(Luận văn thạc sĩ) dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân hàm bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI TRỌNG QUY DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI TRỌNG QUY DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS Đặng Đình Châu HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp bảo tận tình thầy PGS.TS Đặng Đình Châu Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, người tận tình bảo, giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để tơi hồn thành luận văn Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tồn thể thầy giáo, giáo cơng tác khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để tơi có tảng kiến thức thực luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình bạn bè bên cạnh, động viên, nhiệt tình giúp đỡ chia sẻ khó khăn quãng thời gian làm luận văn suốt năm học tập trường Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015 Học viên Bùi Trọng Quy Lời nói đầu Phương trình vi phân hàm lần A.D Mushkic (nhà toán học Nga) nghiên cứu từ năm 1950, phát triển cách hồn thiện Phương trình vi phân hàm xem phương trình vi phân không gian Banach với không gian pha không gian hàm liên tục miền J trục thực R Các kết lý thuyết định tính phương trình vi phân hàm có nhiều ứng dụng thực tiễn (xem tài liệu [3], [7], [9],[12]) Nội dung luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân có chậm Phương pháp sử dụng chủ yếu phương pháp thông dụng lý thuyết định tính phương trình vi phân tuyến tính Trong phần cuối có áp dụng thêm phương pháp nửa nhóm phương pháp họ tốn tử tiến hóa không gian Banach Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính có chậm • Chương 3: Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015 Học viên: Bùi Trọng Quy Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach tốn tử sinh 1.2 Ứng dụng phương pháp toán tử Laplace phương trình vi phân có chậm Khái niệm họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh khơng gian Banach 10 1.4 Tính chất nghiệm phương trình vi phân so sánh tích phân khơng gian Banach 13 1.4.1 Tính ổn định phải tính ổn định trái theo Lyapunov 13 1.4.2 Các phương trình so sánh tích phân 15 1.4.3 Sự tương đương tiệm cận phương trình so sánh tích Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 2.1 1.3 phân 15 17 Khái niệm phương trình vi phân hàm phương pháp tìm nghiệm 17 2.1.1 Sự tồn nghiệm 17 2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân hàm 19 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 21 2.3 Phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có chậm 24 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu 26 MỤC LỤC 3.1 Họ tốn tử tiến hóa phi tuyến U (t, s) tồn nghiệm phương trình tích phân Volterra có chậm 26 3.2 Các tính chất họ tốn tử tiến hóa U (t, s) 28 3.3 Sự tương đương tiệm cận phương trình vi phân hàm bị nhiễu 31 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 42 Tài liệu tham khảo 43 Danh mục kí hiệu chữ viết tắt X - Khơng gian Banach L( X ) - Không gian Banach tất tốn tử tuyến tính bị chặn X C (ω ) - Không gian hàm liên tục ω C ( X, Y ) - Không gian hàm liên tục từ X đến Y D ( A) - Miền xác định A C k ( J ) - Không gian hàm khả vi liên tục cấp k J ( T (t))t≥0 - Nửa nhóm tham số tốn tử tuyến tính R(λ, A) - Giải A ρ( A) - Tập giải A U (t, s) - Họ hai tham số tốn tử tuyến tính Mn(R) - Khơng gian ma trận (thực) vuông cấp n: A = ( aij )n.n l2 - Không gian dãy số (ξ n ) xác định bởi: l2 = { ξ ∈ l2 , ξ = (ξ n )∞ n =1 ∞ : ∑ | ξ n |2 < + ∞ } n =1 với chuẩn ∞ ∑ | ξ n |2 ||ξ || = n =1 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kết sử dụng chương sau Các kết chương khơng có chứng minh trích dẫn tài liệu [2],[4],[8], [10] 1.1 Một số khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach tốn tử sinh Định nghĩa 1.1 Họ tốn tử tuyến tính bị chặn ( T (t))t≥0 không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn: T (t + s) = T (t) T (s) với t, s ≥ T (0) = liên tục mạnh Tức ánh xạ quỹ đạo ξ x : t → ξ x (t) = T (t) x liên tục từ R+ vào X với x ∈ X Các tính chất thỏa mãn R thay R+ ta gọi ( T (t))t∈R nhóm liên tục mạnh X Mệnh đề 1.1 Cho nửa nhóm( T (t))t≥0 khơng gian Banach X, khẳng định sau tương đương: (a) ( T (t))t≥0 liên tục mạnh (b) lim T (t) x = x với x ∈ X t →0 (c) Tồn δ > 0, M > tập trù mật D ⊂ X cho: T (t) ≤ M với t ∈ [0, δ] lim T (t) x = x với x ∈ D t →0 Chương Kiến thức chuẩn bị Mệnh đề 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh( T (t))t≥0 , tồn số w ∈ R M ≥ cho T (t) ≤ Mewt với t ≥ Định nghĩa 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh( T (t))t≥0 , gọi w0 ( T ) = in f {w ∈ R : ∃ Mw ≥ 1, T (t) ≤ Mw ewt ∀t ≥ 0} cận tăng trưởng kiểu tăng trưởng nửa nhóm Trong định nghĩa (1.2), nửa nhóm gọi bị chặn w = 0, nửa nhóm co lấy w = M = 1, nửa nhóm đẳng cự T (t) x = x với t ≥ x ∈ X Định nghĩa 1.3 Toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X nửa nhóm liên tục mạnh ( T (t))t≥0 khơng gian Banach X tốn tử Ax := ξ x (0) = lim ( T (h) x − x ) h →0 h xác định với x miền D ( A) := { x ∈ X : ξ x khả vi} Mệnh đề 1.3 Với toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X nửa nhóm ( T (t))t≥0 ta có tính chất sau đây: (a) Nếu λ ∈ C cho R(λ) x = +∞ −λs e T (s) xds tồn với x ∈ X λ ∈ ρ( A) R(λ, A) = R(λ) (b) Nếu Reλ > w λ ∈ ρ( A) giải thức R(λ, A) xác định phần (a) (c) R(λ, A) ≤ Khi R(λ, A) x M Reλ−w ∀ λ : Reλ > w +∞ = e−λs T (s) xds gọi biểu diễn tích phân giải thức Định lý 1.1 (Xem tài liệu [10])( Định lý Hille- Yosida toán tử sinh) Đối với toán tử ( A, D ( A)) khơng gian Banach X tính chất sau tương đương: (a) (A,D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh (b) (A,D(A)) đóng, xác định trù mật với λ > ta có λ ∈ ρ( A) λR(λ, A) ≤ Chương Kiến thức chuẩn bị (c) (A,D(A)) đóng, xác định trù mật với λ ∈ C với Reλ > ta có λ ∈ ρ( A) R(λ, A) ≤ Reλ 1.2 Ứng dụng phương pháp toán tử Laplace phương trình vi phân có chậm ( Xem tài liệu [2]) Định nghĩa 1.4 Hàm giá trị phức f (t) = u(t) + iv(t) biến thực t gọi hàm gốc thỏa mãn điều kiện sau: 1) f (t) ≡ 0, với t < 2) f (t) liên tục (hoặc liên tục khúc), có đạo hàm liên tục đến cấp n (hoặc đạo hàm liên tục khúc đến cấp n) 3) Khi t → +∞, hàm f (t) có bậc tăng bị chặn, tức tồn số M > α > cho với t > | f (t)| ≤ Meαt Tức hàm | f (t)| tăng không nhanh hàm mũ Định nghĩa 1.5 Giả sử f (t) hàm gốc Khi hàm biến phức F ( p) xác định công thức: F ( p) = ∞ f (t)e− pt dt gọi ảnh f (t) qua phép biến đổi Laplace Phép biến đổi L : f (t) → F ( p) gọi phép biến đổi Laplace Ta kí hiệu: F ( p) = L[ f (t)] Giả sử f (t) hàm gốc F ( p) = +∞ f (t)e− pt dt Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu ≤ exp t0 a g(s)ds f (t0 ) − exp t a g(s)ds f (t) (3.7) Từ BĐT (3.7) (3.6), thấy với a ≤ t ≤ t0 , ta có: t (exp Đặt v(t) = exp( a t a g(s)ds) f (t) ≤ f ( a) + t a s g(s) exp( a g(u)du) f (s)ds g(s)ds) f (t) tiếp tục sử dụng bổ đề Gronwall - Belman, từ bất đẳng thức nhận ta có t (exp a g(s)ds) f (t) ≤ f ( a) exp ( t a g(s)ds) Vậy nên f (t) ≤ f ( a) với a ≤ t ≤ t0 Do f (t0 ) ≤ f ( a) Theo giả thiết t0 điểm cực đại hàm f(.) [a,b] nên ta có f ( a) = supt∈[ a,b] f (t) Bổ đề chứng minh Sử dụng bổ đề vừa chứng minh ta nhận định lý sau mà kết suy ổn định họ tốn tử U (t, s) Định lý 3.1 Giả sử W (t, s)|0 ≤ s ≤ t F (·, ·) thỏa mãn điều kiện bổ đề (3.1) giả thiết thêm t > 0, α(t) < supt>0 − β(t)/α(t) ≤ Khi U (t, τ ) tốn tử tiến hóa phi tuyến tương ứng với nghiệm toán giá trị ban đầu (3.3), với t ≥ τ ϕ, ψ ∈ C có ||U (t, τ ) ϕ − U (t, τ )ψ||C ≤ || ϕ − ψ||C Chứng minh Giả sử x ( ϕ)(t) y(ψ)(t) thỏa mãn (3.3) với hàm ban đầu xτ ( ϕ) = ϕ yτ (ψ) = ψ Chúng ta || xt ( ϕ) − yt (ψ)||C ≤ || ϕ − ψ||C (∗) với t ∈ [τ, τ + r ] Thật vậy, giả sử (*) không thỏa mãn tức tồn t ∈ [τ, τ + r ], cho || xτ ( ϕ) − yτ (ψ)||C > || ϕ − ψ||C , supt∈[τ,τ +r] || x ( ϕ)(t) − y(ψ)(t)||C > || ϕ − ψ||C (∗∗) Lấy t0 cho || x ( ϕ)(t0 ) − y(ψ)(t0 ))|| = supt∈[τ,τ +r] || x ( ϕ)(t) − y(ψ)(t)|| Tuy nhiên || x ( ϕ)(t0 ) − y(ψ)(t0 ))|| = || xt0 ( ϕ) − yt0 (ψ)|| = supt∈[τ,τ +r] || x ( ϕ)(t) − y(ψ)(t)||C || 30 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Ta có: [ xt0 ( ϕ) − yt0 (ψ)] = w(t0 , τ ) ϕ(0) − w(t0 , τ )ψ(0) t0 − t0 w(t0 , s) F (s, xs ( ϕ))ds + τ w(t0 , s) F (s, xs (ψ))ds τ t0 = w(t0 , τ )[ ϕ(0) − ψ(0)] + w(t0 , s)[ F (s, xs (ψ)) − F (s, xs ( ϕ))ds] τ Nhân vế với exp( t0 exp( τ t0 τ −α(s)ds sử dụng Bổ đề 3.2 ta có: −α(s)ds[ xt0 ( ϕ) − yt0 (ψ)] ≤ || ϕ − ψ||C t0 + s −α(s) exp( −α(u)du)|| xs ( ϕ) − ys (ψ)||ds τ τ (3.8) Tiếp tục sử dụng Bổ đề 3.3 ta có supt∈[τ,τ +r] || x ( ϕ)(t) − y(ψ)(t)||C = || ϕ − ψ||C dẫn đến mâu thuẫn giả thiết phản chứng sai Vậy với t ≤ t0 , ta có || xt ( ϕ) − yt (ψ)||C ≤ || ϕ − ψ||C Suy ||U (t, τ ) ϕ − U (t, τ )ψ||C ≤ || ϕ − ψ||C với t > τ tùy ý vận dụng lần ||U (t, τ ) ϕ − U (t, τ )ψ||C ≤ ||U (t − r, τ ) ϕ − U (t − r, τ )ψ||C Định lý chứng minh 3.3 Sự tương đương tiệm cận phương trình vi phân hàm bị nhiễu Các kết phần nối tiếp nội dung trình bày mục (1.3) trích dẫn từ tài liệu [5] Trong khơng gian Banach X, kí hiệu L[ X ] khơng gian Banach tất tốn tử tuyến tính bị chặn X Chúng ta xét phương trình vi phân: dx (t) = Ax (t) dt t≥0 dy(t) = Ay(t) + B(t)y(t + θ ), t ≥ dt 31 (3.9) (3.10) Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu với x (t) ∈ X, y(t) ∈ X, −h ≤ θ ≤ 0, A ∈ L[ X ] B(.) : [0, ∞) −→ L[ X ] thỏa mãn điều kiện: ∞ t0 || B(t)||dx < +∞ (3.11) Kí hiệu T (t) N (t, t0 ) tốn tử nghiệm (3.9) (3.10) Khi đó, ( T (t)t≥0 ) nửa nhóm liên tục mạnh X, ( N (t, t0 ))t≥s họ tiến hóa liên tục mạnh Và nghiệm (3.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(t) = ϕ(t), với t ∈ [t0 − h, t0 ] thỏa mãn phương trình tích phân: y ( t ) = T ( t − t0 ) ϕ ( t0 ) + t t0 T (t − τ ) B(τ )y(τ + θ )dτ (3.12) Định nghĩa 3.2 Phương trình (3.9) (3.10) gọi tương đương tiệm cận với nghiệm x (t) (3.9), có nghiệm y(t) (3.10) cho: lim ||y(t) − x (t)|| = t→+∞ (3.13) nghiệm y(t) (3.10) có nghiệm x (t) (3.9) cho (3.13) Giả sử ϕ(.) ∈ C ([−h, 0], X ), bổ đề Gronwall - Belman phương pháp [5] có kết Định lý 3.2 (Xem tài liệu [5], trang 64) ( a) Với ϕ(.) ∈ C ([−h, 0], X ), tồn nghiệm (3.10) [−h, +∞] thỏa mãn y(t) = ϕ(t), (t ∈ [−h, 0]) (b) Nếu || T (t)|| ≤ M với t ≥ N (t, t0 ) tốn tử bị chặn, nghĩa tồn K > cho: || N (t, t0 )|| ≤ K t ≥ t0 ≥ Để xét tính tương đương tiệm cận (3.9) (3.10) ta xét bổ đề sau Bổ đề 3.4 Giả sử có phép chiếu P : X −→ X cho: ( a)|| PT (t)|| ≤ Me−wt , với t ∈ R+ , (b)||( I − P) T (t)|| ≤ m, với t ∈ R, M, m, ω số dương Khi tốn tử F : X −→ X xác định bởi: F ( x ) := +∞ t0 ( I − P) T (t0 − s) B(s) N (s + θ, t0 ) xds 32 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu bị chặn, tồn số dương ∆ cho: || F || < 1, ∀t0 ≥ ∆ > Chứng minh Đặt: U (t) = PT (t), V (t) = ( I − P) T (t), Ta có: T ( t ) = U ( t ) + V ( t ) Với α < cần tìm ∆ > cho: +∞ t0 α , ∀ t0 > ∆ > m.K || B(s)||ds ≤ số K xác định Định lý 3.2 Từ bất đẳng thức Định lý 3.2 ta có: || F || ≤ ∞ t0 ≤ m.K ||V (t0 − s)||.|| B(s)||.|| N (s + θ, t0 )||ds ∞ t0 || B(s)||ds ≤ α < 1, ∀t0 ≥ ∆ > Định lý 3.3 Giả sử ( T (t))t≥0 thỏa mãn tất điều kiện bổ đề (3.4) Hơn nữa, toán tử P giao hoán với T (t) cho với t ≥ Khi đó, phương trình (3.9) (3.10) tương đương tiệm cận Chứng minh Theo Định lí 3.2, ϕ(.) ∈ C ([−h, 0], X ), phương trình (3.10) có nghiệm thỏa mãn: t y ( t ) = T ( t ) ϕ (0) + T (t − s) B(s)y(s + θ )ds, t ≥ y ( t ) = ϕ ( t ), − h ≤ t ≤ Đặt y(t0 ) = y0 , t0 > Khi đó, nghiệm y(t) (3.10) thể viết theo dạng: y ( t ) = T ( t − t0 ) y0 + t t0 T (t − s) B(s)y(s + θ )ds Hơn theo Bổ đề 3.4 ta có: T (t) = U (t) + V (t) 33 (3.14) Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu V ( t − s ) = T ( t − t0 )V ( t0 − s ) Đặt Qx = ( I + F ) x, x ∈ X Khi đó, tốn tử Q : X → X khả nghịch Giả định y(t) nghiệm (3.10) Với t0 ∈ R+ y(t0 ) ∈ X, ta có: x (t0 ) = Qy(t0 ) = y(t0 ) + +∞ t0 V (t − t0 ) B(s)y(s + θ )ds Từ đó: x ( t ) = T ( t − t0 ) x ( t0 ) = T ( t − t0 ) y ( t0 ) + +∞ V (t − s) B(s)y(s + θ )ds t0 Do đó: t ||y(t) − x (t)|| = || t0 U (t − s) B(s)y(s + θ )ds − ∞ t V (t − s) B(s)y(s + θ )ds|| Vì vậy: t ||y(t) − x (t)|| ≤ M.K ||y0 || ≤ M1 t t0 e t0 e−ω (t−s) || B(s)||ds + m.K ||y0 || −ω (t−s) || B(s)||ds + M2 ∞ t ∞ t || B(s)||ds, || B(s)||ds t≥s với M1 = M.K ||y0 ||, M2 = mK ||y0 || Với số dương ε > 0, tồn số t đủ lớn t, t > 2t0 cho bất đẳng thức sau đúng: t t0 e−ω (t−s) || B(s)||ds ≤ e− ωt t t || B(s)||ds < ε , 3M1 t0 ∞ t ∞ || B(s)||ds < || B(s)||ds < ε , 3M1 ε 3M2 Do đó: t ||y(t) − x (t)|| ≤ M1 + M2 s ∞ t e−ω (t−s) || B(s)||ds + || B(s)||ds < lim ||y(t) − x (t)|| = 34 t e−ω (t−s) || B(s)||ds ε ε ε + + = ε 3 Điều nghĩa là: t→∞ t Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Một cách tương tự tồn tính nghiệm (3.9) (3.10), ta nhận kết cho x (t) = T (t − t0 ) x (t0 ) y(t) = N (t, t0 )y(t0 ), y(t0 ) = Q−1 x (t0 ) Định lí chứng minh Hệ 3.1 Nếu || T (t)|| ≤ M với t ∈ R phương trình (3.9) (3.10) tương đương tiệm cận Ví dụ 3.1 Trong khơng gian Rn , xét phương trình vi phân: dx = Ax (t) + B(t) x (t + θ ) dt (3.15) với −h ≤ t ≤ 0, −h ≤ θ ≤ 0, A(t) = ( aij )n.n tức A ∈ Mn(R), B(t) = (bij (t))n.n (tức B(.) ∈ Mn(R)) hàm liên tục theo t ∈ R+ thỏa mãn điều kiện: +∞ || B(t)||dt < +∞ (3.16) Kí hiệu T (t) = e At , t ≥ nửa nhóm ma trận mũ sinh A ∈ Mn(R), λ j = λ j ( A) giá trị riêng A Dựa vào lý thuyết dạng ma trận Joocdan suy mệnh đề sau đây: Mệnh đề 3.1 Nửa nhóm ma trận T (t) = e At , t ≥ bị chặn R+ tất phần thực giá trị riêng ma trận A thỏa mãn điều kiện sau: i) Reλ j ≤ với j = 1, 2, , n ii) Tất λ j mà Reλ j = nghiệm đơn phương trình đặc trưng | A − λE| = Tiếp theo với phương trình (3.15) xét phương trình tích phân Volterra dạng: t x (t) = T (t) x + T (t − τ ) B(τ ) x (τ + θ )dτ, t ≥ (3.17) với điều kiện ban đầu x (t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ Từ Mệnh đề 3.1 Định lý 3.2 ta suy kết sau đây: Mệnh đề 3.2 Nếu tất giá trị riêng λ j = λ j ( A) ma trận A thỏa mãn điều kiện i) ii) Mệnh đề 3.1 tất nghiệm phương trình (3.17) giới nội 35 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Chứng minh Xét phương trình (3.17) t x (t) = T (t) x + T (t − τ ) B(τ ) x (τ + θ )dτ, t ≥ với điều kiện ban đầu x (t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ Do ϕ(t) liên tục nên supt∈[−h,0] || x (t)|| = supt∈[−h,0] || ϕ(t)|| < +∞ Với t ≥ ta có || x (t)|| = || T (t)||.|| x || + t || T (t − τ )||.|| B(τ )||.|| x (τ + θ )||dτ Từ giả thiết giá trị riêng λ j ma trận A thỏa mãn điều kiện i) ii) Mệnh đề 3.1 nên theo mệnh đề 3.1 ta có || T (t)|| ≤ M1 , ∀t ≥ với M1 số dương Do ta có || x (t)|| = M1 || x || + M1 t || B(τ )||.|| x (τ + θ )||dτ Chú ý || x (t)|| ≤ supθ ∈[−h,0] || x (t + θ )|| nên || x (t)|| ≤ supθ ∈[−h,0] || x (t + θ )|| ≤ M1 || x || + M1 t || B(τ )||.supθ ∈[−h,0] || x (τ + θ )||dτ Áp dụng Bổ đề Gronwal-Belman ta có || x (t)|| ≤ supθ ∈[−h,0] || x (t + θ )|| ≤ M1 || x ||e M1 Sử dụng giả thiết (3.16) ta suy || x (t)|| ≤ M1 || x ||.M M = e M1 Mệnh đề chứng minh 36 t || B(τ )||dτ t || B(τ )||dτ Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Ví dụ 3.2 Trong khơng gian l2 , xét phương trình vi phân tuyến tính: dx = Ax dt (3.18) dy = Ay(t) + B(t)y(t + θ ) dt (3.19) phương trình phi tuyến: với −h ≤ θ ≤ 0, t ≥ t0 ≥ 0, x (t), y(t) ∈ l2 Trong sở trực chuẩn, ta định nghĩa A = diag( A1 , A2 , , An , ) với  −1 0   0 −1  An :=  n    0 n giả sử B(.) : R+ → L(l2 ) thỏa mãn điều kiện: +∞ || B(t)||dt < +∞ Khi đó, tốn tử Cauchy T (t) (3.18) có dạng: T (t) = diag( A1 , A2 , , An , ) với:  e−t   Tn =   0  t t −sin  n n t  t sin cos n n cos Chú ý : T (t) = diag(U1 (t), U2 (t), , Un (t), ) + diag(V1 (t), V2 (t), , Vn (t), ), Ở đây: Un = e−t 0 0 0 37 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu  0  0 cos t −sin t  Vn =  n n   t t sin cos n n Từ đó, ta suy ||U (t)|| ≤ e−t t ∈ R+ ||V (t)|| ≤ m < +∞ t ∈ R Cho nên T (t) thỏa mãn điều kiện Định lý 3.3 Điều kéo theo (3.18) (3.19) tương đương tiệm cận Ví dụ 3.3 Mơ hình quần thể tăng trưởng logistic đơn lồi Chúng ta xét mơ hình tăng trưởng cá thể đơn lồi quần thể sinh học, mơ hình mơ tả phương trình vi phân có chậm: dx (t) = rx (t)(1 − p[ x (t + θ )]), t ≥ dt (3.20) với điều kiện ban đầu x (t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ 0, r ∈ R, ϕ ∈ C([−h, 0], R), p : R → R hàm liên tục bị chặn tức | p( x )| ≤ M0 < +∞ ∀ x ∈ R Xét phương trình tích phân dạng Volterra tương ứng x (t) = rT (t) ϕ(0) − r t T (t − τ ) x (τ ) p[ x (t + τ )]dτ (3.21) với điều kiện ban đầu x (t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ 0, T (t) = ert , t ∈ R Phương trình dạng Volterra (3.21) mơ tả tăng trưởng quần thể đơn loài(xem tài liệu [12],[6]), x (t) mật độ quần thể thời điểm t Áp dụng Bổ đề 3.1 ta suy phương trình dạng Volterra (3.21) có nghiệm Nếu r < ta chứng minh | x (t)| < +∞ ∀t ≥ t0 Thật rõ ràng | x (t)| = | ϕ(t)| ≤ M < +∞ với t ∈ [−h, 0] Với t ≥ ta xét x (t) = rT (t) ϕ(0) − r t T (t − τ ) x (τ ) p[ x (t + τ )]dτ Do | p( x )| ≤ M0 nên ta có | x (t)| ≤ r [ert ϕ(0) + 38 t er(t−τ ) x (τ ) M0 dτ ] Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu nên | x (t)|e−rt ≤ r [ ϕ(0)] + M0 t e−rτ x (τ )dτ ] Áp dụng Bổ đề Gronwal-Belman ta có | x (t)|e−rt ≤ r [ ϕ(0)]e M0 t dτ ] hay | x (t)| ≤ r [ ϕ(0)]e(r+ M0 )t Nếu M0 ≤ −r e(r+ M0 )t ≤ nên | x (t)| ≤ M2 < +∞ ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Nếu r + M0 < ta có lim | x (t)| = t→∞ Nếu tồn x = x0 ∈ R cho p( x ) = ta cịn có nghiệm x (t) = x0 Khi ta xét tính ổn định nghiệm x (t) = x0 giới hạn lim | x (t)| t→∞ Ví dụ 3.4 Mơ hình thú - mồi Lotka-Volterra đơn giản Trong giới tự nhiên, tương tác loài khác làm biến đổi số lượng quần thể loài Khi nghiên cứu tương tác hai loài quần thể người ta thường dựa vào cách phân loại Kot (2001), xem tài liệu [6] Theo Kot, tỉ lệ tăng trưởng lồi giảm mà lồi tăng gọi mơ hình thú - mồi Để nghiên cứu mơ hình thú - mồi xét hệ phương trình vi phân có chậm: x (t) = x (t)[ a − by(t)] y(t) = y(t)[ p[ x (t + θ )] − q] t≥0 (3.22) thỏa mãn điều kiện ban đầu x ( t ) = ϕ1 ( t ) y ( t ) = ϕ2 ( t ) −h ≤ t ≤0 với p : R → R hàm liên tục thỏa mãn điều kiện | p[ x ]| ≤ M0 < +∞ ∀ x ∈ R a, b, q số dương cho trước Trong mơ hình này, x (t) mật độ loài mồi thời điểm t, y(t) mật độ loài thú thời điểm t Trước hết xét hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng với phương trình (3.22) x (t) = ax (t) y(t) = −qy(t) 39 (3.23) Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu với x (0) = x0 y (0) = y0 Hệ (3.23) có nghiệm x (t) = x0 e at y(t) = y0 e−qt Chọn x0 = y0 = x0 = y0 = ta có e at 0 e−qt T (t) = với t ≥ ma trận Bây ta trở với phương trình (3.22), với phương trình ta xét phương trình dạng Volterra: u ( t ) = T ( t − s ) u0 + t s T (t − τ ) F (τ, u(τ + θ ))dτ, ϕ1 ( t ) ϕ2 ( t ) với u(t) = u0 (t), −h ≤ t ≤ 0, u0 (t) = F ( x, y) = t≥0 (3.24) − h ≤ t ≤ −bxy yp( x ) Khơng tính tổng qt ta giả thiết |y(t)| ≤ K < +∞ ∀t ≥ (xem tài liệu [12]) Từ giả thiết | p( x )| ≤ M0 ∀ x ∈ R+ ta suy hàm F = F ( x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz Áp dụng Bổ đề 3.1 ta suy phương trình (3.24) có nghiệm Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình (3.22), trước hết ta ý hệ ln có nghiệm tầm thường x (t) = y(t) = Do nửa nhóm T (t) = e at 0 e−qt với t ≥ khơng ổn định nên ta suy nghiệm tầm thường hệ (3.22) không ổn định 40 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Nếu phương trình p( x ) − q = có nghiệm x = x0 hệ (3.22) cịn có thêm điểm cân thứ hai x ( t ) = x0 y(t) = ba Việc nghiên cứu tính ổn định điểm cân ta thực cách đổi biến để đưa hệ hệ rút gọn tiếp tục sử dụng phương pháp hàm Lyapunov ( xem tài liệu [7]) 41 Kết luận Luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có chậm phương trình vi phân tuyến tính với nhiễu có chậm Nội dung luận văn bao gồm: Trình bày cách hệ thống lý thuyết phương trình tiến hóa khơng gian Banach phương trình Volterra phi tuyến có chậm Nêu số tính chất phương trình vi phân có chậm ứng dụng Trình bày số ví dụ mơ hình ứng dụng phương trình vi phân có chậm Đóng góp luận văn trình bày cách chi tiết chứng minh số định lý phương trình vi phân có chậm, xây dựng số ví dụ minh họa Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015 Học viên Bùi Trọng Quy Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hồn-Phạm Phu Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB ĐHQG Hà Nội (2000) [2] Nguyễn Thủy Thanh, Hàm biến phức với phép biến đổi Laplace, MS 20 KHTN, (2000) [3] C Travis and G Webb, Asymptotic stability for abstract nonlinear functional differential equations, Proc Amer Math Soc., in press [4] D D Chau, On The Asymptotic Equivalence of Linear Delay Equations in Banach Space, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 31, Number 1, (2006), 31-38 [5] D D Chau and N B Cuong, On the asymptotic behavior of delay differential equations and its relationship with C0 − semigroup, VNU Journ of Science, Mathematics- Physic 23 (2007) 63-69 [6] J D.Murray Mathematical Biology: I.An Introduction Third Edition, Springer, (2002) [7] J K Hale and S M Verduyn Lunel, Introduction of Functional Differential Equations, New York, (1991) [8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island (1974) [9] J Wu, Introduction to Neural Dynamics and Signal Transmission Delay, Walter de Gruyter New York, (2001) [10] K J Engel and R Nagel, One- parametter Semigroup for Linear Evolution Equations, Springer- Verlag , (2000) 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] K J Engel and R Nagel, A Short Course on Operator Semigroup, Springer , (2006) [12] Y Kuang, Delay differential equations, Boston San Diego New York, (1992) [13] D.Guo, V Lakshmikantham and X Liu, Nolinear Integral Equations in Abstract Spaces, Springer [14] A.D Mushkic, Phương trình vi phân tuyến tính có chậm, Matcova, (1972), (bản tiếng Nga) 44 ... 19 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 21 2.3 Phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có chậm 24 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu. .. chậm 2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân hàm Ta tìm nghiệm phương trình vi phân hàm (2.1) hai phương pháp phương pháp bước phương pháp toán tử Laplace (a) Phương pháp bước Theo phương pháp... Học vi? ?n Bùi Trọng Quy Lời nói đầu Phương trình vi phân hàm lần A.D Mushkic (nhà toán học Nga) nghiên cứu từ năm 1950, phát triển cách hồn thiện Phương trình vi phân hàm xem phương trình vi phân