DH

a So sánh HE HF

b Lấy M DH So sánh ME MF

(68)

c So sánh góc HDE góc HDF

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên tia BC lấy D cho BD = BA Đường vng góc với BC D cắt AC E, cắt BA F chứng minh :

a ΔABE = ΔDBE

b BE đường trung trực đoạn AD

c Tia BE tia phân giác góc ABC

d ΔBCF tam giác cân

e BE CF

f HD < DC

HD:

a, ΔABE = ΔDBE.(ch-cgv).

b, Gọi giao điểm BE AD K suy ΔKAB=ΔKDB (c.g.c) nên BKD=^^ BKA=900

d, ΔEDC=ΔEAF nên AF=CD suy BC=BF

e, Gọi BE giao CF I, ΔIBF=ΔIBC (c.g.c) nên BIF =^^ BIC=900 .

f, Kẻ MA vuông FD suy AM=HD DC=AF mà AF>AM nên HD<DC

Bài 13: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết AH = cm; HB = 2cm HC = 8cm: a) Tính độ dài cạnh AB, AC

b) Chứng minh Bˆ> ˆC

c) Gỉa sử khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng chứa cạnh BC không đổi Tam giác ABC cần thêm điều kiện để khoảng cách BC nhỏ

Bài 14: Cho tam giác ABC cân A Điểm D  AB; điểm E  AC cho AD = AE Gọi F giao điểm của BE CD Chứng minh rằng:

a BE = CD ^ABE=^ACD b DFBC tam giác cân. c DFBDDFCE

d AF phân giác góc A

e Kéo dài AF cắt BC M Tam giác AMC tam giác gì? Vì sao?

Bài 15: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D E cho: BD = DE = EC Gọi M là

trung điểm DE

a Chứng minh rằng: AM BC

b So sánh độ dài AB, AD, AE, AC

Bài 16*: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC

HD:

(69)

Đường thẳng AB cắt EI F: Δ ABM = Δ DCM =>FB // ID => ID ¿

AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => góc FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) (2) => Δ CAI = Δ FIA => IC = AC = AF (3)

góc E FA = 1v (4) Mặt khác góc EAF = BAH (đđ),

góc BAH = ACB ( phụ ABC) =>góc EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => Δ AFE = Δ CAB

=>AE = BC

Bài 17*: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:

a) AC = EB AC // BE

b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC H BC  Biết ^HBE=500;^MEB=250 Tính ^HEM ; ^BME HD:

a/ DAMC = DEMB (c.g.c ) AC = EB; ^MAC=^MEB Suy AC // BE

b/ DAMI DEMK ( c.g.c ) => ^AMI =^EMK mà ^AMI +^IME=1800

=¿^EMK +^IME=1800

 Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ Trong tam giác vng BHE có ^HBE=500 => ^HBE=400 => ^HEM=400−250=150

^ BME=1050

Bài 5: Cho tam giác ABC cân A có ^A=200 , vẽ tam giác DBC (D

nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh:

a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC

D B

A

H C

I F

E

M

200

M A

B C

(70)

HD:

a) Chứng minh DADB = DADC (c.c.c) suy ^DAB=^DAC=100

b) DABC cân A, ^ABC =800

DABC nên ^DBC=600

Tia BD nằm hai tia BA BC suy ra: ^ABD=80−60=200 Tia BM phân giác góc ABD

nên ^ABM =100

DABM = DBAD (g.c.g) => AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

Bài 18*: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE

vng góc AC

a Chứng minh: DC = BE DC BE

b Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ∆ ABC = ∆ EMA

c Chứng minh: MA BC HD:

=> ∆ DAC = ∆ BAE(c.g.c ) => DC = BE

Xét ∆ AIE ∆ TIC => góc CTI = 900 => DC  BE

b/ Ta có: ∆ MNE = ∆ AND (c.g.c)=> AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì DA//ME => góc DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800 => góc BAC = AEM ( )

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ∆ ABC = ∆ EMA ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP  MH

Xét ∆ AHC = ∆ EPA : => góc EPA = AHC => góc AHC = 900 => MA  BC (đpcm)

Bài 19: Từ điểm O tùy ý tam giac ABC,kẻ OM,ON,OP vng góc với cạnh BC,CA,AB

CMR: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2

Bài 20: Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC, mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia Bx Cy cho: ^

ABx=^ACy Bx cắt Cy D, AD cắt BC I a So sánh DB DC

b So sánh DB DI HD:

a, ^ABD=^ACD Mà B> ^^ C nên CBD<^^ BCD=¿BD > DC .

b, ^ICD+ ^CDI=^DIB=¿^DIB>^ICD mà ^ICD>^DBI =¿^DIB> ^DBI=¿BD> ID

Bài 21: Cho ∆ ABC cân A, đường cao AH, gọi M trung điểm BH, Trên tia AM lấy N cho M trung điểm AN

a CMR: ∆ AMH= ∆ NMB BN vuông góc BM

(71)

b Chứng minh BN<AB

c So sánh ^BAM ^MAH .

d Gọi I trung điểm NC, chứng minh A,H,I thẳng hàng HD:

a, ∆ AMH= ∆ NMB(ch-gn) ^NBM=^AHM=900 ( hai góc tương ứng). b, BN=AH<AB.

c, Vì BN<AB nên BAN <^^ ANB mà ^ANB=^MAH nên ^MAH >^BAM .

d, xét ∆ CAN có MC trung tuyến mà MH=1/2HB=1/2HC nên H trọng tâm => AH trung tuyến nên A,H,I thẳng hàng.

Bài 22: Cho ∆ ABC vuông A, phân giác CD, gọi H hình chiếu B lên CD Trên DH lấy I cho H trung điểm DI, BH giao CA K

a CMR: ∆ BCK cân b BI//DK BC vng góc BI.

c Gọi E cho KC trung trực DE, IE cắt KB KC M N, chứng minh chu vi ∆ DMN<2DK HD:

a, ∆ BCK có đường cào CH đường phân giác nên ∆ BCK cân C.

b, ∆ HDK= ∆ HIB( hai cạnh góc vng) nên ^DKH=^IBH (hai góc tương ứng) mà hai góc vị trí so le trong nên BI//DK.

^

CBK =^CKB , ^ABK =^IBK ( tính chất trung trực) mà CKB+^^ KBA=900

nên ^CBK +^IBK =900 . c, Chu vi tam giác DMN=DN+NM+MD=EN+NM+MI=EI, ( DN=EN; MD=MI)

Xét ∆ IKE có IK+KE>IE mà IK=KE=DK ( tính chất trung trực) nên 2DK>IE đpcm.

Bài 23: Cho ∆ ABC vuông A, phân giác CD, lấy E cho A trung điểm DE, lấy F cho BC trung trực DF Gọi I giao BC DF

a CMR: DE=DF b CD trung trực EF

c Chứng minh DC,EI,FA đồng quy

d K giao DC EF chứng minh CK+DF<CF+KF HD:

a, ∆ DIC= ∆ DAC( ch-gn) nên DI=DA => DF=DE.

b, ∆ IPC= ∆ DAC nên ^IDC=^ADC mà ∆ DEF cân D nên DC trung trực EF. c, DC,EI,FA ba đường trung trực tam giác DEF nên DC,EI,FA đồng quy.

d, Gọi EF cắt BC O Suy DO vng góc với BC P.( Vì O giao đường cao ∆ DFC). ∆ OPC= ∆ OKC(ch-gn) nên KC=CP; ∆ OPF= ∆ OKD(ch-gn) nên DK=PF.

Giả sử: CK+DF<CF+KF => CK+DF<CP+PF+KF => DF<PF+KF hay DF<DK+KF( đúng) => đpcm. Bài 24: ∆ MNP cân M, trung tuyến AN, BP trọng tâm G nửa mặt phẳng bờ NP không chứa M vẽ NC//=PB

a CMR: ∆ NAC cân

(72)

b NP trung trực AC c MG//AC

d GN+GP>GM HD:

a, Ta có : AN=PB( tính chất trung tuyến tam giác cân) Mà PB=NC nên AN=NC => ∆ ANC cân N. b, GNP=^^ GPN ( tính chất tam giác cân) mà GPN =^^ PNC ( hai góc sole trong) nên GNP=^^ PNC nên PN phân giác góc N hay PN trung trực AC.( tính chất tam giác cân).

c, ∆ MPN cân M G trọng tâm tam giác nên MG đường trung tuyến đường cao => MG vng góc PN, mà AC vng góc PN nên MG//AC.

d, Gọi MG giao PN O, suy O trung điểm NP => GP+GN>2GO hay GP+GN>GM.

Bài 25: Cho ∆ ABC vng A phân giác góc B góc C cắt I.Gọi D,E,F hình chiếu I lên AB,AC,BC

a Chứng minh: AI DE vng góc với trung điểm đoạn b IF=(AB+AC-BC):2

HD:

a, Ta có: DIEA hình chữ nhật( có góc vng) mà ID=IE( tính chất phân giác) nên DIEA hình vng Suy AI DE vng góc với trung điểm đoạn.

b, ∆ BDI= ∆ BFI(ch-gn) nên BD=BF; ∆ CFI= ∆ CEI(ch-gn) nên CE=CF Ta có: AB+AC-BC=BD+DA+AE+EC-(BF+FC)=DA+DE=2ID=2IF( DIEA hình vng).

Bài 26: Cho ∆ ABC có M thuộc BC, gọi I K cho AB trung trực MI, AC trung trực MK a CMR: ∆ AIK cân

b ^IAK=2 ^BAC .

c Tìm vị trí M để chu vi tam giác AIK nhỏ HD:

a, ∆ AIK cân IA=AK=AM.

b, ^IAB=^BAM ; ^MAC=^CAK nên ^IAK=2 ^BAC . c, Chu vi tam giác AIK=2AI+KI=2AM+KI

Vì ^IAK=2 ^BAC không đổi nên IK nhỏ AI nhỏ hay 2AM+KI AM nhỏ Suy M chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống BC

(73)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Bộ ba đoạn thẳng sau số đo ba cạnh tam giác?

A cm, cm, cm B cm, cm, cm C cm, cm, cm

Câu 2: Cho hình vẽ: Góc BOC = A 1000

B 1100

C 1200

D 1300

Câu 3: Cho hình vẽ: Điền số thích hợp vào trống: a) MG = ME

b) MG = GE c) GF = NG d) NF = GF

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông B Kẻ đường trung tuyến AM Trên tia đối tia AM lấy E cho MA = ME. Chứng minh rằng:

a) DABM = DECM b) AB // CE

c) Góc BAM > MAC

d) Từ M kẻ MH  AC Chứng minh BM > MH Câu 5: Cho tam giác ABC có AB < BC < CA, thì:

A A >^B^ B B^ <600 C B^ =600 D C^ <600

Câu 6:Cho tam giác cân có độ dài hai cạnh cm cm Chu vi tam giác cân là:

A 17cm B 13cm C.22cm D 8.5cm

Câu 7:Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác.Kết luận sau đúng? A I cách cạnh tam giác B I cách ba đỉnh tam giác

C I trọng tâm tam giác D I trực tâm tam giác Câu 8: Bộ ba số sau độ dài ba cạnh tam giác?

A 5cm, 4cm, 1cm B 9cm, 6cm, 2cm

C 3cm, 4cm, 5cm D.3cm, 4cm,7cm

Câu 9: Cho bất đẳng thức sau, bất đẳng thức ba cạnh tam giác:

A) AB – BC > AC; B) AB + BC > AC; C) AB + AC < BC; D) BC > AB

Câu 10: Cho DABC có ^A =700, I giao ba đường phân giác, khẳng định ?

A BIˆ C 1100 B BIˆ C 1250 C BIˆ C 1150 D BIˆ C 1400 Câu 11: Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến AM Cho biết AB = 13 cm, BC = 10 cm.

600

O A

B C

G M

N E P

(74)

a Tính độ dài AM.

b Trên AM lấy điểm G cho GM = 1

3 AM Tia BG cắt AC N Chứng minh: NA = NC c Tính độ dài BN.

d Tia CG cắt AB L Chứng minh LN // BC

Câu 12: Trong tam giác, điểm cách ba cạnh tam giác là:

A Giao điểm ba đường trung tuyến B Giao điểm ba đường trung trực C Giao điểm ba đường phân giác D Giao điểm ba đường cao

Câu 13: Cho tam giác ABC M trung điểm BC G trọng tâm AM =12cm. Độ dài đoạn thẳng AG =

Câu 14: Cho tam giác ABC có ^A =500, B^ =350 Cạnh lớn tam giác ABC là:

A Cạnh AB B Cạnh BC C Cạnh AC D Khơng có Câu 15:Trong tam giác ABC AB = 4cm, AC = 11cm Thì độ dài cạnh BC là:

Câu 16: Cho tam giác ABC, có AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 5cm Khẳng định sau đúng A) ^A <^B<^C ; B) ^A >^B>^C ; C) ^A <^C< ^B ; D) ^A > ^C> ^B

Câu 17: Cho tam giác ABC vuông A Trên hai cạnh AB AC lấy điểm M N Đáp án sau đây là sai ?

A BC > AC B MN > BC C MN < BC D BN >BA

Câu 18: Cho DABC cân A, vẽ trung tuyến AM Từ M kẻ ME vng góc với AB E, MF vng góc với AC F

a) Chứng minh DBEM = DCFM

b) Chứng minh AM đường trung trực EF

c) Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AB B, từ C kẻ đường thẳng vng góc với AC C Hai đường thẳng cắt D Chứng minh ba điểm A; M; D thẳng hàng

d) So sánh ME DC ?

Câu 19: Trong ba đoạn thẳng có độ dài sau, trường hợp không độ dài ba cạnh tam giác?

A) 9m, 4m, 6m C) 4m, 5m, 1m

B) 7m, 7m, 3m D) 6m, 6m, 6m

Câu 20: Cho DABC có AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 4cm thì:

A) A < B < C C) A < C < B

B) C < B < A D) C < A < B

Câu 21: Cho DMNP vuông M, đó:

A) MN > NP C) MP > MN

B) MN > MP D) NP > MN

Câu 22: Các phân giác tam giác cắt điểm, điểm gọi là:

(75)

B

M G

.

A) Trọng tâm tam giác C) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác D) Trực tâm tam giác

Câu 23: Trực tâm tam giác giao điểm của:

A) Ba đường trung tuyến C) Ba đường trung trực

B) Ba đường phân giác D) Ba đường cao

Câu 24: Cho G trọng tâm DABC; AM đường trung tuyến (hình vẽ), chọn khẳng định đúng:

A AM AG

=

C AM GM

=

B GM AG

= D AG

GM

Câu 25:

Cho DABC có AB < AC; AD phân giác Trên AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh:

a) DABD = DAED

b) Trên tia AB lấy điểm F cho AF = AC Chứng minh: FBD = CED c) AD  CF; DF = DC; BE // CF

d) Ba điểm F, D, E thẳng hàng Câu 26: Chọn câu trả lời đúng:

Tam giác cân có độ dài hai cạnh 5cm, 11 cm chu vi tam giác là:

A 27 cm B 21 cm C Cả A, B, C D Cả A, B, C sai Câu 27: Chọn câu đúng

Cho ·xOy 600 Oz tia phân giác , M điểm tia Oz cho khoảng cách từ M đến cạnh Oy cm Khoảng cách từ M đến cạnh Ox là:

A 10 cm B.5 cm C.30 cm D 12 cm

Câu 28: Cho D ABC cân A, AH đường phân giác Biết AB= 10 cm, BC=16 cm G trọng tâm DABC Kết luận sau đúng:

A AG= cm B GH= cm C AH= cm D Cả A, B, C

Câu 29: Gọi I giao điểm phân giác tam giác ABC, O giao điểm ba đường trung trực tam giác Biết BC đường trung trực OI Tìm số đo góc DABC

Câu 30:

1) Trong tam giác , đối diện với cạnh lớn góc tù. 2) Trong đường xun đường vng góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường xuyên đường

(76)

ngắn

3) Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song) ta vẽ tia phân giác góc

4) Trong tam giác cân, đường phân giác địng thời l đường trung tuyến

5) Tam giác có ba đường trung tuyến tam giác 6) Tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân 7) tam giác ABC cân A có góc đáy nhỏ 600 góc đỉnh

lớn 600

Câu 31 :Cạnh lớn tam gic ABC có  A 80 ;0  B 400 : A AB B AC C BC

Câu 32 Cho hình Biết AB < AC Trong kết luận sau, kết luận đúng?:

A HB < HC B HB > HC C HB = HC

Câu 33 Cho hình Tỉ số MG/MR là:

A 1

3 B 2

3 C 1 2

Câu 34 Bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau ba cạnh tam giác:

A 2cm; 3cn; 6cm B 3cm; 4cn; 6cm C 3cm; 3cn; 6cm

Câu 35: Cho tam giác DEF với hai cạnh EF = 1cm; DE = 5cm Tìm độ dài cạnh DF, biết độ dài số nguyên (cm)

Câu 36: Điền từ:

Giao điểm ba đường cao tam giác gọi là…………

Điểm năm trên……….của đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng Giao điểm ba đường trung tuyến tam giác gọi là……

Tâm đường tròn ngoại tiếp là………… ; Tâm đường tròn nội tiếp là……… Điểm cách ba cạnh tam giác là………

Điểm cách ba đỉnh tam giác là…………

Định dạng
Số trang	76
Dung lượng	863,91 KB

Bài tập vận dụng - Giáo viên Việt Nam

BC Chứng minh rằng gúc ^ BAM