BAO CAO NHOM giáo dục toán thực tế RME trong dạy học toán

Giáo dục toán học thực tế (giáo dục toán học bằng thực tế) được hình thành từ những năm 1970 ở Hà Lan bởi Hans Freudenthal với tên gọi Realistic Mathematics Education (RME). Về sau, lý thuyết này được ứng dụng mạnh mẽ trong giáo dục Toán học ở Anh, Mỹ,… RME còn được biết đến với tên gọi Mathematics in Context (MiC) (tên gọi này khá phổ biến ở Anh thay vì RME). Từ năm 1971, viện Freudenthal ở Hà Lan ra đời với chức năng nghiên cứu hướng dẫn ứng dụng RME trong học tập và giảng dạy toán học. Đến năm 2003, viện Freudenthal ở Mỹ được thành lập nhằm cải thiện tình trạng giáo dục trong toán học và các phân ngành khoa học khác, mà trọng tâm là nghiên cứu giảng dạy và phát triển các chương trình giảng dạy với xu hướng gắn kiến thức toán học với thực tế cuộc sống. Theo Freudenthal toán học phải liên hệ với thực tiễn, gần gũi với trẻ em và liên quan đến xã hội. Việc học toán không nên và không cần thiết là sự truyền đạt từ người thầy cho người trò những kiến thức trừu tượng, khó hiểu. Môn toán được học thông qua việc “phát minh lại” (reinvent) kiến thức bằng một ngữ cảnh cụ thể với một vài hướng dẫn cần thiết từ giáo viên. Việc lặp đi lặp lại quy trình, giải thuật, của một bài toán trên giấy không thể tạo cảm hứng sáng tạo cho học sinh và vấn đề ứng dụng nó ra thực tế đang được quan tâm sâu sắc trong thế giới nghiên cứu hiện đại. Từ năm 1987, Treffers đã phát triển phong phú tư tưởng giáo dục toán học bằng thực tế của Freudenthal.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SAU ĐẠI HỌC BÁO CÁO NHĨM ĐỀ TÀI: GIÁO DỤC TỐN HỌC THỰC TẾ Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN PHÚ LỘC CẦN THƠ NĂM 2015 DANH SÁCH NHÓM CÁC TỪ VIẾT TẮT RME Realistic Mathematics Education MiC Mathematics in Context Phần 1: LÝ THUYẾT GIÁO DỤC TOÁN HỌC THỰC TẾ CỦA FREUDENTHAL Giới thiệu Giáo dục toán học thực tế (giáo dục tốn học thực tế) hình thành từ năm 1970 Hà Lan Hans Freudenthal với tên gọi Realistic Mathematics Education (RME) Về sau, lý thuyết ứng dụng mạnh mẽ giáo dục Tốn học Anh, Mỹ,… RME cịn biết đến với tên gọi Mathematics in Context (MiC) (tên gọi phổ biến Anh thay RME) Từ năm 1971, viện Freudenthal Hà Lan đời với chức nghiên cứu hướng dẫn ứng dụng RME học tập giảng dạy toán học Đến năm 2003, viện Freudenthal Mỹ1 thành lập nhằm cải thiện tình trạng giáo dục toán học phân ngành khoa học khác, mà trọng tâm nghiên cứu giảng dạy phát triển chương trình giảng dạy với xu hướng gắn kiến thức toán học với thực tế sống Theo Freudenthal toán học phải liên hệ với thực tiễn, gần gũi với trẻ em liên quan đến xã hội Việc học tốn khơng nên khơng cần thiết truyền đạt từ người thầy cho người trị kiến thức trừu tượng, khó hiểu Mơn tốn học thơng qua việc “phát minh lại” (reinvent) kiến thức ngữ cảnh cụ thể với vài hướng dẫn cần thiết từ giáo viên Việc lặp lặp lại quy trình, giải thuật, tốn giấy khơng thể tạo cảm hứng sáng tạo cho học sinh vấn đề ứng dụng thực tế quan tâm sâu sắc giới nghiên cứu đại Địa website: http://www.fius.org/ ntc 27/02/2015 Từ năm 1987, Treffers phát triển phong phú tư tưởng giáo dục toán học thực tế Freudenthal Một số khái niệm RME Ý tưởng RME trẻ em nên trao hội sáng tạo lại kiến thức toán học hướng dẫn giáo viên Ngoài kiến thức tốn học cịn phát triển từ hiểu biết vốn có trẻ em (Treffers, 1991a) Theo quan điểm việc học toán cần tương tác cao giáo viên xây dựng học dựa ý tưởng học sinh Tiếp cận thực tế tốn học hoạt động mà việc học toán giống thực hành toán, nghĩa giải vấn đề sống hàng ngày theo ngữ cảnh Theo Freudenthal (1971) hoạt động giải vấn đề, tìm kiếm vấn đề, hoạt động việc tổ chức đối tượng Đó vấn đề từ thực tế tổ chức theo mơ hình tốn học, kết cũ riêng bạn hay người khác tổ chức lại theo ý tưởng mới, để hiểu rõ hơn, bối cảnh rộng lớn phương pháp tiên đề Tổ chức hoạt động gọi hoạt động tốn học toán học hoá (mathematizing2) Các đề cập Freudenthal hoạt động tốn học q trình quan trọng việc giáo dục toán học hai lý Thứ nhất, làm việc với hoạt động toán học khơng nhiệm vụ nhà tốn học, mà cịn giúp học sinh làm quen với cách tiếp cận tốn học thơng qua tình xảy hàng ngày Ví dụ hoạt động toán học để giải vấn đề theo ngữ cảnh, ám quan điểm tốn học học sinh nên biết ưu điểm hạn chế phương pháp giải toán, biết tiếp cận tốn phù hợp Thứ hai, giai đoạn cuối cùng, tốn học xác hoá lý thuyết Cuối cùng, Freudenthal cho rằng, giáo dục tốn học cho học sinh q trình tái tạo lại kiến thức có hướng dẫn giáo viên, để em trải nghiệm lại trình sáng tạo toán học nhà phát minh toán học thực thụ regard or treat (a subject or problem) in mathematical terms (chú ý luận giải chủ đề vấn đề thuật ngữ toán học) Q trình khái niệm hố tốn học miêu tả cụ thể hình sau (theo Lange (1996), dẫn lại từ tài liệu [1]) Hình lý giải bối cảnh thực tế lại trở nên quan trọng bước khởi đầu học tập mơn tốn De Lange cho trình phát triển khái niệm toán học xuất phát từ thực tế giải pháp cuối để đem giới thực Vì cần làm giáo dục tốn học đem từ giới thực biến thành hoạt động toán học sau trả với giới thực Q trình dẫn đến việc hình thành khái niệm tốn học Thế giới thực Hoạt động toán học ứng dụng Hoạt động toán học Và phản ánh Trừu tượng hình thức hố Figure Tốn học hố khái niệm (theo Lange (1996), dẫn lại từ tài liệu [1]) 3 Các nguyên tắc RME Theo Gravemeijer (1994, 1997) có ngun tắc chủ chốt: 3.1 Hướng dẫn tái tạo để tiến tới toán học hoá Theo de Lange (1987), RME giới thực khám phá trực giác Sau đó, tổ chức cấu lại vấn đề, cố gắng xác định khía cạnh tốn học để khám phá tìm quy luật Đây bước đầu trình sáng tạo lại tốn học Tiêu chí hàng đầu RME giảng dạy: hướng dẫn sáng tạo lại tốn học thơng qua hoạt động Trong nguyên tắc việc sáng tạo lại kiến thức toán học học sinh trao hội tương tự nhà toán học trải qua để khám phá kiến thức toán học Ban đầu học sinh phải tưởng tượng đường giải vấn đề đốn xem giải pháp có phù hợp khơng Q trình quan trọng việc đạt kết Theo Gravemeijer (1994, 1997) có điều cần ý hướng dẫn học sinh tái tạo lại kiến thức toán học Thứ từ lịch sử tốn học tìm hiểu cách mà số kiến thức toán học phát triển Điều giúp cho nhà thiết kế chương trình đặt bước trung gian để học sinh tái tạo kiến thức Thứ hai đưa ngữ cảnh có vấn đề để học sinh hoạt động toán học giải chúng Muốn nhà thiết kế phải tìm ngữ cảnh có vấn đề giải pháp để rõ lộ trình giải vấn đề Trong trình học tập cần nhà thiết kế chương trình giảng dạy tìm loạt ngữ cảnh có vấn đề liên tiếp nối kết với Trong việc giải ngữ cảnh phương pháp khác Có hai quan điểm khác việc ứng dụng hình thức tốn học để giải vấn đề thực tế Xem hình Giải Hình thức kiến thức tốn học Mô tả Vấn đề theo ngữ cảnh Vấn đề theo ngữ cảnh Figure Q trình tốn học hố xử lý thông tin cách tiếp cận thực tế (theo Gravemeijer (1994) dẫn lại từ tài liệu [1]) Ở mơ hình thứ (hình bên trái) vấn đề thực tế đưa vào toán học cơng cụ tốn học, người ta giải chúng giấy sau trả kết trở tình gốc Gravemeijer trích việc giải vấn đề theo hình thức này, làm giảm thơng tin tình gốc tốn học hố Do kết trả trở thực tế, dẫn đến sai lệch định nhiều khía cạnh thực tế khơng ý giải q trình tốn học hố Nó dẫn đến khơng phù hợp so với thực tế Ở mơ hình thứ hai, giải vấn đề thực tế trải qua giai đoạn Khi vấn đề thực tế nảy sinh, mơ tả lại thức hơn, cấp độ giải quyết, sau kết chuyển bối cảnh thực Phương pháp giúp giải vấn đề thực tế cách đầy đủ Treffers (1987, 1991a) đưa quan điểm toán học hoá giải vấn đề thực tế tốn học hố theo chiều ngang chiều dọc Freudenthal (1991) giải thích khái niệm sau: Toán học hoá theo chiều ngang dẫn từ giới thực tế vào giới biểu tượng Toán học hoá theo chiều dọc trình thao tác giới biểu tượng để mơ tả lại, định hình, giải phản ánh lại thực tế De Lange (1987) phân biệt toán học hoá theo chiều ngang chiều dọc cách chi tiết dựa vào hoạt động toán học Các hoạt động toán học hoá theo chiều ngang, liên quan đến việc xác định vấn đề toán học cụ thể ngữ cảnh chung, sơ đồ hoá hình dung vấn đề theo nhiều cách khác nhau, để tìm mối quan hệ, quy luật, tìm khía cạnh tương đồng vấn đề khác nhau, để chuyển vấn đề từ giới thực sang giới tốn học mơ hình tốn học tương ứng biết đến từ trước Trong tốn học hố theo chiều dọc hoạt động cơng thức tốn học để chứng minh quy luật, điều chỉnh thu gọn hình thức thể chúng, sử dụng hình thức khác nhau, kết hợp nhiều hình thức, xây dựng khái niệm toán học khái quát hoá chúng Hình mơ tả q trình giải vấn đề thực tế mơ hình tốn học theo chiều dọc chiều ngang Thuật tốn Ngơn ngữ tốn học Giải Mô tả Vấn đề theo ngữ cảnh Figure Q trình Tốn học hố theo chiều ngang chiều dọc (theo Gravemeijer, 1994) (Toán học hoá theo chiều ngang: (- - - - - ), toán học hoá theo chiều dọc ()) Quá trình tái tạo kiến thức tốn học Gravemeijer (1994) mơ tả sau: Các hình thức kiến thức tốn học Ngơn ngữ tốn học Thuật tốn Giải Mơ tả Vấn đề theo ngữ cảnh Figure Quá trình tái tạo kiến thức tốn học Trong hình q trình tái tạo lại kiến thức diễn theo hình mũi tên, thực tế q trình lặp lặp lại Nói cách khác, trước phát minh lại kiến thức toán học học sinh cần phải trải qua bước mô tả giải vấn đề giới ký hiệu tốn học Q trình làm hình thành ngơn ngữ toán học giải thuật De Lange (1987), đưa đánh giá cách tiếp cận toán học hoá theo chiều dọc chiều ngang sau: Table Các cách tiếp cận toán học theo chiều dọc chiều ngang (theo De Lange (1987), dẫn từ tài liệu [1]) Toán học hoá theo chiều ngang Tiếp cận máy móc Tiếp cận cấu trúc Tiếp cận kinh nghiệm + Tiếp cận thực tế + (Dấu + có ảnh hưởng, dấu – khơng có ảnh hưởng) 3.2 Hiện tượng có tính giáo khoa Tốn học hố theo chiều dọc + + Ngược lại với tượng xích sách giáo khoa, Freudenthal ủng hộ tượng có tính giáo khoa (nhằm mục đích giảng dạy giáo dục đạo đức) Trong toán học vậy, cần chọn tượng thực tế có ý nghĩa với học sinh để tổ chức giải học tập sau Có hai lý giải thích phải ý đến tính giáo khoa tượng Đầu tiên, tượng phải có liên quan đến khía cạnh tốn học mà giáo viên dự định cho học sinh tái tạo Thứ hai, cần có điểm phù hợp định tượng với chủ điểm tốn học để tiến đến q trình tốn học hố Ngun tắc mà nhà thiết kế chương trình cần ý vấn đề chọn phải có thật có ý nghĩa học sinh Đơi nhà giáo dục hiểu nhầm thuật ngữ “thực tế” RME với tính “thực” Họ giải thích điều đối tượng thực sự, tình mơi trường xung quanh Gravemeijer (1999) giải thích rõ điều này: Từ “thực tế” RME đề cập đến tảng tốn học mà kinh nghiệm thực tế học sinh Bối cảnh RME khơng thiết tình thực tế sống hàng ngày học sinh Nhưng thực tế phải nằm kinh nghiệm học sinh, để em thơng hiểu Dĩ nhiên mục tiêu cuối toán học giúp học sinh có kinh nghiệm trước bối cảnh thực tế sống 3.3 Tự phát triển mơ hình Ngun tắc then chốt thứ ba cho việc giảng dạy theo RME tự phát triển mơ hình, mơ hình xuất Điều thu hẹp khoảng cách kiến thức có tính hình thức kiến thức ứng dụng thực tế Nghĩa phải tạo điều kiện để em có hội phát triển hình thức, phương pháp mơ hình giải vấn đề riêng em Lúc đầu mơ hình quen thuộc chung, sau q trình khái qt hố thức hố trở thành riêng học sinh Gravemeijer (1994) gọi trình chuyển đổi mơ hình tốn học Sau q trình lập luận, mơ hình sử dụng thức cho q trình lý luận tốn học (Gravemeijer, 1994, 1999; Treffers, 1991a) Sau minh hoạ cho việc sử dụng mơ hình ba cách tiếp cận khác để giáo dục toán học Kiến thức thống Kiến thức thống Mơ hình Kiến thức thống Mơ hình Mơ hình Tình Mơ hình khác Tình Cấu trúc Các ngun tắc giảng Mơ hình trung dạy vàgian học Thực tế tập RME Q trình dụng mơ hình ba cách cận khác Khi hiểuFigure 4RME, việcsửứng dụng vàovới giảng dạytiếp điều xét đến (theo Gravemeijer từ tài sau Treffers (1991a) đề xuất nguyên(1994), lý chodẫn việclạidạy vàliệu học[1]) RME là: xây dựng cụ thể hoá, mức độ mơ hình, phản ánh nhiệm vụ đặc biệt, bối cảnh xã hội tương tác, việc cấu trúc đan xen vào Những nguyên tắc dạy học song song với nguyên lý de Lange (1987) đề ra: Việc sử dụng bối cảnh thực tế sống, việc sử dụng mơ hình ứng dụng, học sinh tự tạo sản phẩm, tương tác, gắn bó 4.1 Xây dựng cụ thể hoá Nguyên lý việc học RME học toán xem hoạt động có tính xây dựng, mâu thuẫn với việc tiếp thu kiến thức theo kiểu truyền thống Một ý kiến cho rằng, hướng dẫn nên bắt đầu với định hướng cụ thể có tính sở Nói cách khác hướng dẫn phải nhấn mạnh thơng qua thăm dị tượng Từ cần tổ chức bước khởi đầu, giáo viên kích thích học sinh sử dụng phương tiện việc tổ chức 4.2 Các mức độ mơ hình Về ngun tắc việc học tập khái niệm kỹ tốn học xem q trình diễn thời gian dài, mức độ trừu tượng tăng dần thực tế, vấn đề giải cách dễ dàng việc sử dụng chiến lược chia nhỏ theo ô vuông lắp ghép lại cách chia đôi (mà không cần biết công thức) Kết luận Đã có nhiều trở ngại việc áp dụng RME giáo dục toán học Indonesia Tuy nhiên, thí điểm với RME có nhiều tác động tích cực đến q trình dạy học lớp học Sự khác biệt hành vi học tập em học sinh tìm thấy từ ngày sang ngày khác, cho thấy RME cách tiếp cận tiềm cho việc giảng dạy học toán Dựa vấn với số học sinh cho thấy họ thích cách tiếp cận Họ nhận có số thay đổi tích cực thân đặc biệt lý luận, hoạt động sáng tạo Giáo viên thừa nhận có thay đổi tích cực hành vi học sinh sau họ xử lý với học dựa lý thuyết RME Tóm lại, RME cách tiếp cận toán học giáo dục phát triển Hà Lan, báo cáo nghiên cứu khảo sát cho thấy phương pháp khơng thể sử dụng Indonesia Tuy nhiên, để thực điều này, nỗ lực lớn cần thiết phát triển chương trình giáo dục khu vực, thực hành đánh giá, đào tạo giáo viên (tại chức), hỗ trợ trung đẩy mạnh nghiên cứu đánh giá q trình thí điểm địa phương Những nỗ lực cần thiết không nên bị đánh giá thấp thay đổi từ gốc giáo dục toán học Indonesia: tất bên liên quan cần thiết hiểu khơng phải có chương trình giảng dạy phương pháp sư phạm cần thiết, tất ý niệm thay đổi theo hướng tốt cho giáo dục tốn học (xem Fullan, 1991) Do đó, q trình chuyển đổi sang chương trình giảng dạy tốn học văn hóa hướng tới giới thiệu RME Indonesia thơng qua hỗ trợ phủ Chính phủ phải đóng vai trị quan trọng, tiên phong cung cấp ngân sách cần thiết để tạo điều kiện cho việc nghiên cứu phát triển ba lĩnh vực đề cập Nhưng để phát triển sách giáo dục tốn học cần cung cấp hỗ trợ 'hành chính' thức thay đổi chương trình quốc gia phương pháp đánh giá Hơn nữa, sở đào tạo giáo viên trở thành mục tiêu cho thay đổi, họ phải đóng vai trị trung tâm việc chuẩn bị giáo viên có khả giảng dạy phổ biến RME 32 Tài liệu tham khảo Bài (Bản tiếng Anh) Realistic Mathematics Education6 Marja van den Heuvel-Panhuizen & Paul Drijvers Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education Utrecht University Keywords: Domain-specific teaching theory; Realistic contexts; Mathematics as a human activity; Mathematization What is Realistic Mathematics Education? Realistic Mathematics Education – hereafter abbreviated as RME – is a domainspecific instruction theory for mathematics, which has been developed in the Netherlands Characteristic of RME is that rich, ‘realistic’ situations are given a prominent position in the learning process These situations serve as a source for initiating the development of mathematical concepts, tools and procedures and as a context in which students can in a later stage apply their mathematical knowledge, which then gradually has become more formal and general, and less context-specific Although ‘realistic’ situations in the meaning of ‘real-world’ situations are important in RME, ‘realistic’ has a broader connotation here It means students are offered problem situations which they can imagine This interpretation of ‘realistic’ traces back to the Dutch expression ‘zich REALISEren’, meaning ‘to imagine’ It is this emphasis on making something real in your mind that gave RME its name Therefore, in RME, problems presented to students can come from the real world, but also from the fantasy world of fairy tales, or the formal world of mathematics, as long as the problems are experientially real in the student’s mind The onset of RME Van den Heuvel-Panhuizen, M., & Drijvers, P (in press) Realistic Mathematics Education In S Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education (pp 521-525) Publisher Springer Netherlands, 2014 33 The initial start of RME was the founding in 1968 of the Wiskobas (‘mathematics in primary school’) project initiated by Edu Wijdeveld and Fred Goffree, and joined not long after by Adri Treffers In fact, these three mathematics didacticians created the basis for RME In 1971, when the Wiskobas project became part of the newly-established IOWO Institute, with Hans Freudenthal as its first director, and in 1973 when the IOWO was expanded with the Wiskivon project for secondary mathematics education, this basis received a decisive impulse to reform the prevailing approach to mathematics education In the 1960s, mathematics education in the Netherlands was dominated by a mechanistic teaching approach; mathematics was taught directly at a formal level, in an atomized manner, and the mathematical content was derived from the structure of mathematics as a scientific discipline Students learned procedures step-by-step with the teacher demonstrating how to solve problems This led to inflexible and reproductionbased knowledge As an alternative for this mechanistic approach, the ‘New Math’ movement deemed to flood the Netherlands Although Freudenthal was a strong proponent of the modernization of mathematics education, it was his merit that Dutch mathematics education was not affected by the formal approach of the New Math movement and that RME could be developed Freudenthal’s guiding ideas about mathematics and mathematics education Hans Freudenthal (1905-1990) was a, while taking into account students’ learning process, he came to theoretical reflections on the constitution of mental mathematical objects, and contributed in this way to the development of the RME theory Freudenthal (1973) characterized the then dominant approach to mathematics education in which scientifically structured curricula were used and students were confronted with ready-made mathematics as mathematician born in Germany who in 1946 became a professor of pure and applied mathematics and the foundations of mathematics at Utrecht University in the Netherlands As a mathematician he made substantial contributions to the domains of geometry and topology Later in his career, Freudenthal (1973, 1991) became interested in mathematics education and argued for teaching mathematics that is relevant for students and carrying out thought experiments to investigate how students can be offered opportunities for guided re-invention of mathematics 34 In addition to empirical sources such as textbooks, discussions with teachers and observations of children, Freudenthal (1983) introduced the method of the didactical phenomenology By describing mathematical concepts, structures, and ideas in their relation to the phenomena for which they were createdan ‘anti-didactic inversion’ Instead, rather than being receivers of ready-made mathematics, students should be active participants in the educational process, developing mathematical tools and insights by themselves Freudenthal considered mathematics as a human activity Therefore, according to him, mathematics should not be learned as a closed system, but rather as an activity of mathematizing reality and if possible even that of mathematizing mathematics Later, Freudenthal (1991) took over Treffers’ (1987) distinction of horizontal and vertical mathematization In horizontal mathematization, the students use mathematical tools to organize and solve problems situated in real-life situations It involves going from the world of life into that of symbols Vertical mathematization refers to the process of reorganization within the mathematical system resulting in shortcuts by using connections between concepts and strategies It concerns moving within the abstract world of symbols The two forms of mathematization are closely related and are considered of equal value Just stressing RME’s ‘real-world’ perspective too much may lead to neglecting vertical mathematization The core teaching principles of RME RME is undeniable a product of its time and cannot be isolated from the worldwide reform movement in mathematics education that occurred in the last decades Therefore, RME has much in common with current approaches to mathematics education in other countries Nevertheless, RME involves a number of core principles for teaching mathematics which are inalienable connected to RME Most of these core teaching principles were articulated originally by Treffers (1978), but were reformulated over the years, including by Treffers himself In total six principles can be distinguished  The activity principle means that in RME students are treated as active participants in the learning process It also emphasizes that mathematics is best learned by doing mathematics, which is strongly reflected in Freudenthal’s interpretation of mathematics as a human activity, as well as in Freudenthal’s and Treffers’ idea of mathematization 35  The reality principle can be recognized in RME in two ways First, it expresses the importance that is attached to the goal of mathematics education including students’ ability to apply mathematics in solving ‘real-life’ problems Second, it means that mathematics education should start from problem situations that are meaningful to students, which offers them opportunities to attach meaning to the mathematical constructs they develop while solving problems Rather than beginning with teaching abstractions or definitions to be applied later, in RME, teaching starts with problems in rich contexts that require mathematical organization or, in other words, can be mathematized and put students on the track of informal context-related  solution strategies as a first step in the learning process The level principle underlines that learning mathematics means students pass various levels of understanding: from informal context-related solutions, through creating various levels of shortcuts and schematizations, to acquiring insight into how concepts and strategies are related Models are important for bridging the gap between the informal, context-related mathematics and the more formal mathematics To fulfill this bridging function, models have to shift – what Streefland (1993) called – from a ‘model of’ a particular situation to a ‘model for’  all kinds of other, but equivalent, situations Particularly for teaching operating with numbers, this level principle is reflected in the didactical method of ‘progressive schematization’ as it was suggested by Treffers and in which transparent whole-number methods of calculation gradually  evolve into digit-based algorithms The intertwinement principle means mathematical content domains such as number, geometry, measurement, and data handling are not considered as isolated curriculum chapters, but as heavily integrated Students are offered rich problems in which they can use various mathematical tools and knowledge This principle also applies within domains For example, within the domain of number sense, mental  arithmetic, estimation and algorithms are taught in close connection to each other The interactivity principle of RME signifies that learning mathematics is not only an individual activity but also a social activity Therefore, RME favors whole-class discussions and group work which offer students opportunities to share their strategies and inventions with others In this way students can get ideas for 36 improving their strategies Moreover, interaction evokes reflection, which enables  students to reach a higher level of understanding The guidance principle refers to Freudenthal’s idea of ‘guided re-invention’ of mathematics It implies that in RME teachers should have a pro-active role in students’ learning and that educational programs should contain scenarios which have the potential to work as a lever to reach shifts in students’ understanding To realize this, the teaching and the programs should be based on coherent long-term teaching-learning trajectories Various local instruction theories Based on these general core teaching principles a number of local instruction theories and paradigmatic teaching sequences focusing on specific mathematical topics have been developed over time Without being exhaustive some of these local theories are mentioned here For example, Van den Brink (1989) worked out new approaches to addition and subtraction up to twenty Streefland (1991) developed a prototype for teaching fractions intertwined with ratios and proportions De Lange (1987) designed a new approach to teaching matrices and discrete calculus In the last decade, the development of local instruction theories was mostly integrated with the use of digital technology as investigated by Drijvers (2003) with respect to promoting students’ understanding of algebraic concepts and operations Similarly, Bakker (2004) and Doorman (2005) used dynamic computer software to contribute to an empirically grounded instruction theory for early statistics education and for differential calculus in connection with kinematics respectively The basis for arriving at these local instruction theories was formed by design research, as elaborated by Gravemeijer (1994), involving a theory-guided cyclic process of thought experiments, designing a teaching sequence and testing it in a teaching experiment, followed by a retrospective analysis which can lead to necessary adjustments of the design Last but not least, RME also led to new approaches to assessment in mathematics education (De Lange 1987; Van den Heuvel-Panhuizen 1996) Implementation and impact In the Netherlands, RME had and still has a considerable impact on mathematics education In the 1980s, the market share of primary education textbooks with a traditional, mechanistic approach was 95% and the textbooks with a reform-oriented approach – based 37 on the idea of learning mathematics in context to encourage insight and understanding – had a market share of only 5% In 2004, reform-oriented textbooks reached a 100% market share and mechanistic ones disappeared The implementation of RME was guided by the RME-based curriculum documents including the so-called ‘Proeve’ publications by Treffers and his colleagues, which were published from the late 1980s, and the TAL teaching-learning trajectories for primary school mathematics, which have been developed from the late 1990s A similar development can be seen in secondary education, where the RME approach also influenced textbook series to a large extent For example, Kindt (2010) showed how practicing algebraic skills can go beyond repetition and be thought-provoking Goddijn et al (2004) provided rich resources for realistic geometry education, in which application and proof go hand in hand Worldwide, RME is also influential For example, the RME-based textbook series ‘Mathematics in Context’ has a considerable market share in the USA A second example is the RME-based ‘Pendidikan Matematika Realistik Indonesia’ in Indonesia A long-term and ongoing process of development Although it is now some forty years from the inception of the development of RME as a domain-specific instruction theory, RME can still be seen as work in progress It is never considered a fixed and finished theory of mathematics education Moreover, it is also not a unified approach to mathematics education That means that through the years different emphasis was put on different aspects of this approach and that people who were involved in the development of RME mostly researchers and developers of mathematics education, and mathematics educators from within or outside the Freudenthal Institute put various accents in RME This diversity, however, was never seen as a barrier for the development of RME, but rather as stimulating reflection and revision, and so supporting the maturation of the RME theory This also applies to the current debate in the Netherlands (see Van den Heuvel-Panhuizen 2010) which voices the return to the mechanistic approach of four decades back Of course, going back in time is not a ‘realistic’ option, but this debate has made the proponents of RME more alert to keep deep understanding and basic skills more in balance in future developments of RME and to enhance the methodological robustness of the research that accompanies the development of RME 38 References Bakker, A (2004) Design research in statistics education: On symbolizing and computer tools Utrecht: CD-Bèta Press De Lange, J (1987) Mathematics, Insight and Meaning Utrecht: OW & OC, Utrecht University Doorman, L.M (2005) Modelling motion: from trace graphs to instantaneous change Utrecht: CD-Bèta Press Drijvers, P (2003) Learning algebra in a computer algebra environment Design research on the understanding of the concept of parameter Utrecht: CD-Bèta Press Freudenthal, H (1973) Mathematics as an Educational Task Dordrecht: Reidel Publishing Company Freudenthal, H (1983) Didactical Phenomenology of Mathematical Structures Dordrecht: Reidel Publishing Company Freudenthal, H (1991) Revisiting Mathematics Education China Lectures Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Goddijn, A., Kindt, M., Reuter, W., & Dullens, D (2004) Geometry with Applications and Proofs Utrecht: Freudenthal Institute Gravemeijer, K.P.E (1994) Developing Realistic Mathematics Education Utrecht: CD-ß Press / Freudenthal Institute Kindt, M (2010) Positive algebra Utrecht: Freudenthal Institute Streefland, L (1991) Fractions in Realistic Mathematics Education A Paradigm of Developmental Research Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Streefland, L (1993) The design of a mathematics course A theoretical reflection Educational Studies in Mathematics, 25(1-2), 109-135 Treffers, A (1987) Three dimensions A model of goal and theory description in mathematics instruction – The Wiskobas project Dordrecht: D Reidel Publishing Company Van den Brink, F.J (1989) Realistisch rekenonderwijs aan jonge kinderen [Realistic mathematics education for young children] Utrecht: OW&OC, Universiteit Utrecht Van den Heuvel-Panhuizen, M (1996) Assessment and realistic mathematics education Utrecht: CD-ß Press / Freudenthal Institute, Utrecht University Van den Heuvel-Panhuizen, M (2010) Reform under attack – Forty Years of Working on Better Mathematics Education thrown on the Scrapheap? No Way! In L Sparrow, B Kissane, & C Hurst (Eds.), Shaping the future of mathematics education: Proceedings of the 33rd annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (pp 1-25) Fremantle: MERGA (Bản tiếng Việt) Giáo dục toán học thực tế7 Van den Heuvel-Panhuizen, M., & Drijvers, P (trên báo chí) Realistic Giáo dục Tốn học Trong S Lerman (Ed.), Bách khoa toàn thư Toán học Giáo dục (pp 521-525) Nhà xuất Springer Hà Lan năm 2014 39 Marja van den Heuvel-Panhuizen & Paul Drijvers Viện Khoa học Giáo dục Toán học Freudenthal Đại học Utrecht Giáo dục toán học thực tế gì? Giáo dục tốn học thực tế viết tắt RME, lý thuyết toán học cụ thể, phát triển Hà Lan Đặc trưng RME phong phú, tình thực tế cho vị trí bật trình học tập Những tình nguồn phục vụ cho việc bắt đầu phát triển khái niệm tốn học, cơng cụ thủ tục bối cảnh học sinh áp dụng kiến thức tốn học họ '”Thực tế” tình tồn giới thực (real world), quan trọng RME, thực tế có ý nghĩa rộng lớn Nó có nghĩa tình có vấn đề cung cấp cho học sinh để họ tưởng tượng Nó nhấn mạnh thực tồn tâm trí bạn tên RME Vì vậy, RME, vấn đề trình bày cho học sinh đến từ giới thực, từ giới tưởng tượng câu chuyện cổ tích, hay giới thức tốn học, miễn vấn đề cảm nghiệm thực tâm trí học sinh Sự khởi đầu RME Sự khởi đầu ban đầu RME thành lập vào năm 1968 Wiskobas (toán học tiểu học) dự án trường học bắt đầu Edu Wijdeveld Fred Goffree, tham gia không lâu sau Adri Treffers Trong thực tế, ba vấn đề phương pháp dạy toán tạo sở cho RME Trong năm 1971, dự án Wiskobas trở thành phần Viện IOWO thành lập, với Hans Freudenthal giám đốc nó, vào năm 1973 IOWO mở rộng với dự án Wiskivon giáo dục tốn học phổ thơng, sở nhận định cải cách, tiếp cận tới giáo dục toán học Trong thập niên 1960, giáo dục toán học Hà Lan xây dựng cụ thể cách tiếp cận; toán học giảng dạy trực tiếp cách thức, phương pháp chia nhỏ, nội dung toán học bắt nguồn từ cấu trúc toán học khoa học kỷ luật Học sinh học từ bước với giáo viên thực nghiệm để giải vấn đề Điều dẫn đến kiến thức linh hoạt tạo Đây phương pháp thay cho cách dạy máy móc, phong trào tốn học tràn ngập Hà Lan Mặc dù Freudenthal người ủng hộ mạnh mẽ việc đại hóa giáo dục tốn học, cơng lớn 40 ơng giáo dục toán học người Hà Lan khơng bị ảnh hưởng cách tiếp cận thức phong trào New Math (Toán học mới) RME phát triển Ý tưởng Freudenthal toán học giáo dục toán học Hans Freudenthal (1905-1990) nhà toán học Đức vào năm 1946 trở thành giáo sư toán học túy toán học ứng dụng tảng toán học Đại học Utrecht Hà Lan Là nhà tốn học, ơng đóng góp đáng kể vào lĩnh vực hình học topo Sau nghiệp mình, Freudenthal (1973 - 1991) quan tâm đến giáo dục toán học lý luận cho giảng dạy toán cho học sinh thực ý tưởng việc thí nghiệm để điều tra việc học sinh có hội hướng dẫn tái sáng lại tốn học Ngồi nguồn thực nghiệm sách giáo khoa, thảo luận với giáo viên quan sát trẻ em, Freudenthal (1983) giới thiệu phương pháp có tính tượng giáo khoa Qua mơ tả khái niệm toán học, cấu trúc, ý tưởng mối quan hệ với tượng mà họ tạo ra, tham gia vào trình học tập, ơng đến phản ánh lý thuyết nguyên tắc đối tượng có tính tốn học tinh thần, đóng góp để phát triển lý thuyết RME Freudenthal (1973) mô tả phương pháp sau chi phối chương trình giáo dục tốn học có cấu trúc khoa học sử dụng, học sinh phải đối mặt với việc chuẩn bị làm toán "đảo ngược chống lại sách giáo khoa ' Thay vào đó, khơng phải tiếp thu tốn học làm sẵn, học sinh nên tham gia tích cực vào trình giáo dục, phát triển cơng cụ tốn học hiểu biết Freudenthal coi tốn học hoạt động người Vì vậy, theo ông, toán học không nên học hệ thống khép kín, hoạt động chủ điểm tốn thực tế chí tất chủ điểm, khía cạnh tốn học Sau đó, Freudenthal (1991) tiếp nhận khác biệt Treffers (1987) toán học hoá theo chiều ngang chiều dọc Trong toán học hố theo chiều ngang, sinh viên sử dụng cơng cụ toán học để tổ chức giải vấn đề nằm tình thực tế sống Nó liên quan đến việc từ giới sống đến biểu tượng Toán học hoá theo chiều dọc đề cập đến trình tổ chức hệ thống toán học dẫn đến đường liên kết cách sử dụng kết nối khái niệm chiến lược biết 41 trước Nó liên quan đến hoạt động giới trừu tượng biểu tượng Hai hình thức tốn học hoá liên quan chặt chẽ coi có giá trị Chỉ cần nhấn mạnh đến quan điểm giới thực RME khơng thể bỏ qua toán học hoá theo chiều dọc Các nguyên tắc giảng dạy cốt lõi RME RME phủ nhận sản phẩm thời gian bị cô lập với cải cách toàn giới phong trào giáo dục toán học xảy suốt thập kỷ qua Vì vậy, RME có nhiều điểm chung với phương pháp để giáo dục toán học nước khác Tuy nhiên, RME liên quan đến số nguyên tắc cho việc giảng dạy toán học mà tách rời muốn kết nối với RME Hầu hết nguyên tắc giảng dạy cốt lõi nêu ban đầu Treffers (1978), dựng lại năm qua Trong tổng số sáu nguyên tắc biểu  Nguyên tắc hoạt động (activity principle) có nghĩa RME học sinh coi thành viên tích cực q trình học tập Nó nhấn mạnh toán học học tốt cách thực hành toán, phản ánh mạnh mẽ việc giải thích Freudenthal tốn học hoạt động người, ý tưởng toán học hoá Freudenthal Treffer  Các nguyên tắc thực tế (reality principle) ghi nhận RME theo hai cách Thứ nhất, thể tầm quan trọng việc gắn kết với mục tiêu giáo dục toán học bao gồm khả học sinh để áp dụng toán học việc giải vấn đề "đời thực" Thứ hai, có nghĩa giáo dục tốn học nên tình có vấn đề, có ý nghĩa cho sinh viên, cung cấp cho họ hội để gắn ý nghĩa cho cấu trúc toán học họ phát triển giải vấn đề Thay bắt đầu giảng dạy với khái niệm trừu tượng định nghĩa để áp dụng sau này, RME, việc giảng dạy bắt đầu với vấn đề giàu tính thực tế để tổ chức việc học tốn, nói cách khác, chia nhỏ theo khía cạnh đưa học sinh vào theo dõi chiến lược giải pháp liên quan đến bối cảnh khơng thức bước trình học tập  Các nguyên tắc mức độ (level principle) nhấn mạnh học tốn có nghĩa sinh viên vượt qua mức độ khác mức độ hiểu bài: từ giải pháp liên quan 42 đến bối cảnh thức, thơng qua việc tạo cấp độ khác đường dẫn tắt biểu đồ, để có nhìn sâu sắc khái niệm chiến lược có liên quan Mơ hình quan trọng việc thu hẹp khoảng cách hình thức ngữ cảnh tốn học Để thực chức chuyển tiếp này, mơ hình phải chuyển tất mà Streefland (1993) gọi "mơ hình", tình hình cụ thể để mơ hình cho tất loại tình khác, có tính chất tương đương  Riêng hoạt động dạy học với số, nguyên tắc cấp độ phản ánh phương pháp chia nhỏ lắp ghép tiến lên biểu đồ đề xuất Treffers phương pháp toàn số rõ ràng có tính phát triển thành chữ số dựa thuật toán  Nguyên tắc liên kết (intertwinement principle) nghĩa lĩnh vực nội dung toán học số học, hình học, đo lường, xử lý liệu khơng coi chương cô lập, liên kết với Học sinh cung cấp vấn đề phong phú, họ sử dụng cơng cụ tốn học khác kiến thức Nguyên tắc áp dụng lĩnh vực Ví dụ, lĩnh vực hiểu số, tính nhẩm, ước lượng thuật tốn dạy kết nối chặt chẽ với  Các nguyên tắc tương tác (interactivity principle) RME có nghĩa học tốn khơng hoạt động cá nhân mà cịn hoạt động xã hội Vì vậy, RME ủng hộ lớp thảo luận làm việc nhóm cung cấp sinh viên hội để chia sẻ chiến lược họ phát minh với người khác Bằng cách này, sinh viên nhận ý tưởng để cải thiện chiến lược họ Hơn nữa, tương tác gợi lên phản ánh, cho phép học sinh để đạt mức độ cao hiểu biết  Các nguyên tắc hướng dẫn (guidance principle) đề cập đến ý tưởng Freudenthal “hướng dẫn để phát minh lại tốn học Điều ngụ ý RME giáo viên cần phải có vai trị tích cực việc học học sinh chương trình giáo dục nên chứa kịch mà có tiềm để làm việc địn bẩy để đạt thay đổi hiểu biết học sinh Để nhận điều này, việc dạy chương trình nên dựa quỹ đạo giảng dạy-học tập dài hạn chặt chẽ Nhiều lý thuyết giảng dạy khác địa phương 43 Dựa nguyên tắc giảng dạy cốt lõi chung, số lý thuyết hướng dẫn địa phương trình tự giảng dạy chất hình tập trung vào chủ đề toán học cụ thể phát triển theo thời gian Nếu khơng có đầy đủ số lý thuyết địa phương đề cập Ví dụ, Van den Brink (1989) đề phương pháp tiếp cận để cộng trừ phạm vi hai mươi Streefland (1991) phát triển nguyên mẫu cho phần giảng dạy đan xen với hệ số tỷ lệ De Lange (1987) thiết kế cách tiếp cận để giảng dạy ma trận tính tốn rời rạc Trong thập kỷ qua, phát triển lý thuyết giảng dạy địa phương chủ yếu tích hợp với việc sử dụng công nghệ kỹ thuật số điều tra Drijvers (2003) việc thúc đẩy hiểu biết học sinh khái niệm đại số hoạt động Tương tự vậy, Bakker (2004) Doorman (2005) sử dụng phần mềm máy tính động để đóng góp cho lý thuyết hướng dẫn thực nghiệm cho giáo dục sớm thống kê phép tính khác biệt kết nối với chuyển động tương ứng Các sở để đến lý thuyết địa phương thành lập nghiên cứu thiết kế, xây dựng Gravemeijer (1994), liên quan đến thuyết q trình tuần hồn dẫn đường tư tưởng thí nghiệm, thiết kế trình tự giảng dạy thử nghiệm giảng dạy phân tích hồi quy mà dẫn đến điều chỉnh cần thiết thiết kế Cuối không phần quan trọng, RME dẫn đến cách tiếp cận để đánh giá giáo dục toán học (De Lange 1987; Van den Heuvel-Panhuizen 1996) Thực tác động Tại Hà Lan, RME cịn có tác động đáng kể giáo dục toán học Trong năm 1980, thị phần sách giáo khoa giáo dục tiểu học truyền thống có độ tiếp cận 95% sách giáo khoa với cách tiếp cận cải cách theo định hướng dựa ý tưởng học toán học bối cảnh để khuyến khích nhìn sâu sắc hiểu biết - có thị phần có 5% Trong năm 2004, sách giáo khoa cải cách theo định hướng đạt thị phần 100% Việc thực RME hướng dẫn chương trình giảng dạy dựa RME tài liệu bao gồm ấn phẩm gọi mở màng Treffers đồng nghiệp mình, cơng bố từ cuối năm 1980, q trình giảng dạy-học tập TAL cho toán tiểu học, phát triển từ cuối năm 1990 44 Một phát triển tương tự nhìn thấy giáo dục trung học, nơi phương pháp tiếp cận RME ảnh hưởng lớn đến hàng loạt sách giáo khoa Ví dụ, Kindt (2010) cách thực hành kỹ đại số xa lặp lặp lại khiêu khích tư Goddijn et al (2004) cung cấp nguồn tài nguyên phong phú cho giáo dục hình thực tế, chứng tay Trên giới, RME có ảnh hưởng Ví dụ, sách giáo khoa loạt RME dựa “Tốn học bối cảnh" có thị phần đáng kể Mỹ Một ví dụ thứ hai ứng dụng dựa RME "Pendidikan Matematika Realistik Indonesia” Indonesia Quá trình phát triển lâu dài liên tục Mặc dù đến bốn mươi năm kể từ khởi đầu phát triển RME lĩnh vực lý thuyết cụ thể, RME xem tiến hành Nó khơng coi cố định hồn thành lý thuyết giáo dục tốn học Hơn nữa, khơng phải cách tiếp cận thống để giáo dục toán học Điều có nghĩa thơng qua năm khác nhấn mạnh đặt khía cạnh khác phương pháp người tham gia vào phát triển RME  chủ yếu nghiên cứu phát triển giáo dục toán học, nhà giáo dục toán học từ bên bên Viện Freudenthal  đặt dấu nhấn RME Sự đa dạng này, nhiên, không coi rào cản phát triển RME, kích thích phản ứng – đổi mới, hỗ trợ trưởng thành lý thuyết RME Điều áp dụng cho tranh luận Hà Lan (xem Van den Heuvel- Panhuizen 2010) lên tiếng cho trở lại với phương pháp máy móc sau bốn thập kỷ qua Tất nhiên, việc quay thời gian cũ lựa chọn 'thực tế', tranh luận làm cho người ủng hộ RME cảnh giác để giữ cho hiểu biết sâu sắc kỹ cân phát triển tương lai RME để tăng cường vững mạnh phương pháp nghiên cứu kèm với phát triển RME Tài liệu tham khảo 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ahmad Fauzan (2002), Applying Realistic Mathematics Education (RME) in Teaching Geometry in Indonesian Primary Schools, Thesis University of Twente, Enschede - With refs - With summary in Ducth, ISBN 90 365 18 43 1, Press: PrintPartners Ipskamp – Enschede [2] Ahmad FAUZAN (2002), Teaching mathematics in indonesian primary schools using realistic mathematics education (rme)-approach, 2nd International Conference on the Teaching on Mathematics, ICTM 2002, July 1-6, 2002, Hersonissos, Crete, Greece [3] Marja Van Den Heuvel-Panhuizen (2003), The didactical use of models in realistic mathematics education: an example from a longitudinal trajectory on percentage, Educational Studies in Mathematics, 54: 9–35, Kluwer Academic Publishers, Printed in the Netherlands [4] Tuan Anh Le (2006), Applying Realistic Mathematics Education in Vietnam: Teaching middle school geometry, Luận án tiến sĩ, Đại học Potsdam [5] Peter Sullivan - Robyn Zevenbergen - Judith Mousley (2003), The Contexts of Mathematics Tasks and the Context of the Classroom: Are We Including all Students?, Mathematics Education Research Journal 2003, Vol 15, No 2, 107-121 [6] Van den Heuvel-Panhuizen, M., & Drijvers, P (in press) Realistic Mathematics Education In S Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education (pp 521525) Publisher Springer Netherlands, 2014 [7] Yenni B Widjaja and André Heck (2003), How a Realistic Mathematics Education Approach and Microcomputer-Based Laboratory Worked in Lessons on Graphing at an Indonesian Junior High School, Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, 2003, Vol 26, No 2, pp 1-51 46 ... Viện Khoa học Giáo dục Toán học Freudenthal Đại học Utrecht Giáo dục toán học thực tế gì? Giáo dục tốn học thực tế viết tắt RME, lý thuyết toán học cụ thể, phát triển Hà Lan Đặc trưng RME phong... TẮT RME Realistic Mathematics Education MiC Mathematics in Context Phần 1: LÝ THUYẾT GIÁO DỤC TOÁN HỌC THỰC TẾ CỦA FREUDENTHAL Giới thiệu Giáo dục toán học thực tế (giáo dục toán học thực tế) ... (Tốn học mới) RME phát triển Ý tưởng Freudenthal toán học giáo dục toán học Hans Freudenthal (1905-1990) nhà toán học Đức vào năm 1946 trở thành giáo sư toán học túy toán học ứng dụng tảng toán học