(Luận văn thạc sĩ) hệ điều khiển sai phân và các định tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀM THỊ THU TRANG HỆ ĐIỀU KHIỂN SAI PHÂN VÀ CÁC ĐỊNH TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀM THỊ THU TRANG HỆ ĐIỀU KHIỂN SAI PHÂN VÀ CÁC ĐỊNH TÍNH Chun ngành: Mã số: TỐN GIẢI TÍCH 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN SINH BẢY HÀ NỘI, 2014 Mục lục Chương Tính điều khiển tính quan sát 1.1 Phương trình sai phân 1.2 Hệ điều khiển 1.2.1 Hệ điều khiển dạng tổng quát 1.2.2 Hệ điều khiển dạng tuyến tính 1.2.3 Tính điều khiển hồn tồn hệ tuyến tính autonom 1.3 Hệ quan sát 1.3.1 Giới thiệu toán 1.3.2 Liên hệ tính điều khiển tính quan sát 1.3.3 Tính quan sát hồn tồn hệ tuyến tính autonom 1.3.4 Ước lượng trạng thái hệ thống 1.3.5 Khả tách tập phổ Chương Tính ổn định tính ổn định hóa 2.1 Tính ổn định 2.1.1 Các định nghĩa ổn định 2.1.2 Tính ổn định hệ autonom 2.1.3 Phương pháp phổ để nghiên cứu tính ổn định 2.1.4 Hệ tuyến tính không autonom 2.1.5 Phương pháp hàm Lyapunov 2.1.6 Mở rộng định lý Lyapunov 2.2 Tính ổn định hóa 2.2.1 Khái niệm ổn định hoá 2.2.2 Liên hệ tính điều khiển tính ổn định hóa 5 7 20 20 21 21 23 25 29 29 29 30 32 33 34 39 45 45 45 Lời nói đầu Các hệ thống hoạt động trình tăng dần biến thời gian liên tục thường mơ tả phương trình vi phân, biến thời gian rời rạc mơ tả qua phương trình sai phân (xem [1, 2, 5, 6, 9,12]) Các hệ thống có phận tiếp nhận tác động có ý thức chủ thể hệ thống mục đích xác định gọi hệ điều khiển (xem [2, 6, 7, 8, 9]) Trong kỷ qua, lý thuyết điều khiển đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực Khoa học, Công nghệ, Kinh tế, Chính trị - Xã hội, Mơi trường, Trong luận văn tập trung nghiên cứu hệ điều khiển rời rạc, nghĩa hệ mơ tả qua phương trình sai phân (xem [3, 4, 9, 10]) Phương trình tổng quát hệ điều khiển rời rạc khơng có chậm cho x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)) Còn hệ có chậm cho sau x(k + 1) = f (k, x(k), x(k − h1 ), x(k − h2 ), , x(k − hr ), u(k)), x(k) trạng thái hệ thống thời điểm k (k ∈ Z+ ) u(.) hàm điêù khiển Khơng gian chứa đựng vị trí hệ thống gọi không gian trạng thái Trong luận văn không gian trạng thái mặc định không gian véc tơ n-chiều Rn Hàm điều khiển tập tất véc tơ không gian điều khiển Rm từ tập Ω Rm Hàm điều khiển xây dựng theo nhiều loại hình khác Trong luận văn ta xét cho kiểu điều khiển phản hồi (feedback control) sử dụng thông tin tức thời thông tin khứ hệ thống (gọi thông tin chậm) Các trạng thái hệ thống xác lập thơng qua tập nghiệm hệ phương trình Tuy nhiên việc tìm nghiệm xác hệ phương trình sai phân nói chung khó thực hành lúc cần thiết Thay cho việc giải tìm nghiệm người ta thường tìm hiểu dáng điệu phận toàn tập nghiệm khoảng thời gian xét, đặc biệt cuối trình Việc nghiên cứu gọi nghiên cứu định tính Với hệ điều khiển người ta thường quan tâm tới định tính như: tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định hóa Luận văn nghiên cứu định tính hệ điều khiển dạng sai phân Luận văn gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức sở hệ điều khiển hệ quan sát, điều kiện cần đủ để hệ sai phân autonom điều khiển hoàn toàn, quan sát hồn tồn, mối liên hệ tính điều khiển hoàn toàn quan sát hoàn tồn Chương hai trình bày khái niệm ổn định, phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình sai phân Chương trình bày kết định lý Lyapunov mở rộng cho hệ autonom kết tính ổn định tiệm cận hệ sai phân dạng Volterra Luận văn thực trường Đại học Khoa học Tư nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy định hướng đề tài, bảo, kiểm tra nghiêm khắc việc thực nội dung luận văn Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới thầy, khoa Tốn - Cơ - Tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm kiến thức quý báu mà tác giả nhận sau thời gian học tập trường Xin cám ơn khoa Sau Đại học điều kiện thuận lợi đem lại cho tác giả trình học tập làm thủ tục bảo vệ luận văn Cám ơn bạn bè lớp, Semina ý kiến trao đổi, đóng góp Tác giả xin cám ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Thương mại, thầy cô khoa Hệ thống thông tin Kinh tế mơn Tốn Kinh tế giúp đỡ để tác giả có điều kiện tham gia khố học cách thuận lợi Cuối cùng, tác giả muốn nói lời cám ơn đến gia đình, người thân, chỗ dựa tinh thần để tác giả vượt qua khó khăn hồn thành khố học hồn thành luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Đàm Thị Thu Trang Bảng ký hiệu, chữ viết tắt R - tập số thực R+ - tập số thực không âm X - không gian Banach tổng quát Rn - không gian véc tơ n-chiều Z := {0, ±1, ±2, · · · } Z+ = {0, 1, 2, · · · } Za = {a, a + 1, a + 2, · · · (a ∈ Z)} B (¯ x) := {x ∈ X/ x − x¯ < ( > 0, x¯ ∈ X)} S (¯ x) := {x ∈ X/ x − x¯ = ( > 0, x¯ ∈ X)} σ(A) - tập phổ A (ma trận vng) λmax (A) - bán kính phổ A rank(A) - hạng A range(A) - không gian sinh A |A| det(A) - định thức ma trận vuông A (A, B ) - cặp ma trận điều khiển Φ(k, k) - ma trận x(k + 1) = A(k)x(k) A - tập hút GC - điều khiển hoàn toàn GR - đạt hoàn toàn GNC - điều khiển hồn tồn Chương Tính điều khiển tính quan sát 1.1 Phương trình sai phân Các hệ điều khiển rời rạc phương trình sai phân có phận nhiễu người đưa vào để qua tác động có ý thức lên hệ thống Vì vậy, trước tìm hiểu loại phương trình đặc biệt ta nhắc lại cách sơ lược khái niệm phương trình sai phân Xét đẳng thức: x(k + 1) = f (k, x(k)), (1.0) f : Z+ × Rn −→ Rn Ta nói phương trình sai phân cấp khơng gian Rn Với tuỳ ý (k0 , x0 ) ∈ Z+ × Rn , ta ký hiệu nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(k0 , x0 , k) Điều có nghĩa nghiệm phải thỏa mãn đẳng thức x(k0 , x0 ) = x0 Nghiệm x(k0 , x0 , k) tính cơng thức truy hồi sau: x(k0 + 1) = f (k0 , x(k0 )) = f (k0 , x0 ), x(k0 + 2) = f (k0 + 1, x(k0 + 1)) = f (k0 + 1, f (k0 , x0 )), x(k0 + 3) = f (k0 + 2, x(k0 + 2)) = f (k0 + 2, f (k0 + 1, f (k0 , x0 ))), ··· x(k0 + i) = f (k0 + i − 1, x(k0 + i − 1)) = f (k0 + i − 1, f (k0 + i − 2, f (k0 + i − 3, f (· · · , f (k0 , x0 ) · · · )))) (Đẳng thức cuối có i − lớp ngoặc) Đây công thức tường minh biểu thức cồng kềnh f (.) phức tạp k lớn Nếu phương trình autonom công thức giản tiện Trong trường hợp phương trình sai phân có dạng: x(k + 1) = f (x(k)), k ∈ Z+ , (1.1) đây, f : Rn −→ Rn , k ∈ Z+ Với điều kiện ban đầu (k0 , x0 ), k0 ∈ Z+ x0 ∈ Rn Nghiệm x(k0 , x0 , k) (hoặc ký hiệu đơn giản x(k)) (1.1) thỏa mãn x(k0 , x0 ) := x(k0 ) = x0 (1.2) tìm sau: x(k0 + 1) = f (x(k0 )) = f (x0 ), x(k0 + 2) = f (x(k0 + 1)) = f [f (x0 )] = f (x0 ), x(k0 + 3) = f (x0 ), ··· x(k0 + i) = f i (x0 ) Phương trình (1.0) (1.1) mơ tả q trình phụ thuộc vào thời gian lưới thời gian k ∈ Z+ Người ta nói q trình hệ động lực rời rạc hay hệ thống rời rạc, x(k) gọi trạng thái hệ thống thời điểm k ∈ Z+ Không gian Rn chứa x(k) gọi không gian trạng thái Định nghĩa 1.1 Điểm x∗ ∈ Rn gọi trạng thái cân (hoặc điểm cân bằng) (1.1) x∗ = f (x∗ ) Với ánh xạ f : Rn −→ Rn x∗ cịn gọi điểm bất động Chú ý 1.1 • Nếu x∗ điểm cân (1.1) x∗ = f k (x∗ ), ∀k ∈ Z+ , x(k0 , x∗ , k) = x∗ , ∀k ∈ Z+ • Thay cho việc xét toán với k ∈ Z+ ta xét cho trường hợp tổng quát k ∈ Za = {a, a + 1, a + 2, · · · (a ∈ Z)} Khi đó, phương trình xem xét cho trường hợp tổng quát hơn: f : D ⊂ Za × X −→ X 1.2 1.2.1 Hệ điều khiển Hệ điều khiển dạng tổng quát Xét hệ thống mơ tả phương trình x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)), (1.3) k ∈ Z+ , x(k) ∈ Rn , u(k) ∈ Ω ⊆ Rm , f : Z+ × Rn × Ω → Rn , x(k) trạng thái (state) hệ thống thời điểm k , u(k) hàm điều khiển (control function) Nếu Ω = Rm hệ điều khiển bị hạn chế Nếu Ω = Rm hệ điều khiển không bị hạn chế Hàm điều khiển xây dựng hàm trạng thái u(k) = ϕ(x(k)) gọi hàm điều khiển dạng feedback (hoặc hàm điều khiển phản hồi hàm điều khiển liên hệ ngược) Trong trường hợp ta có phương trình x(k + 1) = f (k, x(k), ϕ(x(k))) := h(k, x(k)) 1.2.2 Hệ điều khiển dạng tuyến tính Xét hệ điều khiển x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), A(k) ma trận cỡ n × n, B(k) ma trận cỡ n × m, u(k) véc tơ m-chiều: u(k) = (u1 (k), u2 (k), , um (k)) (m ≤ n) Trong trường hợp A, B ma trận ta có hệ điều khiển tuyến tính dừng x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) (1.4) Trong trường hợp hệ dừng, với trạng thái ban đầu x(0) = x0 dãy điều khiển (u(0), u(1), ) nghiệm hệ xác định công thức truy hồi: x(k) xác định x(i) với i = k0 , k0 + 1, , k − x(0) = x0 , x(1) = Ax0 + Bu(0), x(2) = Ax(1) + Bu(1) = A2 x0 + ABu(0) + Bu(1), bước thứ k ta có cơng thức nghiệm tổng qt k−1 k Ak−i−1 Bu(i) x(k) = A x0 + i=0 Trong trường hợp hệ không dừng (khi A, B ma trận phụ thuộc k ): x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) với điều kiện ban đầu (k0 , x0 ), công thức Cauchy cho nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(k0 ) = x0 phương trình k−1 Φ(k, i + 1)B(i)u(i) x(k) = Φ(k, 0)x0 + i=0 Ở Φ(k, i) = A(i)A(i + 1)A(i + 2) A(k − 1) (k ≥ i), Φ(k, k) = I Φ(k, i) gọi ma trận hệ x(k + 1) = A(k)x(k) Hàm điều khiển dạng phi tuyến Xét hệ điều khiển x(k + 1) = f (k, x(k), x(k − h1 ), · · · , x(k − hr )) + Bu(k) (1.5) Hàm u(k) = φ[x(k)] gọi điều khiển phản hồi thơng tin tức thời Nói chung φ(.) có dạng tuỳ ý Tuy nhiên, để đáp ứng tính thuận tiện trình điều khiển, người ta hay dùng loại hàm điều khiển có dạng tuyến tính u(k) = Kx(k), K ma trận cỡ m × n Nếu sử dụng thông tin khứ trạng thái hệ thống, người ta dùng loại hàm phản hồi có chậm dạng tuyến tính r Ki x(k − hi ) u(k) = i=1 1.2.3 Tính điều khiển hồn tồn hệ tuyến tính autonom Xét hệ điều khiển (1.4) x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) 35 Chứng minh Ta cần chứng minh rằng: ∀ > 0, ∃δ > : f k (Bδ (0)) ⊆ B (0) = B (f k (0)), ∀k ≥ Chọn η > đủ nhỏ để Bη (0) ⊂ U (0) Như V (x) > 0; ∀x ∈ Bη (0)\{0}, ∆V (x) ≤ 0, ∀x ∈ Bη (0) Với tùy ý > 0, không tổng quát lấy < < η Tập S (0) tập compact (vì X = Rn - hữu hạn chiều) nên V (x) đạt S (0) Đặt m = min{V (x)/x ∈ S (0)} Do V (x) liên tục V (x) > 0, ∀x ∈ Bη (0) nên có V (x) > 0, ∀x ∈ S (0) Vì S (0) tập compact nên m > Xây dựng tập G := {x/V (x) < m } Khi ∈ G ⊂ B (0) ⊂ Bη (0) Gọi G0 thành phần liên thơng G chứa gốc Ta có G G0 hai tập mở x0 ∈ G0 ta có V (x0 ) < 12 m (vì G0 ⊆ G) Mặt khác, G0 ⊂ G ⊂ B (0) ⊂ Bη (0) nên ∆V (x0 ) ≤ ⇔ V (f (x0 )) − V (x0 ) ≤ ⇒ V (f (x0 )) ≤ V (x0 ) < m ⇒ f (x0 ) ∈ G Ta biết f liên tục biến tập liên thông thành tập liên thông, nên x0 thuộc tập liên thông G0 f (x0 ) f (0) = thuộc tập liên thơng, G0 Như với tùy ý x0 ∈ G0 f (x0 ) ∈ G0 Nghĩa f (G0 ) ⊂ G0 ⊂ B (0) Chọn δ > đủ nhỏ cho Bδ (0) ⊂ G0 (vì G0 mở) Khi đó, x0 ∈ Bδ (0) ⇒ x0 ∈ G0 ⇒ f (x0 ) ∈ G0 ⊂ B (0) = B (f (0)) = B (0) Do ta có: f (x0 ) ∈ f (G0 ) ⊆ G0 ⊆ B (f (0)) = B (0), 36 ··· f k (x0 ) ∈ f (G0 ) ⊆ G0 ⊆ B (f (0)) = B (0) Hay x(0, x0 , k) ≤ , ∀k ≥ Nghĩa nghiệm x ≡ ổn định Sau định lý Lyapunov ổn định tiệm cận Định lý 2.6 Giả sử với hệ (1.1) tồn hàm Lyapunov, xác định U (0) điều kiện (iv) thay (v) sau (v) ∆V (x) = V (f (x)) − V (x) < 0, ∀x ∈ U (0) Khi đó, nghiệm tầm thường x ≡ (1.1)là ổn định tiệm cận Hơn nữa, f (x) V (x) xác định không gian Rn V (x) → ∞ x → ∞ tính ổn định tiệm cận điểm cân tầm thường toàn cục (Hàm V gọi hàm Lyapunov chặt (1.1)) Chứng minh Với > 0, δ > nói đến định lý trước Do x ≡ ổn định nên với x0 ∈ Bδ (0) có x(k) ∈ B (0), ∀k ≥ Ta cần x(k) → k → ∞ Giả sử ngược lại x(k) không đần đến k → ∞ Điều có nghĩa phải tồn dãy x(ki ) cho x(ki ) → y = ki → ∞ Khi tồn lân cận Bγ (y) y cho: 0∈ / Bγ (y) ⊂ Bδ (0) Do ∈ / Bγ (y) V (x) = ⇔ x = Vậy V (x) = 0, ∀x ∈ Bγ (y) Và hàm h(x) = hoàn toàn xác định Bγ (y) Hơn nữa, V (f (x)) V (x) < h(x) < 1, ∀x ∈ Bγ (y) Với tùy ý η cho h(x) < η < tồn lân cận Bα (y) cho: h(x) ≤ η, ∀x ∈ Bγ (y) Do x(ki ) → y nên ki đủ lớn ta có V (f (x(ki ))) = V (x(ki + 1)) ≤ ηV (x(ki )) ≤ η V (x(ki − 1)) ≤ · · · ≤ η ki +1 V (0) Vì η ∈ (0, 1) nên từ ta có V (y) = lim (V (x(ki ))) = 0, ki →∞ 37 kéo theo y = 0, mâu thuẫn với giả sử y = Định lý chứng minh Như ví dụ, ta xét hệ sai phân đặc trưng sau Tính ổn định hệ Volterra Phương trình vi phân dạng Volterra nghiên cứu nhiều Sau hệ sai phân tương ứng với hệ vi phân nói k−1 B(k − i)x(i) x(k + 1) = Ax(k) + (2.6) i=0 Ở đây, A B(i) ma trận cỡ n × n cách tổng qt, tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X Định lý 2.7 Xét hệ sai phân k−1 B(k − i)x(i) x(k + 1) = Ax(k) + i=0 Nếu A + ∞ i=0 B(i) < hệ sai phân ổn định tiệm cận Chứng minh Dễ thấy hệ có nghiệm cân tầm thường x ≡ Ta chọn hàm Lyapunov sau k−1 ∞ B(j − i) V (x(k)) = x(k) + i=0 j=k Theo cách chọn hàm V (x(k)), ta có (i) V (x) > 0, ∀x = (ii) V (0) = Ta cần chứng minh V (x(k)) thỏa mãn điều kiện (iii) ∆V (x(k)) < 0, ∀k ≥ Quả vậy, x(i) 38 ∆V (x(k)) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) k−1 ∞ ∞ k B(j − i) B(j − i) x(i) − x(k) − = x(k + 1) + i=0 j=k i=0 j=k+1 ∞ k k B(j − i) x(i) B(k − i)x(i) + = (A)x(k) + i=0 j=k+1 i=0 k−1 ∞ B(j − i) − x(k) − x(i) i=0 j=k B(j − i) x(i) B(k − i)x(i) + = (A)x(k) + i=0 j=k+1 i=0 k−1 ∞ ∞ B(j − k) + i=0 j=k ∞ k B(k − i)x(i) + = (A)x(k) + B(j − k) x(k) − x(k) i=0 j=k+1 ∞ ∞ B(j − i) x(i) − + i=0 B(j − i) x(i) x(k) − x(k) − j=k+1 k−1 ∞ k−1 k j=k+1 B(j − i) x(i) j=k ∞ k B(k − i)x(i) − x(k) + = (A)x(k) + i=0 B(j − k) j=k+1 k−1 − B(k − i) x(k) i=0 k ≤ (A) k−1 B(k − i) x(i) − x(k) + i=0 i=0 ∞ − x(k) + B(j − k) j=k+1 B(k − i) x(k) x(k) x(k) x(i) 39 ∞ B(j − k) x(k) = (A) x(k) + B(0) x(k) − x(k) + j=k+1 ∞ = B(j − k) − x(k) (A) + B(0) + j=k+1 ∞ = B(j − k) − x(k) (A) + j=k ∞ = B(i) − x(k) (A) + i=0 + < 0, ∀k ∈ Z Vậy theo định lý Lyapunov hệ ổn định tiệm cận 2.1.6 Mở rộng định lý Lyapunov Hai định lý cho phương trình autonom (1.1) với điều kiện (2.5) Rn x(k + 1) = f (x(k)), f (0) = 0, điều kiện đủ để nghiệm cân tầm thường (1.1), thỏa mãn (2.5) ổn định ổn định tiệm cận Với hệ ổn định ổn định tiệm cận việc có tồn hàm Lyapunov hay không, cách xây dựng chúng câu hỏi chưa giải cho trường hợp tổng quát Như việc tìm hàm Lyapunov cho hệ biết nói chung khó, trừ số hệ có dạng đặc biệt Một cách để việc xây dựng hàm Lyapunov dễ là: nghiên cứu phận hệ không gian bất biến chí tập bất biến Rn Để chuẩn bị cho phần mở rộng ta cần số khái niệm ký hiệu sau đây: Định nghĩa 2.4 • Tập G ∈ Rn gọi tập bất biến dương (1.1) (hay f ) x ∈ G f (x) ∈ G hay f (G) ⊂ G • Tập G gọi bất biến âm G ⊂ f (G) • Tập G gọi bất biến f (G) = G Khi G tập bất biến dương (1.1) thấy, x0 ∈ G f k (x0 ) ∈ G, ∀k ∈ Z+ Ta ký hiệu: f + (x0 ) := {f k (x0 )/k ∈ Z+ } 40 L+ (x0 ) := {u ∈ Rn /∃ dãy ki : f ki (x0 ) → u ki → +∞.} L+ (x0 ) gọi tập ω -giới hạn điểm x0 hệ (1.1) Định nghĩa 2.5 Giả sử D, chứa tập bất biến dương hệ (1.1) A tập hút Khi đó, giao AD := A ∩ D gọi tập hút tương đối điểm hệ (1.1) Định nghĩa 2.6 Giả sử D, chứa tập bất biến dương hệ (1.1) Nói điểm cân x = (1.1) D-ổn định ∀ > 0, ∃δ > 0/f + (Bδ (0) ∩ D) ⊆ B (0) Nói x = D-ổn định tiệm cận D-ổn định D-hút 0, nghĩa x0 ∈ D ∩ Bδ (0) ⇒ lim f k (x0 ) = k→+∞ Giả sử V (x) hàm Lyapunov (lỏng chặt) lân cận U (0) hệ (1.1) Ký hiệu: G0 := {x ∈ U (0)/V (x) = 0} G := {x ∈ U (0)/∆V (x) = 0} Gọi G∗ tập bất biến dương rộng chứa G Có thể kiểm tra G0 tập bất biến dương (1.1) G0 ⊆ G∗ ⊆ G Ta có kết mở rộng Định lý 2.8 Nếu tồn lân cận Ω ⊂ U chứa điểm hàm V ∈ C0 (Ω, R) cho (1) V (x) ≥ với ∀x ∈ Ω V (0) = 0, (2) ∆V (x) = V (f (x)) − V (x) ≤ với ∀x ∈ Ω, (3) Nghiệm G0 ổn định tiệm cận, G0 = {x ∈ Ω : V (x) = 0} nghiệm ổn định Chứng minh Giả sử nghiệm không ổn định Lyapunov Khi tồn > cho xây dựng dãy véc tơ ban đầu (xk )k∈Z+ ⊂ B , 41 cho lim xk = k→∞ Với k ∈ Z+ quĩ đạo dương f + (xk ) không nằm B Tức {f h (xn ), h ∈ Z+ } B Nói cách khác với điều kiện ban đầu xk , tồn tập số nguyên dương Kk ⊂ Z+ cho f h (xk ) ∈ / B , ∀h ∈ Kk Gọi hk phần tử nhỏ Kk hk đơn giản thời điểm mà nghiệm xuất phát từ xk rời khỏi cầu B Dãy (hk )k∈Z+ ⊂ Z+ thỏa mãn {xh , f (xh ), , f hk −1 (xk ) ⊂ B f hk (xk ) ≥ với ∀k ∈ Z+ (1) Từ (1) ta có tính chất sau f h (xk ) < , ∀h ∈ 0, , q ⇔ q < hk (2) Ở cần lưu ý việc xác định hk khơng cho thơng tin f h (xk ) với ¯ ∩ G0 ⊂ AG h > hk , f h (xk ) ∈ B f h (xk ) ∈ / B Lấy đủ nhỏ cho B + Điểm G0 ổn định tiệm cận tồn N0 ∈ Z cho nghiệm (2.1) thỏa mãn: f h (y) < , ∀h ≥ N0 , ¯ ∩ G0 ∀y ∈ B (3) Do tính liên tục nghiệm theo điều kiện ban đầu nên tồn δ > cho ¯ ×B ¯ , x − y < δ ⇒ f h (x) − f h (y) < , ∀h ≤ N0 ∀(x, y) ∈ B (4) Dãy (xk )k∈Z+ → k → ∞ tồn k0 ∈ Z+ cho xk < δ với ∀k ≥ k0 Vì từ (4) ta có f m (xk ) < , ∀m ∈ {0, , M }, ∀k ≥ k0 Vì (2) kéo theo N0 < hk với ∀k ≥ k0 ta có < hk − N0 < hk , ∀k ≥ k0 Kết hợp với (1), ta có f hk −N0 (xk ) < , ∀k ≥ k0 42 Vì vậy, dãy (uk )k≥k0 định nghĩa uk = f hk −N0 (xk ) có chứa dãy hội tụ (uφ(k) )k≥k0 ¯ (vì u Đặt Z = lim uφ(k) ∈ B φ(k) ∈ B ) Do hàm V liên tục nên ta có k→∞ ≤ V (Z) = lim V (uφ(k) ) = lim V (f hk −N0 (xφ(k) )) ≤ lim V (xφ(k) ) = k→∞ k→∞ k→∞ ¯ ∩ G0 (3) thỏa mãn với Z nên Do Z phụ thuộc vào B f N0 (Z) < (5) Bởi Z = lim f hφ(k)−N0 (xφ(k) ) nên tồn p ≥ k0 cho k→∞ Z − f hp −N0 (xp ) < δ Khi (4) ta có f N0 (Z) − f N0 (f kp −N0 (xp )) < (6) Cuối cùng, kết hợp (5) (6), ta có đánh giá f hp (xp ) < Điều mâu thuẫn với (1) Định lý chứng minh xong Kết sau mở rộng định lý Lyapunov ổn định tiệm cận Định lý 2.9 Nếu tồn lân cận Ω ⊂ U chứa gốc hàm V ∈ C0 (Ω, R) cho (1) V (x) ≥ với ∀x ∈ Ω V (0) = 0, (2) ∆V (x) = V (f (x)) − V (x) ≤ 0, ∀x ∈ Ω, (3) Nghiệm G∗ ổn định tiệm cận, G∗ tập bất biến dương lớn chứa G = {x ∈ Ω : V (f (x)) − V (x) = 0} nghiệm tầm thường x(k) ≡ ổn định tiệm cận Chứng minh Tập G0 = {x ∈ Ω : V (x) = 0} bất biến dương chứa G∗ Do tất giả thiết Định lý (2.6) thỏa mãn nghiệm (2.1) ổn định tức với δ > bất kỳ, tồn γ > cho nghiệm (2.1) xuất phát từ Bγ không khỏi Bδ với số nguyên n 43 Gọi AG∗ tập hút G∗ Chọn δ > cho: B¯δ ∩ G∗ ⊂ AG∗ Để tính hút nghiệm ta chứng minh Bγ chứa miền hút tức ∀x ∈ Bγ , Thật vậy, với x0 ∈ Bγ tìm η > cho: lim f h (x) = h→∞ (7) số thực dương Bởi nghiệm ổn định nên f k (Bη ) ⊂ B , ∀k ∈ Z+ (8) Bởi B¯δ ∩ G∗ ⊂ AG∗ , tồn M0 ∈ Z+ cho: ¯δ ∩ G∗ f k (y) < η/2, ∀k ≥ M0 , ∀y ∈ B (9) Do nghiệm phụ thuộc liên tục vào giá trị ban đầu nên tồn α > cho: ¯δ × B ¯δ , x − y < α → f k (x) − f k (y) < η/2, ∀k ≤ M0 ∀(x, y) ∈ B (10) Giả sử y ∈ L+ (x0 ), theo nguyên lý bất biến Lasalle (xem [9]), ta có ¯δ ∩ G∗ y∈B (11) f k (y) < η/2, ∀k ≥ M0 (12) ∃p ∈ Z+ : f p (x0 ) − y < α (13) Từ (10) ta có Mặt khác y ∈ L+ (x0 ) nên Kết hợp (11), (12), (13) ta có f M0 +p (x0 ) < η/2 + η/2 = η (14) Từ (8) ta có f k (f M0 +p (x0 )) < , ∀k ∈ Z+ Điều chứng tỏ lim f k (x0 ) = Vì tồn số k→∞ thực dương γ cho Bγ chứa miền hút Định lý chứng minh xong 44 Ví dụ 2.1 Xét hệ  x(k + 1) = y(k), y(k) y(k + 1) = 1+x2 (k) ,  (x(k), y(k)) ∈ R2 Tuyến tính hóa hệ với f1 (x, y) = y, f2 (x, y) = y(k) , + x2 (k) ta có A= ∂f1 ∂x ∂f2 ∂x ∂f1 ∂y ∂f2 ∂y = (0,0) −2xy (1+x2 )2 1+x2 = 1 (0,0) Hệ xấp xỉ hệ tuyến tính z(k + 1) = Az(k), z(k) = x(k) y(k) Ở A= 1 ; σ(A) = {0, 1} Trường hợp tới hạn có |λ2 | = nên chưa thể nói tính ổn định hệ có nhiễu Ta dùng phương pháp khác để xét tính ổn định hệ có nhiễu Xét hàm, V (x, y) = y Ta có ∆V = V (z(k + 1)) − V (z(k)) = y (k)[ − 1] ≤ (1 + x2 (k))2 Như V hàm Lyapunov không âm Hơn nữa, ta lại có G0 = {(x, 0)/V (x, y) = 0}, G = {(x, 0)/∆V (x, y) = 0}, G0 ⊂ G∗ ⊂ G, 45 G∗ = G0 Mà nghiệm hệ có nhiễu G∗ ổn định tiệm cận G∗ = G = {(x, 0)} có nghiệm tầm thường x(k + 1) = y(k) = 0, y(k) y(k + 1) = 1+x2 (k) = Vậy nghiệm G∗ ổn định tiệm cận Theo định lý Lyapunov, nghiệm x = hệ có nhiễu ổn định tiệm cận 2.2 Tính ổn định hóa 2.2.1 Khái niệm ổn định hoá Xét hệ điều khiển dạng sai phân (1.4) x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) Định nghĩa 2.7 Nói hệ (1.4) ổn định hóa tồn hàm điều khiển ngược dạng u(k) = Sx(k), (2.7) S ma trận cỡ m × n cho hệ phương trình sai phân sau x(k + 1) = (A + BS)x(k) (2.8) ổn định tiệm cận Nhận xét 2.4 • Hàm điều khiển (2.6) có dạng tuyến tính Tổng qt xét hàm điều khiển ngược dạng phi tuyến u(k) = ϕ(x(k)) • Định nghĩa chưa nói đến điều kiện hàm điều khiển u(k) Về sau có nhiều loại điều kiện hạn chế tập hàm điều khiển • Phương trình (2.8) phương trình sai phân tuyến tính autonom, có nghiệm tầm thường x ≡ Hệ ổn định tiệm cận giá trị riêng λ ma trận A + BS có mơ đun nhỏ 2.2.2 Liên hệ tính điều khiển tính ổn định hóa Kết sau nói mối quan hệ hai tính chất 46 Định lý 2.10 Hệ (1.4) điều khiển hồn tồn ổn định hóa Khơng có mệnh đề ngược lại Để chứng minh định lý ta sử dụng Định lý 1.3 Chứng minh Chọn n số thực µ1 , µ2 , · · · , µn , cho | µi |< 1, ∀i = 1, 2, · · · , n Do hệ (A, B) điều khiển hoàn toàn nên xây dựng ma trận S cho σ(A + BS) = {µ1 , µ2 , · · · , µn } Mà |µi | < 1, ∀i = 1, 2, · · · , n nên hệ autonom x(k + 1) = (A + BS)x(k) ổn định tiệm cận Để mệnh đề ngược lại khơng đúng, ta xét ví dụ sau Xét hệ điều khiển x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), A ma trận cỡ n × n   ···  12 · · ·  A=  ,   0 ··· B ma trận cỡ n × 1 0   B =   Khi tồn ma trận F cỡ × n F = (−1, 0, 0, · · · , 0), cho −1 · · ·  0 ···   BF =    ··· 47 Ta có  −1  A + BF =   −1 |A + BF − λI| =  ···  ··· ,   ··· −λ 2 ··· − λ ··· 0 ··· =0 −λ −1 − λ)( − λ)n−1 = 2 −1 ⇔ λ1 = , λ2 = 2 ⇒ σ(A + BF ) ⊂ B(0, 1) ⇔( Vậy hệ điều khiển ổn định hóa Tuy nhiên hệ khơng điều khiển hồn tồn Thật vậy, ta xét ma trận sau (A, B) = (B, AB, · · · , An−1 B),      AB =    Mà Do 1 A = E ⇒ An−1 = ( )n−1 E 2   ( 12 )n−1   An−1 B =     Vậy   12 · · · ( 12 )n−1  0 ···  (B, AB, · · · , An−1 B) =   0 ···   Dễ thấy rank(A, B) = < n Hệ khơng điều khiển hồn tồn Hệ 2.1 Trong trường hợp hệ (1.4) điều khiển hồn tồn q trình điều khiển thực không n bước (n số chiều không gian trạng thái) 48 Chứng minh Trước tiên ta nhắc lại định lý Cayley - Hamilton Đại số Giả sử A ma trận thực cỡ n × n đa thức đặc trưng PA (λ) = det(λI − A) Khi đó, PA (A) = Tiếp theo, ta chọn n giá trị thực µ1 = µ2 = · · · = µn = µ Khi ma trận A + BS có đa thức đặc trưng PA+BS (λ) = λn Theo định lý Cayley - Hamilton ta có PA+BS (A + BS) = (A + BS)n = Do đó, x(n) = (A + BS)n x0 = Vậy x(k) = với k ≤ n Hệ điều khiển Kết luận Luận văn trình bày số dấu hiệu để hệ điều khiển dạng sai phân điều khiển hoàn toàn, quan sát hoàn toàn mối liên hệ hai tính chất Luận văn nghiên cứu tính ổn định phương trình sai phân autonom ứng dụng định lý ổn định tiệm cận với hệ Volterra Luận văn trình bày hai kết mở rộng định lý Lyapunov theo hướng sử dụng nguyên lý bất biến Trong luận văn, tìm hiểu cách chứng minh dấu hiệu điều khiển hoàn toàn Hautus, chứng minh theo cách khác chiều ngược lại định lý xây dựng hàm điều khiển theo tập phổ cho trước 49 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000) [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển Toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001) [3] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định Phan Văn Hạp,Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục (2001) [4] N S Bay and V N Phat, “Stability analysis of nonlinear retarded difference equations in Banach spaces, International Journal of Computers and Mathematics with Applications, 45, 3-6 (2003), 951-960 [5] N S Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous kernels, Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13, (2010), 59-69 [6] Nguyen S Bay, Stabilization of nonlinear nonautonomous time-delay systems with the memory of the past control, AMS , 4, 57 (2010), 2829-2841 [7] S Boyd, L.E Ghaoui, E Feron and V Balakrisnan, Linear matrix inequalities in systems and control theory, SIAM, Philadelphia (1994) [8] S Elaydi, An Introduction to Difference Equations (Third Edition), Springer (2000) [9] M Hautus, Stabilization controllability and observability of linear autonomous systems, Indagationes Mathematicae (Proceedings), Elsevier (1970) [10] A Iggidr and M Bensoubaya, New Results on the Stability of DiscreteTime Systems and Applications to Control Problems, Math Anal and Appl., 229 (1998) , 392-414 [11] T Yoshizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Math Soc of Japan (1966) ... cứu định tính Với hệ điều khiển người ta thường quan tâm tới định tính như: tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định hóa Luận văn nghiên cứu định tính hệ điều khiển dạng sai phân. .. Luận văn gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức sở hệ điều khiển hệ quan sát, điều kiện cần đủ để hệ sai phân autonom điều khiển hoàn toàn, quan sát hoàn toàn, mối liên hệ tính điều khiển. .. ổn định, phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình sai phân Chương trình bày kết định lý Lyapunov mở rộng cho hệ autonom kết tính ổn định tiệm cận hệ sai phân dạng Volterra Luận văn