II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
2, tớnh độ dài mỗi cạnh của tam giỏc đú.
HD: a. Dựng cụng thức diện tớch D ABC b. Đặt MB=x, suy ra AB=2x
Bài 23: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, C^ = 150. Trờn tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC. Chứng minh rằng tam giỏc OBC cõn.
HD: Vẽ D đều BMC, gúc ^OBM =150; gọi H là trung điểm OB =>D HMB = D ABC, H^ = ^A = 900
Bài 24: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, Â = 800. Gọi O là một điểm ở trong tam giỏc sao cho gúc OBC^ = 300; gúc ^
OCB = 100. Chứng minh rằng D COA cõn.
HD: vẽ tam giỏc đều BCM, DOBC=DAMC(g.c.g) nờn CO=CA
Bài 25: Cho D ABC cõn tại A, Â = 1000. Gọi O là một điểm nằm trờn tia phõn giỏc của gúc C sao cho gúc CBO^ = 300. Tớnh gúc CAO^ .
HD:Vẽ tam giỏc đều BCM, gúc CAO^ = ^CMA + ^MCA
Bài 26: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, Â = 300. Trờn nửa mặt phẳng bờ AB cú chứa C vẽ tia Bx BA. Trờn tia Bx lấy điểm N sao cho BN = BA. Tớnh gúc BCN^
HD: kẻ By sao cho BC là phõn giỏc ^NBy . Lấy D sao cho BD = BA. B=C=75, AB BN (gt) ABN ^ ¿= ¿ 90o ^ ¿+CBN ^ ¿= ABC¿ ¿ 90o ^ ¿=90o −ABC ^ ¿= CBN¿ ¿ 90o – 75o = 15o ^ ¿=2CBN ^ ¿= DBN¿ ¿ 2 ´ 15o = 30o ^ ¿− D BN ^ ¿= ^ ¿= AB N¿ AB D¿ ¿ 90o – 30o = 60o DABD đều
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
BAD ^ ¿= ¿ 60o ^ ¿−BA C¿^= ^ ¿=B AD¿ CA D¿ ¿ 60o – 30o = 30o ^ ¿=CAD^¿ BAC¿ ¿ (= 30o) DBAC = DDAC (c – g – c) BC = CD DBDC = DBNC (c – g – c) CD = CN BC = CN DBCN cõn C ^ ¿ ^ ¿+CNB¿ CBN¿ =180o −2CBN¿^= ^ ¿=180o −¿ BCN¿ ¿ 180o – 2 ´ 15o = 150o
Bài 27: Cho DABC cõn tại A, Â = 1000. Trờn tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC. Tớnh gúc CBD^ .
HD: Dựng tam giỏc đều ADE ; BAE^ =400; DBAE=DABC (c.g.c) nờn AB=BE=AC; DADB=DDEB(c.c.c) nờn CDB^=^EDB=300 nờn CBD^=100
Bài 28: Cho DABC cõn tại A, Â = 1080. Gọi O là một điểm nằm trờn tia phõn giỏc của gúc C sao cho CBO^ = 120. Vẽ tam giỏc đều BOM (M và A cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng:
a. Ba điểm C, A, M thẳng hàng b. Tam giỏc AOB cõn
HD: a, ^MOC =1500; DBOC=DMOC nờn OCB^ = ^OCM mà OCB^ = OCA^
Bài 29: Cho DABC cõn tại A, Â = 800. Trờn cạnh BC lấy điểm I sao cho gúc BAI^ = 500; trờn cạnh AC lấy điểm K sao cho gúc ^ABK = 300. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng D HIK cõn.
Bài 30: Cho DABC vuụng cõn ở A. Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi. Vẽ BD và CE cựng vuụng gúc với d (D, E d). Chứng minh rằng tổng BD2 + CE2 cú giỏ trị khụng đổi.
HD: DADB=DCEA(ch-gn)
Bài 31: Tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, trung tuyến AM. Trờn cạnh AB lấy điểm E, trờn cạnh AC lấy điểm F sao cho gúc ^EMF = 900.Chứng minh rằng AE= CF.
HD: DAEM=DCFM (g.c.g)
Bài 32: Tam giỏc ABC cú AB = 1 cm; Â = 750, B^=600 . Trờn nửa mặt phẳng bờ BC cú chứa A vẽ tia Bx sao cho ^
CBx = 150. Từ A vẽ một đường thẳng vuụng gúc với AB, cắt Bx tại D. a. Chứng minh rằng: DC BC.
b. Tớnh tổng BC2 + CD2.
HD: a, Lấy E thuộc BC sao cho AB=BE, DBAE đều, DBAD vuụng cõn, DEAC=DDAC (c.g.c) b, CB2+CD2=BD2=2.
Bài 33: Cho D ABC cõn tại A (AB > BC). Trờn tia BC lấy điểm M sao cho
MA = MB. Vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cựng nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB). Trờn tia Bx lấy điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh rằng:
a. DABN = DACM b. D AMN cõn.
HD: DABN = DACM (c.g.c)
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
Bài 34 :
Cho DABC cõn tại B ( B^<90 ), vẽ AD BC và CE AB. Gọi H là giao điểm của AD và CE. a) Chứng minh : D ABD = DCBE
b) Chứng minh: DBED cõn
c) Trờn tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM = DA. Chứng minh ^ECA=^DMC
d) Gọi N là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, H, N thẳng hàng.
Bài 35: Cho ∆ ABC cú C=^ 600,^A=450 , trờn tia đối của BC lấy D sao cho BC=2DC. Tớnh CDA^ ?
HD: Kẻ MB vuụng AC, BC=2DC=2CM, DM=MB=MA. Suy ra CDA^ =45.
Bài 36: Cho DABC cõn A, cạnh đỏy nhỏ hơn cạnh bờn, trờn tia đối BC lấy M sao cho MA=MC, trờn tia đối AM lấy N sao cho AN=BM.
a. ^AMC=^BAC . b. CM=CN
c. Tỡm điều kiện DABC để CM vuụng CN.
HD: a. ^AMC=^BAC=1800−2.C^ , b. DABC cõn tại A cú ^A=45
Bài 37: Cho DABC cõn A cú ^A<90 , kẻ BD vuụng AC, CE vuụng AB, BD giao CE tại K a. DBCE=DCBD
b. DBEK=DCDK
c. AK là phõn giỏc gúc BAC.
d. Ba điểm A,K,I thẳng hàng. ( I là trung điểm BC).
Bài 38: Một cõy tre cao 9m bị góy ngang than, ngọn cõy trạm đất cỏch gốc 3m. Hỏi tử chỗ góy tới gốc là bao nhiờu?
HD: x2+32=(9-x)2
Bài 40: trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(5;4), B(2;3), C(6;1) Tớnh cỏc gúc của DABC
HD: DABC vuụng cõn.
Bài 41: Cho DABC trung tuyến AM cũng là phõn giỏc, a. Chứng minh DABC cõn.
b. AB=37cm, AM=35cm, Tớnh BC?
HD: Vẽ MH vuụng AB và MK vuụng AC. Thỡ DMHA=DMKA (ch-gn)
Bài 42: Cho DABC, đường cao AH và trung tuyến AM chia gúc A thành 3 phần bằng nhau. a. CMR: DABC vuụng
b. CMR: DABM là tam giỏc đều?
HD: Vẽ MI vuụng AC suy ra BH=MH=MI=1/2BM=1/2MC nờn C^=300
Bài 43: Cho DABC vuụng tại A, trờn BC lấy M,N sao cho BM=BA; CA=CN, Tớnh gúc ^MAN ?
HD:gúc MAN=180-M1-N1=45.
Bài 44: Cho DABC nhọn cú ^A=60 , M và N là trung điểm AB,AC, đường cao BD. a. DBMD và DAMD là tam giỏc gỡ?
b. Trờn tia AB lấy E sao cho AE=AN. CMR: CE vuụng AB.
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
HD: a, MD=MA=MB=AB:2 b, DAEN đều nờn EN=AC:2=NC, ^ENC=1200 nờn ^CEN=300 , suy ra
^
CEA=^CEN+^NEA=300+600
Bài 45: Cho DABC vuụng tại A, vẽ miền ngoài tam giỏc cỏc tam giỏc vuụng cõn ABD và ACF(AB=BD; AC=CF). a. CMR: A,D,F thẳng hàng.
b. Từ D và F kẻ DD’, FF’ vuụng BC. CMR: DD’+FF’=BC
HD: a, Chỉ ra ^DAF=180 b, Kẻ AH vuụng BC, DHAC=DF’CE (ch-gn) nờn F’F=CH, DHBA =DD’DB (ch-gn) nờn DD’=HB,
Bài 46: Cho DABC cú gúc B=2C, kẻ AH vuụng BC, trờn tia đối BA lấy BE=BH, EH cắt AC tại F, CMR: FH=FA=FC.
HD: DHEB ,DFHC, cõn vỡ ^EHB=^HBE=^CBA:2 mà C^=^B:2
DFHA cõn vỡ ^FHA+ ^FHC=900 ; ^ACH+ ^CAH=900 mà ^FHC = ^ACH .
Bài 47: Cho DABC cú BC=2AB, M là trung điểm BC, D là trung điểm BM, CMR: AC=2AD.
HD: Trờn tia đối AD lấy DE=DA suy ra ME=MC(cựng =AB)
Cú: AB//EM nờn ^EMA+ ^MAB=1800 , ^CMA+ ^AMB=1800 mà ^MAB=^AMB nờn ^CMA =
^EMA =>DAME=DAM nờn AE=AC.
Bài 48: Cho DABC vuụng tại A, vẽ ra phớa ngoài DABC tam giỏc cõn CBD(cõn tại D). Gọi H là trung điểm BC. Chứng minh rằng: CD2=DH2+AH2
HD: Gọi H là trung điểm BC thỡ AH=HC=HB(tớnh chất đường trung tuyến tam giỏc vuụng) Vỡ DCDB cõn tại D nờn DH vuụng BC => CD2=DH2+CH2=DH2+AH2
Bài 49: Cho DABC vuụng cõn tại A, d là đường thẳng bất kỡ qua A (khụng cắt đoạn BC) . Từ B và C kẻ BD và CE cựng vuụng gúc với d.
a. CMR: BD//CE b. DADB=DCEA c. BD+CE=DE
d. Gọi M là trung điểm BC. CMR: DDAM=DECM và DDME vuụng cõn
HD: b, DADB=DCEA(ch-gn) d, DDAM=DECM(c.g.c) do AM=MC,
^DAM=45+ ^DAB ;^ECM=45+ ^ECA ; ^DMA=^EMC nờn^DME=90
Bài 50: Cho DABC cõn tại A cú A<450. Qua M thuộc BC (MB<MC) kẻ MH//AB, MI//AC.CMR: a. DAIH=DMHI
b. AI=HC
c. Vẽ N sao cho HI là trung trực MN, CMR: NI=IB
d. NH giao AB tại D, CMR: Chu vi DAHD khụng đổi khi M thay đổi.
HD: a, DAIH=DMHI(g.c.g) b, AI=MH và DHMC cõn H, c, IN=IM và DIMB cõn I, d, ND=DA nờn Chu vi = AD+DH+HA=NH+HA=MH+HA=AC
Bài 51: Cho đoạn thẳng BC, trờn cựng nửa mặt phẳng bờ BC vẽ tia Bx và Cy cắt nhau tại A sao cho ^
CBx=2.^BCy , Kẻ AH vuụng BC, trờn tia đối Bx lấy E sao cho BE=BH, EH giao AC tại D. CMR: a. DHDC và DADH cõn.
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
b. Trờn BC lấy B’ sao cho H là trung điểm BB’, CMR: DABB’ cõn. c. DAB’C cõn.
d. AE=HC.
HD: a, BHE=^ 1
2.^HBA , c, C+ ^^ CAB '=^AB ' B nờn C^=^CAB ' d, AE=BE+BA=HB’+B’A=HC.
Bài 52: Cho điểm M nằm giữa B và A, trờn cựng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ tam giỏc đều MAC và MBD, AC cắt BD tại O, CMR:
a. DAOB đều.
b. MC=OD và MD=OC. c. DA=BC.
d. Gọi I và K là trung điểm AD và BC, chứng minh DMIK đều.
e. DA giao BC tại E, tớnh gúc CEA?
HD: b, DMOD=DOMC (g.c.g) c, DODA=DACB (c.g.c) d, DIDM=DKBM(c.g.c) chỳ ý gúc
^KBM=^IDM=^DAO , e, CEA=180-ECA-EAC=180-(ECM+60)-(60-EAM)=60
Bài 53: Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ về phớa ngoài tam giỏc cỏc tam giỏc vuụng cõn đỉnh A là ABD và ACE.
a, CMR: BE = CD
b, Gọi I là trung điểm B, K là trung điểm CE, M là trung điểm BC CMR: Tam giỏc IMK vuụng cõn.
HD:a, DADC=DABE (c.g.c) b, DC vuụng BE và DC=BE, IM và MK là đường trung bỡnh.
Bài 54: Cho tam giỏc vuụng ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trờn tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM
= MA. Trờn tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC.
HD: AB cắt EI tại F, BA//DC nờn DCAI=DFIA, => DAEF=DCBA
Bài 55: Cho tam giỏc ABC cõn cú AB=AC=5cm, BC= 8cm.Kẻ AH vuụng gúc với BC ( H thuộc BC). a, Chứng minh HB=HC
b, Tớnh độ dài AH.
c, Kẻ HD vuụng gúc với AB(D thuộc AB), kẻ HE vuụng gúc với AC ( E thuộc AC).Chứng minh tam giỏc HDE cõn. d, So sỏnh HD và HC.
HD:
a, DAHB=DAHC(ch-cgv)
b, BH=4cm , ỏp dụng ĐL Pytago cho DABH để tớnh AH. c, DBDH=DCEH(ch-gn) nờn DH=HE.
d, HD=HE<HC
Bài 56: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú đường cao AH.
a, Chứng minh DABH =DACH và AH là tia phõn giỏc của gúc BAC.
b, Cho BH= 8cm, AB= 10cm.Tớnh AH.
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
c, Gọi E là trung điểm của AC và G là giao điểm của BE và AH.Tớnh HG.
d, Vẽ Hx song song với AC, Hx cắt AB tại F. Chứng minh C, G, F thẳng hàng.
HD:
a, DABH=DACH(ch-cgv) nờn BAH^=^CAH (hai gúc tương ứng). b, Áp dụng định lớ Pytago cho DABH.
c, Vỡ H là trung điểm BC, E là trung điểm AC nờn AH,BE là hai đường trung tuyến của DABC, suy ra G là trọng tõm
DABC nờn HG=1/3.AH.
d,Vỡ H là trung điểm BC và HF//AC nờn HF là đường trung bỡnh =>F là trung điểm AB, mà G là trọng tõm DABC nờn C,G,F thẳng hàng.
Bài 57: Cho tam giỏc ABC cú CA= CB= 10cm, AB= 12cm. Kẻ CI vuụng gúc với AB. Kẻ IH vuụng gúc với AC, IK
vuụng gúc với BC.
a, Chứng minh IB= IC và tớnh độ dài CI
b, Chứng minh IH= IK. c, HK// AB.
HD:
a,b, Tương tự bài 55,56.
c, DAHI=DBKI nờn AH=BK => CH=CK =>DCHK cõn nờn HK//AB.
Bài 58: Cho DABC cõn tại A, vẽ AH vuụng gúc với BC tại H. Biết AB= 10cm, BH= 6cm. a. Tớnh AH.
b. DABH= DACH.
c. trờn BA lấy D, CA lấy E sao cho BD= CE.Chứng minh DHDE cõn. d. AH là trung trực của DE.
HD:
c, DBDH=DCEH(c.g.c) nờn DH=HE
Bài 60: Cho DABC cõn tại A cú gúc A < 900. kẻ BH vuụng gúc với AC ,CK vuụng gúc với AC.Gọi O là giao điểm của
BH và CK.
a. Chứng minh DABH=DACH.
b. DOBK =DOCK và DOBC cõn.
c. trờn nửa mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A lấy I sao cho IB=IC.Chứng minh 3 điểm A, O, I thẳng hàng.
HD:
a, DABH=DACH.(ch-gn)
b, Theo a =>BK=HC và ^KBO=^HCO =>DKOB=DHOC(cgv-gnk) nờn OB=OC.
c, Gọi M là trung điểm BC , Vỡ DABC, DOBC, DIBC nờn AM vuụng BC, OM vuụng BC, IM vuụng BC. suy ra O,I,M thẳng hàng.
Bài 61: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Kẻ BD vuụng gúc với AC, CE vuụng gúc với AB. BD và CE cắt nhau tại H.
a. DABD=DACE. b. DBHC cõn.
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
c. ED//BC
d. AH cắt BC tại K, trờn HK lấy M sao cho K là trung điểm của HM.Chứng minh tam giỏc ACM vuụng.
HD:
a, DABD=DACE (ch-gn)
b, Vỡ ^ABD=^ACE và B=^^ C nờn ^HBC=^HCB . c, DABC cõn, DAED cõn nờn ED//BC
d, ^HCK=^MCK , ^ACM=^ACB+ ^BCM=^ACB+^HCK= ^B+ ^HCK=900
Bài 62: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Kẻ BD vuụng gúc với AC, CE vuụng gúc với AB. BD và CE cắt nhau tại H.
a. AH là trung trực của BC
b. Trờn tia BD lấy K sao cho D là trung điểm của BK.So sỏnh gúc ECB và gúc DKC.
HD:
a, Theo bài 61,DEHA=DDHA nờn ^EAH=^DAH
Bài 63: Cho ∆ ABC cõn tại A.vẽ trung tuyến AM . Từ M kẻ ME vuụng gúc với AB tại E.kẻ MF vuụng gúc với AC
tại F.
a. chứng minh ∆ BEM= ∆ CFM.
b. AM là trung trực vủa EF.
c. Từ B kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuụng gúc với AC tại C, hai đường này cắt nhau tại D.Chứng minh A,M,D thẳng hàng.
Bài 64: Cho ∆ ABC cõn tại A. Gọi M là trung điểm của AC.Trờn tia đối MB lấy D sao cho DM= BM.
a. Chứng minh Tam giỏc BMC= tam giỏc DMA.Suy ra AD//BC.
b. ∆ ACD cõn.
c. Trờn tia đối CA lấy E sao cho CA= CE.Chứng minh DC đi qua trung điểm I của BE.
Bài 65: Cho ∆ ABC cõn tại A (AB = AC ), M là trung điểm của BC. Gọi D là điểm là điểm nằm giữa A và M. Chứng minh rằng:
a. AM là tia phõn giỏc của gúc A? b. ờABD = ờACD.
c. ờBCD là tam giỏc cõn ?
Bài 66: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường phõn giỏc BD. Kẻ DE vuụng gúc với BC (E ¿ BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh rằng:
a. ờABD = ờEBD
b. ờABE là tam giỏc cõn ? c. DF = DC.
Bài 67: Cho tam giỏc ABC cú ^A = 900, AB = 8cm, AC = 6cm . a. Tớnh BC .
b. Trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC .
c. Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC .
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
Bài 68 :Cho ∆ ABC vuụng tại A.Vẽ đường cao AH Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA
a. C/m gúc BAD = gúc ADB
b. C/m AD là phõn giỏc của gúc HAC
c. Vẽ DK vuụng gúc AC ( K thuộc AC). C/m AK = AH
Bài 69.Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc của gúc ABC cắt AC tại D. Từ D kẻ DH vuụng gúc với BC tại H và DH cắt AB tại K.
a. Chứng minh: AD = HD
b. So sỏnh độ dài cạnh AD và DC
c. Chứng minh tam giỏc KBC là tam giỏc cõn
Bài 70:Cho Δ ABC vuụng tại A, cú BC = 10cm ,AC = 8cm .Kẻ đường phõn giỏc BI (IAC) , kẻ ID vuụng gúc với BC (DBC).
a. Tớnh AB
b. Chứng minh ∆ AIB = ∆ DIB
c. Chứng minh BI là đường trung trực của AD
d. Gọi E là giao điểm của BA và DI. Chứng minh BI vuụng gúc với EC