[r]
(1)§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM
CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Tìm cực trị hàm số.
DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước)
Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1:
- Tìm TXĐ hàm số
- Tính f x'( ) Tìm điểm f x'( )bằng hoặc f x'( ) không xác định. - Lập bảng biến thiên
- Từ bàng biến thiên điểm cực trị.
Quy tắc 2:
- Tìm TXĐ hàm số
- Tính f x'( ) Giải phương trình f x '( ) 0và ký hiệu x i
i 1, 2,3,
là nghiệm nó.- Tính f
x và f
xi- Dựa vào đấu của f
xi suy tính chất cực trị điểmx
iLUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm điểm cực trị của hàm số sau:
a) y3x2 2x3
b)
2 3 6
2
x x
y
x
e) y x2 2x5
c)
4
2
2
x
y x
d) y x x 2 f) y x 2x x Bài 2: Tìm điểm cực trị hàm số sau:
a) f x
x x
2
c)f x
x
sin 2
x
2
b)
f x
2sin 2
x
3
(2)GIẢI a) TXĐ: D=R
2
2
x x voi x f x
x x voi x
Với x 0: f x
2x 2 (vì x 0) Với x 0: f x
2x 2, f x
0 x1Bảng biến thiên: x 0, f x 0
x -1
y
+ - +y
Kết luận:
o Hàm số đạt cực đại x 1, fCD f
1
1o Hàm số đạt cực tiểu x 0, fCT f
0 0b) TXĐ: D=R
4cosf x x, f x
cos 2x 2x 2 k x 4 k 2
, k
8sinf x x
Tính:
8
8sin
8
4 2
voi k n
f k k
voi k n
,
n
Kết luận:
HS đạt cực đại
x n
, fCD f n
HS đạt cực tiểu
2
4
x n
,
3
2sin 3
CD
f n
c) TXĐ: D = R
2cosf x x,
1
0 cos cos
2
f x x x k
, k
4sinf x x
Tính: f k 4sin k2
x k
điểm cực tiểu
4sin 2
6
f k k
x k
(3)+ Hàm số đạt cực đại x k
,
3
6
CD
f f k k
+ Hàm số đạt cực tiểu x k
,
3
6
CT
f f k k
d) TXĐ: D=R
2sin 2sin 2sin 4sin cos 2sin 2cos
f x x x x x x x x
sin 1 2 21 2cos cos cos
2 3
x k x k
x f x
x x x k
2cos 4cosf x x x Xét:
+ f k
2cosk
4cos 2k
2cosk
4 HS đat cực tiểu điểm x k
,
cos cos 2 2cosCT
f f k k k k
+
2 1
2 2cos 4cos
3 3 2
f k
HS đat cực đại điểm
2
2
x k
2
2 2cos cos
3 3
CD
f f k
(4) Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Lưu ý:
1) Để tính giá trị cực trị hàm bậc 3: f x ax3bx2cx d ta làm sau:
f x x
Ax B
f x f x
f x
Ax B f x
x (*)Gọi
x
i nghiệm pt f x
0 (x
i là điểm cực trị)
0
i i i
f x Ax B f x x
i if x x
Trong x phần dư phép chia
f x f x
Đường thẳng qua điểm cực trị là: y
x
( Vì toạ độ điểm cực trị M x y
;
thoả pt f x
0, nên từ (*) ta suyy
x
)2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu hàm số:
2 u x
ax bx c y
a x b v x
,
u x v x u x v x y
v x
0
y u x v x u x v x
(1)
Gọi
x
i nghiệm (1), từ (1) ta suy ra:
i i
i iu x v x u x v x
i i
i i
u x u x
v x v x
Các giá trị cực trị là:
2
i i i
i
i i
u x u x ax b y x
v x v x a
Do pt đường thẳng qua điểm cực trị là:
2ax b
y
a
(5)Bài 1: Cho hàm số: y
m 2
x3 mxVới giá trị m đồ thị hàm số khơng có điểm cực đại điểm cực tiểu GIẢI
TXĐ: D =
Đạo hàm:
2
3
y m x m
Để hàm số khơng có cực trị phương trình y 0 vơ nghiệm có nghiệm kép
0
4.3 m m
2
0
0m2Bài 2: Cho hàm số:
3 2
1
1
y x mx m m x
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm x 1 GIẢI TXĐ: D =
Đạo hàm: y x2 2mx m 2 m1 y 2x 2m
Hàm số đạt cực tiểu x 1
1
1
y y
2 3 2 0
2
m m
m
1
m m
m
Vậy khơng có giá trị m để hàm số đạt cực tiểu
x
1
Bài 3: Cho hàm số y x 3x2 3x2 a) Tìm cực trị hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
GIẢI a) TXĐ: D =
Đạo hàm: y x2 6x
Cho
2
0
1
x
y x x
x
Chia f x
cho f x
, ta được:
3 3
13
f x x x x x
(6)
1
1
f
f
Lập bảng biến thiên CĐ, CT.
b) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y4x1
Bài 4: Cho hàm số
3 6 3 2 6
y x x m x m
Xác định m cho: a) Hàm số có cực trị
b) Hàm số có hai cực trị dấu
GIẢI a) TXĐ: D =
Đạo hàm: y 3x2 12x3
m2
Cho y 0 x2 4x m 2 (*)
4 m 2 m
Để hàm số có cực trị thì: 2 m 0 m2
b) Chia f x
cho f x
, ta được:
12 3
2
23
f x x x m x x mx m
giá trị cực trị là:
0 2 0
2
2
1
f x x mx m x m m m x
Gọi
x
1,x
2là điểm cực trịHàm số có cực trị dấu f x
1 f x2 0
m 2
x1 1
m 2
x2 1
m 2
2 2x1 2
x2 1
m 2
2 4x x1 2x1 2x2 1
m 2
2
4x x1 2
x1 x2
1
(1)
Mặt khác:
12
x x
, x x1 m
Do (1)
2
2 2.4
m m
2
2 17
m m
17
m
m
(7)Kết hợp với điều kiện có cực trị
m
2
, ta được:17
2
4 m
Bài 5: Cho hàm số:
3
1
1
3
y mx m x m x
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thoả x12x2 1
GIẢI TXĐ: D =
Đạo hàm: y mx2 2
m1
x3
m 2
Hàm số có cực trị
2
0
1
m
m m m
2
m m m 6 1 2 m m (*)
Gọi
x
1,x
2 nghiệm phương trình y 0 thì:
22 1 2 x x m x x m m x x m
Từ (1) (2)
4
x
m
,
2
x
m
Thay vào (3)
3
2
1 m
m m m
2
3m 5m 2 m m
(Nhận so với điều kiện)
Vậy:
2
3
m m
Bài 6: Cho hàm số:
3
3
x x
y mx
(ĐH Y - Dược)
Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu có hồnh độ lớn m GIẢI
TXĐ: D =
Đạo hàm: y x2 x m
Hàm số đạt cực trị điểm có hồnh độ
x m
0
y
(8)
0
2
y m
s m
2
1
2
m
m m
m
1
2
2
m
m m
m
m 2
Vậy
m
2
Bài 7: Cho hàm số: yf x
2x33
m1
x26
m 2
x (1)Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng
y
3
x
4
GIẢI TXĐ: D =
Đạo hàm: y 6x26
m1
x6
m 2
Cho
y
0
x2
m 1
x
m 2
0Hàm số (1) có cực trị
2
1
m m
m 3
2 0 m3Lấy (1) chia cho
1
6 f x ta được:
21
2 3
6
y x m f x m x m m
Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là:
3
2 3y m x m m (d)
Để (d) song song với đường thẳng
y
3
x
4
thì:
m 3
2
m
3
3
m
3
3
Bài 8: Cho hàm số:
2 3 5
2
x x y
x
a) Tìm cực trị hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
GIẢI a) TXĐ: D \
2
Đạo hàm:
2
2
4
x x
y
x
,
2
0
2
x
y x x
x
Giá trị cực trị là:
0
0
2
o
u x x y x
v x
(9)
3
y
, y
3
1 Lập bảng biến thiên CĐ, CT.b) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là:
y
2
x
3
Bài 9: Cho hàm số:
2
x mx m y
x m
m 0
Tìm m để hàm số:a) Có cực đại cực tiểu
b) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu
GIẢI a) TXĐ: D\
mĐạo hàm:
2
2
2
x mx m m
y
x m
, y 0 x2 2mx m m0 (1)
Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có nghiệm phân biệt
2
0
m
m
m
0
m
0
b) Hàm số có giá trị cực trị trái dấu khi: y 0 có nghiệm phân biệt
Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y 0 vô nghiệm)
2
0 0
0
0 0
y y
m m
m m
m m
Bài 10: Cho hàm số:
2 2 1
1
mx mx m y
x
Tìm m để giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số dấu GIẢI
TXĐ: D \ 1
Đạo hàm:
2
2
2 1
mx mx m
y
x
, y 0 mx2 2mx 3m1 0
Hàm số có giá trị cực trị dấu y 0 có nghiệm phân biệt
y 0 có nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt)
2
0 4 0
0
y y
m m
m
1
0
4
4
m m
m m
Vậy
1
(10)