II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
3 BC Chứng minh rằng gúc ^ BAM
< 200
HD: Lấy N thuộc BC sao cho CN=NM=MB, lấy H đối xứng với M qua A. Trong DBAM cú
^
B=600;^BAM<300nờnBMA^>900 => cạnh AB >AM, mà AB=NH, AN=AM=MH =>AN<NH =>
^MAN> ^MHN=^MAB (1)
Giả sử ^BAM>200 => ^NAC>200 => ^MAN<200VỡB^=600=¿^MAN< ^BAM (2). Mõu thuẫn với (1). Vậy
^
BAM<200 .
Bài 28: Tam giỏc ABC cú AB < AC. Vẽ ra ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. So sỏnh MD với ME.
HD: DDAC=DBAE (c.g.c) nờn DC=BE. Mà AC=CE>DB nờn ^DBC< ^EBC hay^DCM< ^EBM . Xột DDCM và
DBEM cú BE=DC; MB=MC; ^DCM<^EBM nờn DM<ME.
Bài 29: Cho DABC cõn tại A. Gọi M là một điểm nằm trờn cạnh BC sao cho MB < MC. Lấy điểm O trờn đoạn thẳng AM. Chứng minh rằng ^AOB > ^AOC .
HD: ^BAM<^MAC nờn ^BOM < ^MOC .
Bài 3: Cho DABC cú B là gúc tự, D nằm giữa B và C, chứng minh AB<AD<AC.
HD: trong DABD cú B tự nờn AB<AD
Vỡ ^ADC=^B+ ^BAD nờn ^ADC là gúc tự => AD<AC.
Bài 5: Cho DABC vuụng tại A, điểm K nằm giữa A và C. So sỏnh BK và BC.
HD:
Cỏch 1: Ta cú BK2=AB2+AK2; BC2=AB2+AC2, vỡ AC2>AK2 nờn KB2<BC2 hay BC>BK Cỏch 2: Vỡ ^A=900 mà BDC^=^A+ ^DBA nờn BDC^ là gúc tự nờn cạnh BC>BK.
Bài 6: Cho DABC vuụng tại A, phõn giỏc gúc B cắt AC tại D. So sỏnh AD,DC.
HD:Kẻ DI vuụng BC, DABD=DIBD (ch-gn) nờn AD=DI mà DI<DC nờn AD<DC
Bài 7: Cho DABC cú AB<AC, gọi M là trung điểm BC, So sỏnh gúc ^BAM và^MAC .
HD: Gọi H là điểm đối xứng với A qua M, DBAM=DCHM(c.g.c) nờn ^BAM=^CHM và CM=AB. Trong DAHC cú CH=AB<AC nờn CHA> ^^ CAH , hay ^BAM>^MAC
Bài 8: Cho DABC cú AB<AC, phõn giỏc gúc A cắt BC tại D. So sỏnh BD và DC.
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
HD: Lấy K trờn AC sao cho AB=AK, suy ra DADK=DDAB (c.g.c) nờn BD=DK. Trong DABC cú C+ ^^ A=^DBx (gúc kề bự với gúc B) mà ^DBx = ^DKC nờn C< ^^ DKC , suy ra DK<DC hay BD<DC.
Bài 9: Cho DABC, cú AB<AC, trờn BC lấy M bất kỡ khắc B và C. CMR: AM<AC.
HD: Ta cú: ^AMC+ ^AMB=1800 .
- Nếu ^AMC >900 thỡ tam giỏc AMC cú ^AMC là gúc tự nờn AM<AC.
- Nếu ^AMB>900 thỡ tam giỏc AMB cú AM<AB mà AB<AC nờn AM<AC.
Bài 10: Cho DABC cú AB≤ BC≤ AC. Trờn BC và AC lấy M và N. Chứng minh MN<AC.
HD: Xột DMAC, tương tự bài 9, MN<a với a là cạnh lớn nhất trong hai cạnh AM và MC, Trong DABC cú AB≤ AC nờn AM<AC ( theo bài 9) mà MC<BC≤ AC nờn a≤ AC. Vậy MN<AC.
Bài 11: Cho DABC cú A là gúc tự, lấy D thuộc AB, E thuộc AC, chứng minh DE<BC.
HD: xột DDEC: ^DEC=^A+ ^EDA nờn ^DEC là gúc tự =>CD>ED Xột DBDC cú BDC^=^A+ ^ECD nờn BDC^ là gúc tự => DC<BC. Vậy DE<BC.
ĐƯỜNG VUễNG GểC-ĐƯỜNG XIấN-HèNH CHIẾU
Bài 1: Cho O là một điểm nằm trong D ABC. Biết AO = AC, chứng minh rằng DABC khụng thể cõn tại A
HD: Giả sử DABC cõn tại A, mà AO=AC nờn O trựng với C hoặc B, khụng thỏa món điều kiện O nằm trong tam
giỏc.
Bài 2: Cho xOy = 450. Trờn tia Oy lấy hai điểm A, B sao cho AB=√2 . Tớnh độ dài hỡnh chiếu của đoạn thẳng AB trờn Ox.
HD: Gọi C và D lần lượt là hỡnh chiếu của A và B lờn Ox, kẻ AH vuụng BD suy ra AH=CD. Vỡ DAHB vuụng cõn nờn AH=BH, suy ra AH2+BH2=AB2 hay 2AH2=2, suy ra AH=1cm.
Bài 3: Cho D ABC, cỏc gúc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C. Gọi d là tổng cỏc khoảng cỏch từ B và C đến đường thẳng AM.
a. Chứng minh rằng d Ê BC
b. Xỏc định vị trớ của M trờn BC sao cho d cú giỏ trị lớn nhất.
HD:
a, Gọi H là Q là chõn đường cao kẻ từ C và B xuống AM, suy ra d=CH+BQ. Vỡ BQ<BM, CH<CM nờn d<BM+MC=BC.
b, d lớn nhất bằng BC khi CH=CM, BQ=BM => BC vuụng AM. Vậy M là chõn đường cao kẻ từ A.
Bài 4: Cho D ABC vuụng tại B, phõn giỏc AD. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với BC cắt tia AD tại E. Chứng minh rằng chu vi D ECD lớn hơn chu vi D ABD.
HD: Kẻ DI vuụng AC =>DADI=ADB (ch-gn) nờn BD=DI<DC (1);
Ta cú: ^DEC=^DAB=^DAC nờn DAEC cõn mà AD<AC =AE(2); nờn AB<DE (3). Cộng theo vế (1)(2)(3) suy ra đpcm.
Bài 5: Cho DABC cõn tại A, trờn hai cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N thay đổi sao cho AM = AN. Chứng minh rằng:
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
a. Cỏc hỡnh chiếu của BM và CN trờn BC bằng nhau b. BN>BC+MN
2
c. Chứng minh BC-MN< 2BM.
d. Chứng minh trung trực MN luụn đi qua một điểm cố định.
HD:
a, Gọi là chõn đường vuụng gúc kẻ từ M và N xuống BC, DBMP=DCNQ(ch-gn) nờn BP=CQ.
b, Ta cú : NM=PQ nờn BC+MN=(BQ+QC)+PQ=BQ+(QC+PQ)=BQ+CP=2BQ nờn (BC+MN):2=BQ<BN c, Kẻ ME//AC thỡ ^MEB=^ACB(đ ngồ vị)nờn^MEB=^ABC => DBME cõn M => MB=ME (1)
DMEN=DCNE(g.c.g) nờn MN=EC => MC-MN=BC-EC=BE.(2) Trong DMBE cú BM+ME>BE (3). Từ (1)(2)(3) => 2MB>BC-MN. d, Trung trực MN đi qua trung điểm của đoạn BC.
BẤT ĐẲNG THỨC BA CẠNH TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O; AB = 6, CD = 4. Chứng minh rằng trong 4 đoạn thẳng AC, CD, BD, DA tồn tại hai đoạn thẳng nhỏ hơn 5.
Bài 2: Chu vi một tam giỏc cõn là 21cm. Biết một cạnh dài 4cm, cạnh đú là cạnh bờn hay cạnh đỏy?
HD: Giả sử DABC cõn tại A.
TH1: AB=AC=4cm suy ra BC=13cm (Loại) vỡ AB+AC=8cm<BC=13cm. TH2: BC=4cm, suy ra AB=AC=8,5cm (thỏa món). Vậy cạnh đỏy cú độ dài 4cm.
Bài 3: Chu vi một tam giỏc cõn là 15cm, cạnh đỏy bằng a. Biết độ dài mỗi cạnh là một số tự nhiờn (cm). Tỡm cỏc giỏ trị của a.
HD:Gọi cạnh bờn là b suy ra 2b+a=15 Suy ra b≤ 7. Mà a<2b nờn 2b+a<4b hay 15<4b. Suy ra b>15/4. Kết hợp với b≤ 7 suy ra b=4,5,6,7.
b=4 =>a=7; b=5 =>a=5 b=6 =>a=3 b=7 =>a=1
Bài 4: Tam giỏc ABC cú AB > AC, phõn giỏc AD. Lấy một điểm M thuộc AD (M khụng trựng với A). Chứng minh rằng AB - AC > MB – MC.
HD:Lấy E trờn AB sao cho AC=AE, DCAM=DEAM(c.g.c) nờn ME=CM
Trong DMEB cú: MB-MC=MB-ME<EB mà EB=AB-AE=AB-AC nờn AB - AC > MB – MC.
Bài 5: Cho DABC vuụng cõn tại A, cạnh bờn bằng 5 và hai điểm M, N bất kỡ. Chứng minh rằng trờn cỏc cạnh của ABC tồn tại một điểm sao cho tổng cỏc khoảng cỏch từ đú đến M và N lớn hơn 7.
Bài 6: Cho tam giỏc ABC,điểm D là điểm nằm giữa B và C. a) Chứng minh AD bộ hơn nửa chu vi tam giỏc ABC
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
b) E là điểm nằm tựy ý ở bờn trong tam giỏc ABC chứng minh tổng khoảng cỏch từ E đến mỗi đỉnh của tam giỏc luụn lớn hơn nửa chu vi và bộ hơn chu vi tam giỏc ABC.
c)Gọi S là diện tớch:Chứng minh SAEB+SAEC≤1
2 AE . BC .
HD: AD<AB+BD(1) AD<AC+DC(2)
Cộng (1) và (2) ta cú 2AD<AB+AC+BD+DC 2AD<AB+AC+BC
Bài 8: Cho tam giỏc ABC ( AB > AC). Trờn tia AB lấy điểm F sao cho AC = AF. Trờn tia phõn giỏc AD của tam giỏc ABC, lấy E tựy ý. Chứng minh :
a. ΔAEC =Δ AEF. b. AB – AC = BF. c. BE – EC < BF. HD: a, ΔAEC =Δ AEF( c.g.c) b, AB-AC=AB-AF=BF. c, BE-EC=BE-EF<BF
Bài 9: Cho tam giỏc ABC cú điểm M nằm trong tam giỏc. BM cắt AC ở D. a. Chứng minh : MB +MC < DB + DC.
b. So sỏnh : DB +DC và AB + AC. c. Chứng minh : MB +MC < AB + AC
d. So sỏnh : MA + MB +MC và AB + AC + BC.
HD: a, Giả sử: MB +MC < DB + DC MB+MC<MB+MD+DC MC<MD+DC luụn đỳng. b, AB+AD>BD => AB+AD+DC>BD+DC hay AB+AC>DB+DC
c, Dựng tớnh chất bắc cầu của cõu a,b
d, Theo b) MB+MC<AB+AC, chứng minh tương tự: MB+MA<CB+CA; MA+MC<BA+BC Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trờn ta được: 2(MA+MB+MC)<2(AB+BC+CA) hay MA+MB+MC<AB+BC+CA.
Bài 10: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. đường thẳng d qua A. từ B và C kẻ BE và CF cựng vuụng gúc d (E, F thuộc d).
a. Chứng minh : ΔABE = ΔACF. b. Chứng minh : BE + CF = EF.
c. Xỏc định vị trớ của d để A là trung điểm EF.
HD:
a, ^EAB+ ^CAF=900;CAF^+ ^FCA=900nờn^EAB=^FCA => ΔABE = ΔACF(ch-gn). b, BE+CF=AF+AE=EF.
c, để A là trung điểm FE thỡ AE=FA mà FA=EB nờn EB=EA suy ra ^EAB=450 hay d//BC.
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
Bài 11: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Trờn cạnh huyền BC lấy M sao cho BM = BA, Trờn cạnh AC lấy N sao cho AN = AH. Chứng minh rằng :
a. AM là phõn giỏc của gúc HAC. b. MN vuụng gúc AC.
c. AH + BC > AB + AC.
HD:
a, ^MAH+^AMH=900 ; ^MAN+ ^MAB=900 mà ^MAB=^AMH(vỡ BM=BA) nờn ^MAN=^MAH . b, ∆ MAH= ∆ MAN (c.g.c) nờn ^H= ^N=900 .
c, Giả sử AB+AC<BC+AH AB+AN+NC<BM+MC+AH NC<MC (do AB=BM; AH=AN) luụn đỳng. đpcm
Bài 12: Ba đường cao của tam giỏc ABC cú độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số tự nhiờn. Tỡm x ?
HD:
Gọi 3 cạnh tương ứng là a,b,c. Suy ra a.4=b.12=c.x=2S hay a=S:2; b=S:6; c=2S:x Vỡ |a-b|<c<a+b suy ra x.
S 3< 2S x < 2S 3 =¿ 2 6< 2 x< 2 3=¿3<x<6hay x=4;5
ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Bài 1: Cho DABC. Trờn cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = BE. Trờn cạnh AC lấy điểm F và H sao cho AF = CH. Chứng minh rằng cỏc tam giỏc BFH và CDE cú cựng một trọng tõm.
HD: Gọi M là trung điểm AC suy ra MF=MH, suy ra DABC và DBFM cú cựng đường trung tuyến BM nờn cú cựng trọng tõm.
Chứng minh tương tự: DABC và DCDE cú cựng trọng tõm nờn DBFH và DCDE cú cựng trọng tõm.
Bài 2: Tam giỏc ABC cú AB < AC, hai trung tuyến BE cà CF cắt nhau tại G. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a. Ba điểm A, G, D thẳng hàng b. BE < CF
c. AD, BE, CF thỏa món bất đẳng thức tam giỏc.
HD:
a, G là trọng tõm DABC nờn A,G,D thẳng hàng.
b, BAD^> ^DAC , Vỡ AB<AC nờn C^< ^B => BAD^+ ^B> ^DAC+ ^C hay 1800-( BAD^+ ^B )<1800-(
^
DAC+ ^C )
Suy ra GDB< ^^ GDC nờn BG<CG hay BE<CF.
c, BE<CF nờn BE<CF+AD (1). Lấy I thuộc GD sao cho D là trung điểm GI, =>AG=GI=2GD
DBDI=DCDG(c.g.c) nờn BI=CG và GI<BG+BI mà GI=AG, BI=CG =>AG<BG+CG hay 2/3.AD<2/3.BE+2/3.CF => AD<BE+CF (2). Tương tự: CF<AD+BE (3)
GV: Nguyễn Chớ Thành 0975705122 Nhận dạy kốm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trỡnh cho học sinh đi du học.
Từ (1)(2)(3) =>đpcm.
Bài 3: Cho D ABC, cỏc trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:
a/ AD<AB+AC
2 ; b/ BE+CF>3
2BC c/
3