Bài tập và Lý thuyết chương 2 Nhị thức Newton - Đại số lớp 11

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và.. biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn[r]

(1)

Trang

PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON

A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT

1 Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có:

0

( ) −

=

+ n =n k n k k

n k

a b C a b

2 Tính chất:

1) Số số hạng khai triển n +

2) Tổng số mũ a b số hạng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = C ank n k− bk ( k =0, 1, 2, …, n)

4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: k = n k−

n n

C C

5) Cn0 =Cnn =1, Cnk−1+Cnk =Cnk+1

* Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta sẽ thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn:

(1+x)n = C xn0 n+C x1n n−1+ + Cnn Cn0+Cn1+ + Cnn =2n

(x–1)n = C xn0 n−C xn1 n−1+ + − ( 1)nCnn

0

( 1)

− + + − n n =

n n n

C C C

Từ khai triển ta có kết sau * Cn0+C1n+ + Cnn =2n

*

( 1)

− + − + − n n =

n n n n

C C C C

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON

Phương pháp:

( ) ( ) ( )

0

− − − +

= =

+ n =n n k k =n

p q k p q k n k k np pk qk

n n

k k

ax bx C ax bx C a b x

Số hạng chứa x ứng với giá trị m k thỏa: np−pk+qk=m

Từ tìm = −

−

m np k

p q

Vậy hệ số số hạng chứa x là: m C ank n k− bk với giá trị k tìm

Nếu k khơng ngun k n khai triển không chứa x , hệ số phải tìm m Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x khai triển m

( )=( + p+ q)n

P x a bx cx viết dạng 0+ + + 2

n n

a a x a x Ta làm sau:

* Viết ( ) ( ) ( )

0 −

=

= + p+ q n =n k n k p+ q k

n k

P x a bx cx C a bx cx ;

* Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng (bxp+cxq)k thành đa thức theo luỹ thừa x

(2)

Trang

Ta làm sau:

* Tính hệ số a theo k k n;

* Giải bất phương trình ak−1 a với ẩn số k ; k

* Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình

Câu 1: Trong khai triển (2 −a b)5, hệ số số hạng thứ3 bằng:

A − 80 B 80 C − 10 D 10

Câu 2: Trong khai triển nhị thức (a+2) (n+6, n ) Có tất cả17 số hạng Vậy n bằng:

A 17 B 11 C 10 D 12

Câu 3: Trong khai triển (3x2−y)10, hệ số số hạng là:

A 4

10

3 C B 4

10

3

− C C 5

10

3 C D 5

10

3

− C

Câu 4: Trong khai triển (2x−5y)8, hệ số số hạng chứa x y là: 5

A −22400 B −40000 C −8960 D −4000

Câu 5: Trong khai triển

6

2

 + 

 

x x , hệ số ( )

3

, 0

x x là:

A 60 B 80 C 160 D 240

7

 + 

 

a b , số hạng thứ là:

A 35 .a b 6 −4 B − a b 35 .6 −4 C 35 .a b 4 −5 D − a b 35 .4

Câu 7: Trong khai triển (2a−1)6, tổng ba số hạng đầu là:

A 2a6−6a5+15a 4 B 2a6−15a5+30a 4

C 64a6−192a5+480a 4 D 64a6−192a5+240a 4

Câu 8: Trong khai triển ( )

16

−

x y , tổng hai số hạng cuối là:

A 15

16

− x y +y B 15

16

− x y +y C 16xy15+y 4 D 16xy15+y 8

6

8

 − 

 

 a b , hệ số số hạng chứa

9 a b là:

A − a b 80 B − a b 64 C −1280 a b 9 D 60 a b 6

9

2

8

 + 

 

x x  , số hạng không chứa x là:

A 4308 B 86016 C 84 D 43008

Câu 11: Trong khai triển (2x−1)10, hệ số số hạng chứa x là: 8

A −11520 B 45 C 256 D 11520

Câu 12: Trong khai triển(a−2b)8, hệ số số hạng chứa a b là: 4

A 1120 B 560 C 140 D 70

Câu 13: Trong khai triển(3 −x y)7, số hạng chứa x y là: 4

A −2835x y 4 B 2835x y 4 C 945x y 4 D −945x y 4

Câu 14: Trong khai triển(0,2 + 0,8)5, số hạng thứ tư là:

A 0, 0064 B 0, 4096 C 0, 0512 D 0, 2048

(3)

Trang

A 20 B 800 C 36 D 400

Câu 16: Số hạng khai triển (3 x + 2y)4là:

A C x y42 2 B ( ) ( )

2

6 3x 2y C 6C x y42 2 D 36C x y42 2

Câu 17: Trong khai triển(x−y)11, hệ số số hạng chứa x y 8

A C113 B −C113 C −C115 D C118

Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 f x( )= −(1 )x 10

A −15360 B 15360 C −15363 D 15363

Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 h x( )=x(2 )+ x 9

A 489889 B 489887 C −489888 D 489888

Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 g x( )= +(1 x)7+ −(1 x)8+ +(2 x )9

A 29 B 30 C 31 D 32

Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 f x( )= +(3 )x 10

A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831

Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 h x( )=x(1 )− x 9

A −4608 B 4608 C −4618 D 4618

Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )=(3x2+1)10

A 17010 B 21303 C 20123 D 21313

Câu 24: Xác định hệ số x khai triển sau:8

8

2

( )= −5 

 

f x x

x

A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000

12

3 ( )

2

 

= + 

 

x f x

x

A 297

512 B

29

51 C

27

52 D

97 12

Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )= + +(1 x 2x2 10)

A 37845 B 14131 C 324234 D 131239

Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )=8(1 )+ x 8−9(1 )+ x 9+10(1 10 )+ x 10 A 8.C80.88−C19.98+10.C108.108 B C80.88−C91.98+C108.108

C C80.88−9.C91.98+10.C108.108 D

0 8 8

8 10

8.C −9.C.9 +10.C 10

Câu 28: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 8 g x( )=8(1+x)8+9(1 )+ x 9+10(1 )+ x 10

A 22094 B 139131 C 130282 D 21031

Câu 29: Hệ số đứng trước x25.y khai triển10 ( 3+ )15

x xy là:

A 2080 B 3003 C 2800 D 3200

Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển

18

3 

  



 +

x

x là:

A

18

C B

10 18

C C C188 D

3 18

C

Câu 31: Khai triển(1 x− )12, hệ số đứng trước

x là:

A 330 B – 33 C –72 D –792

Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f x( )=(x−2) (12 x0)

x

(4)

Trang

Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: 17

1

( )=( + ) ( 0)

g x x x

x

A 24310 B 213012 C 12373 D 139412

Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn 8

1

 + 

 

 

n

x

x biết

( )

1

4

+

+ − + = +

n n

C C n

A 495 B 313 C 1303 D 13129

Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức 1−( + 2)

 

n

x x

x với n số

nguyên dương thoả mãn

3

1

2 +

+ =

n n

C n A ( Cnk, Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử)

A − 98 B 98 C − 96 D 96

Câu 36: Trong khai triển ( )

40

2

1

 

= + 

 

f x x

x , tìm hệ số

31 x

A 9880 B 1313 C 14940 D 1147

Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức

18

3

1

 + 

 

x x  số hạng độc lập x

A 9880 B 1313 C 14940 D 48620

Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 4

12

3

 − 

 

 

x x

A 55

9 B

13

2 C

621

113 D

1412 3123

Câu 39: Tính hệ số x y khai triển 25 10 ( 3+ )15

x xy

A 300123 B 121148 C 3003 D 1303

Câu 40: Cho đa thức P x( ) (= +1 x) (+2 1+x)2+ + 20 1( +x)20 có dạng khai triển

( ) 20

0 20

= + + + +

P x a a x a x a x

Hãy tính hệ số a 15

A 400995 B 130414 C 511313 D 412674

Câu 41: Tìm số hạng khai triển ( )

9

3+ số nguyên

A 4536 B 4184 C 414 12 D 1313

Câu 42: Xét khai triển f x( )=(2x+1)20

x

1 Viết số hạng thứ k+1 khai triển

A 20 20

1 20.2

− −

+ = k k k

k

T C x B 20 20

1 10.2

− −

+ = k k k

k

T C x

C Tk+1 =C20k.220 4− k.x20 2− k D Tk+1=C20k.220−k.x20 2− k

2 Số hạng khai triển không chứa x

A 10

20.2

C B 10 10

20.2

A C 10

20.2

C D 10 10

20.2

C

Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: 4 f x( )=(3x2+2x+1)10

(5)

Trang

Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức 7 (2 )− x 2n

, biết n số nguyên dương thỏa

mãn : C21n+1+C23n+1+C25n+1+ + C22nn++11=1024

A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520

Câu 45: Tìm hệ số x khai triển 9 f x( )= +(1 x)9+ +(1 x)10+ + + (1 x)14

A 8089 B 8085 C 3003 D 11312

Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: 5 ( )5 2( )10

1 2− + 3+

x x x x

A 3320 B 2130 C 3210 D 1313

Câu 47: Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức 8 2( )

( )= +1 1− 

f x x x

A 213 B 230 C 238 D 214

Câu 48: Đa thức P x( )= +(1 3x+2x2)10=a0+a x1 + + a x20 20 Tìm a 15 A a15=C C1010 105.35+C C109 96.33+C C108 87.3

B a15=C C1010 105.25+C C109 96.26+C C108 87.27

C a15=C C1010 105.3 25 5+C C109 96.3 23 +C C108 87.27

D a15=C C1010 105.3 25 5+C C109 96.3 23 +C C108 87.3.27

Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( 3−2)n x

x , biết :

1

78

− + − =

n n

C C với x0

A −112640 B 112640 C −112643 D 112643

Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức

2

(x +1) (n x+2)n Tìm n để a3n−3=26n

A n=5 B n=4 C n=3 D n=2

Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton 26

1

 + 

 

 

n

x

x , biết

1 20

2 +1+ +1+ + +1=2 −1 n

n n n

C C C

A 210 B 213 C 414 D 213

Câu 52: Cho n * (1+ )n = 0+ 1 + + n n

x a a x a x Biết tồn số nguyên k (1  −k n 1)

cho 1

2 24

− = = +

k k k

a a a

Tính n=?

A 10 B 11 C 20 D 22

Câu 53: Trong khai triển (1 )10

3+ x thành đa thức 3

2 10

0+ + + + + 10

a a x a x a x a x , tìm hệ số a lớn ( 0k  k 10)

A

10

10 15

2 3003

3 =

a B

10

5 15

2 3003

3 =

a C

10

4 15

2 3003

3 =

a D

10

9 15

2 3003

3 =

a

Câu 54: Giả sử (1 )+ x n =a0+a x a x1 + 2 2+ + a xn n, biết a0+ + +a1 an =729 Tìm n số lớn số a a0, , ,1 a n

A n=6, max ak =a4 =240 B n=6, max ak =a6 =240

C n=4, max ak =a4 =240 D n=4, max ak =a6 =240

Câu 55: Cho khai triển (1 )+ x n =a0+a x1 + + a xn n, n * Tìm số lớn số

0, , ,1 n

a a a , biết hệ số a a0, , ,1 a thỏa mãn hệ thức: n

0 4096

2

+ + + n =

n a a

a

(6)

Trang

DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG =

n k k k n k

a C b

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

0 1 2

(a b+ )n =C an n+an−bCn+an− b Cn + + b Cn nn Ta chọn giá trị a b thích hợp thay vào đẳng thức ,

Một số kết ta thường hay sử dụng: * k = n k−

n n

C C

* Cn0+C1n+ + Cnn =2n

*

0

( 1)

=

− =

n

k k n k

C

*

2

2 2

0 0

1

−

= = =

= =

n n n

k k k

n n n

k k k

C C C

*

0

(1 )

=

= +

n

k k n

n k

C a a

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k )

biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn

Câu 1: Tổng T = Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+ +Cnn bằng:

A T = 2n B T – 1= n C T = 2n + D T = 4n

Câu 2: Tính giá trị tổng S =C60+C16+ + C66 bằng:

A 64 B 48 C 72 D 100

Câu 3: Khai triển (x+y)5rồi thay x y, giá trị thích hợp Tính tổng S= C50+C51+ + C55

A 32 B 64 C 1 D 12

Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 +2C1n+4Cn2+ + 2nCnn =243

A B 11 C 12 D 5

A 32 B 64 C 1 D 12

Câu 6: Khai triển ( 3)5 15

0 15

1+ +x x +x =a +a x+a x + + a x

a) Hãy tính hệ số a 10

A a10=C50.+C54+C C54 53 B a10=C C50 55+C C52 54+C C54 53

C a10=C C50 55+C C52 54−C C54 53 D

0 4

10= 5 − 5 + 5

a C C C C C C

b) Tính tổng T =a0+ + +a1 a 15 S =a0 − + − −a1 a2 a 15

A 131 B 147614 C D 1

Câu 7: Khai triển ( 2)10 20

0 20

1 2+ x+3x =a +a x+a x + + a x

A a4 =C100.24 B a4 =24C104 C a4 =C C100 104 D a4 =C100.24C104

(7)

Trang

A S =1710 B S=1510 C S =1720 D S =710

Câu 8: Tính tổng sau: 1 1 ( 1)

2 2( 1)

−

= − + − + +

+

n n

n n n n n

S C C C C C

n

A

2(n+1) B C D

1 (n+1)

Câu 9: Tính tổng sau: S=C1n3n−1+2Cn23n−2+3Cn33n−3+ + nCnn

A n.4n−1 B C D 4n−1

Câu 10: Tính tổng sau: 1 1

2

= + + + +

+

n

n n n n

S C C C C

n A 1 + + + n n B 1 + − + n n C 1 + − + + n n D 1 + − − + n n

Câu 11: Tính tổng sau: 2 = +2 + +

n

n n n

S C C nC

A 2 2n n−1 B n.2n+1 C 2 2n n+1 D n.2n−1

Câu 12: Tính tổng sau:S3 =2.1.Cn2+3.2Cn3+4.3Cn4+ + n n( −1)Cnn

A n n( −1)2n−2 B n n( +2)2n−2 C n n( −1)2n−3 D n n( −1)2n+2

Câu 13: Tính tổng

2

0 1

+ − − = + + + + n n

n n n

S C C C

n A 1 + − + = + n n S n B 1 1 + + + = − + n n S n C 1 1 + − + = + + n n S n D 1 1 + − + = − + n n S n

2

0 1

+ − − = + + + + n n

n n n

S C C C

n A 1 + − + = + n n S n B + − = + n n S n C + − = + n n S n D 1 + + + = + n n S n

Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C12n+1−2.2C22n+1+3.22C23n+1− + (2n+1)2nC22nn++11 =2005

A n=1001 B n=1002 C n=1114 D n=102

Câu 16: Tính tổng1.3 50 n−1Cnn−1+2.3 51 n−2Cnn−2+ + n.3 5n−1 0Cn0

A n.8n−1 B (n+1).8n−1 C.(n−1).8n D n.8n

Câu 17: Tính tổng S =2.1Cn2+3.2Cn3+4.3Cn4+ + n n( −1)Cnn

A n n( +1)2n−2 B n n( −1)2n−2 C n n( −1)2n D (n−1)2n−2

Câu 18: Tính tổng ( ) ( ) ( )Cn0 2+ C1n 2+ Cn2 2+ + ( )Cnn

A 2n n

C B

2 − n

n

C C 2 2n

n

C D

2 − − n n C

Câu 19: Tính tổng sau: S1 =5nCn0+5 3.n−1 Cnn−1+3 52 n−2Cnn−2+ + 3nCn0

A 28n B 1 8+ n C 8n−1 D 8n

Câu 20: S2 =C20110 +22C20112 + + 22010C20112010

A 2011 + B 211 − C 2011 12 + D 2011 −

Câu 21: Tính tổng = +2 + +

n

n n n

S C C nC

(8)

Trang

PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON

A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT

1 Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có:

0

( ) −

=

+ n =n k n k k

n k

a b C a b

2 Tính chất:

1) Số số hạng khai triển n +

2) Tổng số mũ a b số hạng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = C ank n k− b ( k =0, 1, 2, …, n) k

4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: k = n k−

n n

C C

5)

1

= n =

n n

C C ,

1 −

+

+ =

k k k

n n n

C C C

* Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta sẽ thu công thức đặc biệt Chẳng hạn:

(1+x)n = 1

−

+ + +

n n n

C x C x C  Cn0+Cn1+ + Cnn =2n

(x–1)n = C xn0 n−C x1n n−1+ + − ( 1)nCnn Cn0−Cn1+ + − ( 1)nCnn =0 Từ khai triển ta có kết sau

* Cn0+C1n+ + Cnn =2n

* Cn0−Cn1+Cn2− + − ( 1)nCnn =0

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON

Phương pháp:

( ) ( ) ( )

0

− − − +

= =

+ n =n n k k =n

p q k p q k n k k np pk qk

n n

k k

ax bx C ax bx C a b x

Số hạng chứa x ứng với giá trị m k thỏa: np−pk+qk=m

Từ tìm = −

−

m np k

p q

Vậy hệ số số hạng chứa x là: m C ank n k− bk với giá trị k tìm

Nếu k không nguyên kn khai triển khơng chứa x , hệ số phải tìm m Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x khai triển m

( )=( + p+ q)n

P x a bx cx viết dạng 0+ + + 2

n n

a a x a x Ta làm sau:

* Viết ( ) ( ) ( )

0 −

=

= + p+ q n =n k n k p + q k

n k

P x a bx cx C a bx cx ;

(9)

Trang

* Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm sau:

* Tính hệ số a theo k k n;

* Giải bất phương trình ak−1a với ẩn số k ; k

* Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình

Câu 1: Trong khai triển (2 −a b)5, hệ số số hạng thứ3 bằng:

A − 80 B 80 C − 10 D 10

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có: (2a b− )5 =C50( )2a 5−C51( )2a 4b C+ 52( )2a b3 2+ Do hệ số số hạng thứ

5.8=80

C

Câu 2: Trong khai triển nhị thức (a+2) (n+6, n ) Có tất cả17 số hạng Vậy n bằng:

A 17 B 11 C 10 D 12

Hướng dẫn giải: Chọn C

Trong khai triển (a+2) (n+6, n ) có tất n+7 số hạng Do n+ =7 17 =n 10

Câu 3: Trong khai triển (3x2−y)10, hệ số số hạng là:

A 4

10

3 C B 4

10

3

− C C 5

10

3 C D 5

10

3

− C

Hướng dẫn giải: Chọn D

Trong khai triển (3x2−y)10có tất 11 số hạng nên số hạng số hạng thứ

Vậy hệ số số hạng là− C3 105

Câu 4: Trong khai triển (2x−5y)8, hệ số số hạng chứa x y là: 5

A −22400 B −40000 C −8960 D −4000

Hướng dẫn giải: Chọn A

Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 = −( 1)kC8k.(2 )x 8−k(5 )y k = −( 1)kC8k.28−k5 kx8−k.yk

Yêu cầu tốn xảy k =3 Khi hệ số số hạng chứa x y là: 224005 −

6

2

 + 

 

x x , hệ số ( )

3

, 0

x x là:

A 60 B 80 C 160 D 240

Số hạng tổng quát khai triển

1

6 2

1 − − + =

k k k k k

T C x x

Yêu cầu toán xảy 3

2

− −k k =  =k

Khi hệ số

x là:C63.23=160

7

 + 

 

(10)

Trang 10

A 35 .a b 6 −4 B − a b 35 .6 −4 C 35 .a b 4 −5 D − a b 35 .4

Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C a7k 14 2− k.b−k

Vậy số hạng thứ 74 .6 35 .6

− −

= =

T C a b a b

Câu 7: Trong khai triển (2a−1)6, tổng ba số hạng đầu là:

A 2a6−6a5+15a 4 B 2a6−15a5+30a 4

C 64a6−192a5+480a 4 D 64a6−192a5+240a 4 Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: (2a−1)6 =C60.26a6−C61.25a5+C62.24a4− Vậy tổng số hạng đầu 64a6−192a5+240a 4

Câu 8: Trong khai triển ( )

16

−

x y , tổng hai số hạng cuối là:

A −16x y15+y8 B −16x y15+y4 C 16xy15+y 4 D 16xy15+y 8 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: ( ) ( ) ( )

16 15 16

0 16 15 15 16

16 16 16 16

− = − + − +

x y C x C x y C x y C y

6

8

 − 

 

 a b , hệ số số hạng chứa

9 a b là:

A − a b 80 B − a b 64 C −1280 a b 9 D 60 a b 6 Hướng dẫn giải:

Chọn C

Số hạng tổng quát khai triển ( ) 12

1 6.8

− − −

+ = −

k k k k k k

k

T C a b

Yêu cầu tốn xảy k =3 Khi hệ số số hạng chứa

a b là:−1280 a b 9

9

2

8

 + 

 

x x  , số hạng không chứa x là:

A 4308 B 86016 C 84 D 43008

Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C x9k 9−k8 kx−2k

Yêu cầu toán xảy 9− −k 2k=  =0 k Khi số hạng không chứa x là:C93.83 =43008

Câu 11: Trong khai triển (2x−1)10, hệ số số hạng chứa x là: 8

A −11520 B 45 C 256 D 11520

Số hạng tổng quát khai triển 10.210 10 ( )1

− −

+ = −

k

k k k

k

T C x

Yêu cầu toán xảy 10− =  =k k Khi hệ số số hạng chứa

x là:C102.28 =11520

(11)

Trang 11

A 1120 B 560 C 140 D 70

Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C a8k 8−k.( )−2 k bk

Yêu cầu toán xảy k =4 Khi hệ số số hạng chứa 4

a b là: 4

8.2 =1120

C

Câu 13: Trong khai triển(3 −x y)7, số hạng chứa x y là: 4

A −2835x y 4 B 2835x y 4 C 945x y 4 D −945x y 4 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Số hạng tổng quát khai triển 7 ( )

1 7.3

− −

+ = −

k

k k k k

k

T C x y

Yêu cầu toán xảy k =3 Khi hệ số số hạng chứa

x y là:−C73.3 4x y4 = −2835 .x y4

Câu 14: Trong khai triển(0,2 + 0,8)5, số hạng thứ tư là:

A 0, 0064 B 0, 4096 C 0, 0512 D 0, 2048

Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C5k.(0, 2)5−k.(0,8)k

Vậy số hạng thứ tư T4 =C53.(0, 2) (0,8)2 =0, 2028

Câu 15: Hệ số x y khai triển 3 (1+x) (6 1+y)6là:

A 20 B 800 C 36 D 400

Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C x6k .C k 6m ym

Yêu cầu toán xảy k = =m Khi hệ số số hạng chứa 3

x y là:C C63 63 =400

Câu 16: Số hạng khai triển (3 x + 2y)4là:

A C x y42 2 B ( ) ( )

2

6 3x 2y C 6C x y42 2 D 36C x y42 2

Số hạng khai triển số hạng thứ ba: C42( ) ( )3x 2y =6 3( ) ( )x 2y

Câu 17: Trong khai triển(x−y)11, hệ số số hạng chứa x y 8

A C113 B

3 11

C

− C −C115 D

8 11

C

Số hạng tổng quát khai triển 11 ( )

1 11 −

+ = −

k

k k k

k

T C x y

Yêu cầu toán xảy k =3 Khi hệ số số hạng chứa

x y là:−C113

Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 f x( )= −(1 )x 10

A −15360 B 15360 C −15363 D 15363

(12)

Trang 12

Ta có

10 10

10

0

( ) − ( ) ( 2)

= =

= k k − k = k − k k

n

k k

f x C x C x

Số hạng chứa x ứng với giá trị 7 k =7 Vậy hệ số x là: 7 C107( 2)− = −15360

Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 h x( )=x(2 )+ x 9

A 489889 B 489887 C −489888 D 489888

Ta có

9

9 9

9

0

(2 ) − (3 ) −

= =

+ = k k k = k k k k

k k

x C x C x

9

( ) − +

=

 = k k k k

k

h x C x

Số hạng chứa x ứng với giá trị 7 k thỏa k+ =  =1 k Vậy hệ số chứa x là: 7 C962 33 =489888

Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 g x( )= +(1 x)7+ −(1 x)8+ +(2 x )9

A 29 B 30 C 31 D 32

Hệ số x khai triển 7

7

(1 )

=

+ = k k

k

x C x : C77 =1

8

(1 ) ( 1)

=

− = k − k k

k

x C x : C87( 1)− = −8

9

(1 )

=

+ = k k

k

x C x : C79 =36

Vậy hệ số chứa x khai triển ( )7 g x thành đa thức là: 29 Chú ý:

* Với a0 ta có: a−n = 1n

a với n

* Với a0 ta có: =

m

n am a với ,n m n ;n1

Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 f x( )= +(3 )x 10

A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831

Ta có

10 10

10

0

( ) − (2 ) − ( 2)

= =

= k k k = k k − k k

n

k k

f x C x C x

Số hạng chứa x ứng với giá trị 8 k =8 Vậy hệ số x là: 8 8

10.3 ( 2)− =103680

C

Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 h x( )=x(1 )− x 9

A −4608 B 4608 C −4618 D 4618

Ta có

9

0

(1 ) 1− ( ) ( 2)

= =

− = k k − k = k − k k

k k

(13)

Trang 13

1

0

( ) ( 2) +

=

 = k − k k

k

h x C x

Số hạng chứa x ứng với giá trị 8 k thỏa k+ =  =1 k Vậy hệ số chứa x là: 8 C97( 2)− = −4608

Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )=(3x2+1)10

A 17010 B 21303 C 20123 D 21313

Ta có:

10

2 10

( )

=

= k k k

k

f x C x , số hạng chứa x ứng với 8 k=4 nên hệ số x là: 8 4

10.3 =17010

C

8

2

( )= −5 

 

f x x

x

A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000

Ta có:

8

( ) 2− ( 5) −

=

= k k − k k

k

f x C x , số hạng chứa x ứng với 8 k=4nên hệ số x là: 8

4 4

8.2 ( 5)− =700000

C

12

3 ( )

2

 

= + 

 

x f x

x

A 297

512 B

29

51 C

27

52 D

97 12

Ta có:

12

12 12

12

( ) − − −

=

= k k k k

k

f x C x , số hạng chứa x ứng với 8 k =10nên hệ số x là: 8

10 10 12

297

512

− =

C

Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )= + +(1 x 2x2 10)

A 37845 B 14131 C 324234 D 131239

Ta có:

10 10

2 10 10 20

10 10

0 0

( ) (2 ) − (1 ) − − +

= = =

= k k + k =k k j k k j

k

k k j

f x C x x C C x

Số hạng chứa x ứng với cặp ( , )8 k j thỏa: 10

2 12

   

 = − 

j k

Nên hệ số x là: 8

6 10

10 6.2 + 10 72 + 10 82 + 10 92+ 10 10 =37845

C C C C C C C C C C

Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )=8(1 )+ x 8−9(1 )+ x 9+10(1 10 )+ x 10 A 8.C80.88−C19.98+10.C108.108 B C80.88−C91.98+C108.108

C C80.88−9.C91.98+10.C108.108 D

0 8 8

8 10

8.C −9.C.9 +10.C 10

(14)

Trang 14

Ta có:

8

8 8

8

(1 ) 8− −

=

+ = k k k

k

x C x

9

9 9

9

(1 ) − −

=

+ = k k k

k

x C x

10

10 10 10

10

(1 10 ) 10 − −

=

+ = k k k

k

x C x

Nên hệ số chứa x là: 8 8 8

8 10

8.C −9.C.9 +10.C 10

Câu 28: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 8 g x( )=8(1+x)8+9(1 )+ x 9+10(1 )+ x 10

A 22094 B 139131 C 130282 D 21031

Ta có: ( )

0

1

=

+ n =n k k k

n i

ax C a x nên ta suy hệ số x khai triển (1k +ax )n C ank k Do đó:

Hệ số x khai triển 8 (1+ x : )8 C88

Hệ số x khai triển 8 (1 )+ x : 9 C98.28

Hệ số x khai triển 8 (1 )+ x :10 C108.38

Vậy hệ số chứa x khai triển ( )8 g x thành đa thức là:8C88+9.2 8C98+10.3 8C108 =22094

Câu 29: Hệ số đứng trước x25.y khai triển10 (x3+ xy)15 là:

A 2080 B 3003 C 2800 D 3200

Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C x15k 45 3−k .x yk k

Yêu cầu toán xảy k =10

Vậy hệ số đứng trước x25.y khai triển10 (x3+ xy là:)15 10

15 3003

C =

Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển

18

3 

  



 +

x

x là:

A C189 B

10 18

C C C188 D

3 18

C

Số hạng tổng quát khai triển 54 3

1 18

k k k

k

T+ =C x − x−

Yêu cầu toán xảy 54 3− k−3k=  =0 k Khi số hạng khơng chứa là:

18

C

Câu 31: Khai triển(1 x− )12, hệ số đứng trước

x là:

A 330 B – 33 C –72 D –792

Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C12k.( )−1 k xk

Yêu cầu tốn xảy k =7 Khi hệ số số hạng chứa

x là:−C127 = −792

Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f x( )=(x−2) (12 x0)

(15)

Trang 15

A 59136 B 213012 C 12373 D 139412

Ta có:

12

1 12 12

12

( ) ( − ) − ( − )

=

= − = k k − k

k

f x x x C x x

12

12 12

0

( 2) −

=

−

 k k k

k

C x

Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 2− k =0

 = k số hạng không chứa x là: C126.26 =59136

Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: 17

1

( )=( + ) ( 0)

g x x x

x

A 24310 B 213012 C 12373 D 139412

Vì

2

3

1

;

−

=x x =x

x

nên ta có

17

2 17 136

17 17

3 12

17 17

0

( )

− −

−

= =

   

=     =

 

 k k k  k k

k k

f x C x x C x

Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17k−136=  =0 k Vậy hệ số không chứa x là: C178 =24310

Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn 8

1

 + 

 

 

n

x

x biết

( )

1

4

+

+ − + = +

n n

C C n

A 495 B 313 C 1303 D 13129

Ta có: ( ) ( 1) ( )

4 3 3

+ +

+ − + = +  + + + − + = +

n n n n n

C C n C C C n

( ) ( )( ) ( )

1

2

7

2!

+ +

 n = +  = +

n

n n

C n n

2 7.2! 14 12

 + =n =  =n

Khi đó: ( )

12

5 60 11

12 12

5 2

12 12

3

0

1

− −

−

= =

 

 +  = =

 

     

k

n k

k

k k

x C x x C x

x

Số hạng chứa x ứng với 8 k thỏa: 60 11

2

− k =  =

k

Do hệ số số hạng chứa x là:

( )

4 12

12!

495 4! 12 !

= =

−

C

Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức 1−( + 2)

 

n

x x

x với n số

nguyên dương thoả mãn

3

1

2 +

+ =

n n

C n A ( Cnk, Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử)

A − 98 B 98 C − 96 D 96

(16)

Trang 16

Ta có: ( )( )

( )

3

1

3

2 1 2

2

6

+

  

+ =  − −

+ = +



n n

n

C n A n n n

n n n

2

3

8

9

 

  =

− + =



n

n n

Theo nhị thức Newton ta có:

( 2) ( ) ( )

8 8

1 1

1

 − +  = − +  = − + +

   

x x x  x x x  C x C x x

( )2 ( )3 ( )4 ( )8

2 8

8 8

1

1 1

+C +x −C +x +C +x − +C x +x

x x

Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có hai biểu thức

( )3

8

1

−C +x

x ( )

4

8 1+

C x

Trong có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: −C C83 32 C C84 40

Do số hạng khơng phụ thuộc vào x là:

8 98

−C C +C C = −

Câu 36: Trong khai triển ( )

40

2

1

 

= + 

 

f x x

x , tìm hệ số

31 x

A 9880 B 1313 C 14940 D 1147

Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức

18

3

1

 + 

 

x x  số hạng độc lập x

A 9880 B 1313 C 14940 D 48620

9

18=48620

C

Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 4

12

3

 − 

 

 

x x

A 55

9 B

13

2 C

621

113 D

1412 3123

4 12

1 55

( 3)

3 − C =

Câu 39: Tính hệ số x y khai triển 25 10 ( 3+ )15

x xy

A 300123 B 121148 C 3003 D 1303

10

15 =3003

C

Câu 40: Cho đa thức P x( ) (= +1 x) (+2 1+x)2+ + 20 1( +x)20 có dạng khai triển

( ) 20

0 20

= + + + +

P x a a x a x a x

(17)

Trang 17

A 400995 B 130414 C 511313 D 412674

20 15 15

15

400995

=

=  k =

k

a kC

Câu 41: Tìm số hạng khai triển ( )

9

3+ số nguyên

A 4536 B 4184 C 414 12 D 1313

Ta có ( ) ( ) ( )

9

3

9

3 −

=

+ = k k k

k

C

Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa:

2

9 0,

0, ,9 = 

 − =  = =

  = 

k m

k n k k

k

Các số hạng số nguyên: ( )

9

9 =8

C ( ) ( )

6

9

C

Câu 42: Xét khai triển f x( )=(2x+1)20

x

1 Viết số hạng thứ k+1 khai triển

A Tk+1 =C20k.220−k.x20−k B Tk+1 =C10k.220−k.x20 2− k

C 20 20

1 20.2

− −

+ = k k k

k

T C x D 20 20

1 20.2

− −

+ = k k k

k

T C x

2 Số hạng khai triển không chứa x

A C120.210 B A2010.210 C C2010.24 D C1020.210

Hướng dẫn giải:

1 Ta có:Tk+1 =C20k (2 )x 20−k 1k =C20k.220−k.x20 2− k x

2 Số hạng không chứa x ứng với k: 20 2− k=  =0 k 10 Số hạng không chứa x: C1020.210

Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: 4 f x( )=(3x2+2x+1)10

A 8089 B 8085 C 1303 D 11312

( ) ( 2)10 10 ( 2) 10

0

1 3

=

= + + = k + k

k

f x x x C x x

10 10

2

10 10

0 0

(2 ) −.(3 ) 3− +

= = = =

= k k i k i i = k k i k i i k i

k k

k i k i

C C x x C C x

với 0  i k 10

Do k+ =i với trường hợp i=0,k =4 i=1,k =3 i= =k

Vậy hệ số chứa x : 4 4 2

10 10 10

2 C C +2 3C C +3 C C =8085

(18)

Trang 18

A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520

Ta có:

2

0 2

2

0

2

2 1024

+

+ +

= +

+ = +

+ +

= =

 =

  = =  =



 =





 

n

k n

n n

k i n

n

n n

i

i i

n n

i i

C

C n

C C

Suy

10

2 10

10

(2 ) −.( 3)

=

− n = k k − k k

k

x C x

Hệ số x 7 7

10.2 ( 3)− = −2099520

C

Câu 45: Tìm hệ số x khai triển 9 f x( )= +(1 x)9+ +(1 x)10+ + + (1 x)14

A 8089 B 8085 C 3003 D 11312

Hệ số x : 9 C99+C109 +C119 +C129 +C139 +C149 =3003

Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: 5 x(1 2− x)5+x2(1 3+ x)10

A 3320 B 2130 C 3210 D 1313

Đặt ( )5 2( )10

( )= 2− + 3+

f x x x x x

Ta có : ( ) ( )

5 10

2

5 10

0

( )

= =

=  k − k k+  i i

k i

f x x C x x C x

( )

5 10

1

5 10

0

2 + +

= =

= k − k k + i i i

k i

C x C x

Vậy hệ số x khai triển đa thức ( )5 f x ứng với k=4 i=3 là:

( )4

4 3

5 −2 + 10.3 =3320

C C

Câu 47: Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức 8 f x( )= +1 x2(1−x)8

A 213 B 230 C 238 D 214

Cách

( ) ( ) ( )2 ( )3

2 2

8 8

1 1 1

 + −  = + − + − + −

 x x  C C x x C x x C x x

+C x84 8(1−x)4+C x85 10(1−x)5 +C x88 16(1−x)8

Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x chỉ có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: 8 C C83 32,C C84 40

Vậy hệ số cuả x khai triển đa thức 8 1+x2(1−x)8 là:

3

8 = + =238

a C C C C

Cách 2: Ta có:

( ) 8 ( ) ( )

2 2

8

0 0

1 1 +

= = =

 + −  = − = −

    

n

n k

n n n k n k

n

n n k

x x C x x C C x

với 0  k n

(19)

Trang 19

Thử trực tiếp ta k=0;n=4 k=2,n=3 Vậy hệ số x 8 C C83 32+C C84 40 =238

Câu 48: Đa thức P x( )= +(1 3x+2x2)10=a0+a x1 + + a x20 20 Tìm a 15

A 10 5

15= 10 10.3 + 10 9.3 + 10 8.3

a C C C C C C

B a15=C C1010 105.25+C C109 96.26+C C108 87.27

C 10 5 6 7

15= 10 10.3 + 10 9.3 + 10 8.2

a C C C C C C

D a15=C C1010 105.3 25 5+C C109 96.3 23 +C C108 87.3.27

Ta có: ( ) ( ) ( )

10 10

2

10

1 3

=

= + + = k + k

k

P x x x C x x

10 10

2

10 10

0 0

(3 ) −.(2 ) 2− +

= = = =

= k k i k i i = k k i k i i k i

k k

k i k i

C C x x C C x

với 0  i k 10 Do k+ =i 15 với trường hợp

10,

= =

k i k =9,i=6 k=8,i=7 Vậy a15=C C1010 105.3 25 5+C C109 96.3 23 6+C C108 87.3.27

Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau (x3−2)n

x , biết

1

78

− + − =

n n

C C với

0 

x

A −112640 B 112640 C −112643 D 112643

Ta có: 78 ! ! 78

( 1)!1! ( 2)!2!

− + − =  + =

− −

n n

C C

n n

2

( 1)

78 156 12

2 −

 +n n n = n + −n =  =n

Khi đó:

12 12

3 36

12

2

( ) ( 2) −

=

 

= −  = −

  

k k k

k

f x x C x

x

Số hạng không chứa x ứng với k: 36 4− k=  =0 k Số hạng không chứa x là: 9

12

( 2)− C = −112640

Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức

2

(x +1) (n x+2)n Tìm n để a3n−3=26n

A n=5 B n=4 C n=3 D n=2

Cách 1:Ta có :

( )

2 2 2

0 1 2

1

2 2

− −

+ = + + + +

n n n n n

n n n n

n n n n n n

n n n n

x C x C x C x C

Dễ dàng kiểm tra n=1, n=2 không thoả mãn điều kiện tốn Với n3 dựa vào khai triển ta chỉ phân tích

3 3 2

− = − = − −

n n n n n

x x x x x

Do hệ số x3n−3

(20)

Trang 20

( ) ( )

1

+ n + n

x x : 3 1

3n−3 =2 n n +2 n n

a C C C C

Suy ( )

2

3

2 7

26 26

3

−

− +

=  =  = −

n

n n n

a n n n hoặcn=5

Vậy n=5 giá trị cần tìm

Cách 2:

Ta có: ( 2+1) ( +2) = 1+ 12   1+2

   

n n

n n n

x x x

x x

2

0 0

1

2

− −

= = = =

 

   

=     =  

     

n in k n n

n i k n i i k k k

n n n n

i k i k

x C C x C x C x

x x

Trong khai triển trên, luỹ thừa x 3n−3

2 3

− − = −  + =i k i k

Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i=0,k=3

1,

= =

i k (vì i k nguyên) ,

Hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức (x2+1)n(x+2)n

Là : 3 1

3n−3 = n n.2 + n n.2

a C C C C

Do ( )

2

3

2 7

26 26

3

−

− +

=  =  = −

n

n n n

a n n n hoặcn=5

Vậy n=5 giá trị cần tìm

Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton 26  14 + 7

 

n

x

x , biết

1 20

2 +1+ +1+ + +1=2 −1 n

n n n

C C C

A 210 B 213 C 414 D 213

Do C2kn+1=C22nn++ −11 k  =k 0,1, 2, , 2n+1

0 1 2

2 2

+ + +

+ + + + + +

 + + + n = n + n + + n

n n n n n n

C C C C C C

Mặt khác: C21n+1+C22n+1+ + C22nn++11=22n+1

0 2

2 2

2( + + + + ) +

 + + + + n = n

n n n n

C C C C

1 2

2 +1 +1 +1 2 +1

 + + + n = n − = n−

n n n n

C C C C

2 20

2 10

 n − = −  =

n

Khi đó: ( )

10 10

10

7 10

10

0

1

( )

− − −

=

 +  = + =

 

  

k k k

k

x x x C x x

x

10

11 40 10

−

=

= k k

k

C x

Hệ số chứa x ứng với giá trị :26 k 11k−40=26 =k Vậy hệ số chứa x là: 26 C106 =210

Câu 52: Cho n * (1+ ) = 0+ + +

n n

n

x a a x a x Biết tồn số nguyên k (1  −k n 1)

cho 1

2 24

− = = +

k k k

a a a

Tính n=?

A 10 B 11 C 20 D 22

(21)

Trang 21

Ta có: ak =Cnk, suy hệ

1 ! !

2 ( 1)!( 1)! ( )! !

1 ! !

9 ( )! ! 24 ( 1)!( 1)!

 =

 − − + −

 

 =

 − − − +



n n

k n k n k k

n n

n k k n k k

9 2( 1) 11

10,

24( 1) 9( ) 33 24

= − + − = −

 

   = =

+ = − − =

 

k n k n k

n k

k n k n k

Câu 53: Trong khai triển (1 )10

3+ x thành đa thức 3

2 10

0+ + + + + 10

a a x a x a x a x , tìm hệ số a lớn ( 0k  k 10)

A

10

10 15

2 3003

3 =

a B

10

5 15

2 3003

3 =

a C

10

4 15

2 3003

3 =

a D

10

9 15

2 3003

3 =

a Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:

15 15 15 15

15 15 15

0

1 2

3 3 3

−

= =

 +  =     =

     

       

k k k

k k

x C x C x

Hệ số x khai triển k 15 15

1

= k k

k

a C

Ta có: ak−1ak C15k−12k−1C15k2k C15k−12C15k

32

10

 k  k Từ đó: a0   a1 a 10

Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:

1 10 11 15

32

−       

k k

a a k a a a

Vậy hệ số lớn phải tìm là:

10 10

10

10 15 15 15

2

3003

3

= =

a C

Câu 54: Giả sử (1 )+ = 0+ + 2+ +

n n

n

x a a x a x a x , biết a0+ + +a1 an =729 Tìm n số lớn số a a0, , ,1 a n

A n=6, max ak =a4 =240 B n=6, max ak =a6 =240

C n=4, max ak =a4 =240 D n=4, max ak =a6 =240

Ta có: a0+ + +a1 an = +(1 2.1)n =3n =729 =n

62

= k k

k

a C suy max ak =a4 =240

Câu 55: Cho khai triển (1 )+ x n =a0+a x1 + + a xn n, n * Tìm số lớn số

0, , ,1 n

a a a , biết hệ số a a0, , ,1 a thỏa mãn hệ thức: n

0 4096

2

+ + + n =

n a a

a

A 126720 B 213013 C 130272 D 130127

Đặt f x( )= +(1 )x n =a0+a x1 + + a xn n

1

2 2

 

 + + + =  =

 

n n

n

a a

(22)

Trang 22

Với k0,1, 2, ,11 ta có: 1

12 12

2 , + + +

= k k = k k

k k

a C a C

12 1

1 12

2 23

1 1

2 + + 2(12 )

+

       

−

k k k

a C k

k

a C k

Mà k  Z k Do a0   a1 a 8

Tương tự: 8 9 12

1

+

      

k k

a

k a a a

a

Số lớn số a a0, , ,1 a là12 8

8 =2 12=126720

(23)

Trang 23

DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG =

n k k k n k

a C b

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

0 1 2

(a b+ )n =C an n+an−bCn+an−b Cn + + b Cn nn Ta chọn giá trị a b thích hợp thay vào đẳng thức ,

Một số kết ta thường hay sử dụng: * k = n k−

n n

C C

* Cn0+Cn1+ + Cnn =2n

*

0

( 1)

=

− =

n

k k n k

C

*

2

2 2

0 0

1

−

= = =

= =

n n n

k k k

n n n

k k k

C C C

*

0

(1 )

=

= +

n

k k n

n k

C a a

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k )

biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn

Câu 1: Tổng T = Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+ +Cnn bằng:

A T = 2n B T – 1= n C T = 2n + D T = 4n

Tính chất khai triển nhị thức Niu – Tơn

Câu 2: Tính giá trị tổng S =C60+C16+ + C66 bằng:

A 64 B 48 C 72 D 100

0 6

6 6

C +C +

S = +C =2 =64

A 32 B 64 C 1 D 12

Với x=1,y=1 ta có S=C +C + +C50 15 55 = +(1 1)5 =32

Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 +2C1n+4Cn2+ + 2nCnn =243

A B 11 C 12 D 5

Xét khai triển: (1+x)n =Cn0+xCn1+x C2 n2+ + x Cn nn

Cho x=2 ta có: Cn0+2Cn1+4Cn2+ + 2nCnn =3n Do ta suy 3n =243 3=  =5 n

(24)

Trang 24 Hướng dẫn giải: Chọn A

Với x=1,y=1 ta có S=C +C + +C50 15 55 = +(1 1)5 =32

Câu 6: Khai triển ( 3)5 15

0 15

1+ +x x +x =a +a x+a x + + a x

A a10=C50.+C54+C C54 53 B a10=C C50 55+C C52 54+C C54 53

C a10=C C50 55+C C52 54−C C54 53 D a10=C C50 55−C C52 54+C C54 53

b) Tính tổng T =a0+ + +a1 a 15 S =a0 − + − −a1 a2 a 15

A 131 B 147614 C D 1

Đặt 5

( )= + +(1 + ) = +(1 ) (1+ )

f x x x x x x

a) Do hệ số 10

x bằng: a10=C C50 55+C C52 54+C C54 53

b) T = f(1)=45; S= f( 1)− =0

Câu 7: Khai triển (1 2+ x+3x2)10=a0+a x1 +a x2 2+ + a x20 20

A a4 =C100.24 B a4 =24C104 C a4 =C C100 104 D a4 =C100.24C104

b) Tính tổng 20

1 2 20

= + + + +

S a a a a

A S =1710 B S=1510 C S =1720 D S =710

Đặt

10

2 10 10

10

( ) (1 ) (1 ) −

=

= + + = k k k + k

k

f x x x C x x

10 10

2 10 10

10 10

0

3

−

− − − − −

= =

= k k kk i k i k i

k

k i

C x C x

10 10

10 10 10 10

0

3

−

− − + − −

= =

=k k i k k i k i

k k i

C C x

a) Ta có: a4 =C100.24C104 +

b) Ta có S = f(2) 17= 10

Câu 8: Tính tổng sau: 1 1 ( 1)

2 2( 1)

−

= − + − + +

+

n n

n n n n n

S C C C C C

n

A

2(n+1) B C D

1 (n+1)

Ta có: 1 1 ( 1)

2

 − 

=  − + − + 

+

 

n n

n n n n

S C C C C

n

Vì 11

( 1) ( 1)

1

+ +

− −

=

+ +

k k

n n

C C

k n nên:

1

( 1)

2( 1)

+ + =

= −

+ 

n

k k n k

S C

n

1

0

1

0

1

( 1)

2( 1) 2( 1)

+

+ +

=

−  

=  − − =

+   +

n

k k

n n

k

C C

(25)

Trang 25

Câu 9: Tính tổng sau: S=C1n3n−1+2Cn23n−2+3Cn33n−3+ + nCnn

A n.4n−1 B C D 4n−1

Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: 1 3 =   =    

n k

n k

S kC

Vì

1 1 3 − −   =           k k k k n n

kC n C  k 1nên

1

3

3 − − − − − = =     =   =      

n k n k

n k n k

n n

k k

S n C n C (11 1)

3

− − −

= n + n = n

n n

Câu 10: Tính tổng sau: 1 1

2

= + + + +

+

n

n n n n

S C C C C

n A 1 + + + n n B 1 + − + n n C 1 + − + + n n D 1 + − − + n n Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:

1 ! ( 1)!

1 !( )! ( 1)![( 1) ( 1))!

+ = = + + − + + + − + k n n n C

k k k n k n k n k

11

1 + + = + k n C

n (*)

1

1 1

0

1

1 1

+ + + + + + = = −    = =  − = +  +   + n n n k k

n n n

k k

S C C C

n n n

Câu 11: Tính tổng sau: = 1+2 2+ + n

n n n

S C C nC

A 2 2n n−1 B n.2n+1 C 2 2n n+1 D n.2n−1

Ta có: ! !

!( )! ( 1)![( 1) ( 1)]!

= = − − − − − k n n n kC k

k n k k n k

( 1)! 11

( 1)![( 1) ( 1)]!

− − − = = − − − − k n n n nC

k n k ,  k

1

2 1

1 − − − − − = =

 =n k = n k = n

n n

k k

S nC n C n

Câu 12: Tính tổng sau: =2.1 2+3.2 3+4.3 4+ + ( −1) n

n n n n

S C C C n n C

A n n( −1)2n−2 B n n( +2)2n−2 C n n( −1)2n−3 D n n( −1)2n+2

Ta có ( 1) ! ( 1) 22

( 2)!( )!

− − − = = − − − k k n n n

k k C n n C

k n k

2

3

2

( 1) −− ( 1)2 −

=

 = − n k = − n

n k

S n n C n n

2

0 1

+ − − = + + + + n n

n n n

S C C C

(26)

Trang 26 A 1 + − + = + n n S n B 1 1 + + + = − + n n S n C 1 1 + − + = + + n n S n D 1 1 + − + = − + n n S n Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có S = −S1 S , 2

2

0

1

3 3

2

+

= + + + +

+

n n

n n n n

S C C C C

n

1

2

1 1

2

= + + +

+

n

n n n

S C C C

n Ta có 2 1 + − = − + n S n

Tính S1=?

Ta có:

1

3 !

3

1 ( 1)!( )!

+ + = + + − k k k n n C

k k n k

1

3 ( 1)!

1 ( 1)![( 1) ( 1)]!

+ +

=

+ + + − +

k

n

n k n k

1 1 + + + = + k k n C n

1

1 + + + =  = − +  n k k n n k

S C C

n 0 1 + + =   =  − − +   n k k

n n n

k

C C C

n + − = − + n n Vậy 1 1 + − + = − + n n S n

2

0 1

+ − − = + + + + n n

n n n

S C C C

n A 1 + − + = + n n S n B + − = + n n S n C + − = + n n S n D 1 + + + = + n n S n Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: S = −S1 S 2

Trong

1

0

2

;

1 1

+ +

= =

−

= = = −

+ + +

n k n k n

k n

n

k k

C

S C S

k k n

Mà 1 1 2 1 + + + + = + + k k k k n n C C k n 1 1 + −  = − + n S n Suy ra: 1 + − + = + n n S n

Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C12n+1−2.2C22n+1+3.22C23n+1− + (2n+1)2nC22nn++11 =2005

A n=1001 B n=1002 C n=1114 D n=102

Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt 1 1

( 1)

+

− −

+ =

=n − k k k

n k

S k C

Ta có: ( 1)− k−1 .2k k−1C2kn+1== −( 1)k−1.(2n+1).2k−1C2kn−1

Nên S=(2n+1)(C20n −2C21n+22C22n− + 22nC22nn)=2n+1 Vậy 2n+ =1 2005 =n 1002

(27)

Trang 27

A n.8n−1 B (n+1).8n−1

C.(n−1).8n D n.8n

Ta có:

1

.3 5− − −

=

=n k n k n k

n k

VT k C

Mà k.3 5k−1 n k− Cnn k− =n.3 5k−1 n k−.Cnk−−11

Suy ra: (3 50 01 51 1 51 11)

− − − −

− − −

= n + n + + n n

n n n

VT n C C C

=n(5 3)+ n−1=n.8n−1

Câu 17: Tính tổng S =2.1Cn2+3.2Cn3+4.3Cn4+ + n n( −1)Cnn

A n n( +1)2n−2 B n n( −1)2n−2 C n n( −1)2n D (n−1)2n−2

Ta có:

2

( 1)

=

=n − k

n k

S k k C

Mà k k( −1)Cnk =n n( −1)Cnk−−22

Suy 2

2 2

( 1)( − − − −− ) ( 1)2 −

= − + + + + n = − n

n n n n

S n n C C C C n n

Câu 18: Tính tổng ( ) ( ) ( )0 2 2 ( )2

+ + + + n

n n n n

C C C C

A C2nn B C2nn−1 C 2C2nn D C2nn−−11

Ta có:(x+1) (n 1+x) (n = x+1)2n Vế trái hệ thức là:

( 1 )( )

−

+ + + + + +

n n n n n

n n n n n n

C x C x C C C x C x

Và ta thấy hệ số x vế trái n

( ) ( ) ( )0 1 2 ( )2

+ + + + n

n n n n

C C C C

Còn hệ số x vế phải n (x+1)2n C2nn

Do ( ) ( ) ( )0 2 2 ( )2

+ + + + n = n

n n n n n

C C C C C

Câu 19: Tính tổng sau: S1 =5nCn0+5 3.n−1 Cnn−1+3 52 n−2Cnn−2+ + 3nCn0

A 28n B 1 8+ n C 8n−1 D 8n

Ta có: S1= +(5 3)n =8n

Câu 20: S2 =C20110 +22C20112 + + 22010C20112010

A 2011

3

2 +

B 211

3

2 −

C 2011

3 12

2 +

D 2011

3

2 −

Xét khai triển:

2011 2 2010 2010 2011 2011

2011 2011 2011 2011 2011

(1+x) =C +xC +x C + + x C +x C

Cho x=2 ta có được:

2011 2 2010 2010 2011 2011

2011 2011 2011 2011 2011

(28)

Trang 28

Cho x= −2 ta có được:

0 2 2010 2010 2011 2011

2011 2011 2011 2011 2011

1 2 2

− =C − C + C − + C − C (2)

Lấy (1) + (2) ta có:

( 2 2010 2010) 2011

2011 2011 2011

2 C +2 C + + C =3 −1

Suy ra:

2011

0 2 2010 2010

2 2011 2011 2011

3

2

2 −

= + + + =

S C C C

Câu 21: Tính tổng = +2 + +

n

n n n

S C C nC

A 4 2n n−1 B n.2n−1 C 3 2n n−1 D 2 2n n−1

Ta có: ! !

!( )! ( 1)![( 1) ( 1)]!

= =

− − − − −

k n

n n

kC k

k n k k n k

1

( 1)!

( 1)![( 1) ( 1)]!

− −

−

= =

− − − −

k n n

n nC

k n k ,  k

1

3 1

1

.2

−

− −

= =

 =n k = n k = n

n n

k k