Tìm m để hàm số có 3 cực trị, tổng hợp bài tập chọn lọc - Giáo viên Việt Nam

[r]

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM

CÁC DẠNG BÀI TẬP:

DẠNG 1: Tìm cực trị hàm số.

DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước)

 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Quy tắc 1:

- Tìm TXĐ hàm số

- Tính f x'( ) Tìm điểm f x'( )bằng hoặc f x'( ) không xác định. - Lập bảng biến thiên

- Từ bàng biến thiên điểm cực trị.

Quy tắc 2:

- Tìm TXĐ hàm số

- Tính f x'( ) Giải phương trình f x '( ) 0và ký hiệu x i i 1, 2,3, là nghiệm nó.

- Tính f x và f xi

- Dựa vào đấu của f xi suy tính chất cực trị điểm xi

LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm điểm cực trị của hàm số sau:

a) y3x2 2x3

b)

2 3 6

2

x x

y

x    

 e) y x2 2x5

c)

4

2

2

x

y x 

d) y x x 2 f) y x  2x x Bài 2: Tìm điểm cực trị hàm số sau:

a) f x  x x 2 c) f x   x sin 2x2

b) f x  2sin 2x 3

GIẢI a) TXĐ: D=R

   

 

2

2

x x voi x f x

x x voi x

  

 

  

 

 Với x 0: f x  2x 2 (vì x 0)

 Với x 0: f x  2x 2, f x   0 x1

Bảng biến thiên: x 0, f x 0

x   -1 

y + - +

y

Kết luận:

o Hàm số đạt cực đại x 1, fCD f 1 1

o Hàm số đạt cực tiểu x 0, fCT f 0 0

b) TXĐ: D=R

  4cos

f x  x, f x  cos 2x 2x 2 k x 4 k 2

  



         

, k  

  8sin

f x  x

Tính:

8

8sin

8

4 2

voi k n

f k k

voi k n

  

  

   

       

 

     , n  

Kết luận:

 HS đạt cực đại

x n

, fCD f n

 

 

    

 

 HS đạt cực tiểu  

2

4

x  n 

,

3

2sin 3

CD

f     n   

 

c) TXĐ: D = R

  2cos

f x   x,  

1

0 cos cos

2

f x   x    x  k

, k  

  4sin

f x  x

Tính: f k 4sin k2

 

 

   

      

    x k

 

  

điểm cực tiểu

4sin 2

6

f   k   k  

    x k

 

  

+ Hàm số đạt cực đại x k

 

 

,

3

6

CD

f f   k  k  

 

+ Hàm số đạt cực tiểu x k

 

 

,

3

6

CT

f f  k k 

 

d) TXĐ: D=R

  2sin 2sin 2sin 4sin cos 2sin 2cos 

f x  x x x x x  x  x

  sin 1 2 2

1 2cos cos cos

2 3

x k x k

x f x

x x x k

 

 



 

 



  

     

 

     



 

  2cos 4cos

f x  x x Xét:

+ f k  2cosk 4cos 2k  2cosk  4  HS đat cực tiểu điểm x k  ,

  cos cos 2 2cos

CT

f f k   k  k    k

+

2 1

2 2cos 4cos

3 3 2

f   k           

     

 HS đat cực đại điểm

2

2

x  k 

2

2 2cos cos

3 3

CD

f f   k       

 Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Lưu ý:

1) Để tính giá trị cực trị hàm bậc 3: f x ax3bx2cx d ta làm sau:

 

   

f x x

Ax B

f x f x

 

  

   f x   Ax B f x    x (*)

Gọi xi nghiệm pt f x  0 (xi là điểm cực trị)

     

0

i i i

f x Ax B f x x 





   

  

 i i

f x x 

  

Trong x phần dư phép chia

   

f x f x

Đường thẳng qua điểm cực trị là: y x

( Vì toạ độ điểm cực trị M x y ; thoả pt f x 0, nên từ (*) ta suy

y x )

2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu hàm số:

   

2 u x

ax bx c y

a x b v x

 

 

   ,

         

u x v x u x v x y

v x

  

 

 

 

       

0

y  u x v x  u x v x 

(1)

Gọi xi nghiệm (1), từ (1) ta suy ra:

   i i    i i

u x v x  u x v x 

   

   

i i

i i

u x u x

v x v x



 



Các giá trị cực trị là:

   

 

   

2

i i i

i

i i

u x u x ax b y x

v x v x a

 

  

 

Do pt đường thẳng qua điểm cực trị là:

2ax b

y

a

 

Bài 1: Cho hàm số: ym 2x3 mx

Với giá trị m đồ thị hàm số khơng có điểm cực đại điểm cực tiểu GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm:  

2

3

y  m x  m

Để hàm số khơng có cực trị phương trình y 0 vơ nghiệm có nghiệm kép

  0  4.3 m m  2 0  0m2

Bài 2: Cho hàm số:  

3 2

1

1

y x  mx  m  m x

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm x 1 GIẢI TXĐ: D =

Đạo hàm: y x2 2mx m 2 m1 y 2x 2m

Hàm số đạt cực tiểu x 1

   

1

1

y y



 

  

 



 

2 3 2 0

2

m m

m

    

  



1

m m

m

   

  

Vậy khơng có giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x 1

Bài 3: Cho hàm số y x  3x2  3x2 a) Tìm cực trị hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị

GIẢI a) TXĐ: D =

Đạo hàm: y x2 6x

Cho

2

0

1

x

y x x

x

          

  

Chia f x  cho f x , ta được:

  3 3 1

3

f x  x  x  x  x  

 

 

1

1

f

f

    

 

   



Lập bảng biến thiên  CĐ, CT.

b) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y4x1

Bài 4: Cho hàm số  

3 6 3 2 6

y x  x  m x m 

Xác định m cho: a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có hai cực trị dấu

GIẢI a) TXĐ: D =

Đạo hàm: y 3x2 12x3m2 Cho y  0 x2 4x m  2 (*)

 

4 m 2 m



     

Để hàm số có cực trị thì:    2 m 0 m2

b) Chia f x  cho f x , ta được:

  12 3 2 2

3

f x  x  x m  x  x mx m   

 giá trị cực trị là:

 0 2 0 2  2  1

f x  x  mx m  x m m  m x 

Gọi x1, x2là điểm cực trị

Hàm số có cực trị dấu  f x   1 f x2 0

m 2  x1 1 m 2  x2 1

     

m 2 2 2x1 2  x2 1

    

m 2 2 4x x1 2x1 2x2 1

     

m 224x x1 2x1 x2 1

     

(1)

Mặt khác:

12

x x  

, x x1  m

Do (1)    

2

2 2.4

m  m 

       

   

2

2 17

m m

   

17

m

m

     

  

Kết hợp với điều kiện có cực trị m 2, ta được:

17

2

4 m

  

Bài 5: Cho hàm số:    

3

1

1

3

y mx  m x  m x

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thoả x12x2 1

GIẢI TXĐ: D =

Đạo hàm: y mx2  2m1 x3m 2

Hàm số có cực trị    

2

0

1

m

m m m

             

2

m m m          6 1 2 m m            (*)

Gọi x1, x2 nghiệm phương trình y 0 thì:

          2

2 1 2 x x m x x m m x x m               

 Từ (1) (2)

4

x

m

  

,

2

x

m

 

Thay vào (3)

 

3

2

1 m

m m m

    

           

2

3m 5m     2 m m    

(Nhận so với điều kiện)

Vậy:

2

3

m  m

Bài 6: Cho hàm số:

3

3

x x

y  mx

(ĐH Y - Dược)

Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu có hồnh độ lớn m GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm: y x2 x m

Hàm số đạt cực trị điểm có hồnh độ x m

0

y

 

0

2

y m

s m

   

   

  



2

1

2

m

m m

m



  



    

 



1

2

2

m

m m

m

   

      

  

  m 2

Vậy  m 2

Bài 7: Cho hàm số: yf x  2x33m1x26m 2x (1)

Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y 3x4

GIẢI TXĐ: D =

Đạo hàm: y 6x26m1x6m 2

Cho y  0 x2 m 1xm 2 0

Hàm số (1) có cực trị    

2

1

m m

        m 32 0 m3

Lấy (1) chia cho  

1

6 f x ta được:

     2

1

2 3

6

y x m  f x  m x m  m

Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là:  32 3

y m x m  m (d)

Để (d) song song với đường thẳng y 3x4 thì: m 32

    m 3 3  m  3 3

Bài 8: Cho hàm số:

2 3 5

2

x x y

x

  



a) Tìm cực trị hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị

GIẢI a) TXĐ: D \2

Đạo hàm:  

2

2

4

x x

y

x

   

 ,

2

0

2

x

y x x

x

          

  

Giá trị cực trị là:

   

 

0

0

2

o

u x x y x

v x

 

 

 3

y    

, y   3  1 Lập bảng biến thiên  CĐ, CT.

b) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y 2x3

Bài 9: Cho hàm số:

2

x mx m y

x m

  

 m 0 Tìm m để hàm số:

a) Có cực đại cực tiểu

b) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu

GIẢI a) TXĐ: D\ m

Đạo hàm:  

2

2

2

x mx m m

y

x m

    

 , y  0 x2 2mx m  m0 (1)

Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có nghiệm phân biệt

 

2

0 m m m 0 m 0



        

b) Hàm số có giá trị cực trị trái dấu khi: y 0 có nghiệm phân biệt

Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y 0 vô nghiệm)

2

0 0

0

0 0

y y

m m

m m

m m



  

    



        

      

 



Bài 10: Cho hàm số:

2 2 1

1

mx mx m y

x

   



Tìm m để giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số dấu GIẢI

TXĐ: D \ 1 

Đạo hàm:  

2

2

2 1

mx mx m

y

x

    

 , y  0 mx2 2mx 3m1 0

Hàm số có giá trị cực trị dấu y 0 có nghiệm phân biệt

y 0 có nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt)

2

0 4 0

0

y y

m m

m



  

   



   

   

 

 

1

0

4

4

m m

m m



    

   

  

Vậy

1