Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và.. biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn[r]
(1)Trang
PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT
1 Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có:
0
( ) −
=
+ n =n k n k k
n k
a b C a b
2 Tính chất:
1) Số số hạng khai triển n +
2) Tổng số mũ a b số hạng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = C ank n k− bk ( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: k = n k−
n n
C C
5) Cn0 =Cnn =1, Cnk−1+Cnk =Cnk+1
* Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta sẽ thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn:
(1+x)n = C xn0 n+C x1n n−1+ + Cnn Cn0+Cn1+ + Cnn =2n
(x–1)n = C xn0 n−C xn1 n−1+ + − ( 1)nCnn
0
( 1)
− + + − n n =
n n n
C C C
Từ khai triển ta có kết sau * Cn0+C1n+ + Cnn =2n
*
( 1)
− + − + − n n =
n n n n
C C C C
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
Phương pháp:
( ) ( ) ( )
0
− − − +
= =
+ n =n n k k =n
p q k p q k n k k np pk qk
n n
k k
ax bx C ax bx C a b x
Số hạng chứa x ứng với giá trị m k thỏa: np−pk+qk=m
Từ tìm = −
−
m np k
p q
Vậy hệ số số hạng chứa x là: m C ank n k− bk với giá trị k tìm
Nếu k khơng ngun k n khai triển không chứa x , hệ số phải tìm m Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x khai triển m
( )=( + p+ q)n
P x a bx cx viết dạng 0+ + + 2
n n
a a x a x Ta làm sau:
* Viết ( ) ( ) ( )
0 −
=
= + p+ q n =n k n k p+ q k
n k
P x a bx cx C a bx cx ;
* Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng (bxp+cxq)k thành đa thức theo luỹ thừa x
(2)Trang
Ta làm sau:
* Tính hệ số a theo k k n;
* Giải bất phương trình ak−1 a với ẩn số k ; k
* Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình
Câu 1: Trong khai triển (2 −a b)5, hệ số số hạng thứ3 bằng:
A − 80 B 80 C − 10 D 10
Câu 2: Trong khai triển nhị thức (a+2) (n+6, n ) Có tất cả17 số hạng Vậy n bằng:
A 17 B 11 C 10 D 12
Câu 3: Trong khai triển (3x2−y)10, hệ số số hạng là:
A 4
10
3 C B 4
10
3
− C C 5
10
3 C D 5
10
3
− C
Câu 4: Trong khai triển (2x−5y)8, hệ số số hạng chứa x y là: 5
A −22400 B −40000 C −8960 D −4000
Câu 5: Trong khai triển
6
2
+
x x , hệ số ( )
3
, 0
x x là:
A 60 B 80 C 160 D 240
Câu 6: Trong khai triển
7
+
a b , số hạng thứ là:
A 35 .a b 6 −4 B − a b 35 .6 −4 C 35 .a b 4 −5 D − a b 35 .4
Câu 7: Trong khai triển (2a−1)6, tổng ba số hạng đầu là:
A 2a6−6a5+15a 4 B 2a6−15a5+30a 4
C 64a6−192a5+480a 4 D 64a6−192a5+240a 4
Câu 8: Trong khai triển ( )
16
−
x y , tổng hai số hạng cuối là:
A 15
16
− x y +y B 15
16
− x y +y C 16xy15+y 4 D 16xy15+y 8
Câu 9: Trong khai triển
6
8
−
a b , hệ số số hạng chứa
9 a b là:
A − a b 80 B − a b 64 C −1280 a b 9 D 60 a b 6
Câu 10: Trong khai triển
9
2
8
+
x x , số hạng không chứa x là:
A 4308 B 86016 C 84 D 43008
Câu 11: Trong khai triển (2x−1)10, hệ số số hạng chứa x là: 8
A −11520 B 45 C 256 D 11520
Câu 12: Trong khai triển(a−2b)8, hệ số số hạng chứa a b là: 4
A 1120 B 560 C 140 D 70
Câu 13: Trong khai triển(3 −x y)7, số hạng chứa x y là: 4
A −2835x y 4 B 2835x y 4 C 945x y 4 D −945x y 4
Câu 14: Trong khai triển(0,2 + 0,8)5, số hạng thứ tư là:
A 0, 0064 B 0, 4096 C 0, 0512 D 0, 2048
(3)Trang
A 20 B 800 C 36 D 400
Câu 16: Số hạng khai triển (3 x + 2y)4là:
A C x y42 2 B ( ) ( )
2
6 3x 2y C 6C x y42 2 D 36C x y42 2
Câu 17: Trong khai triển(x−y)11, hệ số số hạng chứa x y 8
A C113 B −C113 C −C115 D C118
Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 f x( )= −(1 )x 10
A −15360 B 15360 C −15363 D 15363
Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 h x( )=x(2 )+ x 9
A 489889 B 489887 C −489888 D 489888
Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 g x( )= +(1 x)7+ −(1 x)8+ +(2 x )9
A 29 B 30 C 31 D 32
Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 f x( )= +(3 )x 10
A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831
Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 h x( )=x(1 )− x 9
A −4608 B 4608 C −4618 D 4618
Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )=(3x2+1)10
A 17010 B 21303 C 20123 D 21313
Câu 24: Xác định hệ số x khai triển sau:8
8
2
( )= −5
f x x
x
A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000
Câu 25: Xác định hệ số x khai triển sau:8
12
3 ( )
2
= +
x f x
x
A 297
512 B
29
51 C
27
52 D
97 12
Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )= + +(1 x 2x2 10)
A 37845 B 14131 C 324234 D 131239
Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )=8(1 )+ x 8−9(1 )+ x 9+10(1 10 )+ x 10 A 8.C80.88−C19.98+10.C108.108 B C80.88−C91.98+C108.108
C C80.88−9.C91.98+10.C108.108 D
0 8 8
8 10
8.C −9.C.9 +10.C 10
Câu 28: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 8 g x( )=8(1+x)8+9(1 )+ x 9+10(1 )+ x 10
A 22094 B 139131 C 130282 D 21031
Câu 29: Hệ số đứng trước x25.y khai triển10 ( 3+ )15
x xy là:
A 2080 B 3003 C 2800 D 3200
Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển
18
3
+
x
x là:
A
18
C B
10 18
C C C188 D
3 18
C
Câu 31: Khai triển(1 x− )12, hệ số đứng trước
x là:
A 330 B – 33 C –72 D –792
Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f x( )=(x−2) (12 x0)
x
(4)Trang
Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: 17
1
( )=( + ) ( 0)
g x x x
x
A 24310 B 213012 C 12373 D 139412
Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn 8
1
+
n
x
x biết
( )
1
4
+
+ − + = +
n n
n n
C C n
A 495 B 313 C 1303 D 13129
Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức 1−( + 2)
n
x x
x với n số
nguyên dương thoả mãn
3
1
2 +
+ =
n n
C n A ( Cnk, Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử)
A − 98 B 98 C − 96 D 96
Câu 36: Trong khai triển ( )
40
2
1
= +
f x x
x , tìm hệ số
31 x
A 9880 B 1313 C 14940 D 1147
Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức
18
3
1
+
x x số hạng độc lập x
A 9880 B 1313 C 14940 D 48620
Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 4
12
3
−
x x
A 55
9 B
13
2 C
621
113 D
1412 3123
Câu 39: Tính hệ số x y khai triển 25 10 ( 3+ )15
x xy
A 300123 B 121148 C 3003 D 1303
Câu 40: Cho đa thức P x( ) (= +1 x) (+2 1+x)2+ + 20 1( +x)20 có dạng khai triển
( ) 20
0 20
= + + + +
P x a a x a x a x
Hãy tính hệ số a 15
A 400995 B 130414 C 511313 D 412674
Câu 41: Tìm số hạng khai triển ( )
9
3+ số nguyên
A 4536 B 4184 C 414 12 D 1313
Câu 42: Xét khai triển f x( )=(2x+1)20
x
1 Viết số hạng thứ k+1 khai triển
A 20 20
1 20.2
− −
+ = k k k
k
T C x B 20 20
1 10.2
− −
+ = k k k
k
T C x
C Tk+1 =C20k.220 4− k.x20 2− k D Tk+1=C20k.220−k.x20 2− k
2 Số hạng khai triển không chứa x
A 10
20.2
C B 10 10
20.2
A C 10
20.2
C D 10 10
20.2
C
Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: 4 f x( )=(3x2+2x+1)10
(5)Trang
Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức 7 (2 )− x 2n
, biết n số nguyên dương thỏa
mãn : C21n+1+C23n+1+C25n+1+ + C22nn++11=1024
A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520
Câu 45: Tìm hệ số x khai triển 9 f x( )= +(1 x)9+ +(1 x)10+ + + (1 x)14
A 8089 B 8085 C 3003 D 11312
Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: 5 ( )5 2( )10
1 2− + 3+
x x x x
A 3320 B 2130 C 3210 D 1313
Câu 47: Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức 8 2( )
( )= +1 1−
f x x x
A 213 B 230 C 238 D 214
Câu 48: Đa thức P x( )= +(1 3x+2x2)10=a0+a x1 + + a x20 20 Tìm a 15 A a15=C C1010 105.35+C C109 96.33+C C108 87.3
B a15=C C1010 105.25+C C109 96.26+C C108 87.27
C a15=C C1010 105.3 25 5+C C109 96.3 23 +C C108 87.27
D a15=C C1010 105.3 25 5+C C109 96.3 23 +C C108 87.3.27
Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( 3−2)n x
x , biết :
1
78
− + − =
n n
n n
C C với x0
A −112640 B 112640 C −112643 D 112643
Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức
2
(x +1) (n x+2)n Tìm n để a3n−3=26n
A n=5 B n=4 C n=3 D n=2
Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton 26
1
+
n
x
x , biết
1 20
2 +1+ +1+ + +1=2 −1 n
n n n
C C C
A 210 B 213 C 414 D 213
Câu 52: Cho n * (1+ )n = 0+ 1 + + n n
x a a x a x Biết tồn số nguyên k (1 −k n 1)
cho 1
2 24
− = = +
k k k
a a a
Tính n=?
A 10 B 11 C 20 D 22
Câu 53: Trong khai triển (1 )10
3+ x thành đa thức 3
2 10
0+ + + + + 10
a a x a x a x a x , tìm hệ số a lớn ( 0k k 10)
A
10
10 15
2 3003
3 =
a B
10
5 15
2 3003
3 =
a C
10
4 15
2 3003
3 =
a D
10
9 15
2 3003
3 =
a
Câu 54: Giả sử (1 )+ x n =a0+a x a x1 + 2 2+ + a xn n, biết a0+ + +a1 an =729 Tìm n số lớn số a a0, , ,1 a n
A n=6, max ak =a4 =240 B n=6, max ak =a6 =240
C n=4, max ak =a4 =240 D n=4, max ak =a6 =240
Câu 55: Cho khai triển (1 )+ x n =a0+a x1 + + a xn n, n * Tìm số lớn số
0, , ,1 n
a a a , biết hệ số a a0, , ,1 a thỏa mãn hệ thức: n
0 4096
2
+ + + n =
n a a
a
(6)Trang
DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG =
n k k k n k
a C b
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
0 1 2
(a b+ )n =C an n+an−bCn+an− b Cn + + b Cn nn Ta chọn giá trị a b thích hợp thay vào đẳng thức ,
Một số kết ta thường hay sử dụng: * k = n k−
n n
C C
* Cn0+C1n+ + Cnn =2n
*
0
( 1)
=
− =
n
k k n k
C
*
2
2
2 2
0 0
1
−
= = =
= =
n n n
k k k
n n n
k k k
C C C
*
0
(1 )
=
= +
n
k k n
n k
C a a
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k )
biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn
Câu 1: Tổng T = Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+ +Cnn bằng:
A T = 2n B T – 1= n C T = 2n + D T = 4n
Câu 2: Tính giá trị tổng S =C60+C16+ + C66 bằng:
A 64 B 48 C 72 D 100
Câu 3: Khai triển (x+y)5rồi thay x y, giá trị thích hợp Tính tổng S= C50+C51+ + C55
A 32 B 64 C 1 D 12
Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 +2C1n+4Cn2+ + 2nCnn =243
A B 11 C 12 D 5
Câu 5: Khai triển (x+y)5rồi thay x y, giá trị thích hợp Tính tổng S= C50+C51+ + C55
A 32 B 64 C 1 D 12
Câu 6: Khai triển ( 3)5 15
0 15
1+ +x x +x =a +a x+a x + + a x
a) Hãy tính hệ số a 10
A a10=C50.+C54+C C54 53 B a10=C C50 55+C C52 54+C C54 53
C a10=C C50 55+C C52 54−C C54 53 D
0 4
10= 5 − 5 + 5
a C C C C C C
b) Tính tổng T =a0+ + +a1 a 15 S =a0 − + − −a1 a2 a 15
A 131 B 147614 C D 1
Câu 7: Khai triển ( 2)10 20
0 20
1 2+ x+3x =a +a x+a x + + a x
a) Hãy tính hệ số a 4
A a4 =C100.24 B a4 =24C104 C a4 =C C100 104 D a4 =C100.24C104
(7)Trang
A S =1710 B S=1510 C S =1720 D S =710
Câu 8: Tính tổng sau: 1 1 ( 1)
2 2( 1)
−
= − + − + +
+
n n
n n n n n
S C C C C C
n
A
2(n+1) B C D
1 (n+1)
Câu 9: Tính tổng sau: S=C1n3n−1+2Cn23n−2+3Cn33n−3+ + nCnn
A n.4n−1 B C D 4n−1
Câu 10: Tính tổng sau: 1 1
2
= + + + +
+
n
n n n n
S C C C C
n A 1 + + + n n B 1 + − + n n C 1 + − + + n n D 1 + − − + n n
Câu 11: Tính tổng sau: 2 = +2 + +
n
n n n
S C C nC
A 2 2n n−1 B n.2n+1 C 2 2n n+1 D n.2n−1
Câu 12: Tính tổng sau:S3 =2.1.Cn2+3.2Cn3+4.3Cn4+ + n n( −1)Cnn
A n n( −1)2n−2 B n n( +2)2n−2 C n n( −1)2n−3 D n n( −1)2n+2
Câu 13: Tính tổng
2
0 1
+ − − = + + + + n n
n n n
S C C C
n A 1 + − + = + n n S n B 1 1 + + + = − + n n S n C 1 1 + − + = + + n n S n D 1 1 + − + = − + n n S n
Câu 14: Tính tổng
2
0 1
+ − − = + + + + n n
n n n
S C C C
n A 1 + − + = + n n S n B + − = + n n S n C + − = + n n S n D 1 + + + = + n n S n
Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C12n+1−2.2C22n+1+3.22C23n+1− + (2n+1)2nC22nn++11 =2005
A n=1001 B n=1002 C n=1114 D n=102
Câu 16: Tính tổng1.3 50 n−1Cnn−1+2.3 51 n−2Cnn−2+ + n.3 5n−1 0Cn0
A n.8n−1 B (n+1).8n−1 C.(n−1).8n D n.8n
Câu 17: Tính tổng S =2.1Cn2+3.2Cn3+4.3Cn4+ + n n( −1)Cnn
A n n( +1)2n−2 B n n( −1)2n−2 C n n( −1)2n D (n−1)2n−2
Câu 18: Tính tổng ( ) ( ) ( )Cn0 2+ C1n 2+ Cn2 2+ + ( )Cnn
A 2n n
C B
2 − n
n
C C 2 2n
n
C D
2 − − n n C
Câu 19: Tính tổng sau: S1 =5nCn0+5 3.n−1 Cnn−1+3 52 n−2Cnn−2+ + 3nCn0
A 28n B 1 8+ n C 8n−1 D 8n
Câu 20: S2 =C20110 +22C20112 + + 22010C20112010
A 2011 + B 211 − C 2011 12 + D 2011 −
Câu 21: Tính tổng = +2 + +
n
n n n
S C C nC
(8)Trang
PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT
1 Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có:
0
( ) −
=
+ n =n k n k k
n k
a b C a b
2 Tính chất:
1) Số số hạng khai triển n +
2) Tổng số mũ a b số hạng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = C ank n k− b ( k =0, 1, 2, …, n) k
4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: k = n k−
n n
C C
5)
1
= n =
n n
C C ,
1 −
+
+ =
k k k
n n n
C C C
* Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta sẽ thu công thức đặc biệt Chẳng hạn:
(1+x)n = 1
−
+ + +
n n n
n n n
C x C x C Cn0+Cn1+ + Cnn =2n
(x–1)n = C xn0 n−C x1n n−1+ + − ( 1)nCnn Cn0−Cn1+ + − ( 1)nCnn =0 Từ khai triển ta có kết sau
* Cn0+C1n+ + Cnn =2n
* Cn0−Cn1+Cn2− + − ( 1)nCnn =0
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
Phương pháp:
( ) ( ) ( )
0
− − − +
= =
+ n =n n k k =n
p q k p q k n k k np pk qk
n n
k k
ax bx C ax bx C a b x
Số hạng chứa x ứng với giá trị m k thỏa: np−pk+qk=m
Từ tìm = −
−
m np k
p q
Vậy hệ số số hạng chứa x là: m C ank n k− bk với giá trị k tìm
Nếu k không nguyên kn khai triển khơng chứa x , hệ số phải tìm m Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x khai triển m
( )=( + p+ q)n
P x a bx cx viết dạng 0+ + + 2
n n
a a x a x Ta làm sau:
* Viết ( ) ( ) ( )
0 −
=
= + p+ q n =n k n k p + q k
n k
P x a bx cx C a bx cx ;
(9)Trang
* Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm sau:
* Tính hệ số a theo k k n;
* Giải bất phương trình ak−1a với ẩn số k ; k
* Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình
Câu 1: Trong khai triển (2 −a b)5, hệ số số hạng thứ3 bằng:
A − 80 B 80 C − 10 D 10
Hướng dẫn giải: Chọn B
Ta có: (2a b− )5 =C50( )2a 5−C51( )2a 4b C+ 52( )2a b3 2+ Do hệ số số hạng thứ
5.8=80
C
Câu 2: Trong khai triển nhị thức (a+2) (n+6, n ) Có tất cả17 số hạng Vậy n bằng:
A 17 B 11 C 10 D 12
Hướng dẫn giải: Chọn C
Trong khai triển (a+2) (n+6, n ) có tất n+7 số hạng Do n+ =7 17 =n 10
Câu 3: Trong khai triển (3x2−y)10, hệ số số hạng là:
A 4
10
3 C B 4
10
3
− C C 5
10
3 C D 5
10
3
− C
Hướng dẫn giải: Chọn D
Trong khai triển (3x2−y)10có tất 11 số hạng nên số hạng số hạng thứ
Vậy hệ số số hạng là− C3 105
Câu 4: Trong khai triển (2x−5y)8, hệ số số hạng chứa x y là: 5
A −22400 B −40000 C −8960 D −4000
Hướng dẫn giải: Chọn A
Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 = −( 1)kC8k.(2 )x 8−k(5 )y k = −( 1)kC8k.28−k5 kx8−k.yk
Yêu cầu tốn xảy k =3 Khi hệ số số hạng chứa x y là: 224005 −
Câu 5: Trong khai triển
6
2
+
x x , hệ số ( )
3
, 0
x x là:
A 60 B 80 C 160 D 240
Hướng dẫn giải: Chọn C
Số hạng tổng quát khai triển
1
6 2
1 − − + =
k k k k k
T C x x
Yêu cầu toán xảy 3
2
− −k k = =k
Khi hệ số
x là:C63.23=160
Câu 6: Trong khai triển
7
+
(10)Trang 10
A 35 .a b 6 −4 B − a b 35 .6 −4 C 35 .a b 4 −5 D − a b 35 .4
Hướng dẫn giải: Chọn A
Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C a7k 14 2− k.b−k
Vậy số hạng thứ 74 .6 35 .6
− −
= =
T C a b a b
Câu 7: Trong khai triển (2a−1)6, tổng ba số hạng đầu là:
A 2a6−6a5+15a 4 B 2a6−15a5+30a 4
C 64a6−192a5+480a 4 D 64a6−192a5+240a 4 Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: (2a−1)6 =C60.26a6−C61.25a5+C62.24a4− Vậy tổng số hạng đầu 64a6−192a5+240a 4
Câu 8: Trong khai triển ( )
16
−
x y , tổng hai số hạng cuối là:
A −16x y15+y8 B −16x y15+y4 C 16xy15+y 4 D 16xy15+y 8 Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có: ( ) ( ) ( )
16 15 16
0 16 15 15 16
16 16 16 16
− = − + − +
x y C x C x y C x y C y
Câu 9: Trong khai triển
6
8
−
a b , hệ số số hạng chứa
9 a b là:
A − a b 80 B − a b 64 C −1280 a b 9 D 60 a b 6 Hướng dẫn giải:
Chọn C
Số hạng tổng quát khai triển ( ) 12
1 6.8
− − −
+ = −
k k k k k k
k
T C a b
Yêu cầu tốn xảy k =3 Khi hệ số số hạng chứa
a b là:−1280 a b 9
Câu 10: Trong khai triển
9
2
8
+
x x , số hạng không chứa x là:
A 4308 B 86016 C 84 D 43008
Hướng dẫn giải: Chọn D
Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C x9k 9−k8 kx−2k
Yêu cầu toán xảy 9− −k 2k= =0 k Khi số hạng không chứa x là:C93.83 =43008
Câu 11: Trong khai triển (2x−1)10, hệ số số hạng chứa x là: 8
A −11520 B 45 C 256 D 11520
Hướng dẫn giải: Chọn D
Số hạng tổng quát khai triển 10.210 10 ( )1
− −
+ = −
k
k k k
k
T C x
Yêu cầu toán xảy 10− = =k k Khi hệ số số hạng chứa
x là:C102.28 =11520
(11)Trang 11
A 1120 B 560 C 140 D 70
Hướng dẫn giải: Chọn A
Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C a8k 8−k.( )−2 k bk
Yêu cầu toán xảy k =4 Khi hệ số số hạng chứa 4
a b là: 4
8.2 =1120
C
Câu 13: Trong khai triển(3 −x y)7, số hạng chứa x y là: 4
A −2835x y 4 B 2835x y 4 C 945x y 4 D −945x y 4 Hướng dẫn giải:
Chọn A
Số hạng tổng quát khai triển 7 ( )
1 7.3
− −
+ = −
k
k k k k
k
T C x y
Yêu cầu toán xảy k =3 Khi hệ số số hạng chứa
x y là:−C73.3 4x y4 = −2835 .x y4
Câu 14: Trong khai triển(0,2 + 0,8)5, số hạng thứ tư là:
A 0, 0064 B 0, 4096 C 0, 0512 D 0, 2048
Hướng dẫn giải: Chọn D
Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C5k.(0, 2)5−k.(0,8)k
Vậy số hạng thứ tư T4 =C53.(0, 2) (0,8)2 =0, 2028
Câu 15: Hệ số x y khai triển 3 (1+x) (6 1+y)6là:
A 20 B 800 C 36 D 400
Hướng dẫn giải: Chọn D
Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C x6k .C k 6m ym
Yêu cầu toán xảy k = =m Khi hệ số số hạng chứa 3
x y là:C C63 63 =400
Câu 16: Số hạng khai triển (3 x + 2y)4là:
A C x y42 2 B ( ) ( )
2
6 3x 2y C 6C x y42 2 D 36C x y42 2
Hướng dẫn giải: Chọn D
Số hạng khai triển số hạng thứ ba: C42( ) ( )3x 2y =6 3( ) ( )x 2y
Câu 17: Trong khai triển(x−y)11, hệ số số hạng chứa x y 8
A C113 B
3 11
C
− C −C115 D
8 11
C
Hướng dẫn giải: Chọn B
Số hạng tổng quát khai triển 11 ( )
1 11 −
+ = −
k
k k k
k
T C x y
Yêu cầu toán xảy k =3 Khi hệ số số hạng chứa
x y là:−C113
Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 f x( )= −(1 )x 10
A −15360 B 15360 C −15363 D 15363
(12)Trang 12
Ta có
10 10
10
10
0
( ) − ( ) ( 2)
= =
= k k − k = k − k k
n
k k
f x C x C x
Số hạng chứa x ứng với giá trị 7 k =7 Vậy hệ số x là: 7 C107( 2)− = −15360
Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 h x( )=x(2 )+ x 9
A 489889 B 489887 C −489888 D 489888
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có
9
9 9
9
0
(2 ) − (3 ) −
= =
+ = k k k = k k k k
k k
x C x C x
9
9
9
( ) − +
=
= k k k k
k
h x C x
Số hạng chứa x ứng với giá trị 7 k thỏa k+ = =1 k Vậy hệ số chứa x là: 7 C962 33 =489888
Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 g x( )= +(1 x)7+ −(1 x)8+ +(2 x )9
A 29 B 30 C 31 D 32
Hướng dẫn giải: Chọn A
Hệ số x khai triển 7
7
7
(1 )
=
+ = k k
k
x C x : C77 =1
Hệ số x khai triển 7
8
8
(1 ) ( 1)
=
− = k − k k
k
x C x : C87( 1)− = −8
Hệ số x khai triển 7
9
9
(1 )
=
+ = k k
k
x C x : C79 =36
Vậy hệ số chứa x khai triển ( )7 g x thành đa thức là: 29 Chú ý:
* Với a0 ta có: a−n = 1n
a với n
* Với a0 ta có: =
m
n am a với ,n m n ;n1
Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 f x( )= +(3 )x 10
A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có
10 10
10 10
10
0
( ) − (2 ) − ( 2)
= =
= k k k = k k − k k
n
k k
f x C x C x
Số hạng chứa x ứng với giá trị 8 k =8 Vậy hệ số x là: 8 8
10.3 ( 2)− =103680
C
Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 7 h x( )=x(1 )− x 9
A −4608 B 4608 C −4618 D 4618
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có
9
9
9
0
(1 ) 1− ( ) ( 2)
= =
− = k k − k = k − k k
k k
(13)Trang 13
1
0
( ) ( 2) +
=
= k − k k
k
h x C x
Số hạng chứa x ứng với giá trị 8 k thỏa k+ = =1 k Vậy hệ số chứa x là: 8 C97( 2)− = −4608
Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )=(3x2+1)10
A 17010 B 21303 C 20123 D 21313
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có:
10
2 10
( )
=
= k k k
k
f x C x , số hạng chứa x ứng với 8 k=4 nên hệ số x là: 8 4
10.3 =17010
C
Câu 24: Xác định hệ số x khai triển sau:8
8
2
( )= −5
f x x
x
A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có:
8
8
8
( ) 2− ( 5) −
=
= k k − k k
k
f x C x , số hạng chứa x ứng với 8 k=4nên hệ số x là: 8
4 4
8.2 ( 5)− =700000
C
Câu 25: Xác định hệ số x khai triển sau:8
12
3 ( )
2
= +
x f x
x
A 297
512 B
29
51 C
27
52 D
97 12
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có:
12
12 12
12
( ) − − −
=
= k k k k
k
f x C x , số hạng chứa x ứng với 8 k =10nên hệ số x là: 8
10 10 12
297
512
− =
C
Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )= + +(1 x 2x2 10)
A 37845 B 14131 C 324234 D 131239
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có:
10 10
2 10 10 20
10 10
0 0
( ) (2 ) − (1 ) − − +
= = =
= k k + k =k k j k k j
k
k k j
f x C x x C C x
Số hạng chứa x ứng với cặp ( , )8 k j thỏa: 10
2 12
= −
j k
j k
Nên hệ số x là: 8
6 10
10 6.2 + 10 72 + 10 82 + 10 92+ 10 10 =37845
C C C C C C C C C C
Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau:8 f x( )=8(1 )+ x 8−9(1 )+ x 9+10(1 10 )+ x 10 A 8.C80.88−C19.98+10.C108.108 B C80.88−C91.98+C108.108
C C80.88−9.C91.98+10.C108.108 D
0 8 8
8 10
8.C −9.C.9 +10.C 10
(14)Trang 14
Ta có:
8
8 8
8
(1 ) 8− −
=
+ = k k k
k
x C x
9
9 9
9
(1 ) − −
=
+ = k k k
k
x C x
10
10 10 10
10
(1 10 ) 10 − −
=
+ = k k k
k
x C x
Nên hệ số chứa x là: 8 8 8
8 10
8.C −9.C.9 +10.C 10
Câu 28: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: 8 g x( )=8(1+x)8+9(1 )+ x 9+10(1 )+ x 10
A 22094 B 139131 C 130282 D 21031
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có: ( )
0
1
=
+ n =n k k k
n i
ax C a x nên ta suy hệ số x khai triển (1k +ax )n C ank k Do đó:
Hệ số x khai triển 8 (1+ x : )8 C88
Hệ số x khai triển 8 (1 )+ x : 9 C98.28
Hệ số x khai triển 8 (1 )+ x :10 C108.38
Vậy hệ số chứa x khai triển ( )8 g x thành đa thức là:8C88+9.2 8C98+10.3 8C108 =22094
Câu 29: Hệ số đứng trước x25.y khai triển10 (x3+ xy)15 là:
A 2080 B 3003 C 2800 D 3200
Hướng dẫn giải: Chọn B
Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C x15k 45 3−k .x yk k
Yêu cầu toán xảy k =10
Vậy hệ số đứng trước x25.y khai triển10 (x3+ xy là:)15 10
15 3003
C =
Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển
18
3
+
x
x là:
A C189 B
10 18
C C C188 D
3 18
C
Hướng dẫn giải: Chọn A
Số hạng tổng quát khai triển 54 3
1 18
k k k
k
T+ =C x − x−
Yêu cầu toán xảy 54 3− k−3k= =0 k Khi số hạng khơng chứa là:
18
C
Câu 31: Khai triển(1 x− )12, hệ số đứng trước
x là:
A 330 B – 33 C –72 D –792
Hướng dẫn giải: Chọn D
Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 =C12k.( )−1 k xk
Yêu cầu tốn xảy k =7 Khi hệ số số hạng chứa
x là:−C127 = −792
Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f x( )=(x−2) (12 x0)
(15)Trang 15
A 59136 B 213012 C 12373 D 139412
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có:
12
1 12 12
12
( ) ( − ) − ( − )
=
= − = k k − k
k
f x x x C x x
12
12 12
0
( 2) −
=
−
k k k
k
C x
Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 2− k =0
= k số hạng không chứa x là: C126.26 =59136
Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: 17
1
( )=( + ) ( 0)
g x x x
x
A 24310 B 213012 C 12373 D 139412
Hướng dẫn giải: Chọn A
Vì
2
3
3
3
1
;
−
=x x =x
x
nên ta có
17
2 17 136
17 17
3 12
17 17
0
( )
− −
−
= =
= =
k k k k k
k k
f x C x x C x
Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17k−136= =0 k Vậy hệ số không chứa x là: C178 =24310
Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn 8
1
+
n
x
x biết
( )
1
4
+
+ − + = +
n n
n n
C C n
A 495 B 313 C 1303 D 13129
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có: ( ) ( 1) ( )
4 3 3
+ +
+ − + = + + + + − + = +
n n n n n
n n n n n
C C n C C C n
( ) ( )( ) ( )
1
2
7
2!
+ +
+ +
n = + = +
n
n n
C n n
2 7.2! 14 12
+ =n = =n
Khi đó: ( )
12
5 60 11
12 12
5 2
12 12
3
0
1
− −
−
= =
+ = =
k
n k
k
k k
k k
x C x x C x
x
Số hạng chứa x ứng với 8 k thỏa: 60 11
2
− k = =
k
Do hệ số số hạng chứa x là:
( )
4 12
12!
495 4! 12 !
= =
−
C
Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức 1−( + 2)
n
x x
x với n số
nguyên dương thoả mãn
3
1
2 +
+ =
n n
C n A ( Cnk, Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử)
A − 98 B 98 C − 96 D 96
(16)Trang 16
Ta có: ( )( )
( )
3
1
3
2 1 2
2
6
+
+ = − −
+ = +
n n
n
C n A n n n
n n n
2
3
8
9
=
− + =
n
n
n n
Theo nhị thức Newton ta có:
( 2) ( ) ( )
8 8
1 1
1
− + = − + = − + +
x x x x x x C x C x x
( )2 ( )3 ( )4 ( )8
2 8
8 8
1
1 1
+C +x −C +x +C +x − +C x +x
x x
Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có hai biểu thức
( )3
8
1
−C +x
x ( )
4
8 1+
C x
Trong có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: −C C83 32 C C84 40
Do số hạng khơng phụ thuộc vào x là:
8 98
−C C +C C = −
Câu 36: Trong khai triển ( )
40
2
1
= +
f x x
x , tìm hệ số
31 x
A 9880 B 1313 C 14940 D 1147
Hướng dẫn giải: Chọn A
Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức
18
3
1
+
x x số hạng độc lập x
A 9880 B 1313 C 14940 D 48620
Hướng dẫn giải: Chọn D
9
18=48620
C
Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 4
12
3
−
x x
A 55
9 B
13
2 C
621
113 D
1412 3123
Hướng dẫn giải: Chọn A
4 12
1 55
( 3)
3 − C =
Câu 39: Tính hệ số x y khai triển 25 10 ( 3+ )15
x xy
A 300123 B 121148 C 3003 D 1303
Hướng dẫn giải: Chọn C
10
15 =3003
C
Câu 40: Cho đa thức P x( ) (= +1 x) (+2 1+x)2+ + 20 1( +x)20 có dạng khai triển
( ) 20
0 20
= + + + +
P x a a x a x a x
(17)Trang 17
A 400995 B 130414 C 511313 D 412674
Hướng dẫn giải: Chọn A
20 15 15
15
400995
=
= k =
k
a kC
Câu 41: Tìm số hạng khai triển ( )
9
3+ số nguyên
A 4536 B 4184 C 414 12 D 1313
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có ( ) ( ) ( )
9
9
3
9
3 −
=
+ = k k k
k
C
Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa:
2
9 0,
0, ,9 =
− = = =
=
k m
k n k k
k
Các số hạng số nguyên: ( )
9
9 =8
C ( ) ( )
6
6
9
C
Câu 42: Xét khai triển f x( )=(2x+1)20
x
1 Viết số hạng thứ k+1 khai triển
A Tk+1 =C20k.220−k.x20−k B Tk+1 =C10k.220−k.x20 2− k
C 20 20
1 20.2
− −
+ = k k k
k
T C x D 20 20
1 20.2
− −
+ = k k k
k
T C x
2 Số hạng khai triển không chứa x
A C120.210 B A2010.210 C C2010.24 D C1020.210
Hướng dẫn giải:
1 Ta có:Tk+1 =C20k (2 )x 20−k 1k =C20k.220−k.x20 2− k x
2 Số hạng không chứa x ứng với k: 20 2− k= =0 k 10 Số hạng không chứa x: C1020.210
Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: 4 f x( )=(3x2+2x+1)10
A 8089 B 8085 C 1303 D 11312
Hướng dẫn giải: Chọn B
( ) ( 2)10 10 ( 2) 10
0
1 3
=
= + + = k + k
k
f x x x C x x
10 10
2
10 10
0 0
(2 ) −.(3 ) 3− +
= = = =
= k k i k i i = k k i k i i k i
k k
k i k i
C C x x C C x
với 0 i k 10
Do k+ =i với trường hợp i=0,k =4 i=1,k =3 i= =k
Vậy hệ số chứa x : 4 4 2
10 10 10
2 C C +2 3C C +3 C C =8085
(18)Trang 18
A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520
Hướng dẫn giải: Chọn B
Ta có:
2
2
0 2
2
2
2
0
2
2 1024
+
+ +
= +
+ = +
+ +
= =
=
= = =
=
n
k n
n n
k i n
n
n n
i
i i
n n
i i
C
C n
C C
Suy
10
2 10
10
(2 ) −.( 3)
=
− n = k k − k k
k
x C x
Hệ số x 7 7
10.2 ( 3)− = −2099520
C
Câu 45: Tìm hệ số x khai triển 9 f x( )= +(1 x)9+ +(1 x)10+ + + (1 x)14
A 8089 B 8085 C 3003 D 11312
Hướng dẫn giải: Chọn C
Hệ số x : 9 C99+C109 +C119 +C129 +C139 +C149 =3003
Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: 5 x(1 2− x)5+x2(1 3+ x)10
A 3320 B 2130 C 3210 D 1313
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt ( )5 2( )10
( )= 2− + 3+
f x x x x x
Ta có : ( ) ( )
5 10
2
5 10
0
( )
= =
= k − k k+ i i
k i
f x x C x x C x
( )
5 10
1
5 10
0
2 + +
= =
= k − k k + i i i
k i
C x C x
Vậy hệ số x khai triển đa thức ( )5 f x ứng với k=4 i=3 là:
( )4
4 3
5 −2 + 10.3 =3320
C C
Câu 47: Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức 8 f x( )= +1 x2(1−x)8
A 213 B 230 C 238 D 214
Hướng dẫn giải: Chọn C
Cách
( ) ( ) ( )2 ( )3
2 2
8 8
1 1 1
+ − = + − + − + −
x x C C x x C x x C x x
+C x84 8(1−x)4+C x85 10(1−x)5 +C x88 16(1−x)8
Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x chỉ có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: 8 C C83 32,C C84 40
Vậy hệ số cuả x khai triển đa thức 8 1+x2(1−x)8 là:
3
8 = + =238
a C C C C
Cách 2: Ta có:
( ) 8 ( ) ( )
2 2
8
0 0
1 1 +
= = =
+ − = − = −
n
n k
n n n k n k
n
n n k
x x C x x C C x
với 0 k n
(19)Trang 19
Thử trực tiếp ta k=0;n=4 k=2,n=3 Vậy hệ số x 8 C C83 32+C C84 40 =238
Câu 48: Đa thức P x( )= +(1 3x+2x2)10=a0+a x1 + + a x20 20 Tìm a 15
A 10 5
15= 10 10.3 + 10 9.3 + 10 8.3
a C C C C C C
B a15=C C1010 105.25+C C109 96.26+C C108 87.27
C 10 5 6 7
15= 10 10.3 + 10 9.3 + 10 8.2
a C C C C C C
D a15=C C1010 105.3 25 5+C C109 96.3 23 +C C108 87.3.27
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có: ( ) ( ) ( )
10 10
2
10
1 3
=
= + + = k + k
k
P x x x C x x
10 10
2
10 10
0 0
(3 ) −.(2 ) 2− +
= = = =
= k k i k i i = k k i k i i k i
k k
k i k i
C C x x C C x
với 0 i k 10 Do k+ =i 15 với trường hợp
10,
= =
k i k =9,i=6 k=8,i=7 Vậy a15=C C1010 105.3 25 5+C C109 96.3 23 6+C C108 87.3.27
Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau (x3−2)n
x , biết
1
78
− + − =
n n
n n
C C với
0
x
A −112640 B 112640 C −112643 D 112643
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có: 78 ! ! 78
( 1)!1! ( 2)!2!
− + − = + =
− −
n n
n n
n n
C C
n n
2
( 1)
78 156 12
2 −
+n n n = n + −n = =n
Khi đó:
12 12
3 36
12
2
( ) ( 2) −
=
= − = −
k k k
k
f x x C x
x
Số hạng không chứa x ứng với k: 36 4− k= =0 k Số hạng không chứa x là: 9
12
( 2)− C = −112640
Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức
2
(x +1) (n x+2)n Tìm n để a3n−3=26n
A n=5 B n=4 C n=3 D n=2
Hướng dẫn giải: Chọn A
Cách 1:Ta có :
( )
( )
2 2 2
0 1 2
1
2 2
− −
− −
+ = + + + +
+ = + + + +
n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
x C x C x C x C
x C x C x C x C
Dễ dàng kiểm tra n=1, n=2 không thoả mãn điều kiện tốn Với n3 dựa vào khai triển ta chỉ phân tích
3 3 2
− = − = − −
n n n n n
x x x x x
Do hệ số x3n−3
(20)Trang 20
( ) ( )
1
+ n + n
x x : 3 1
3n−3 =2 n n +2 n n
a C C C C
Suy ( )
2
3
2 7
26 26
3
−
− +
= = = −
n
n n n
a n n n hoặcn=5
Vậy n=5 giá trị cần tìm
Cách 2:
Ta có: ( 2+1) ( +2) = 1+ 12 1+2
n n
n n n
x x x
x x
2
0 0
1
2
− −
= = = =
= =
n in k n n
n i k n i i k k k
n n n n
i k i k
x C C x C x C x
x x
Trong khai triển trên, luỹ thừa x 3n−3
2 3
− − = − + =i k i k
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i=0,k=3
1,
= =
i k (vì i k nguyên) ,
Hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức (x2+1)n(x+2)n
Là : 3 1
3n−3 = n n.2 + n n.2
a C C C C
Do ( )
2
3
2 7
26 26
3
−
− +
= = = −
n
n n n
a n n n hoặcn=5
Vậy n=5 giá trị cần tìm
Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton 26 14 + 7
n
x
x , biết
1 20
2 +1+ +1+ + +1=2 −1 n
n n n
C C C
A 210 B 213 C 414 D 213
Hướng dẫn giải: Chọn A
Do C2kn+1=C22nn++ −11 k =k 0,1, 2, , 2n+1
0 1 2
2 2
+ + +
+ + + + + +
+ + + n = n + n + + n
n n n n n n
C C C C C C
Mặt khác: C21n+1+C22n+1+ + C22nn++11=22n+1
0 2
2 2
2( + + + + ) +
+ + + + n = n
n n n n
C C C C
1 2
2 +1 +1 +1 2 +1
+ + + n = n − = n−
n n n n
C C C C
2 20
2 10
n − = − =
n
Khi đó: ( )
10 10
10
7 10
10
0
1
( )
− − −
=
+ = + =
k k k
k
x x x C x x
x
10
11 40 10
−
=
= k k
k
C x
Hệ số chứa x ứng với giá trị :26 k 11k−40=26 =k Vậy hệ số chứa x là: 26 C106 =210
Câu 52: Cho n * (1+ ) = 0+ + +
n n
n
x a a x a x Biết tồn số nguyên k (1 −k n 1)
cho 1
2 24
− = = +
k k k
a a a
Tính n=?
A 10 B 11 C 20 D 22
(21)Trang 21
Ta có: ak =Cnk, suy hệ
1 ! !
2 ( 1)!( 1)! ( )! !
1 ! !
9 ( )! ! 24 ( 1)!( 1)!
=
− − + −
=
− − − +
n n
k n k n k k
n n
n k k n k k
9 2( 1) 11
10,
24( 1) 9( ) 33 24
= − + − = −
= =
+ = − − =
k n k n k
n k
k n k n k
Câu 53: Trong khai triển (1 )10
3+ x thành đa thức 3
2 10
0+ + + + + 10
a a x a x a x a x , tìm hệ số a lớn ( 0k k 10)
A
10
10 15
2 3003
3 =
a B
10
5 15
2 3003
3 =
a C
10
4 15
2 3003
3 =
a D
10
9 15
2 3003
3 =
a Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có:
15 15 15 15
15 15 15
0
1 2
3 3 3
−
= =
+ = =
k k k
k k k
k k
x C x C x
Hệ số x khai triển k 15 15
1
= k k
k
a C
Ta có: ak−1ak C15k−12k−1C15k2k C15k−12C15k
32
10
k k Từ đó: a0 a1 a 10
Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:
1 10 11 15
32
−
k k
a a k a a a
Vậy hệ số lớn phải tìm là:
10 10
10
10 15 15 15
2
3003
3
= =
a C
Câu 54: Giả sử (1 )+ = 0+ + 2+ +
n n
n
x a a x a x a x , biết a0+ + +a1 an =729 Tìm n số lớn số a a0, , ,1 a n
A n=6, max ak =a4 =240 B n=6, max ak =a6 =240
C n=4, max ak =a4 =240 D n=4, max ak =a6 =240
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có: a0+ + +a1 an = +(1 2.1)n =3n =729 =n
62
= k k
k
a C suy max ak =a4 =240
Câu 55: Cho khai triển (1 )+ x n =a0+a x1 + + a xn n, n * Tìm số lớn số
0, , ,1 n
a a a , biết hệ số a a0, , ,1 a thỏa mãn hệ thức: n
0 4096
2
+ + + n =
n a a
a
A 126720 B 213013 C 130272 D 130127
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt f x( )= +(1 )x n =a0+a x1 + + a xn n
1
1
2 2
+ + + = =
n n
n
a a
(22)Trang 22
Với k0,1, 2, ,11 ta có: 1
12 12
2 , + + +
= k k = k k
k k
a C a C
12 1
1 12
2 23
1 1
2 + + 2(12 )
+
+
−
k k k
k k k
a C k
k
a C k
Mà k Z k Do a0 a1 a 8
Tương tự: 8 9 12
1
1
+
k k
a
k a a a
a
Số lớn số a a0, , ,1 a là12 8
8 =2 12=126720
(23)Trang 23
DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG =
n k k k n k
a C b
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
0 1 2
(a b+ )n =C an n+an−bCn+an−b Cn + + b Cn nn Ta chọn giá trị a b thích hợp thay vào đẳng thức ,
Một số kết ta thường hay sử dụng: * k = n k−
n n
C C
* Cn0+Cn1+ + Cnn =2n
*
0
( 1)
=
− =
n
k k n k
C
*
2
2
2 2
0 0
1
−
= = =
= =
n n n
k k k
n n n
k k k
C C C
*
0
(1 )
=
= +
n
k k n
n k
C a a
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k )
biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn
Câu 1: Tổng T = Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+ +Cnn bằng:
A T = 2n B T – 1= n C T = 2n + D T = 4n
Hướng dẫn giải: Chọn A
Tính chất khai triển nhị thức Niu – Tơn
Câu 2: Tính giá trị tổng S =C60+C16+ + C66 bằng:
A 64 B 48 C 72 D 100
Hướng dẫn giải: Chọn A
0 6
6 6
C +C +
S = +C =2 =64
Câu 3: Khai triển (x+y)5rồi thay x y, giá trị thích hợp Tính tổng S= C50+C51+ + C55
A 32 B 64 C 1 D 12
Hướng dẫn giải: Chọn A
Với x=1,y=1 ta có S=C +C + +C50 15 55 = +(1 1)5 =32
Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 +2C1n+4Cn2+ + 2nCnn =243
A B 11 C 12 D 5
Hướng dẫn giải: Chọn D
Xét khai triển: (1+x)n =Cn0+xCn1+x C2 n2+ + x Cn nn
Cho x=2 ta có: Cn0+2Cn1+4Cn2+ + 2nCnn =3n Do ta suy 3n =243 3= =5 n
Câu 5: Khai triển (x+y)5rồi thay x y, giá trị thích hợp Tính tổng S= C50+C51+ + C55
(24)Trang 24 Hướng dẫn giải: Chọn A
Với x=1,y=1 ta có S=C +C + +C50 15 55 = +(1 1)5 =32
Câu 6: Khai triển ( 3)5 15
0 15
1+ +x x +x =a +a x+a x + + a x
a) Hãy tính hệ số a 10
A a10=C50.+C54+C C54 53 B a10=C C50 55+C C52 54+C C54 53
C a10=C C50 55+C C52 54−C C54 53 D a10=C C50 55−C C52 54+C C54 53
b) Tính tổng T =a0+ + +a1 a 15 S =a0 − + − −a1 a2 a 15
A 131 B 147614 C D 1
Hướng dẫn giải:
Đặt 5
( )= + +(1 + ) = +(1 ) (1+ )
f x x x x x x
a) Do hệ số 10
x bằng: a10=C C50 55+C C52 54+C C54 53
b) T = f(1)=45; S= f( 1)− =0
Câu 7: Khai triển (1 2+ x+3x2)10=a0+a x1 +a x2 2+ + a x20 20
a) Hãy tính hệ số a 4
A a4 =C100.24 B a4 =24C104 C a4 =C C100 104 D a4 =C100.24C104
b) Tính tổng 20
1 2 20
= + + + +
S a a a a
A S =1710 B S=1510 C S =1720 D S =710
Hướng dẫn giải:
Đặt
10
2 10 10
10
( ) (1 ) (1 ) −
=
= + + = k k k + k
k
f x x x C x x
10 10
2 10 10
10 10
0
3
−
− − − − −
= =
= k k kk i k i k i
k
k i
C x C x
10 10
10 10 10 10
0
3
−
− − + − −
= =
=k k i k k i k i
k k i
C C x
a) Ta có: a4 =C100.24C104 +
b) Ta có S = f(2) 17= 10
Câu 8: Tính tổng sau: 1 1 ( 1)
2 2( 1)
−
= − + − + +
+
n n
n n n n n
S C C C C C
n
A
2(n+1) B C D
1 (n+1)
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có: 1 1 ( 1)
2
−
= − + − +
+
n n
n n n n
S C C C C
n
Vì 11
( 1) ( 1)
1
+ +
− −
=
+ +
k k
k k
n n
C C
k n nên:
1
1
( 1)
2( 1)
+ + =
= −
+
n
k k n k
S C
n
1
0
1
0
1
( 1)
2( 1) 2( 1)
+
+ +
=
−
= − − =
+ +
n
k k
n n
k
C C
(25)Trang 25
Câu 9: Tính tổng sau: S=C1n3n−1+2Cn23n−2+3Cn33n−3+ + nCnn
A n.4n−1 B C D 4n−1
Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: 1 3 = =
n k
n k
n k
S kC
Vì
1 1 3 − − = k k k k n n
kC n C k 1nên
1
1
1
1
1
3
3 − − − − − = = = =
n k n k
n k n k
n n
k k
S n C n C (11 1)
3
− − −
= n + n = n
n n
Câu 10: Tính tổng sau: 1 1
2
= + + + +
+
n
n n n n
S C C C C
n A 1 + + + n n B 1 + − + n n C 1 + − + + n n D 1 + − − + n n Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có:
1 ! ( 1)!
1 !( )! ( 1)![( 1) ( 1))!
+ = = + + − + + + − + k n n n C
k k k n k n k n k
11
1 + + = + k n C
n (*)
1
1
1 1
0
1
1 1
+ + + + + + = = − = = − = + + + n n n k k
n n n
k k
S C C C
n n n
Câu 11: Tính tổng sau: = 1+2 2+ + n
n n n
S C C nC
A 2 2n n−1 B n.2n+1 C 2 2n n+1 D n.2n−1
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có: ! !
!( )! ( 1)![( 1) ( 1)]!
= = − − − − − k n n n kC k
k n k k n k
( 1)! 11
( 1)![( 1) ( 1)]!
− − − = = − − − − k n n n nC
k n k , k
1
1
2 1
1 − − − − − = =
=n k = n k = n
n n
k k
S nC n C n
Câu 12: Tính tổng sau: =2.1 2+3.2 3+4.3 4+ + ( −1) n
n n n n
S C C C n n C
A n n( −1)2n−2 B n n( +2)2n−2 C n n( −1)2n−3 D n n( −1)2n+2
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có ( 1) ! ( 1) 22
( 2)!( )!
− − − = = − − − k k n n n
k k C n n C
k n k
2
3
2
( 1) −− ( 1)2 −
=
= − n k = − n
n k
S n n C n n
Câu 13: Tính tổng
2
0 1
+ − − = + + + + n n
n n n
S C C C
(26)Trang 26 A 1 + − + = + n n S n B 1 1 + + + = − + n n S n C 1 1 + − + = + + n n S n D 1 1 + − + = − + n n S n Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có S = −S1 S , 2
2
0
1
3 3
2
+
= + + + +
+
n n
n n n n
S C C C C
n
1
2
1 1
2
= + + +
+
n
n n n
S C C C
n Ta có 2 1 + − = − + n S n
Tính S1=?
Ta có:
1
1
3 !
3
1 ( 1)!( )!
+ + = + + − k k k n n C
k k n k
1
3 ( 1)!
1 ( 1)![( 1) ( 1)]!
+ +
=
+ + + − +
k
n
n k n k
1 1 + + + = + k k n C n
1
1 + + + = = − + n k k n n k
S C C
n 0 1 + + = = − − + n k k
n n n
k
C C C
n + − = − + n n Vậy 1 1 + − + = − + n n S n
Câu 14: Tính tổng
2
0 1
+ − − = + + + + n n
n n n
S C C C
n A 1 + − + = + n n S n B + − = + n n S n C + − = + n n S n D 1 + + + = + n n S n Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có: S = −S1 S 2
Trong
1
1
0
2
;
1 1
+ +
= =
−
= = = −
+ + +
n k n k n
k n
n
k k
C
S C S
k k n
Mà 1 1 2 1 + + + + = + + k k k k n n C C k n 1 1 + − = − + n S n Suy ra: 1 + − + = + n n S n
Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C12n+1−2.2C22n+1+3.22C23n+1− + (2n+1)2nC22nn++11 =2005
A n=1001 B n=1002 C n=1114 D n=102
Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt 1 1
( 1)
+
− −
+ =
=n − k k k
n k
S k C
Ta có: ( 1)− k−1 .2k k−1C2kn+1== −( 1)k−1.(2n+1).2k−1C2kn−1
Nên S=(2n+1)(C20n −2C21n+22C22n− + 22nC22nn)=2n+1 Vậy 2n+ =1 2005 =n 1002
(27)Trang 27
A n.8n−1 B (n+1).8n−1
C.(n−1).8n D n.8n
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có:
1
.3 5− − −
=
=n k n k n k
n k
VT k C
Mà k.3 5k−1 n k− Cnn k− =n.3 5k−1 n k−.Cnk−−11
Suy ra: (3 50 01 51 1 51 11)
− − − −
− − −
= n + n + + n n
n n n
VT n C C C
=n(5 3)+ n−1=n.8n−1
Câu 17: Tính tổng S =2.1Cn2+3.2Cn3+4.3Cn4+ + n n( −1)Cnn
A n n( +1)2n−2 B n n( −1)2n−2 C n n( −1)2n D (n−1)2n−2
Hướng dẫn giải: Chọn B
Ta có:
2
( 1)
=
=n − k
n k
S k k C
Mà k k( −1)Cnk =n n( −1)Cnk−−22
Suy 2
2 2
( 1)( − − − −− ) ( 1)2 −
= − + + + + n = − n
n n n n
S n n C C C C n n
Câu 18: Tính tổng ( ) ( ) ( )0 2 2 ( )2
+ + + + n
n n n n
C C C C
A C2nn B C2nn−1 C 2C2nn D C2nn−−11
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có:(x+1) (n 1+x) (n = x+1)2n Vế trái hệ thức là:
( 1 )( )
−
+ + + + + +
n n n n n
n n n n n n
C x C x C C C x C x
Và ta thấy hệ số x vế trái n
( ) ( ) ( )0 1 2 ( )2
+ + + + n
n n n n
C C C C
Còn hệ số x vế phải n (x+1)2n C2nn
Do ( ) ( ) ( )0 2 2 ( )2
+ + + + n = n
n n n n n
C C C C C
Câu 19: Tính tổng sau: S1 =5nCn0+5 3.n−1 Cnn−1+3 52 n−2Cnn−2+ + 3nCn0
A 28n B 1 8+ n C 8n−1 D 8n
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có: S1= +(5 3)n =8n
Câu 20: S2 =C20110 +22C20112 + + 22010C20112010
A 2011
3
2 +
B 211
3
2 −
C 2011
3 12
2 +
D 2011
3
2 −
Hướng dẫn giải: Chọn D
Xét khai triển:
2011 2 2010 2010 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
(1+x) =C +xC +x C + + x C +x C
Cho x=2 ta có được:
2011 2 2010 2010 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
(28)Trang 28
Cho x= −2 ta có được:
0 2 2010 2010 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 2 2
− =C − C + C − + C − C (2)
Lấy (1) + (2) ta có:
( 2 2010 2010) 2011
2011 2011 2011
2 C +2 C + + C =3 −1
Suy ra:
2011
0 2 2010 2010
2 2011 2011 2011
3
2
2 −
= + + + =
S C C C
Câu 21: Tính tổng = +2 + +
n
n n n
S C C nC
A 4 2n n−1 B n.2n−1 C 3 2n n−1 D 2 2n n−1
Hướng dẫn giải: Chọn B
Ta có: ! !
!( )! ( 1)![( 1) ( 1)]!
= =
− − − − −
k n
n n
kC k
k n k k n k
1
( 1)!
( 1)![( 1) ( 1)]!
− −
−
= =
− − − −
k n n
n nC
k n k , k
1
1
3 1
1
.2
−
− −
− −
= =
=n k = n k = n
n n
k k