Đang tải... (xem toàn văn)
Từ lâu, toán học đã trở thành một môn học không thể thiếu trong chương trình giảng dạy ở tất cả các cấp học không chỉ ở Việt Nam mà còn ở các quốc gia trên thế giới. Có thể nói những kiến thức của toán học không những là nền tảng tri thức cho các ngành khoa học khác mà còn được ứng dụng sâu rộng trong cuộc sống của chúng ta. Tuy nhiên, việc học toán ngày nay lại gặp một số bất cập. Việc học toán đã trở nên quá thực dụng, chẳng hạnhọcsinh chỉ biết học toán một cách máy móc là học công thức và vận dụng vào giải bài tập chứ chưa thật sự hiểu và vận dụng vào các môn học khác. Thậm chí, học sinh cũng không nhận thứcđược bản thân học định nghĩa, khái niệm, tính chất đó nhằm mục đích gì ngoài việc học để lấy điểm và vượt qua các kì thi. Tìm hiểu nguyên nhân của thực trạng trên, chúng tôi nhận thấy nó xuất phát từ nhiều phía như giáo viên rất khó khăn trong việc truyền đạt một định nghĩa hay khái niệm, học sinh thường không hiểu công thức mà chỉ học thuộc lòng công thức, đặc biệt học sinh không có động lực cũng như hứng thú trong việc tìm tòi tri thức,... Theochúng tôi, thiết nghĩ nguyên nhân chính đó là việc giảng dạy và tiếp thu kiến thức vẫn chưa bắt đầu từ những tri thức luận cũng như nguồn gốc của tri thức. Vì vậy, việc lấy những lí thuyết của Didactic toán làm cơ sở để nghiên cứu một tri thức là vô cùng cần thiết, bởi lẽ nó là công cụ giúp ta có được những phân tích cụ thể để từ đó có thể có những phương pháp phù hợp hơn trong quá trình giảng dạy. Như ta đã biết, một trong những kiến thức nền tảng có vai trò quan trọng trong chương trình lớp 12 đó là đạo hàm. Nó được biết đến như một công cụ để giải các bài toán khảo sát hàm số, tìm cực trị, chứng minh bất đẳng thức,... Vì vậy, nếu học sinh có thể hiểu khái niệmđạo hàm và vận dụng linh hoạt vào bài tập sẽ giúp ích rất nhiều trong các kì thi lớn như học sinh giỏi quốc gia, tốt nghiệp trung học phổ thông, tuyển sinh đại học, cao đẳng,... Ngoài ra, khái niệm đạo hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất và quan trọng nhất của giải tích toán học. Nó có những ứng dụng phong phú, đa dạng trong tất cả các ngành khoa học, kỹ thuật, kinh tế, và cả những ngành khoa học tưởng như không liên quan nhiều đến Toán học như xã hội học, tâm lí học,... Trong bộ sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000, khái niệm đạo hàm được giới thiệu ở chương trình lớp 12. Tuy nhiên, việc phân phối này tỏ ra khiếm khuyết cho học sinh ở chỗ các môn vật lí, hóa học,... đã sử dụng đạo hàm làm công cụ để giải quyết một số bài toán trước khi khái niệm đạo hàm được giới thiệu chính thức trong môn toán lớp 12. Đó là một trong những lí do mà trong lần cải cách giáo dục năm 2006, khái niệm đạo hàm đã được đưa vào chương cuối cùng của chương trình lớp 11. Trên thực tế giảng dạy, chúng tôi nhận thấy khái niệm đạo hàm đã có ít nhiều thay đổi sau những lần cải cách giáo dục để nó trở nên thật sự gần gũi và mang tính ứng dụng cao hơn. Mặc dù vậy, chúng tôi vẫn băn khoăn không biết sự thay đổi này cụ thể là ở phương diện nào: cách tiếp cận tri thức hay nội dung tri thức, nó đã biến đổi như thế nào so với tri thức bác học, quan trọng hơn hết là từ việc phân tích sách giáo khoa chúng tôi sẽ thấy được kiểu nhiệm vụ nào là quan trọng và công nghệ được sử dụng ở đây là gì, từ đó có thể làm rõ khái niệm cũng như học sinh có thể vận dụng kiến thức được linh hoạt hơn. Vì vậy, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng O ở đây là khái niệm đạo hàm để có thể giải quyết những băn khoăn ở trên.
MỤC LỤC MỞ ĐẦU Phương pháp nghiên cứu Khung lí thuyết tham chiếu 4.1Quan hệ thể chế 4.2Tổ chức toán học .4 CHƯƠNG I SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH .6 VÀ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠO HÀM 1.3.1 Trong vật lí 1.3.2 Tìm dạng hình tối ưu 11 CHƯƠNGII 12 PHÂN TÍCH MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ GIỮA KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VỚI THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN LỚP 11 CƠ BẢN 12 1.2.3Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số .18 1.3 Phân tích tập .25 CHƯƠNG III 40 PHÂN TÍCH THỰC NGHIỆM 40 KẾT LUẬN 44 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Từ lâu, tốn học trở thành mơn học khơng thể thiếu chương trình giảng dạy tất cấp học không Việt Nam mà cịn quốc gia giới Có thể nói kiến thức tốn học khơng tảng tri thức cho ngành khoa học khác mà ứng dụng sâu rộng sống Tuy nhiên, việc học toán ngày lại gặp số bất cập Việc học toán trở nên thực dụng, chẳng hạnhọcsinh biết học tốn cách máy móc học cơng thức vận dụng vào giải tập chưa thật hiểu vận dụng vào môn học khác Thậm chí, học sinh khơng nhận thứcđược thân học định nghĩa, khái niệm, tính chất nhằm mục đích ngồi việc học để lấy điểm vượt qua kì thi Tìm hiểu nguyên nhân thực trạng trên, chúng tơi nhận thấy xuất phát từ nhiều phía giáo viên khó khăn việc truyền đạt định nghĩa hay khái niệm, học sinh thường khơng hiểu cơng thức mà học thuộc lịng cơng thức, đặc biệt học sinh khơng có động lực hứng thú việc tìm tịi tri thức, Theochúng tơi, thiết nghĩ ngun nhân việc giảng dạy tiếp thu kiến thức chưa tri thức luận nguồn gốc tri thức Vì vậy, việc lấy lí thuyết Didactic toán làm sở để nghiên cứu tri thức vơ cần thiết, lẽ cơng cụ giúp ta có phân tích cụ thể để từ có phương pháp phù hợp trình giảng dạy Như ta biết, kiến thức tảng có vai trị quan trọng chương trình lớp 12 đạo hàm Nó biết đến cơng cụ để giải tốn khảo sát hàm số, tìm cực trị, chứng minh bất đẳng thức, Vì vậy, học sinh hiểu khái niệmđạo hàm vận dụng linh hoạt vào tập giúp ích nhiều kì thi lớn học sinh giỏi quốc gia, tốt nghiệp trung học phổ thơng, tuyển sinh đại học, cao đẳng, Ngồi ra, khái niệm đạo hàm khái niệm quan trọng giải tích tốn học Nó có ứng dụng phong phú, đa dạng tất ngành khoa học, kỹ thuật, kinh tế, ngành khoa học tưởng khơng liên quan nhiều đến Tốn học xã hội học, tâm lí học, Trong sách giáo khoa chỉnh lí hợp năm 2000, khái niệm đạo hàm giới thiệu chương trình lớp 12 Tuy nhiên, việc phân phối tỏ khiếm khuyết cho học sinh chỗ mơn vật lí, hóa học, sử dụng đạo hàm làm công cụ để giải số toán trước khái niệm đạo hàm giới thiệu thức mơn tốn lớp 12 Đó lí mà lần cải cách giáo dục năm 2006, khái niệm đạo hàm đưa vào chương cuối chương trình lớp 11 Trên thực tế giảng dạy, chúng tơi nhận thấy khái niệm đạo hàm có nhiều thay đổi sau lần cải cách giáo dục để trở nên thật gần gũi mang tính ứng dụng cao Mặc dù vậy, chúng tơi băn khoăn thay đổi cụ thể phương diện nào: cách tiếp cận tri thức hay nội dung tri thức, biến đổi so với tri thức bác học, quan trọng hết từ việc phân tích sách giáo khoa thấy kiểu nhiệm vụ quan trọng công nghệ sử dụng gì, từ làm rõ khái niệm học sinh vận dụng kiến thức linh hoạt Vì vậy, chúng tơi tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng O khái niệm đạo hàm để giải băn khoăn Mục đích nghiên cứu Mục đích tiểu luận nghiên cứu sách giáo khoa sách tập lớp 11 ban hành, sách giáo viên, số tài liệu khác thực tế giảng dạy phổ thông để trả lời câu hỏi sau đây: Q1 Khái niệm đạo hàm hình thành nào? Những đối tượng, khái niệm tốn học có liên quan, góp phần làm nảy sinh tiến triển khái niệm này? Q2 Mối quan hệ đối tượng đạo hàm với thể chế dạy học toán 11 hành? (Khái niệm đạo hàm trình bày sách giáo khoa lớp 11 ban hành? Các kiểu nhiệm vụ ưu tiên? Các kỹ thuật liên quan giảng dạy, kỹ thuật ưu tiên? Các phát biểu công nghệ lý giải kỹ thuật đó?) Phương pháp nghiên cứu Chúng tiến hành nghiên cứu để trả lời câu hỏi vừa đặt dựa lí thuyết tốn chủ yếu lí thuyết nhân chủng học Bên cạnh đó, tìm hiểu lịch sử hình thành phát triển đạo hàm phân tích tổng hợp dựa kết nghiên cứu luận văn thông tin đáng tin cậy Internet Chúng tơi thực việc phân tích sách giáo khoa sách giáo viên, sách giáo khoa sách tập 11 hành Khung lí thuyết tham chiếu Để tìm kiếm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tơi đặt nghiên cứu khn khổ lý thuyết didactic toán, cụ thể lý thuyết nhân chủng học Trong lý thuyết nhân chủng học, sử dụng khái niệm “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học” 4.1 Quan hệ thể chế Quan hệ R(I,O) thể chế I đối tượng O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I trì O Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cho biết đối tượng tri thức “khái niệm đạo hàm” xuất đâu, nào, tồn sao, có vai trị thể chế Nói cách khác, tùy theo thể chế lựa chọn thể chế toán học hay thể chế dạy-học tốn Việt Nam, chúng tơi trả lời câu hỏi “khái niệm đạo hàm hình thành nào?”, “Sách giáo khoa lớp 11 ban giới thiệu đạo hàm nào?” Quan hệ R(X,O) cá nhân X đối tượng O tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X trì O Nó cho biết X nghĩ O, hiểu O, thao tác với O Việc học tập cá nhân X đối tượng O trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) bị ảnh hưởng, chi phối quan hệ thể chế Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân với đối tượng “đạo hàm” cho phép hiểu biết cách hiểu học sinh khái niệm đạo hàm sau học, đọc sách giáo khoa, Từ đó, chúng tơi tìm câu trả lời cho câu hỏi “Cách trình bày sách giáo khoa lớp 11 ban có ảnh hưởng đến việc học khái niệm đạo hàm học sinh?” Quan hệ R(I,O) ảnh hưởng đến quan hệ R(X,O) Do đó, ta muốn nghiên cứu R(X,O) phải đặt R(I,O) Đồng thời quan hệ thể chế có ảnh hưởng đến quan hệ giáo viên - học sinh 4.2 Tổ chức toán học Mỗi tổ chức toán học gồm thành phần [T,τ, θ, Θ ], T kiểu nhiệm vụ, τ kĩ thuật cho phép giải T, θ cơng nghệ giải thích cho kĩ thuật τ, Θ lí thuyết giải thích cho cơng nghệ θ Qua phân tích tổ chức toán học liên quan tới đối tượng O cho phép ta hiểu rõ mối quan hệ thể chế I với tri thức O, từ hiểu quan hệ cá nhân X với đối tượng O tức X trì với O nào? Cấu trúc tiểu luận Phần tiểu luận gồm chương: Chương I: Sơ lược lịch sử hình thành phát triển đạo hàm: Chúng tơi trình bày tóm tắt trình hình thành khái niệm đạo hàm dựa vào kết mà chúng tơi phân tích tổng hợp từ tài liệu tham khảo Qua trình bày ứng dụng thực tế đạo hàm nhiều lĩnh vực vật lí, hóa học, sinh học, Dựa vào kiến thức tìm giúp chúng tơi có sở cho việc phân tích chương II Chương II: Phân tích mối quan hệ thể chế khái niệm đạo hàm với thể chế dạy học toán lớp 11 bản: Dựa vào sách giáo khoa, sách tập, sách giáo viên Đại số Giải tích lớp 11 bản, chúng tơi phân tích chương trình, phân tích lí thuyết phân tích tập để trả lời câu hỏi Q2 mà đặt Chương III: Phân tích thực nghiệm: Bước đầu phân tích tiên nghiệm tình thực nghiệm để kiểm chứng quy tắc hợp đồng đưa chương CHƯƠNG I SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠO HÀM 1.1 Mục tiêu chương Để giải câu hỏi đặt từ đầu, chúng tơi tiến hành phân tích tổng hợp lịch sử hình thành đường phát triển khái niệm đạo hàm dựa cơng trình nghiên cứu tài liệu có liên quan Nội dung chương sở cho việc phân tích chương trình, xây dựng tổ chức tốn học rút giả thuyết dạy học chương II Do hạn chế thời gian nên thực việc phân tích nghiên cứu số tác giả, chủ yếu LÊ ANH TUẤN (2009) với luận văn Thạc sĩ Một nghiên cứu Didactic khái niệm đạo hàm lớp 11 phổ thông, BÙI THỊ THU HIỀN (2007) với luận văn Thạc sĩ Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm: Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, BÙI THỊ THANH MAI (2013) với luận văn tốt nghiệp Dạy học khái niệm đạo hàm trường phổ thông, 1.2 Tóm tắt lịch sử hình thành phát triển khái niệm đạo hàm Trong lịch sử Toán học, khái niệm đạo hàm không nhà khoa học định nghĩa trực tiếp mà xem cơng cụ ngầm ẩn để giải toán thực tế lĩnh vực vật lí, kĩ thuật, sinh học, hóa học, Ở thời kì, nhà tốn học lại có cách định nghĩa cách kí hiệu khác thể ý nghĩa đạo hàm.Trong phần đây, điểm lại vài nét đời khái niệm đạo hàm Qua giúp người đọc có nhìn tổng quát khái niệm đạo hàm Sự hình thành phát triển khái niệm đạo hàm đánh dấu đời Hình học giải tích vào nửa đầu kỉ XVII, sau Descartes phát minh phương pháp xác định tọa độ điểm hệ trục tọa độ vng góc cách biểu diễn hàm số đồ thị ông nhà toán học Fermat đặt tốn: Tìm tiếp tuyến đường cong, tìm cực đại cực tiểu hàm số Trong tác phẩm: “Phương pháp khảo sát số lớn nhất, số nhỏ nhất” Fermat đề xuất phương pháp tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phương pháp có nhiều chỗ bất hợp lí gặp khó khăn việc tìm giới hạn khái niệm vơ bé Tuy nhiên, phương pháp f ( A + E ) − f ( A) diện tư tưởng giới hạn khái niệm đạo hàm: = E E =0 (tương đương với với cách viết lim E →0 f ( A + E ) − f ( A) = hay E f ′ ( A) = ) Ngoài ra, Fermat đưa toán việc xác định tiếp tuyến đường cong sở “vô bé” Như vậy, Descartes Fermat tiếp cận điều cốt lõi đạo hàm Tuy nhiên phải đến nửa cuối kỉ XVII, Newton Leibnitz hai số nhà tốn học đặt móng vững cho phép tính vi phân.Họtiếp tục nghiên cứu đưa quan niệm riêng đạo hàm, vấn đề việc đưa phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến đường cong, tìm diện tích, tìm cực đại, cực tiểu hàm số, Mỗi người lại có cách kí hiệu quan niệm riêng đạo hàm Newtongọi khái niệm đạo hàm “dòng chảy” (fluxion)và kí hiệu ∆x , Leibnitz coi đạo hàm tỉ số vô nhỏvà gọi vi phân(differential quotient) kí hiệu dy Mặc dù vậy, Newton chưa đưa định nghĩa rõ ràng đạo dx hàm mà ông định nghĩa dòng chảy Leibnitz chưa định nghĩa vi phân Vào kỉ XVIII, Barrow có ý tưởng xem tiếp tuyến điểm đường cong đường thẳng trùng với phần vô nhỏ đường cong điểm đó, Newton trình bày phương pháp tìm nghiệm gần phương trình dựa ý tưởng Phương pháp ngầm ẩn mối quan hệ đạo hàm xấp xỉ affine: “Hàm số f ( x ) có đạo hàm a xấp xỉ f ( x ) hàm affine tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ a” Khái niệm đạo hàm có bước phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng giải tích tính gần nghiệm phương trình, khai triển Taylor, tính đạo hàm cấp cao ứng dụng việc giải tốn vật lí xuất quan điểm coi đạo hàm hàm số đạo hàm Ngồi ra, Larange có cách định nghĩa đạo hàm ngôn ngữ ε − δ (gần giống với định nghĩa nay)nhưngđã gặp khiếm khuyết ông coi chuỗi vô hạn chuỗi hữu hạn sử dụng tính chất đại số Cuối cùng, vào kỉ XIX, thời kì mà khái niệm đạo hàm định nghĩa hoàn chỉnh nhất, Cauchy Weiertrass định nghĩa đạo hàm sau: “Đạo hàm f ( x ) giới hạn (nếu tồn tại) tỉ số f ( x + h) − f ( x) h → ” h Theo ngôn ngữ ε − δ : “Với δ , ε đủ nhỏ, với h mà h < δ với x (thuộc đoạn cho trước) ta có: f ′( x ) − ε < f ( x + h) − f ( x) < f ′( x ) + ε h kí hiệu đạo hàm thức đời việc sử dụng kí hiệu Larange f ′ ( x ) đạo hàm sử dụng để tìm nghiệm phương trình vi phân Như vậy, qua hai kỉ nghiên cứu phát triển, khái niệm đạo hàm ngày hồn thiện Nó góp phần quan trọng việc xác định tiếp tuyến đường cong bất kì, nghiên cứu tính chất hàm số giải tốn thực tế, Vì để hiểu khái niệm đạo hàm cần phải hiểu định nghĩa, ý nghĩa hình học, ý nghĩa vật lí đạo hàm, đặc biệt việc vận dụng đạo hàm việc giải toán tìm vận tốc tức thời, cường độ dịng điện tức thời, 1.3 Một số ứng dụng đạo hàm 1.3.1 Trong vật lí Chuyển động chất điểm quỹ đạo lúc nhanh lúc chậm, để mơ tả đầy đủ trạng thái nhanh hay chậm chuyển động, người ta đưa vào đại lượng vật lí gọi vận tốc Trong đời sống ngày thường gặp khái niệm vận tốc dạng thuật ngữ “tốc độ” Xét chuyển động chất điểm đường cong (C): (C) ta chọn gốc A chiều dương Giả thiết thời điểm t, chất điểm vị trí M xác định bởi: AM = s ′ Tại thời điểm t = t + ∆t chất điểm vị trí M ′ xác định bởi: AM ′ = s ′ = s + ∆s Quãng đường chất điểm khoảng thời gian ∆t = t ′ − t là: MM ′ = s ′ − s = ∆s ∆s Quãng đường trung bình chất điểm khoảng đơn vị thời gian theo ∆t định nghĩa, gọi vận tốc trung bình chất điểm khoảng thời gian ∆t , ∆s ∆t Vận tốc trung bình đặc trưng cho độ nhanh chậm trung bình chuyển động kí hiệu vtb = chất điểm quãng đường MM ′ ; quãng đường độ nhanh chậm chuyển động chất điểm nói chung chỗ khác nghĩa thời điểm khác Để đặc trưng cho độ nhanh chậm chuyển động thời điểm, ta phải tính tỷ số ∆s khoảng thời gian vô nhỏ Theo định nghĩa: cho ∆t ( f '( x ) < g ' ( x ) , f '( x ) ≤ g ' ( x ) , f '( x ) ≥ g ' ( x ) ) ” x2 − Bài 2.15: Cho f ( x ) = x − x + 3, g ( x ) = x + Giải bất phương trình f '( x ) > g ' ( x ) (Sách tập, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 198) Lời giải gợi ý: Ta có: f ' ( x ) = x − x g ' ( x ) = 3x + x Khi ta có bất phương trình: x < x − x > 3x + x ⇔ 3x − 3x > ⇔ x >1 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x < x > Kiểu nhiệm vụ T2h: “Tìm a để f ' ( x ) > c ( f ' ( x ) < c, f ' ( x ) ≥ c, f ' ( x ) ≤ c 3 ) ∀x ∈ ¡ ” Bài 4:Xác định a để f ' ( x ) > ∀x ∈ ¡ , biết f ( x ) = x + ( a − 1) x + x + (Sách tập, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 208) Lời giải gợi ý: Ta có: f ' ( x ) = x + ( a − 1) x + Để f ' ( x ) > ∀x ∈ ¡ ∆ ' < Trong đó: ∆ ' = ( a − 1) − = a − 2a − Khi đó: ∆ ' < ⇔ a − 2a − < ⇔ − < a < + Vậy f ' ( x ) > ∀x ∈ ¡ − < a < + Chúng ký hiệu T2b, T2c, T2d, T2e, T2f, T2g, T2hlà kiểu nhiệm vụ có kỹ thuật, cơng nghệ với kiểu nhiệm vụ T2a Kiểu nhiệm vụ T3: “Chứng minh hàm số y = f(x) khơng có đạo hàm điểm x0” Có hai kỹ thuật Kĩ thuật τ : Chứng minh hàm số không liên tục x0 Cơng nghệ θ : Định lí: “ Hàm số y = f(x) có đạo hàm x liên tục điểm đó” 31 Lý thuyết Θ3 : Giới hạn hàm số ( x − 1) ; x ≥ f x = Bài : Chứng minh hàm số ( ) khơng có đạo hàm x = − x ; x < (Sách giáo khoa, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 156) Lời giải sách giáo viên, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 160: 2 Ta có lim+ f ( x ) = lim+ ( x − 1) = lim− f ( x ) = lim− ( − x ) = x→0 x→0 x→0 x →0 Vậy hàm số y = f ( x ) gián đoạn x = Từ suy hàm số khơng có đạo hàm x=0 Kĩ thuật τ : Giới hạn bên - Kiểm tra lim+ x→ x f ( x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) lim− không tồn x→ x x − x0 x − x0 hai giới hạn khác Công nghệ θ3 : Định nghĩa đạo hàm Lý thuyết Θ : Giới hạn hàm số Nhận xét: Kiểu nhiệm vụ giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ đạo hàm tính liên tục Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm vi phân hàm số y=f(x)” Kĩ thuật τ : Tính đạo hàm hàm số Áp dụng cơng thức tính vi phân Công nghệ θ4 : Định nghĩa vi phân Lý thuyết Θ4 : Định nghĩa đạo hàm Ví dụ 1: Tìm vi phân hàm số sau: a) y = x − x + b) y = sin x (Sách giáo khoa, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 170) Lời giải sách giáo khoa, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 170: 32 a) y = x − x + 1, y ′ = x − Vậy dy = d ( x − x + 1) = y ′dx = ( 3x − 5) dx b) y = sin x, y ′ = 3sin x cos x Vậy dy = d ( sin x ) = y ′dx = 3sin x.cos xdx Nhận xét: Kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng định nghĩa vi phân vào tập Kiểu nhiệm vụ T5: “Tính gần giá trị” Kĩ thuật τ : Tính đạo hàm hàm số Xác định x0 , ∆x Áp dụng cơng thức tính gần Cơng nghệ θ5 : Cơng thức tính gần Lý thuyết Θ5 : Định nghĩa đạo hàm, định nghĩa vi phân Ví dụ 2: Tính giá trị gần 3,99 (Sách giáo khoa, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 171) Lời giải sách giáo khoa, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 171: Đặt f ( x ) = x , ta có f ′ ( x ) = x Theo cơng thức tính gần đúng, với x0 = 4, ∆x = −0,01 ta có f ( 3,99 ) = f ( − 0,01) ≈ f ( ) + f ′ ( ) ( −0,01) ( −0,01) = 1,9975 Tức 3,99 = − 0,01 ≈ + Nhận xét: Trong phần tóm tắt lịch sử chương I, nhắc tới việc Newton xấp xỉ hàm f ( x ) hàm affine Sau khái niệm đạo hàm hoàn chỉnh ngày nhờ vào vi phân ta tính gần giá trị Kiểu nhiệm vụ T6a : “Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f ( x ) điểm” Kĩ thuật τ6a : + Tính f ′ ( x0 ) + Tính f ( x0 ) + Viết phương trình tiếp tuyến Cơng nghệ θ6a : Định nghĩa đạo hàm, phương trình tiếp tuyến điểm 33 Ví dụ 2: Cho parabol y = − x + 3x − Viết phương trình tiếp tuyến parabol điểm có hoành độ x0 = −2 (Sách giáo khoa, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 152) Lời giải sách giáo khoa, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 152: Bằng định nghĩa ta tính y ' ( ) = −1 Do đó, hệ số góc tiếp tuyến -1 Ngồi ta có y ( ) = Vậy phương trình tiếp tuyến parabol điểm M ( 2;0 ) là: y − = ( −1) ( x − ) hay y = − x + Nhận xét: Đây kiểu nhiệm vụ giúp học sinh thấy ý nghĩa hình học đạo hàm việc viết phương trình tiếp tuyến Kiểu nhiệm vụ T6b : “Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f ( x ) biết hệ số góc tiếp tuyến k” Kĩ thuật τ 6b : + Gọi hoành độ tiếp điểm x0 Giải phương trình f ′ ( x0 ) = k từ suy toạ độ tiếp điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) + Viết phương trình tiếp tuyến M ( x0 ; f ( x0 ) ) Cơng nghệ θ6b : Định nghĩa đạo hàm, phương trình tiếp tuyến điểm Bài 5: Cho đường cong y = x Viết phương trình tiếp tuyến đường cong biết hệ số góc (Sách giáo khoa, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 156) Lời giải gợi ý: Ta có: y ' = x x0 = 1, f ( x0 ) = Vì hệ số góc đường cong nên: y ' = ⇔ x0 = ⇔ x0 = −1, f ( x0 ) = −1 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến với đường cong là: y − = ( x − 1) hay y = 3x − Và y + = ( x + 1) hay y = 3x + Nhận xét: Đây kiểu nhiệm vụ giúp học sinh thấy ý nghĩa hình học đạo hàm việc viết phương trình tiếp tuyến 34 Kiểu nhiệm vụ T7: “Chứng minh hàm số có đạo hàm khơng phụ thuộc vào x ” Kỹ thuật τ : Tính đạo hàm hàm số theo công thức Công nghệ θ7 : Định nghĩa đạo hàm, dùng công thức tính đạo hàm Bài 6b: Chứng minh hàm số sau có đọa hàm khơng phụ thuộc vào x : π π 2π 2π y = cos2 − x ÷ + cos2 + x ÷ + cos2 − x ÷ + cos2 + x ÷ − 2sin x 3 3 (Sách giáo khoa, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 169) Lời giải sách giáo viên, Đại số Giải tích 11 Cơ bản, trang 173: Vì cơsin hai cung bù đối cho nên: π 2π cos2 + x ÷ = cos2 − x÷ 3 π 2π cos2 − x ÷ = cos2 + x÷ 3 Do đó: π π 2π 2π y = cos2 − x ÷ + cos2 + x ÷ + cos − x ÷ + cos + x ÷ − 2sin x 3 3 π π = 2cos2 − x ÷+ 2cos2 + x ÷− 2sin x 3 3 Từ suy ra: 35 π π π π y ' = 2cos − x ÷sin − x ÷+ 2cos + x ÷sin + x ÷ − 4sin x cos x 3 3 3 3 2π 2π = 2sin − x ÷− 2sin + x ÷− 2sin x 2π 2π 2π 2π = sin cos x − cos sin x − sin cos x − cos sin x − sin x ÷ 3 3 1 = sin x + sin x − sin x ÷ = 2 Vậy y ' = với x , tức y ' không phụ thuộc vào x Bảng thống kê số lượng tập chương trình Đại số Giải tích 11 Cơ Ví dụ + Hoạt động SGK SBT Kiểu nhiệm vụ T1a: “Tính đạo hàm hàm số điểm x0 SGK SBT 2 T1a′ : “Tính số gia ∆y hàm số theo x, ∆x ” 0 ∆y hàm số theo x, ∆x ∆x 0 1 định nghĩa T1a′′ : “Tính số gia ” T1b: “Chứng minh hàm số y = f ( x ) có đạo hàm điểm x0 T2a: “Tìm đạo hàm hàm số y = f ( x ) công thức” T2b: “Sử dụng kết lý thuyết đạo hàm để giải số toán liên quan đến đạo hàm môn học khác thực 18 58 0 tế” T2c: “Chứng minh hệ thức chứa đạo hàm cấp hàm số y = f ( x ) ” T2d: “Tính giá trị biểu thức chứa đạo 36 hàm cấp 1, 2, hàm số cho trước” T2e: “Giải phương trình f '( x ) = c , c số” T2f: “Giải bất phương trình f '( x ) > c , c số” T2g: “Giải bất phương trình f '( x ) > g '( x ) ” T2h: “Tìm a để f '( x ) > c , c số” T3: “ Chứng minh hàm số y = f(x) khơng có đạo hàm điểm x0” T4: “Tìm vi phân hàm số y=f(x)” T5: “Tính gần giá trị” T6a : “Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f ( x ) điểm” T6b : “Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y = f ( x) T7: “Chứng minh hàm số có đạo hàm khơng phụ thuộc vào x ” 0 0 0 0 3 2 1 2 1 0 2 0 1 Kết luận Qua việc phân tích lí thuyết, thể chế giới thiệu cho học sinh quy tắc tìm đạo hàm định nghĩa Tuy nhiên, số lượng tập việc tính đạo hàm định nghĩa bài, số lượng tập dùng quy tắc để tính đạo hàm 93 Chúng tơi nhận thấy có chênh lệch đáng kể việc dùng cơng cụ để tính đạo hàm Thể chế trọng việc dùng quy tắc để tính đạo hàm Điều cho phép phát biểu quy tắc hợp đồng Didactic RE1 RE1: “Tính đạo hàm hàm số sử dụng cơng thức đạo hàm có” Theo định nghĩa đạo hàm điểm, thấy muốn tính đạo hàm hàm số trước hết hàm số phải xác định khoảng Nhưng 37 dựa vào bảng thống kê số lượng tập khơng có tập yêu cầu học sinh phải kiểm tra tồn hàm số trước tính đạo hàm Vì vậy, thực việc tính đạo hàm học sinh áp dụng quy tắc tính đạo hàm mà không quan tâm đến tồn Từ đó, chúng tơi nhận thấy có quy tắc hợp đồng Didactic RE2: RE2: “Trong tốn tìm đạo hàm hàm số, học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra hàm số cho có đạo hàm hay khơng mà việc tính đạo hàm” Như phân tích chương I, đạo hàm có ứng dụng nhiều thực tế Vì để củng cố kiến thức đạo hàm vận dụng vào việc giải toán thực tế, thể chế đưa cho học sinh số tập thực tế kiểu nhiệm vụ T2a Ngoài ra, số kiểu nhiệm vụ xuất sách giáo khoa mà không xuất sách tập là: T1′, T1′′ Nhưng chúng tơi nhận thấy, điều khơng ảnh hưởng đến q trình tiếp cận khái niệm học sinh Một số kiểu nhiệm vụ xuất sách tập không xuất sách giáo khoa như: T2b, T2g, T5 Đây tập nâng cao, có kết hợp kiến thức đạo hàm vào việc giải bất phương trình, giúp học sinh củng cố kiến thức đạo hàm Một số dạng tập tiếp tuyến thể chế đưa vào cho học sinh tiếp cận Với số lượng tập tương đối bài, bên cạnh việc củng cố kiến thức đạo hàm thể chế muốn học sinh bước tiếp cận với ứng dụng toán khảo 38 sát đồ thị hàm số học chương trình lớp 12 cụ thể tiếp tuyến Vì vậy, việc thể chế phân phối chương đạo hàm nằm chương cuối chương trình 11 hồn tồn hợp lí Việc phân phối giúp học sinh bớt bỡ ngỡ tiếp cận với kiến thức 12 39 CHƯƠNG III PHÂN TÍCH THỰC NGHIỆM Dựa sở lí thuyết phân tích chương 1, tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa, sách tập sách giáo viên Đại số Giải tích 11 rút quy tắc hợp đồng Didactic chương sau: RE1: “Tính đạo hàm hàm số sử dụng cơng thức đạo hàm có” RE2: “Trong tốn tìm đạo hàm hàm số, học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra hàm số cho có đạo hàm hay khơng mà việc tính đạo hàm” Để kiểm chứng quy tắc hợp đồng trên, tiến hành xây dựng mơ hình thực nghiệm Tuy nhiên hạn chế thời gian nên bước đầu phân tích tiên nghiệm tình thực nghiệm việc đưa câu hỏi, dự kiến chiến lược phân tích chiến lược Chúng tơi đưa hai tập thực việc tính đạo hàm hàm số điểm Nhưng lại ứng với hai đối tượng khác Bài tập đưa nhằm kiểm chứng quy tắc hợp đồng RE 1: “Tính đạo hàm hàm số sử dụng công thức đạo hàm có” Thời điểm thực nghiệm tiến hành học sinh lớp 12 Học sinh làm cá nhân giải tập trực tiếp lên phiếu trả lời câu hỏi Bài tập 1: Tính đạo hàm hàm số y = f ( x ) = x − điểm x0 = 40 Dựa theo định nghĩa đạo hàm, thấy hàm số y = x − xác định ¡ x0 = ∈ ¡ nên hàm số có đạo hàm x0 = Vì vậy, giải tốn học sinh dùng hai cách làm: dùng định nghĩa công thức để tính đạo hàm Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, nhận thấy học sinh dùng công thức tính đạo hàm mà khơng dùng định nghĩa Bài tập giúp kiểm chứng RE 1: có thật học sinh dùng quy tắc tính đạo hàm hay khơng? Các chiến lược giải quan sát là: Chiến lược S1: Dùng định nghĩa đạo hàm f ( x ) − f ( 1) S1a: Tính giới hạn x2 − lim = lim = lim ( x + 1) x →1 x →1 • x −1 x − x →1 α ) Kết β ) Kết khác f ( x ) − f ( 1) x →1 • x −1 S1c: Tính giới hạn f ( + ∆x ) − f ( 1) ∆x ) + ∆ x ( lim = lim = lim ( ∆x + ) • ∆x → ∆ x →0 ∆x → ∆x ∆x S1b: Không tồn giới hạn lim α ) Kết β ) Kết khác f ( + ∆x ) − f ( 1) ∆x → • ∆x Chiến lược S2: Dùng công thức đạo hàm hàm số S2a : - Tính y ' = f ' ( x ) = 2x • S1d: Khơng tồn giới hạn lim - Tính f ' ( 1) = 2.1 α ) Kết β ) Kết khác S2b: Một hàm số khác đạo hàm • 41 y = x2 − Bài tập thứ hai đưa nhằm kiểm chứng quy tắc hợp đồng RE 2: Trong tốn tìm đạo hàm hàm số, học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra hàm số cho có đạo hàm hay khơng mà việc tính đạo hàm Thời điểm thực nghiệm tiến hành học sinh lớp 12 Học sinh làm cá nhân giải tập trực tiếp lên phiếu trả lời câu hỏi Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số y = f ( x ) = ln x điểm x0 = −1 Hàm số y = lnx có tập xác định D = ( 1; +∞ ) −1 ∉ ( 1; +∞ ) nên y = lnx khơng có đạo hàm x0 = −1 Vì vậy, tập dùng để kiểm chứng RE 2: Trong toán tìm đạo hàm hàm số, học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra hàm số cho có đạo hàm hay khơng mà việc tính đạo hàm, dẫn đến sai lầm cách giải học sinh Các chiến lược giải quan sát là: Chiến lược S1: Kiểm tra tồn đạo hàm hàm số Theo định nghĩa sách giáo khoa Đại số Giải tích 11, hàm số cho không tồn đạo hàm Chiến lược S2: Không kiểm tra tồn đạo hàm hàm số f ( x ) − f ( −1) ln x − ln ( −1) S2a : Tính giới hạn không tồn lim = lim ⇒ x →( −1) x →1 • x +1 x +1 S2b: Dùng cơng thức đạo hàm hàm số • - Tính f ′ x = ( ) x - Tính f ′ -1 ( ) α ) Kết −1 β ) Kết khác 42 KẾT LUẬN Trong tiểu luận này, chúng tơi - Tóm tắt sơ lược trình hình thành phát triển khái niệm đạo hàm, đồng thời giới thiệu số ứng dụng đạo hàm lĩnh vực khác Qua đó, chúng tơi giải Q1 giúp người đọc hiểu chất cần thiết việc hình thành khái niệm đạo hàm - Trong phần phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm, thông qua việc phân tích cấu trúc chương trình, phân tích sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập Đại số Giải tích 11 bản, chúng tơi trả lời Q có kết luận sau: + Thể chế xây dựng việc hình thành định nghĩa đạo hàm thơng qua việc giải tốn thực tế giống trình hình thành phát triển đạo hàm lịch sử Vì vậy,quá trình tiếp cận định nghĩa đạo hàm học sinh hình thành qua việc giải tốn vật lí + Thể chế muốn học sinh hiểu định nghĩa đạo hàm, áp dụng định nghĩa vào việc tính đạo hàm điểm Bên cạnh việc áp dụng quy tắc tính đạo hàm để giải tốn có liên quan giải phương trình, bất phương trình, viết phương trình tiếp tuyến, tiếp tục tiếp cận số toán ứng dụng thực tế mức độ đơn giản + Các ràng buộc thể chế hành khái niệm đạo hàm thể rõ qua phân tích phần phân tích sách giáo khoa: Tính đạo hàm hàm số sử dụng công thức đạo hàm có, tốn tìm đạo hàm hàm số, học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra hàm số cho có đạo hàm hay khơng mà việc tính đạo hàm, Trong thời gian tới, dựa phân tích lí thuyết tiến hành thực nghiệm trường phổ thơng Qua đó, chúng tơi đối chiếu với điều phân tích thơng qua thực tế đưa phương pháp dạy học phù hợp hơn, giúp cho việc học toán học sinh khơng cịn đơn việc học cơng thức giải tập mà thay vào việc hiểu nguồn gốc, chất khái niệm, định nghĩa 44 liên kết logic kiến thức với Học sinh tự tiếp cận với kiến thức thông qua việc quy lạ quen 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Anh Tuấn (2009), luận văn Thạc sĩ Một nghiên cứu Didactic khái niệm đạo hàm lớp 11 phổ thông [2] BÙI THỊ THU HIỀN (2007), luận văn Thạc sĩ Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm: Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm [3] BÙI THỊ THANH MAI (2013), luận văn tốt nghiệp đại học Dạy học khái niệm đạo hàm trường phổ thông [4] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên) (2013), Đại số Giải tích 11 Cơ bản, Nhà xuất Giáo dục [5] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên) (2010), Sách giáo viênĐại số Giải tích 11 Cơ bản, Nhà xuất Giáo dục [6] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên) (2007), Sách tậpĐại số Giải tích 11 Cơ bản, Nhà xuất Giáo dục 46 ... Khung lí thuyết tham chiếu Để tìm kiếm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, đặt nghiên cứu khn khổ lý thuyết didactic toán, cụ thể lý thuyết nhân chủng học Trong lý thuyết nhân chủng học, sử... nhiên, việc học toán ngày lại gặp số bất cập Việc học toán trở nên thực dụng, chẳng hạnhọcsinh biết học toán cách máy móc học cơng thức vận dụng vào giải tập chưa thật hiểu vận dụng vào mơn học khác... trọng giải tích tốn học Nó có ứng dụng phong phú, đa dạng tất ngành khoa học, kỹ thuật, kinh tế, ngành khoa học tưởng không liên quan nhiều đến Toán học xã hội học, tâm lí học, Trong sách giáo khoa