(Luận văn thạc sĩ) hàm green của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC CAO VĂN HỊA HÀM GREEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC CAO VĂN HỊA HÀM GREEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2016 Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình TS Lê Huy Tiễn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, tơi xin gửi tới q thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 - 2015, lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình học tập Trường Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Dược Phú Thọ tạo điều kiện thuận lợi để tơi tiếp tục học tập nâng cao trình độ Để hồn thành chương trình đào tạo hồn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ quý báu gia đình, thầy bạn bè Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn tới bạn Lê Đức Nhiên giúp đỡ nhiều việc lập trình với phần mềm Maple Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô thành viên nhóm Semina Hệ động lực TS Lê Huy Tiễn Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2016 Học viên Cao Văn Hòa Mục lục Mở đầu Hàm Green phương trình vi phân 1.1 Ví dụ cho hàm Green 1.2 Định nghĩa hàm Green 1.3 Sự tồn tính hàm Green 3 12 13 Cơng thức hàm Green cho phương trình vi phân hệ số 2.1 Hàm Green cho phương trình vi phân hệ số 2.2 Trường hợp tuần hoàn 2.3 Sử dụng Maple tính hàm Green 2.3.1 Cơng thức hàm Green cho tốn biên cấp 2.3.2 Cơng thức hàm Green cho tốn biên cấp 21 21 27 28 30 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Trong giải tích, lý thuyết phương trình vi phân chiếm vị trí quan trọng Với lý thuyết đó, chun ngành giải tích ngày hút nhiều người sâu vào tìm hiểu nghiên cứu Một toán xét đến toán giá trị biên tuyến tính hai điểm cực a, b Chúng ta biết rằng, tồn nghiệm toán nói chung khơng đảm bảo Vì vậy, việc phát triển công cụ đảm bảo tồn nghiệm, tính tốn xác biểu thức nghiệm toán giá trị biên tuyến tính hai điểm quan trọng Có số phương pháp để giải toán giá trị biên như: phương pháp khai triển chuỗi, biến đổi Laplace, , theo chúng tơi phương pháp phù hợp tính tốn hàm Green: nói chung, tốn Lu = σ với điều kiện biên nhất, có nghiệm tầm thường σ = , tốn tử tuyến tính liên kết khả nghịch toán tử nghịch đảo L−1 σ đặc trưng hạt nhân tích phân G(t, s), gọi hàm Green Khi đó, nghiệm tốn Lu = σ cho b −1 G(t, s)σ(s)ds, t ∈ [a, b] U (t) = L σ(t) := a Lý thuyết hàm Green cơng cụ phân tích phương trình vi phân Ưu điểm hàm Green độc lập với hàm σ Với σ , để thu nghiệm xác, cần tính tích phân tương ứng mà khơng cần phát triển tính tốn Tuy nhiên, biểu thức chi tiết hàm Green nói chung phức tạp, việc tính tốn thực theo kỹ thuật khó Đây lý mà nội dung luận văn ngồi việc trình bày lại báo [5] đưa số ví dụ hàm Green, bước đầu sử dụng phần mềm Maple để tính hàm Green số trường hợp Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương 1: Hàm Green phương trình vi phân Trong chương này, chúng tơi trình bày số ví dụ hàm Green cho phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp hai Sau đó, chúng tơi trình bày định nghĩa, tồn tính hàm Green phương trình vi phân tuyến tính cấp n điều kiện biên tuyến tính Chương 2: Cơng thức hàm Green cho phương trình vi phân hệ số Mục đích chương xây dựng cơng thức tính hàm Green cho phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, sử dụng phần mềm Maple để tính hàm Green số trường hợp Chương Hàm Green phương trình vi phân Trong chương này, chúng tơi trình bày số ví dụ hàm Green cho phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp hai Sau đó, chúng tơi trình bày định nghĩa, tồn tính hàm Green phương trình vi phân tuyến tính cấp n điều kiện biên tuyến tính 1.1 Ví dụ cho hàm Green Ví dụ 1.1 Cho m ∈ R, f hàm liên tục, xét phương trình: u (t) + mu(t) = f (t), t ∈ [0, 1] với điều kiện biên : u(0) − u(1) = Trước tiên, ta tìm nghiệm phương trình (1.1) Nhân hai vế phương trình (1.1) với emt ta có emt u (t) + memt u(t) = emt f (t) d mt e u(t) = emt f (t), t ∈ [0, 1] dt Tích phân hai vế, ta có t emt u(t) − u(0) = ems f (s)ds, t ∈ [0, 1] (1.1) t   u(t) = e−mt u(0) + ems f (s)ds , t ∈ [0, 1] t u(t) = e−mt u(0) + e−m(t−s) f (s)ds Thay vào điều kiện biên u(0) − u(1) = , ta có: u(0) − (e−m u(0) + e−m(1−s) f (s)ds) = 0 (1 − e−m )u(0) = e−m(1−s) f (s)ds Do với m = 1 u(0) = − e−m e−m(1−s) f (s)ds Thay vào biểu thức u(t) ta u(t) = − e−m u(t) = − e−m e −m(t+1−s) t f (s)ds + e−m(t−s) f (s)ds e −m(t+1−s) f (s)ds + e−m(t−s) χ(0,t) f (s)ds u(t) = G(t, s)f (s)ds G(t, s) =   e−m(t+1−s) 1−e−m  e−m(t+1−s) 1−e−m , + e−m(t−s) , với < s < t < với < t < s < 1 f (s)ds = Khi m = 0, điều kiện để phương trình có nghiệm Bài tốn đưa Ví dụ 1.1 có cách nhìn khác sau: Đặt X = u ∈ C ([0, 1]) , u(0) = u(1) Xét toán tử L : X → C([0, 1]) xác định Lu(t) = u (t) + mu(t), t ∈ [0, 1] Khi đó, phương trình (1.1) tương đương với Lu = f Nếu u nghiệm u = L−1 f = G(t, s)f (s)ds Sự tồn nghiệm phương trình (1.1) tương đương với tính khả nghịch toán tử L Một câu hỏi tự nhiên đặt là: hàm G(t, s) có tính chất gì, tồn tính hàm Hơn nữa, trường hợp tổng quát công thức G(t, s) Dưới ta trả lời câu hỏi cho trường hợp đặc biệt, hàm Green cho phương trình vi phân cấp hai Xét toán giá trị ban đầu L[y] = f (x), y(x0 ) = α, y (x0 ) = β (1.2) Với L toán tử vi phân L[y] = d2 y dy + a (x) + a0 (x)y dx2 dx (1.3) Nếu a1 a0 hàm liên tục (1.2) tồn nghiệm Xét toán toán giá trị biên tổng quát L[y] = f (x), Ba (y) = 0, Bb (y) = 0, (1.4) Ba (y) = α1 y(a) + β1 y (a) Bb (y) = α2 y(b) + β2 y (b) (1.5) Nếu chọn β1 = β2 = α1 = α2 = điều kiện y y triệt tiêu a b Nếu chọn α1 = α2 = β1 = β2 = y (a) = y (b) = Các điều kiện tổng quát áp đặt a b liên quan tới y y Khơng giống tốn giá trị ban đầu, tốn giá trị biên khơng tồn nghiệm, chẳng hạn xét phương trình y + y = f (x), y(0) = y(π) = (1.6) Nhân phương trình với sin x lấy tích phân, ta có π π f (x) sin xdx = π y (x) sin xdx + y(x) sin xdx π = y (x) sin x |π0 − π y (x) cos xdx + y(x) sin xdx π = −y(x) cos x |π0 − π y(x) sin xdx + y(x) sin xdx (1.7) = (1.8) Do đó, điều kiện cần để (1.6) có nghiệm π f (x) sin xdx = (1.9) Điều kiện không thỏa mãn với f (x) (ví dụ: f (x) = x) Bây giờ, giải thích làm để tìm nghiệm toán giá trị ban đầu chúng tồn Công cụ chủ yếu hàm Green Một hàm Green xây dựng hai nghiệm độc lập y1 , y2 phương trình L[y] = (1.10) Chính xác hơn, y1 nghiệm toán giá trị ban đầu L[y] = 0, y(a) = β1 , y (a) = −α1 (1.11) y2 nghiệm toán L[y] = 0, y(b) = β2 , , y (b) = −α2 (1.12) Do nghiệm thỏa mãn Ba [y1 ] = Bb [y2 ] = (1.13) Bổ đề 1.1 Hàm u thỏa mãn L[u] = Ba [u] = u = λy1 , λ ∈ R (1.14) ta thu biểu thức dk (s), từ có cơng thức G(t, s) Chú ý rằng, hệ (2.5) tương đương với   n−1 βj1 r(j) (b − s)      U1 (y0 ) U1 (yn−1 ) d0 (s)  j=0      = −   (2.6)    n−1 Un (y0 ) Un (yn−1 ) dn−1 (s)   βjn r(j) (b − s) j=0 Do tốn (Hc ) có nghiệm tầm thường nên theo Mệnh đề 1.1 Hệ 1.2 hệ có nghiệm 2.2 Trường hợp tuần hoàn Như thấy chứng minh Định lý 2.1, để thu biểu thức hàm Green cho toán (Hc ), ta quy việc giải hệ (2.6) Ngồi ra, tồn tính hàm Green tương đương với tính nghiệm hệ đại số tương ứng Từ định nghĩa hàm yk đưa (2.3), cần tìm hàm r nghiệm toán giá trị ban đầu nêu Định lý 2.1 Nhìn chung, biểu thức hàm liên tục dk phức tạp Vì vậy, số trường hợp đặc biệt điều kiện biên, ta tìm cách phù hợp để tính hàm Green Xét trường hợp tuần hồn Ui (y) ≡ y (i) (b) − y (i) (a), i = 0, , n − Trong trường hợp này, biểu thức hàm Green nêu kết sau Việc chứng minh tương tự với chứng minh Định lý 2.1 Bổ đề 2.1 Giả sử toán biên tuần hoàn : Ln u(t) = σ(t), t ∈ I, u(i) (a) − u(i) (b) = µi , i = 0, , n − có nghiệm u ∈ C n (I) với σ ∈ C(I) Khi u cho biểu thức b u(t) = n−1 G(t, s)σ(s)ds + ri (t)µi i=0 a 27 rj ∈ C ∞ (R), j = 0, , n − 1, nghiệm toán Ln z(t) = 0, t ∈ R, (2.7) z (i) (a) − z (i) (b) = 0, i = 0, , n − 1; i = j, (2.8) z (j) (a) − z (j) (b) = (2.9) G(t, s) =   rn−1 (a + t − s), a ≤ s ≤ t ≤ b (2.10)  r (b + t − s), a ≤ t ≤ s ≤ b n−1 Hơn nữa, với i = 0, , n − 2, ta có biểu thức sau : n−i−1 ri (t) = (n−1−i) rn−1 (t) (j−i−1) an−j rn−1 + (t), t ∈ I j=1 Rõ ràng biểu thức cho bổ đề đơn giản tính tốn trình bày phần trước Trong trường hợp tuần hồn, ta cần tìm biểu thức hàm rn−1 thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính 2.3 Sử dụng Maple tính hàm Green Trong mục này, ta trình bày lại thuật tốn tính hàm Green cho tốn (SHc ) Maple với cấp cấp dựa công thức xây dựng mục 2.1 Để làm điều đó, trước tiên ta cần tìm r nghiệm phương trình (2.1) Sau ta biểu diễn hàm yk theo cơng thức (1.44) Tiếp tìm hàm dk cách giải hệ phương trình (2.6) Từ việc phương trình (2.6) có nghiệm, hệ quả, ta thu hàm Green G(t, s) cho tốn (SHc ), khơng phương trình khơng tồn hàm Green Hình (2.1) sơ đồ khối cho thuật tốn maple 28 Hình 2.1: 29 2.3.1 Cơng thức hàm Green cho tốn biên cấp Phần code làm theo bước Các gói lệnh > restart; > with(DEtools): with(linalg): with(plots): Input 1: Hệ số phương trình > c := array([1, 0, 81]); # c[1] = c := [1, 0, 81] > eq := c[1]*(diff(x(t), t, t))+c[2]*(diff(x(t), t))+c[3]*x(t) = 0; d2 eq := x (t) + 81 x (t) = dt Input 2: Điều kiện biên > a := 0; #a=0 aab := 1; aacondition[1] := array([1, 0, 0, 0]); aacondition[2] := array([0, 0, 1, 0]); a := b := condition1 := [1 0 0] condition2 := [1 0] Phát biểu toán > problem:=proc() aaprint(" Find the Green function of the problem ") aaprint("Let equation: ", eq) aaprint("with the first bounded condition: ", condition[1][1]*x(a) aa+condition[1][2]*(D(x))(a)+condition[1][3]*x(b)+ aacondition[1][4]*(D(x))(b) = 0) aaprint("with the second bounded condition: ", condition[2][1]*x(a)+ aacondition[2][2]*(D(x))(a)+condition[2][3]*x(b)+ aacondition[2][4]*(D(x))(b) = 0) 30 aaend: aaproblem(); Find the Green function of the problem d2 Let equation: x (t) + 81 x (t) = dt with the first bounded condition: x(0) = with the second bounded condition: x(1) = Thủ tục tìm hàm Green cho tốn > dk := x(0) = 0, (D(x))(0) = 1: aasolution := dsolve(eq, dk, x(t)); aasolutions := subs(t = t-s, solution): aay[0] := subs(t = t-a, diff(solution, t))+c[2]*subs(t = t-a, solution): aay[1] := solution: aaU[1, 0] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[0]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t)))+condition[1][3] aa*op(2, subs(t = b, y[0]))+condition[1][4]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t))): aaU[1, 1] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+condition[1][3]*op(2, aasubs(t = a, diff(y[1], t)))+condition[1][3]*op(2, subs(t = b, y[1]))+ aacondition[1][4]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t))): aaU[2, 0] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[0])) aa+condition[2][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t)))+condition[2][3]* aaop(2, subs(t = b, y[0]))+condition[2][4]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t))): aaU[2, 1] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+condition[2][2]* aaop(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+condition[2][3]*op(2, subs(t = b, y[1])) aa+condition[2][4]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t))): aaA := Matrix([[U[1, 0], U[1, 1]], [U[2, 0], U[2, 1]]]): aav := [condition[1][3]*op(2, subs(t = b-s, solution))+condition[1][4]* aaop(2, subs(t = b-s, diff(solution, t))), condition[2][3]*op(2, subs aa(t = b-s, solution))+condition[2][4]*op(2, subs(t = b-s, diff(solution, t)))]: aaif det(A) = aathen d:=evalm(A−1 &*v): aafi: 31 Output: Hàm Green đồ thị > if det(A) = aathen print("The solution is unique and the Green’s function is given by: "); aaG := proc (t, s) options operator, arrow; piecewise(a a := 0; #a=0 aab := 3; aacondition[1] := array([1, 0, 0, 0]); aacondition[2] := array([0, 0, 0, 2]); a := b := condition1 := [1 0 0] condition2 := [0 0 2] Output: Hàm Green đồ thị Hình 2.4: 34 2.3.2 Cơng thức hàm Green cho tốn biên cấp Dưới phần code cho toán biên cấp Các gói lệnh > restart; > with(DEtools): with(linalg): with(plots): Input 1: Hệ số phương trình > c := array([1, 3, 3, 1]) # c[1] = c := [1, 3, 3, 1] > eq := c[1]*diff(x(t),t$3)+c[2]*diff(x(t), t$2)+c[3]*(diff(x(t), t))+c[4]*x(t) = eq := d3 d2 d x (t) + x (t) + x (t) + x (t) = dt3 dt2 dt Input 2: Điều kiện biên > a := 0; #a=0 aab := 1; aacondition[1] := array([1, 0, 0, 0, 0, 0]); aacondition[2] := array([0, 0, 0, 1, 0, 0]); aacondition[3] := array([0, 0, 0, 0, 1, 0]); a := b := condition1 := [1, 0, 0, 0, 0, 0] condition2 := [0, 0, 0, 1, 0, 0] condition3 := [0, 0, 0, 0, 1, 0] Phát biểu toán > problem:=proc() aaprint(" Find the Green function of the problem ") aaprint("Let equation: ", eq) aaprint("with the first bounded condition: ", condition[1][1]*x(a)+ aacondition[1][2]*(D(x))(a)+condition[1][3]*((D@@2)(x))(a)+condition[1][4]* aa*x(b)+condition[1][5]*(D(x))(b)+condition[1][6]*((D@@2)(x))(b) = 0); 35 aaprint("with the second bounded condition: ", condition[2][1]*x(a)+ aacondition[2][2]*(D(x))(a)+condition[2][3]*((D@@2)(x))(a)+condition[2][4] aa*x(b)+condition[2][5]*(D(x))(b)+condition[2][6]*((D@@2)(x))(b) = 0); aaprint("with the third bounded condition: ", condition[3][1]*x(a)+ aacondition[3][2]*(D(x))(a)+condition[3][3]*((D@@2)(x))(a)+condition[3][4] aa*x(b)+condition[3][5]*(D(x))(b)+condition[3][6]*((D@@2)(x))(b) = 0); aaend: aaproblem(); Find the Green function of the problem d3 d2 d Let equation: x (t) + x (t) + x (t) + x (t) = dt dt dt with the first bounded condition: x(0) = with the second bounded condition: x(1) = with the third bounded condition: D(x)(1) = Thủ tục tìm hàm Green cho toán > dk := x(0) = 0, (D(x))(0) = 0, ((D@@2)(x))(0) = aasolution := dsolve(eq, dk, x(t)); aasolutions := subs(t = t-s, solution): aay[0] := subs(t = t-a, diff(solution,t$2))+c[3]*subs(t = t-a, solution) aa+c[2]*subs(t = t-a, diff(solution, t)); aay[1] := subs(t = t-a, diff(solution, t)); aa+c[2]*subs(t = t-a, solution); aay[2] := subs(t = t-a, solution); aaU[1, 0] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[0]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0],t)))+ aacondition[1][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[0],t$2)))+ aacondition[1][4]*op(2, subs(t = b, y[0]))+ aacondition[1][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t)))+ aacondition[1][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t$2))): aaU[1, 1] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+ aacondition[1][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t$2)))+ 36 aacondition[1][4]*op(2, subs(t = b, y[1]))+ aacondition[1][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t)))+ aacondition[1][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[1],t$2))): aaU[1, 2] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[2]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[2], t)))+ aacondition[1][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[2], t$2)))+ aacondition[1][4]*op(2, subs(t = b, y[2]))+ aacondition[1][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t)))+ aacondition[1][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t$2))): aaU[2, 0] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[0]))+ aacondition[2][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t)))+ aacondition[2][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t$2)))+ aacondition[2][4]*op(2, subs(t = b, y[0]))+ aacondition[2][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t)))+ aacondition[2][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t$2))): aaU[2, 1] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+ aacondition[2][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+ aacondition[2][3]*op(2, subs( t = a, diff(y[1], t$2)))+ aacondition[2][4]*op(2, subs(t = b, y[1]))+ aacondition[2][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t)))+ aacondition[2][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t$2))): aaU[2, 2] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[2]))+ aacondition[2][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[2], t)))+ aacondition[2][3]*op(2, subs( t = a, diff(y[2], t$2)))+ aacondition[2][4]*op(2, subs(t = b, y[2]))+ aacondition[2][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t)))+ aacondition[2][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t$2))): aaU[3, 0] := condition[3][1]*op(2, subs(t = a, y[0]))+ aacondition[3][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t)))+ aacondition[3][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t$2)))+ aacondition[3][4]*op(2, subs(t = b, y[0]))+ aacondition[3][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t)))+ aacondition[3][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t$2))): aaU[3, 1] := condition[3][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+ 37 aacondition[3][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+ aacondition[3][3]*op(2, subs( t = a, diff(y[1], t$2)))+ aacondition[3][4]*op(2, subs(t = b, y[1]))+ aacondition[3][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t)))+ aacondition[3][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t$2))): aaU[3, 2] := condition[3][1]*op(2, subs(t = a, y[2]))+ aacondition[3][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[2], t)))+ aacondition[3][3]*op(2, subs( t = a, diff(y[2], t$2)))+ aacondition[3][4]*op(2, subs(t = b, y[2]))+ aacondition[3][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t)))+ aacondition[3][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t$2))) aaA := Matrix([[U[1, 0], U[1, 1]], [U[2, 0], U[2, 1]]]): aav := [condition[1][3]*op(2, subs(t = b-s, solution))+condition[1][4]* aaop(2, subs(t = b-s, diff(solution, t))), condition[2][3]*op(2, subs aa(t = b-s, solution))+condition[2][4]*op(2, subs(t = b-s, diff(solution, t)))]: aaif det(A) = aathen d:=evalm(A−1 &*v): aafi: Output: Hàm Green đồ thị > if det(A) = aathen print("The solution is unique and the Green’s function is given by: "); aaG := proc (t, s) options operator, arrow; piecewise(a