(Luận văn thạc sĩ) bài toán biên hilbert và các phương trình tích phân liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG QUẾ HƯỜNG BÀI TỐN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG QUẾ HƯỜNG BÀI TỐN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2016 Mục lục Lời mở đầu Một số khái niệm 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Điều kiện Holder ă 1.1.2 Ch s ca hm số 1.1.3 Bậc hàm số 1.1.4 Định nghĩa tích phân dạng Cauchy 1.2 Bài toán biên Riemann 1.3 Toán tử Schwarz 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Bài tốn xác định hàm giải tích có cực điểm với điều kiện giá trị thực nằm chu tuyến 6 9 10 11 12 13 Bài tốn biên Hilbert 2.1 Thừa số quy hóa 2.1.1 Khái niệm 2.1.2 Cách xác định loại thừa số quy hóa 2.2 Các dạng toán biên Hilbert 2.2.1 Bài toán 2.2.2 Bài tốn khơng 2.2.3 Bài toán đường tròn đơn vị 2.2.4 Bài toán cho miền ngồi đường trịn đơn vị 2.3 Mối liên hệ toán biên Hilbert toán biên Riemann 17 17 17 18 23 23 24 26 27 Một số dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan 35 30 3.1 Mối quan hệ phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng với nhân Hilbert toán biên Hilbert Các dạng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert 3.2.1 Phương trình 3.2.2 Phương trình khơng 3.2.3 Phương trình với hệ số 35 37 37 40 43 Ví dụ áp dụng 4.1 Bài tốn biên Hilbert 4.2 Phương trình tích phân kì dị 46 46 51 3.2 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Lời mở đầu Bài toán tìm hàm giải tích miền xác định từ hệ thức liên hệ phần thực phần ảo giá trị biên hàm, lần đưa G F B Riemann vào năm 1857, gọi toán biên Riemann Tương tự vậy, David Hilbert xây dựng toán sau: Tìm hàm F (z) = u(z) + iv(z) hàm giải tích miền đơn liên D + giới hạn chu tuyến L liên tục D + ∪ L, với điều kiện biên a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t) a(t), b(t) c(t) nhng hm thc liờn tc Hăolder trờn L Bi toỏn thuộc vào nhóm tốn giá trị biên hàm giải tích, toán lâu đời dạng thường gọi tốn biên Hilbert Mục đích luận văn nghiên cứu dạng thứ hai tốn biên hàm giải tích lớp phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert tương ứng Tiếp theo, khảo sát số vấn đề liên quan hỗ trợ cho việc giải toán biên Hilbert tốn tử Schwarz, thừa số quy hóa, Nội dung khóa luận chia làm bốn chương Chương 1: Một số khái niệm kiến thức bổ trợ Chương 2: Bài toán giá trị biên Hilbert cho miền đơn liên, khảo sát nghiệm tốn nhất, tốn khơng nhất, tốn cho miền miền ngồi đường trịn đơn vị thơng qua thừa số quy hóa số hàm số Chương 3: Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert Từ nghiệm toán giá trị biên Hilbert suy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị tương ứng tính chất phương trình với nhân Hilbert Chương 4: Áp dụng toán biên Hilbert giải số phương trình tích phân liên quan LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 tháng 08 năm 2016 Học viên Hoàng Quế Hường Chương Một số khái niệm Trong chương này, lí thuyết tốn biên Riemann trình bày với đa số kí hiệu dùng sách F D Gakhov [1] Dưới số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Điều kin Holder ă Gi s L l chu tuyn trn ϕ(t) tham số hóa tọa độ L Ta có định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm ϕ(t) gọi thỏa mãn điều kiện Hăolder nu vi mi cp im phõn bit tựy ý L có | ϕ (t1 ) − ϕ (t2 )| ≤ A|t1 − t2 |λ (1.1) A λ số dương A gọi l hng s Hăolder, c gi l ch s Hăolder (0 < 1) Vi > (1.1) trở thành ϕ ( t1 ) − ϕ ( t2 ) ≤ A | t − t | λ −1 t1 − t2 lấy giới hạn hai vế t1 → t2 ta ϕ (t2 ) = với t2 thuộc miền xác định Khi đó, ϕ(t) số (tức chu tuyến L suy biến thành điểm) Do đó, luận văn này, ta xét trường hợp < λ ≤ Với λ = điều kiện gọi điều kiện Lipschitz √ t (với t ≥ 0) Ta có √ √ √ √ √ √ t1 + t2 t1 − t2 sin | sin t1 − sin t2 | = cos √ √ ≤ | t1 − t2 | t − t2 = √1 √ t1 + t2 ≤ 2|t1 − t2 |1/2 Ví dụ 1.1 Xét hàm ϕ(t) = sin ¨ Do hàm ϕ thỏa mãn điều kiện Holder với số A = số λ = 1/2 Ví dụ 1.2 Ta xét hàm ϕ(t) = với < t ≤ 1/2 với t = 1/ln t Do lim tλ ln t = t →0 ∀λ > nên với số A, λ, tồn t đủ nhỏ cho | ϕ(t) − ϕ(0)| = > A | x 0| ln t ă Cho nờn hm ϕ xác định không thỏa mãn điều kiện Holder 1.1.2 Chỉ số hàm số Cho L chu tuyến đóng, đơn, trơn G (t) hàm số liên tục không triệt tiêu L Định nghĩa 1.2 Chỉ số hàm số G (t) dọc theo chu tuyến L tỷ số độ tăng trưởng (số gia) argumen chuyển động hết lượt (theo chiều dương) dọc theo chu tuyến L với 2π Ta ký hiệu Ind G (t) số hàm G (t) Ký hiệu [ω ] L số gia ω dọc theo L số G (t) viết dạng [arg G (t)] L 2π Chỉ số dễ dàng tính thơng qua biến thiên logarit hàm số; tức κ = IndG (t) = ln G (t) = ln | G (t)| + i arg G (t) Sau chuyển động dọc theo L, | G (t)| trở lại giá trị ban đầu Vậy nên [arg G (t)] L = [ln G (t)] L , i mà [ln G (t)] L 2iπ Chỉ số tính theo tích phân (hiểu theo nghĩa Stieltjes) κ= κ = IndG (t) = 2π d arg G (t) = L 2πi dln G (t) L Ví dụ 1.3 Xét hàm G (t) = tn chu tuyến đường tròn đơn vị tham số hóa t = eiθ , ≤ θ ≤ 2π Khi đó, G (t) = tn = einθ Do đó, κ = IndG (t) = 1 [ln G (t)] L = 2nπ = n 2πi 2π Từ định nghĩa ta thấy: Vì hàm G (t) liên tục nên số gia argumen dọc theo chu tuyến đóng bội 2π Vậy nên ta có Chỉ số hàm số liên tục chu tuyến không triệt tiêu ln số ngun Chỉ số tích hai hàm tổng số, số thương hai hàm hiệu số tương ứng Giả sử hàm G (t) khả vi giá trị biên hàm giải tích bên bên ngồi chu tuyến L Khi κ= 2πi dln G (t) = L 2πi L G (t) dt G (t) Đây thặng dư logarit hàm số G (t) Từ định lý thặng dư logarit, ta suy tính chất sau số Nếu G (t) giá trị biên hàm giải tích bên bên ngồi chu tuyến, số số không điểm từ bên số không điểm từ bên lấy dấu âm Nếu G (t) giá trị biên hàm giải tích bên chu tuyến trừ hữu hạn điểm (có thể cực điểm) số hiệu số không điểm số cực điểm (kể bội) 43 để toán giải điều kiện (2.29) cần thỏa mãn Nghiệm phương trình kỳ dị suy từ cơng thức (3.14) đặt Q(t) ≡ 0, tức u(s) = η (s)c(s)e ω1 ( s ) − ξ (s) 2π 2π c(σ)eω1 (σ) cot σ−s dσ, (3.16) giả sử điều kiện (3.2) thỏa mãn Ta chứng minh điều kiện (2.29) điều kiện (3.2) độc lập viết dạng 2π 2π c(σ )ξ (s)eω1 (σ) sin κ (σ − s)ds dσ = (3.17) 0 Bổ sung điều kiện (2.29) 2π 2π c(σ)e ω1 ( σ ) c(σ)eω1 (σ) sin kσdσ = 0, cos kσdσ = 0, (3.18) 0 (k = 0, 1, , −κ − 1) Nhận xét 3.2 Trong trường hợp số κ âm, phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng khơng giải −2κ điều kiện giải (3.17) (3.18) thỏa mãn Khi nghiệm biểu diễn cơng thức (3.16) 3.2.3 Phương trình với hệ số Xét trường hợp đặc biệt hệ số a b phương trình (3.3) (3.1) √ số Giả sử phép chia a2 + b2 kéo theo điều kiện a2 + b2 = thỏa mãn 3.2.3.1 Phương trình Cho phương trình b a u(s) − 2π 2π u(σ) cot σ−s dσ = 0, có nghiệm tốn biên Hilbert (3.4) tương ứng: F (z) = u + iv = iβ eiγ(z) = iβ ( a + ib) 44 Do ξ (s) = −b, η (s) = a, eω1 (s) = Điều kiện giải viết sau 2π σ−s dσ = u(σ ) cot Do đó, a = phương trình có nghiệm khơng tầm thường Nếu a = 0, phương trình 2π σ−s dσ = u(σ ) cot có số u(s) = β coi nghiệm 3.2.3.2 Phương trình khơng b au(s) − 2π 2π u(σ) cot σ−s dσ = c(s) (3.19) giải tuyệt đối a = Theo (3.13), ta có 2π 2π aβ − b c(σ)dσ = 0 Thay β (3.12) nghiệm (3.19) b u(s) = ac(s) + 2π 2π b2 σ−s dσ − c(σ) cot 2πa Nếu a = tính giải phương trình 2π 2π u(σ) cot σ−s dσ = c(s) điều kiện sau phải thỏa mãn theo (3.13), 2π c(σ)dσ = 0 2π c(σ) dσ 45 Nếu điều kiện thỏa mãn cách đặt η (s) = ξ (s) = −b = (3.12), ta thu nghiệm u(s) = − 2π C số tùy ý 2π c(σ) cot σ−s dσ + C, 46 Chương Ví dụ áp dụng 4.1 Bài tốn biên Hilbert Ví dụ 4.1 Giải tốn giá trị biên Hilbert cho đường tròn đơn vị (cos 2s − cos s + )u(s) + (sin 2s − sin s)v(s) = ( − cos s)2 (cos 2s + h1 cos s + h2 ), 4 h1 , h2 số Giải Chúng ta viết điều kiện biên dạng (2.18) Re = cos s − − cos s − sin2 s − i2 sin s(cos s − ) (u + iv) 2 (cos 2s + h1 cos s + h2 ) Biểu diễn phép biến đổi a(s) − ib(s) = cos s − = cos s − = − sin2 s − 2i sin s cos s − 2 − i sin s − cos s cos s − = t− 2 − cos s 2 + i sin s , 47 có biểu diễn sau :    Re    F (t)   = cos 2s + h1 cos s + h2 2  t− 2 nơi có cực điểm cấp hai Lý luận tương tự trường hợp tổng quát Vế trái giá trị biên hàm giải tích đường tròn đơn vị , trừ điểm z = dẫn đến hệ thức F (z) = z− 2 [S(cos 2s + h1 cos s + h2 ) + Q1 (z)], Q1 (z) hàm giải tích đường trịn đơn vị ngoại trừ điểm z = có cực điểm cấp hai, phần thực bị triệt tiêu đường tròn đơn vị Hàm cho cơng thức Q1 (z) = Q(ω (z)), ω (z) hàm ánh xạ bảo giác từ đường tròn đơn vị vào điểm z = biến đổi thành gốc tọa độ Lấy hàm z− = 2z − · ω (z) = 2−z 1− z Từ cho z = eis = cos s + i sin s, |z| = cos 2s + h1 cos s + h2 = Re[z2 + h1 z + h2 ], theo tính hàm giải tích xác định tích phân Schwarz, ta có S(cos 2s + h1 cos s + h2 ) = z2 + h1 z + h2 Tính tốn cơng thức (2.24) cho hàm Q cuối thu F (z) = z− 2 × 2z − 2z − × z + h1 z + h2 + iβ + c1 + c2 2−z 2−z 2 − c1 2−z 2z − − c2 2−z 2z − Từ tính giải tuyệt đối toán ứng với κ = > số h1 h2 chọn tùy ý · 48 Ví dụ 4.2 Giải tốn giá trị biên Hilbert cho đường trịn đơn vị (cos 2s − cos s + 41 )u − (sin 2s − sin s)v = cos 2s + h1 cos s + h2 Giải Từ số tốn κ = −2 < nói chung tốn khơng giải Nó giải có lựa chọn đặc biệt số h1 h2 Biến đổi tương tự toán trước dẫn đến điều kiện biên : Re[(t − 12 )2 F (t)] = cos 2s + h1 cos s + h2 Do F (z) = (z − 21 )−2 [S(cos 2s + h1 cos s + h2 ) + iC ] suy F (z) = (z − )−2 [(z2 + h1 z + h2 ) + iC ] Đối với h1 h2 hàm có cực điểm cấp hai điểm z = , để loại bỏ cực điểm ta cần chọn số h1 = −1, h2 = Từ tốn có nghiệm F (z) = + (z − )−2 iC Ví dụ 4.3 Giải tốn Hilbert cho đường tròn đơn vị e− sin 2s cos(cos 2s)u(s) − e− sin 2s sin(cos 2s)v(s) = ecos s cos(sin s) Giải Ta có a − ib = e− sin 2s cos(cos 2s) − i e− sin 2s sin(cos 2s) = e− sin 2s [cos(cos 2s) + i sin(cos 2s)] = e− sin 2s ei cos 2s = ei(cos 2s+i sin 2s) = eit 49 Điều kiện biên toán viết dạng Re [ F (t) ( a − ib)] = c(s) ⇔ Re [ F (t) eit ] = ecos s cos(sin s) Hàm khơng có 0- điểm cực điểm nên số κ = cos s + i sin s = eis = z, Đặt |z| = Ta có ez = e(cos s+i sin s) = ecos s ei sin s = ecos s (cos(sin s) + i sin(sin s)) = ecos s cos(sin s) + i ecos s sin(sin s) ecos s cos(sin s) = Re ez suy theo tính hàm giải tích xác định tích phân Schwarz, ta có S (ecos s cos(sin s)) = ez Như vậy, nghiệm tốn có dạng F (z) eiz = S (ecos s cos(sin s)) + iβ ⇒ F (z) = e−iz (ez + iβ ), β = Im F (0) Ví dụ 4.4 Giải tốn Hilbert cho đường trịn đơn vị cos s u(s) − (sin s + )v(s) = cos 2s + h Giải Ta có a − ib = cos s + i sin s + i = t+ i 50 Điều kiện biên tốn có dạng F (t) = c(s) a + bi ⇔ Re [ F (t) ( a − ib)] = c(s) Re ⇔ Re F (t) (t + 2i )−1 = cos 2s + h Hàm số có cực điểm bên đường tròn đơn vị nên hàm số có số κ = −1 Đặt z = cos s + i sin s, |z| = Từ đó, ta có cos 2s + h = Re[z2 + h], theo tính hàm giải tích xác định tích phân Schwarz, ta có S(cos 2s + h) = z2 + h Khi nghiệm tốn có dạng i F (z) = (z + )−1 [S(cos 2s + h) + iC ] Hay i F (z) = (z + )−1 (z2 + h + iC ) Do C tùy ý nên chọn C = Vì số tốn κ = −1 < nên toán giải cực điểm i z = loại bỏ Để có điều ta chọn h = Khi i F ( z ) = ( z + ) −1 ( z + ) i −1 i i = (z + ) (z + )(z − ) 2 i = z− , Im F (0) = · 51 4.2 Phương trình tích phân kì dị Ví dụ 4.5 Giải phương trình tích phân kỳ dị khơng cho đường trịn đơn vị sin s (cos s + 2)u(s) − 2π 2π σ−s dσ = sin s u(σ) cot Giải Ta có toán biên Hilbert tương ứng a1 (s)u(s) + b1 (s)v(s) = c1 (s) ⇔ (cos s + 2)u(s) + sin s v(s) = sin s (∗) Ta có a21 + b12 = (cos s + 2)2 + sin2 s = + cos s = Phương trình (∗) tương đương với sin s sin s cos s + u(s) + v(s) = · + cos s + cos s + cos s Xét biểu thức cos s − i sin s + 2 + e−is a − ib = · = + cos s + 2(eis + e−is ) cos s + i sin s = eis = t, Đặt a − ib = |t| = + t −1 2t + 1 = = · − t+2 2t + 5t + + 2( t + t ) Điều kiện biên toán viết dạng Re [ F (t) ( a − ib)] = c(s) F (t) sin s ⇔ Re = · t+2 + cos s Hàm có số κ = Từ F ( z ) = ( z + 2) S  = ( z + 2)  2π sin s + cos s 2π + iβ eiσ  sin σ +z dσ + iβ  iσ + cos σ e − z 52 cos σ + i sin σ = eiσ = τ, Đặt cos σ = |τ | = τ2 + ; 2τ sin σ = τ2 − 2iτ   F ( z ) = ( z + 2)  2iπ |τ |=1 dτ τ2 − − i (2τ + 5τ + 2) τ − z 2π Ta có 2π nên 2π 2π  sin σ  dσ + iβ  + cos σ sin σ dσ = + cos σ   F ( z ) = ( z + 2)  2iπ  |τ |=1 τ2 − dτ  + iβ  i (2τ + 5τ + 2) τ − z Xét tích phân 2iπ = |τ |=1 2iπ τ2 − dτ i (2τ + 5τ + 2) τ − z |τ |=1 −iτ dτ + 2τ + τ − z 2iπ ta thu F + (z) = i ; z+2 |τ |=1 F − (z) = Do F (z) = (z + 2)( i dτ τ+2 τ−z iz · 2z + i + iβ ), z+2 β = Im F (0) = −1 Suy i − i ) = i − i (z + 2) = −iz − i z+2 Thay giá trị z = cos s + i sin s ta thu F (z) = (z + 2)( F (z) = −i (cos s + i sins) − i = sin s − i (cos s + 1) Khi u(s) = Re F (z) = sin s Vậy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị : u(s) = sin s 53 Ví dụ 4.6 Giải phương trình tích phân kỳ dị khơng cho đường trịn đơn vị sin s − cos s u(s) − 2π 2π u(σ) cot σ−s dσ = cos s (5 + sin s) Giải Ta có tốn biên Hilbert tương ứng a2 (s)u(s) + b2 (s)v(s) = c2 (s) ⇔ cos s u(s) + (sin s − 2) v(s) = cos s (5 + sin s) (∗∗) Ta có a22 + b22 = cos2 s + (sin s − 2)2 s = − sin s = Phương trình (∗∗) tương đương với cos s sin s − cos s(5 + sin s) u(s) + v(s) = · − sin s − sin s − sin s Xét biểu thức a − ib = cos s − i sin s + 2i i − 2eis · = − sin s −2e2is + 5eis + cos s + i sin s = eis = t, Đặt |t| = a − ib = i − 2t = · t − 2i + 5it + −2t2 Điều kiện biên toán viết dạng Re [ F (t) ( a − ib)] = c(s) cos s(5 + sin s) F (t) = ⇔ Re · t − 2i − sin s Hàm có số κ = Từ F (z) = (z − 2i ) S  = (z − 2i )  2π cos s(5 + sin s) − sin s 2π + iβ eiσ  cos σ(5 + sin σ) +z dσ + iβ  − sin σ eiσ − z 54 cos σ + i sin σ = eiσ = τ, Đặt cos σ = |τ | = τ2 + ; 2τ sin σ = τ2 − 2iτ  (τ + 1)(τ + 2i )(2τ + i ) dτ τ (τ − 2i )(i − 2τ ) τ−z |τ |=1  2π cos σ(5 + sin σ) − dσ + iβ  2π − sin σ  F (z) = (z − 2i )  2iπ Ta có 2π 2π cos σ(5 + sin σ) dσ = − sin σ nên   F (z) = (z − 2i )  2iπ  |τ |=1 (τ + 1)(τ + 2i )(2τ + i ) dτ  + iβ  τ (τ − 2i )(i − 2τ ) τ−z Xét tích phân 2iπ = |τ |=1 2iπ (τ + 1)(τ + 2i )(2τ + i ) dτ τ (τ − 2i )(i − 2τ ) τ−z (−τ − 5i ) |τ |=1 dτ + τ − z 2iπ |τ |=1 −3τ − i dτ + τ (i − 2τ ) τ − z 2iπ |τ |=1 10 dτ , τ − 2i τ − z ta thu F + (z) = (−z − 5i ) + 10 ; z − 2i F − (z) = 3z + i · z(i − 2z) Do 10 + iβ z − 2i = (z − 2i )(−z − 5i ) + 10 + (z − 2i )iβ F (z) = (z − 2i ) (−z − 5i ) + = −z2 + z(3i + iβ ) + 2β Thay giá trị z = cos s + i sin s ta thu F (z) = − cos 2s + sin s − β (sin s − 2) + i (− sin 2s − cos s + β cos s) 55 Khi u(s) = Re F (z) = − cos 2s + sin s − β (sin s − 2) Vậy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị là: u(s) = − cos 2s + sin s − β (sin s − 2), β = Im F (0) = 56 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết sau: - Phát biểu chứng minh chi tiết số định lý toán giá trị biên Hilbert phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert tương ứng Đồng thời, trình bày số ví dụ minh họa - Sử dụng thừa số quy hóa số hàm số để biện luận nghiệm toán giá trị biên Hilbert phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert tương ứng - Trình bày cách giải tốn Hilbert cho miền đơn liên, cụ thể cho trường hợp đường trịn đơn vị - Khảo sát phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert thông qua nghiệm tốn biên Hilbert, từ tìm tính chất phương trình tích phân kỳ dị tương ứng 57 Tài liệu tham khảo [1] Gakhov F.D (1990), Boundary value problems, Dover Pub., Inc., New York [2] Nguyen Van Mau (1997), Algebraic Elements and Boundary Value Problems in Linear Space, VNU Pub Ha Noi [3] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer ... dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan Trong chương ta xét phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert có dạng đặc trưng có mối liên hệ mật thiết với toán biên Hilbert 3.1 Mối quan hệ phương. .. nhân Hilbert Từ nghiệm toán giá trị biên Hilbert suy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị tương ứng tính chất phương trình với nhân Hilbert 4 Chương 4: Áp dụng toán biên Hilbert giải số phương trình. .. nhân Hilbert toán biên Hilbert Các dạng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert 3.2.1 Phương trình 3.2.2 Phương trình khơng 3.2.3 Phương trình