(Luận văn thạc sĩ) đặc trưng của các biến ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Văn Trọng ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ CẤU TRÚC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Văn Trọng ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ CẤU TRÚC TUYẾN TÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Hữu Hồ Hà Nội - 2012 MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU ĐẶT BÀI TỐN 01 CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC PHỤ TRỢ 04 1.1 Hàm đặc trƣng 04 1.1.1 Định nghĩa 04 1.2 Một số khái niệm kết cần dùng 06 Chƣơng ĐẶC TRƢNG CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN CÓ CẤU 24 TRÚC TUYẾN TÍNH 2.1 Các định lý đặc trƣng 24 2.2 Mơ hình phân tích nhân tố 34 2.3 Bài toán hồi quy biến cấu trúc 39 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 Lời nói đầu Khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên, ta biết phân phối biến ngẫu nhiên gần ta nắm bắt tất thơng tin biến ngẫu nhiên Tuy nhiên việc tìm phân phối biến ngẫu nhiên lại tốn khó Luận văn phương pháp để nhận biết phân phối biến ngẫu nhiên thơng qua cấu trúc tuyến tính vectơ ngẫu nhiên p chiều X Dựa mục đích đặt ra, luận văn trình bày sau gồm có chương Chương I chương gồm kiến thức phụ trợ, chủ yếu trình bày lại kiến thức biết để phục vụ cho việc chứng minh định lý chương sau Bao gồm: kiến thức hàm đặc trưng, số bổ đề tồn moment, khái niệm hàm giải tích, hàm quy, bổ đề có liên quan đến nghiệm phương trình hàm Chương II tập trung trình bày định lý đặc trưng phân phối biến ngẫu nhiên, mơ hình phân tích nhân tố toán hồi quy biến cấu trúc Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Đào Hữu Hồ Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, người cung cấp tài liệu khoa học tận tình hướng dẫn tác giả suốt thời gian làm luận văn Do trình độ tác giả cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả xin nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! i Đặt toán Ta nói vectơ p- chiều X có cấu trúc tuyến tính biểu diễn dạng: X = µ + AY (1) đó, µ vectơ hằng, Y vectơ ngẫu nhiên với thành phần độc lập, không suy biến, A ma trận khơng có cột tỷ lệ với Nếu Y vectơ q - chiều A ma trận p × q Các thành phần Y gọi biến cấu trúc Giả sử X = ν + BZ dạng biểu diễn khác tương tự (1) X Hai biểu diễn X = µ + AY X = ν + BZ gọi tương đương cấu trúc cột A tỷ lệ với cột B ngược lại Trái lại, hai biểu diễn gọi không tương đương Nếu tất biểu diễn cấu trúc vectơ ngẫu nhiên tương đương với ta nói vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc Cũng X có cấu trúc lại tồn hai dạng biểu diễn X cho biến cấu trúc Y Z có phân bố khác Ta nói dạng tuyến tính biểu diễn (1) X có cấu trúc phân bố biến cấu trúc với độ xác đến tham số tịnh tiến tỷ lệ Xét ví dụ X = µ + AY (2) đó, Y vectơ với thành phần độc lập, thành phần có phân bố chuẩn N(0; 1) Hàm đặc trưng X có dạng: E exp(it T X) = eit Tµ E exp(it T AY ) = exp(it T µ − t T AAT t) (3) Do đó, phân bố X phụ thuộc vào µ ma trận xác định khơng âm Λ = A.AT Vì X có phân bố chuẩn p - chiều N p (µ, Λ) (xem tài liệu [9]) Nhưng với ma trận Λ cho trước, phân tích Λ = A.AT không Nếu Λ = B.BT phân tích khác, B ma trận cấp p × r (cấp B khác với A hạng chúng thiết phải nhau), đó, X có biểu diễn X = µ + BZ (4) đó, Z vectơ r - chiều với thành phần độc lập có phân phối chuẩn N(0; 1) Ví dụ: Với ma trận Λ cho sau:    Λ= 10 30 Ta xét ma trận:    √ 2 √ A =  √ ;B =  √5 + √5 5 2 √  √  ;C √ − √5 2  = 1 1   Khi ta có AAT = BBT = CCT = Λ Do vậy, ba biểu diễn    X1 = 2Y1 √   X2 = 5Y1 + 5Y2  √ √   X1 = 2U1 + 2U2 √ √   X2 = ( √5 + √5 )U1 + ( √5 − √5 )U2 2 2    X1 = W1 +W2 +W3 +W4 (5)   X2 = W1 + 2W2 + 3W3 + 4W4 tương ứng với phân phối chuẩn hai chiều biến cấu trúc độc lập có phân phối chuẩn N(0; 1) Vậy cấu trúc vectơ chuẩn không nhất, số biến cấu trúc cho mối liên hệ biến Trong luận văn này, ta nghiên cứu chất vectơ ngẫu nhiên thừa nhận biểu diễn cấu trúc không tương đương Đặc biệt, ta vectơ ngẫu nhiên chuẩn hoàn toàn đặc trưng tính khơng cấu trúc tuyến tính Mọi vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính phân tích thành tổng hai vectơ độc lập, vectơ có cấu trúc nhất, khơng vectơ chuẩn vectơ lại vectơ ngẫu nhiên chuẩn Những kết trình bày cho ta cách giải hồn chỉnh tốn tính khơng đồng tham số cấu trúc tuyến tính Tương tự, ta xét cấu trúc tuyến tính mơ hình phân tích nhân tố Bài tốn nghiên cứu luận văn xem tốn tính phân phối vectơ thống kê Khi µ + AY ν + BZ có phân phối? Chương Một số kiến thức phụ trợ 1.1 Hàm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm số ϕX (t) = EeitX = E costX + iE sintX, t ∈R gọi hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên X Dễ thấy rằng, FX (x) hàm phân phối biến ngẫu nhiên X ϕX (t) = R eitx dFX (x), t ∈ R Nếu X có mật độ f (x) ϕX (t) = eitx f (x)dx R Giả sử x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , tích vơ hướng x y cho (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Định nghĩa 1.2 Giả sử X = (X1 , X2 , , Xn ) vectơ ngẫu nhiên nhận giá trị Rn Hàm đặc trưng X hàm số ϕX (t) = Eei(t,X) = Rn ei(t,x) dFX (x), t ∈ Rn Chương Một số kiến thức phụ trợ Ví dụ Giả sử X có phân phối chuẩn N(0, 1) Khi ϕ(t) = EeitX = √ 2π +∞ eitx− x dx −∞ Lấy đạo hàm theo t +∞ ϕ (t) = √ ixeitx− x dx 2π −∞ +∞ +∞ −i t itx− 21 x2 =√ dx − √ (it − x)e eitx− x dx 2π −∞ 2π −∞ +∞ −x i t itx− 12 x2 √ = − √ eitx e |+∞ − dx e −∞ 2π 2π −∞ = −tϕ(t) Như vậy, ϕ (t) = −tϕ(t) Từ t2 ϕ(t) = Ce− Nhưng ϕ(0) = nên C = t2 ϕ(t) = e− Nếu X có phân phối N(a, σ ) X =σ X −a + a = σY + a với Y ∼ N(0, 1) σ Vậy ϕX (t) = EeitX = EeitσY +ita = eita ϕY (σt) = eita− 1.1.2 σ 2t 2 Một số tính chất hàm đặc trưng Giả sử X có hàm phân phối F ϕ(t) hàm đặc trưng X Khi |ϕ(t)| ≤ ϕ(0) = 1, |ϕ(t + h) − ϕ(t)| ≤ Rez phần thực z ϕ(t) liên tục R ϕ(−t) = ϕ(t) − Reϕ(h) Chương Một số kiến thức phụ trợ ϕ(t) hàm thực X có phân phối đối xứng, nghĩa X −X phân phối hay tương đương PX (B) = PX (−B), ∀B ∈ ß(R) Nếu X Y độc lập ϕX+Y (t) = ϕX (t).ϕY (t), t ∈ R, đó, X1 , X2 , , Xn độc lập n ϕX1 + +Xn (t) = ∏ ϕXk (t), t ∈ R k=1 Nếu E|X|n < ∞ với n ≥ ϕ(t) có đạo hàm đến cấp n điểm ϕ (k) (t) = EX k = (ix)k eitx dF(x) = ik E(X k eitX ), R (k) ϕ (0) , ik n (it)n (it)k k ϕ(t) = ∑ EX + αn (t) k! n! k=0 đó, |αn (t)| ≤ 2E|X n |, αn (t) → t → Đảo lại, ϕ 2n (0) tồn hữu hạn EX 2m < ∞, m số nguyên dương 1.2 Một số khái niệm kết cần dùng Định nghĩa 1.3 Hàm đặc trưng f gọi chia vô hạn với số tự nhiên n tồn hàm đặc trưng fn cho: f (t) = [ fn (t)]n ∀t ∈ R Định nghĩa 1.4 Biểu diễn Levy L(β , σ , M, N) cho hàm đặc trưng chia vô hạn f biểu diễn dạng: log f (t) = iβt − σ 2t + +∞ h(t, u)dN(u) + h(t, u)dM(u) (1.1) −∞ đó, β số thực, σ ≤ 0, h(t, u) = eitu − − thỏa mãn điều kiện sau itu hàm M, N + u2 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Định lý 2.4 chứng minh Trường hợp có nhân tố chung phân phối chuẩn đòi hỏi nghiên cứu riêng Định lý 2.15 Xét mơ hình Xi = f + εi i = 1, 2, , p (2.22) f có phân phối chuẩn Khi đó, cấu trúc mơ hình có ba số hệ số a1 , a2 , , a p khác Chứng minh Giả sử có hai mơ hình khác với hệ số (a1 , a2 , , a p ) (b1 , b2 , , b p ) khác biệt Giả sử nhân tố riêng tương ứng với mơ hình có hệ số b1 , b2 , , b p (ε1∗ , , ε p∗ ) Ký hiệu X = (X1 , X2 , , X p )T , Xi có biểu diễn (2.22) Ký hiệu hàm đặc trưng εi εi∗ φi φi∗ Hàm đặc trưng vectơ X tương ứng với mơ hình có hệ số (a1 , a2 , , a p ) E exp it T X = E exp i(a1t1 + a2t2 + + a pt p ) f + iε1 + + iε p Do f biến ngẫu nhiên chuẩn nên E exp i(a1t1 +a2t2 + .+a pt p ) f = exp − σ12 (a1t1 +a2t2 + .+a pt p )2 Do E exp it T X = φ1 (t1 ) · · · φ p (t p ) exp − σ12 (a1t1 + · · · + a pt p )2 (2.23) Tương tự, ta có hàm đặc trưng vectơ X tương ứng với mơ hình có hệ số (b1 , b2 , , b p ) E exp it T X = φ1∗ (t1 ) · · · φ p∗ (t p ) exp − σ22 (b1t1 + · · · + b pt p )2 (2.24) Từ (2.23) (2.24) ta đẳng thức φ1 (t1 ) · · · φ p (t p ) exp − σ12 (a1t1 + · · · + a pt p )2 = φ1∗ (t1 ) · · · φ p∗ (t p ) exp − σ22 (b1t1 + · · · + b pt p )2 37 (2.25) Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Bởi (2.25) đồng t j nên: + Chọn ti = 0,t j = 0, ∀ j = i ta 1 φi (ti ) exp − σ12 a2i ti2 = φi∗ (ti ) exp − σ22 b2i ti2 2 (2.26) + Chọn t j = 0,ti = 0, ∀i = j ta 1 φ j (t j ) exp − σ12 a2j t 2j = φ ∗j (t j ) exp − σ22 b2j t 2j 2 (2.27) + Chọn ti ,t j = 0,tk = 0, ∀k = i, j ta φi (ti )φ j (t j ) exp − σ12 (aiti + a jt j )2 = φi∗ (ti )φ ∗j (t j ) exp − σ22 (biti + b jt j )2 (2.28) Sử dụng (2.26) (2.27) phương trình (2.28) rút gọn thành σ12 a j = σ22 bi b j ∀i= j (2.29) Với điều kiện có ba hệ số số hệ số a j khác , không tính tổng qt ta giả sử , a j , ak = Từ phương trình (2.29) ta có σ12 a j = σ22 bi b j ∀i= j σ12 ak = σ22 bi bk ∀i=k Nhân vế với vế hai phương trình sử dụng đẳng thức (2.29) ta σ12 a2i = σ22 b2i (2.30) tức là, σ1 = ±σ2 bi Từ đó, thay vào phương trình (2.26) ta φi = φi∗ Định lý chứng minh Ta phải ý định lý không cần giả thiết liên quan đến phân phối εi Hai kết sau đưa Reiersol (xem tài liệu [10]) Định lý 2.16 Xét mô hình X1 = a1 f + ε1 , X2 = a2 f + ε2 (2.31) f biến ngẫu nhiên chuẩn Khi điều kiện cần đủ để cấu trúc (và mơ hình nhất) ε1 ε2 khơng có thành phần chuẩn 38 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Chứng minh Chứng minh dựa phân tích đồng thức (2.25) mà viết mơ hình (2.31) Định lý 2.17 Xét mơ hình X1 = Y +U, X2 = βY +V β số, (U,V ) có phân phối chuẩn hai chiều Y biến ngẫu nhiên không chuẩn, độc lập với (U,V ) Khi đó, cấu trúc (X1 , X2 ) nhất, mơ hình điều kiện sau thỏa mãn: (i) Y khơng có thành phần chuẩn (ii) U = V = (không 0) Chứng minh Chúng ta cần viết hàm đặc trưng (X1 , X2 ) hai cách tương ứng với hai biểu diễn khác so sánh biểu thức nhận 2.3 Bài toán hồi quy biến cấu trúc Xét mơ hình phân tích nhân tố mục 2.2 cho vectơ ngẫu nhiên p-chiều X: X = A·F +ε (2.32) đây, A ma trận cấp p × r với tất cột chứa hai phần tử khác khơng hàng chứa tồn phần tử 0, F vectơ ngẫu nhiên r-chiều với thành phần Fi độc lập ε vectơ ngẫu nhiên p-chiều với thành phần εi độc lập, đồng thời F ε độc lập Xét biến ngẫu nhiên thứ (p + 1) xác định bởi: Y = aT F + ε0 (2.33) a vectơ cố định, ε0 biến ngẫu nhiên độc lập với F Chúng ta nghiên cứu điều kiện để hồi quy Y X tuyến tính Khơng tính tổng quát, ta giả sử rằng: E(F) = 0, E(ε) = 0, E(ε0 ) = Giả sử tính hồi quy Y X tuyến tính E(Y |X) = β T X Từ (2.32) ta có β T X = β T AF + β T ε 39 (2.34) Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Định lý 2.18 Giả sử p ≥ hồi quy ε0 ε tuyến tính: E(ε0 |ε) = δ T ε Khi E(Y |X) = β T X điều kiện sau thỏa mãn: (i) Giả sử γ j thành phần thứ j vectơ a − AT β Nếu γ j khác Fj chuẩn (ii) Giả sử ξ j thành phần thứ j vectơ β − δ Nếu ξ j khác ε j biến ngẫu nhiên chuẩn (iii) Nếu Fj ε j biến ngẫu nhiên chuẩn Var Fj = σ 2j , Var ε j = η 2j , vectơ β số σ j , η j phải có mối liên hệ với theo đồng thức (2.39) đòi hỏi thêm điều kiện β cho số thành phần vectơ a − AT β β − δ phải triệt tiêu Chứng minh Áp dụng bổ đề 1.4 ta được: E (Y − β T X) exp(it T X) = (2.35) Biểu diễn Y β T X qua biến cấu trúc F, ε0 ε Phương trình (2.35) tương đương với E (aT F + ε0 − β T AF − β T ε) exp it T (AF + ε) = (2.36) Do E(ε0 /ε) = δ T ε nên (2.36) viết lại E[ (aT − β T A)F + (δ T − β T )ε exp it T (AF + ε)] = Gọi γ j , ξ j tương ứng phần tử thứ j vectơ aT − β T A δ T − β T , gọi α j cột thứ j ma trận A, ta r p T E ( ∑ γ j Fj + ∑ ξ j ε j )ei(∑ α j tFj +∑ t j ε j ) = j=1 (2.37) j=1 Ký hiệu hàm đặc trưng Fj f j , ε j g j đặt φ j = fj fj , hj = gj gj lân cận điểm gốc Phương trình (2.37) rút gọn thành: r ∑ j=1 n γ j φ j (α Tj t) + ∑ ξ j h j (t j ) = 0, j=1 40 |t| < δ (2.38) Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Nếu γ j = 0, áp dụng bổ đề 1.6 φ j đa thức Khi sử dụng lập luận quen thuộc, ta nhận bậc φ j cao biến ngẫu nhiên tương ứng chuẩn (có thể suy biến) Tương tự ξ j khác ε j chuẩn (có thể suy biến) Nếu trường hợp Fj ε j chuẩn ta đặt Var Fj = σ 2j , Var ε j = η 2j ký hiệu ∑∗ tổng lấy theo j mà γ j = 0, ξ j = 0, đó, thu được: ∗ ∑ γ j σ 2j (α Tj t) + ∗ ∑ ξ j η 2j t j = (2.39) Ta ý γ j = Fj biến ngẫu nhiên tương tự ε j ξ j = Như vậy, chứng minh xong điều kiện cần định lý Điều kiện đủ thiết lập việc lập luận ngược lại lưu ý (2.38) với t Fj ε j chuẩn Định lý 2.19 Giả sử X = AF + ε mơ hình phân tích nhân tố, rank A số cột A Xét biến ngẫu nhiên Y = aT F + ε0 giả sử tất biến ngẫu nhiên không suy biến có kỳ vọng 0, biến ngẫu nhiên ε0 độc lập với F E(ε0 |ε) = δ T ε Để hồi quy Y X tuyến tính với a điều kiện cần đủ tất thành phần vectơ ngẫu nhiên F ε chuẩn Chứng minh Giả sử A ma trận p × r, rank A = r, E(Y |X) = β T X, β phụ thuộc vào a Phương trình (2.38) viết: p r ∑ (a j − β T α j )φ j (α Tj t) + j=1 ∑ (δk − βk )hk (tk ) = (2.40) k=1 α1 , , αr cột A, ak , δk , βk thành phần thứ k vectơ a, δ , β tương ứng Giả sử với a: a j = β T α j, δk = βk , j = 1, 2, , s < r k = 1, 2, , m < p (2.41) (2.42) Chúng ta giả sử s = r m = p Khi dễ dàng suy từ bổ đề 1.6 ngẫu nhiên Fs+1 , , Fr εm+1 , , ε p chuẩn 41 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Khơng tính tổng quát, trường hợp Fi , ε j có phân phối chuẩn ta giả sử Var Fi = σi2 , Var ε j = Lưu ý trường hợp φi (u) = −σi2 u h j (u) = −u, giản ước (2.40) dựa điều kiện (2.41) (2.42) ta được: r ∑ p σ 2j (a j − β T α j )(α Tj t) + j=s+1 ∑ (δk − βk )tk = (2.43) k=m+1 Ký hiệu C ma trận với cột αs+1 , , αr D ma trận chéo với phần , , σ vectơ ξ có thành phần a tử đường chéo σs+1 s+1 , , ar r Với ký hiệu (2.43) viết dạng ma trận sau: β T (CDCT + I)t = ξ T DCT t + δ T t ⇔ (CDCT + I)β = CDξ + δ (2.44) Do hạng (CDCT + I) p nên β xác định (2.44) ξ cho Nhưng β phải thỏa mãn (2.41) với a j , j = 1, , s Điều không thể, nên s = Do (2.40) hệ số φ j (α Tj t) khác với giá trị a Từ đó, suy tất thành phần F chuẩn Nếu ta bỏ điều kiện (2.41) (2.44) viết (ADAT + I)β = ADξ + δ (2.45) đây, ma trận đường chéo D xây dựng phương sai r thành phần F ξ = a Từ (2.45) β = δ + Aγ (2.46) với γ thích hợp Vậy (2.45) có dạng: (ADAT + I)Aγ = AD(ξ − AT δ ) (2.47) Khi ξi nhận giá trị khơng gian p-chiều γ Với γ, ta nhận β theo (2.46) Nếu βi = δi với γ dòng thứ i A phải vectơ Do điều kiện định lý 2.19 biểu thức (2.42) khơng thể thỏa mãn với a Do đó, hệ số h j (t j ) (2.40) khác với j với giá trị a Bởi tất ε j chuẩn Định lý 2.20 Giả sử r = 1, F có thành phần F1 giả sử F1 , ε1 , , ε p ε0 biến ngẫu nhiên độc lập không suy biến (ε0 suy biến) Để hồi quy Y X tuyến tính (và khơng số) tức E(Y |X) = α + β T X = α + β1 X1 + · · · + β p X p 42 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính điều kiện cần đủ F1 εi mà tương ứng với βi khác biến ngẫu nhiên chuẩn Chứng minh Phương trình (2.38) trường hợp rút gọn thành: (α1 − γ1 )φ1 (α1t) − β1 h1 (t1 ) − · · · − β p h p (t p ) = (2.48) β1 , , β p hệ số hồi quy khơng đồng thời Khi α1 − γ1 khác 0, khơng dẫn đến số εi suy biến, dẫn đến trái với giả thiết Khi theo bổ đề 1.6, φ1 tuyến tính từ F1 chuẩn Nhưng hi hàm tuyến tính βi = 0, dẫn đến εi chuẩn Trong định lý 2.18-2.20, xét vài mở rộng toán sau mà đưa Ragnar Frisch hội nghị Oxford Hội kinh tế năm 1936 "Giả sử X1 X2 hai biến ngẫu nhiên có dạng X1 = au + v, X2 = bu + w, u, v, w biến ngẫu nhiên độc lập Với điều kiện hồi quy X1 X2 tuyến tính với a b?" Bài tốn trường hợp riêng định lý 2.18 ứng với p = Nhưng chứng minh định lý cho p ≥ 2, việc kiểm tra trường hợp p = cần phải sử dụng phương pháp đặc biệt Sự giải đáng quan tâm khơng thiết biến ngẫu nhiên u, v, w phải chuẩn hồi quy X1 X2 tuyến tính Ta điều kiện để hồi quy X1 X2 tuyến tính, khơng phải cho tất giá trị a b mà cho vài giá trị số Chúng ta cần sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử f hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên không suy biến đó, thỏa mãn điều kiện: f (t) = [ f (β1t)]γ1 = [ f (β2t)]γ2 , t ∈R (2.49) < |βi | < γi > với i = 1, Đặt Bi = − log |βi | Khi đó, (i) Tồn số thực λ cho γ1 |β1 |λ = γ2 |β2 |λ (ii) Nếu λ = f hàm đặc trưng luật chuẩn B1 vơ tỷ, f hàm đặc trưng B2 luật ổn định β1 β2 dương λ = 1, luật ổn định đối xứng λ = (iii) Giả sử < λ < 2, 43 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính B1 hữu tỷ, f hàm đặc trưng luật B2 bán ổn định cho (1.9) (iv) Giả sử < λ < 2, Chứng minh Định lý 1.1 rằng: hàm đặc trưng thỏa mãn phương trình: f (t) = [ f (βt)]γ , < |β | < 1, γ > (2.50) f chia vô hạn λ nghiệm thực phương trình γ|β |λ = 1, biểu diễn Levy L(µ, σ , M, N) cho log f có tính chất sau đây: (i) σ = 0, M = N = 0, λ =    σ = 0, M(u) = ξ (log |u|)/|u|λ (ii) < λ < 2, β <   N(u) = −η(log u)/uλ (2.51) (2.52) ξ , η hàm không âm, liên tục phải R tuần hoàn với chu kỳ B = − log β ,    σ = 0, M(u) = ξ (log |u|)/|u|λ < λ < 2, β < (2.53) (iii)   N(u) = −ξ (log u + B)/uλ ξ hàm không âm, liên tục phải R, tuần hoàn với chu kỳ 2B = −2 log |β | Ta chứng minh khẳng định (i) bổ đề Lưu ý hàm đặc trưng thỏa mãn (2.50) hàm phân phối tương ứng có momen tuyệt đối cấp nhỏ λ (và khơng có moment bậc λ ), λ xác định γ|β |λ = (xem bổ đề 1.1- 1.2) Vì f thỏa mãn (2.49) mà thực chất (2.50), mà viết cho hai cặp giá trị (β , γ) nên tính chất vừa lưu ý hàm phân phối ứng với hàm đặc trưng f thỏa mãn (2.50) dẫn tới: γ1 |β1 |λ = γ2 |β2 |λ = Khẳng định (ii) bổ đề suy từ biểu diễn Levy (2.51) Chứng minh khẳng định (iii), xét biểu diễn (2.52) ý hàm ξ tuần hoàn với hai chu kỳ B1 , B2 Vì B1 /B2 số vô tỷ, tập điểm {mB1 + nB2 : m, n ∈ Z} trù mật đường thẳng thực ξ (mB1 + nB2 ) = 44 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính ξ (0) Do tính liên tục phải ξ nên ξ số Tương tự η số Từ (1.6) suy f hàm đặc trưng luật ổn định logarit cho cơng thức (1.4|) log f (t) = iαt − c|t|λ + iδ 1 tan πλ |t| log f (t) = iαt − c|t| + i λ = (2.54) 2δ t log |t| λ = π |t| (2.55) Thế (2.55) vào (2.49) cặp giá trị (β , γ), chẳng hạn (β1 , γ1 ) ta δ = λ = 1, trường hợp luật ổn định đối xứng Hơn nữa, hai giá trị β1 , β2 chí âm, biểu diễn Levy cho log f cho (2.53), sử dụng lập luận tương tự, ξ η số chúng Nhưng (1.8) f hàm đặc trưng luật ổn định đối xứng Chứng minh khẳng định (iv) bổ đề Ta ý log f có biểu diễn Levy dạng (2.52) dạng (2.53), phụ thuộc vào hai β1 , β2 dương số chúng âm Việc rút gọn hàm ξ η B1 /B2 hữu tỷ, khẳng định chúng tuần hồn với chu kỳ ρ phụ thuộc vào B1 B2 Bây giờ, trình bày chứng minh định lý đặc trưng suy từ bổ đề 2.1 Định lý 2.21 Cho X,Y Z biến ngẫu nhiên không suy biến với kỳ vọng hữu hạn, không tính tổng quát ta giả sử tất kỳ vọng Giả sử X độc lập với (Y, Z) E(Y |Z) = Khi khẳng định sau đúng: (i) Để hồi quy X +Y aX + Z tuyến tính với hai giá trị a: a = a1 a = a2 , cho |a1 /a2 | khác điều kiện cần đủ X Z có phân phối bán ổn định (ii) Giả sử a1 , a2 a3 ba giá trị a cho |a1 | > |a2 | > |a3 | > 0, giả sử β1 = a2 /a1 β2 = a3 /a1 , B1 = − log |β1 |, B2 = − log |β2 | Để hồi quy X +Y aX + Z tuyến tính với ba giá trị a: a = a1 , a2 , a3 điều kiện cần đủ X Z có phân phối ổn định β1 > 0, β2 > B1 /B2 số vô tỷ 45 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính X Z có phân phối ổn định đối xứng β1 ≤ 0, β2 ≤ B1 /B2 vô tỷ X Z có phân phối bán ổn định B1 /B2 hữu tỷ Trong tất trường hợp, số mũ λ phân phối tương ứng thỏa mãn điều kiện < λ ≤ Chứng minh Chúng ta chứng minh điều kiện cần, điều kiện đủ dễ dàng kiểm tra Giả sử E(X +Y |aX + Z) = c(aX + Z) Điều kéo theo tồn số c cho: E[(1 − ac)X +Y − cZ|aX + Z] = Sử dụng lập luận quen thuộc, ta nhận (1 − ac) log f1 (at) = ac log f2 (t) với |t| < δ (2.56) f1 f2 hàm đặc trưng X Z tương ứng Phương trình (2.56) viết lại sau log f2 (t) = − ac log f1 (at), với |t| < δ ac (2.57) Ta ý c = khơng X suy biến Từ (2.57) ∗ |t| < δ , γ ∗ = f2 (t) = [ f1 (at)]γ , − ac ac (2.58) Lần lượt thay giá trị a = a1 a = a2 vào phương trình (2.58) ta nhận + Với a = a1 ∗ |t| < δ , γ1∗ = − a1 c a1 c (2.59) ∗ |t| < δ , γ2∗ = − a2 c a2 c (2.60) f2 (t) = [ f1 (a1t)]γ1 , + Với a = a2 f2 (t) = [ f1 (a2t)]γ2 , 46 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Từ phương trình (2.59) (2.60) ta ∗ ∗ [ f1 (a1t)]γ1 = [ f1 (a2t)]γ2 (2.61) Trong phương trình (2.61), đặt β = a2 /a1 γ = γ1∗ /γ2∗ ta phương trình hàm f1 : f1 (t) = [ f1 (βt)]γ , < |β | < 1, |t| < δ (2.62) Từ nhận thấy γ > (2.62) thỏa mãn với số thực t Từ đó, f1 hàm đặc trưng luật nửa ổn định, tương tự f2 Do vậy, khẳng định (i) chứng minh Chứng minh khẳng định (ii) thay a1 , a2 , a3 cho a (2.58), nhận phương trình: f1 (t) = [ f1 (β1t)]γ1 = [ f1 (β2t)]γ2 (2.63) Từ đây, với sử dụng kết bổ đề 2.1 ta suy tất khẳng định (ii) Vì momen đầu biến ngẫu nhiên xét tồn tại, số mũ λ phân phối thỏa mãn bất đẳng thức < λ ≤ Với λ > phân phối suy biến Định lý chứng minh Bây giờ, ta xét hai biến ngẫu nhiên độc lập X Y Chúng ta xác định điều kiện để hồi quy X + Y aX + Z tuyến tính với hai ba cặp giá trị (a, b) Định lý 2.22 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập với EX EY hữu hạn, khơng tính tổng qt ta giả sử kỳ vọng Khi khẳng định sau đúng: (i) Để hồi quy X + Y aX + bY tuyến tính với hai cặp giá trị (a, b): (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) với điều kiện |a1 b2 /a2 b1 | = điều kiện cần đủ X Y có phân phối bán ổn định (ii) Giả sử (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) (a3 , b3 ) ba cặp giá trị (a, b) cho ∏ bi = 0, |a1 /b1 | < |a2 /b2 | < |a3 /b3 |, β1 = a1 b2 /a2 b1 β2 = a1 b3 /a3 b1 i=1 B j = − log |β j | Để hồi quy X + Y aX + bY tuyến tính với ba cặp giá trị (a, b) điều kiện cần đủ X Y có phân phối ổn định β1 > 0, β2 > B1 /B2 vô tỷ 47 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính X Y có phân phối ổn định đối xứng β1 ≤ 0, β2 ≤ B1 /B2 vơ tỷ X Y có phân phối bán ổn định B1 /B2 hữu tỷ Định lý chứng minh tương tự định lý 2.21 48 Kết luận Bản luận văn trình bày kết đặc trưng phân phối cho vectơ ngẫu nhiên thông qua biểu diễn cấu trúc chúng Nếu vectơ ngẫu nhiên X có biểu diễn tuyến tính qua họ biến cấu trúc Y , tức X = AY tính khơng biểu diễn tuyến tính tính đặc trưng vectơ ngẫu nhiên chuẩn, biểu diễn X khơng phải vectơ ngẫu nhiên chuẩn Giả sử X = A1Y1 + A2Y2 X = B1U1 + B2U2 Nếu Y1 khơng chuẩn U1 vectơ ngẫu nhiên không chuẩn A1 tương đương với B1 , cịn Y2 chuẩn U2 vectơ ngẫu nhiên chuẩn A2 không tương đương với B2 Hơn nữa, ta khai triển vectơ ngẫu nhiên X thành tổng hai vectơ ngẫu nhiên, tức X = X1 + X2 X1 khơng vectơ ngẫu nhiên chuẩn có cấu trúc nhất, X2 vectơ ngẫu nhiên chuẩn có cấu trúc khơng Xét cho mơ hình phân tích nhân tố X = AF + ε, mơ hình F khơng chuẩn Hồi quy biến ngẫu nhiên Y vectơ ngẫu nhiên X có mơ hình phân tích nhân tố đề cập Hồi quy tuyến tính F ε chuẩn 49 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hồng Hữu Như, Thống kê tốn học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [2] Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Hữu Dư, Phân tích thống kê dự báo, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục, 2009 [4] Kagan A M, Linnik YU V, Rao C R, Characterization Problems in Mathematical Statistics, 1973 [5] Linnik Yu V Deccomposition of Probability Laws, (1964), Oliver and Boy, Edinburgh [6] Linnik Yu V, "On an application of the theory of numbers to mathematical statistics", Mat Zametki (1970), 383 - 388 [7] Parthasarathy K R, Ranga Rao R and Varadhan S R S, "On the category of indecomposable distributions on topological groups," Trans Amer Math Soc 102 (1962), 202 - 217 [8] Ramachandran B and Rao C.R, "Some results on characteristic functions and characterizations of the normal and generalized stable laws", sankhya, ser A 32 (1970), 1-30 [9] Rao C R Linear Statistical Inference and Its Applications, John Wiley, New York Second Edition, 1973 [10] Reiersol O "Identifiability of a linear relation between variables which are subject to error," Econometrika 18 (1950), 375 - 389 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] Sapogov N A, "The stability problem for Cramer’s theorem," Izvestila AN SSSR Ser, Matem 15 (1951), 205 -218 [12] Sapogov N A, "On the independent components of a sum of radom variables with distributions close to normal," Vestnik Leningrad Univ 19 (1959), 78 - 105 51 ... thừa nhận biểu diễn cấu trúc không tương đương Đặc biệt, ta vectơ ngẫu nhiên chuẩn hồn tồn đặc trưng tính khơng cấu trúc tuyến tính Mọi vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính phân tích thành... diễn cấu trúc vectơ ngẫu nhiên tương đương với ta nói vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc Cũng X có cấu trúc lại tồn hai dạng biểu diễn X cho biến cấu trúc Y Z có phân bố khác Ta nói dạng tuyến tính. .. cách đơn giản BG 23 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính 2.1 Các định lý đặc trưng Ta nghiên cứu dạng vectơ ngẫu nhiên p-chiều có biểu diễn cấu trúc luân phiên Ta xét trường