Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận qui nạp và ngoại suy của học sinh trong quá trình khám phá toán học

Bài báo này cho thấy biểu diễn trực quan động với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin có thể giúp học sinh đưa ra dự đoán và tìm kiếm các lý giải hợp lý khi tiến hành suy luận quy nạp và ngoại suy. Từ kết quả này, chúng tôi đề xuất quy trình sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động để khám phá toán học.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Vol 56, No 5, pp 109-116 SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN ĐỘNG HỖ TRỢ SUY LUẬN QUI NẠP VÀ NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH TRONG Q TRÌNH KHÁM PHÁ TỐN HỌC Trương Thị Khánh Phương Trường Đại học Y Dược, Đại học Huế E-mail: phuongsph@yahoo.com Tóm tắt Những biểu diễn trực quan khơng mang tính minh họa mà cịn đóng vai trị cơng cụ cho q trình suy luận tốn học Bài báo cho thấy biểu diễn trực quan động với hỗ trợ cơng nghệ thơng tin giúp học sinh đưa dự đốn tìm kiếm lý giải hợp lý tiến hành suy luận quy nạp ngoại suy Từ kết này, đề xuất quy trình sử dụng suy luận quy nạp ngoại suy với hỗ trợ biểu diễn trực quan động để khám phá toán học Mở đầu Suy luận kết nối kinh nghiệm kiến thức có cá nhân với việc sử dụng quy tắc, chứng để đến kết luận, đưa dự đoán hay để giải thích, đánh giá lời giải Theo Peirce [1;24], tốn học có ba loại suy luận bản: suy diễn, quy nạp ngoại suy Trong suy luận suy diễn giúp học sinh rèn luyện tư logic suy luận quy nạp ngoại suy tiến trình làm tảng cho thăm dò khám phá ý tưởng Nghiên cứu đường tiếp cận tri thức học sinh chủ đề giáo dục toán học năm gần Đặc biệt, người ta thường xem xét bối cảnh sử dụng biểu diễn trực quan với hỗ trợ công nghệ thơng tin có tác động tích cực rõ nét đến q trình khám phá tốn học học sinh Trong báo tác giả làm rõ hai vấn đề sau: Thứ nhất, suy luận quy nạp suy luận ngoại suy có quan hệ với việc khám phá tri thức mới?; Thứ hai, biểu diễn trực quan động có ảnh hưởng đến trình khám phá toán học học sinh suy luận quy nạp suy luận ngoại suy? 2.1 Nội dung nghiên cứu Suy luận quy nạp Suy luận quy nạp giới thiệu Francis Bacon (1561-1626), 109 Trương Thị Khánh Phương trình suy luận nhằm đưa kết tổng quát từ hữu hạn kết tương tự có với trường hợp đặc biệt Khơng có đảm bảo giả thuyết quy nạp chắn giả thuyết củng cố có thêm nhiều kết thực nghiệm khẳng định bị bác bỏ có phản ví dụ Reid ([2,3]) mơ tả q trình suy luận quy nạp gồm năm bước theo thứ tự sau: - Thực hành với trường hợp đặc biệt; - Quan sát quy luật; - Dự đốn quy luật áp dụng cho trường hợp tổng quát; - Kiểm tra dự đốn; - Tổng qt hóa dự đốn Suy luận quy nạp trái ngược với suy luận suy diễn Trong suy diễn sử dụng quy tắc tổng quát khẳng định từ trước để áp dụng cho trường hợp cụ thể quy nạp lại kiểm chứng đắn với số trường hợp cụ thể dự đốn áp dụng kết cho nhóm đối tượng lớn Do kết luận suy luận quy nạp mang tính mở rộng Dự đoán tượng phát triển theo quy luật, tổng quát hóa kiện dựa trường hợp đặc biệt, hay đề xuất giả thuyết khoa học từ kết thực nghiệm khám phá mang lại tri thức cho người dựa suy luận quy nạp Ví dụ Với kết tính tốn cụ thể: 1+3 = 4, 1+3+5 = 9, 1+3+5+7 = 16, sử dụng suy luận quy nạp, học sinh dự đốn cơng thức tính tổng n số tự nhiên lẻ là: Sn = + + + + + (2n − 1) = n2 2.2 Suy luận ngoại suy Suy luận ngoại suy giới thiệu triết gia người Mỹ Charles Saunders Peirce (1839 - 1914), trình suy luận nhằm tìm kiếm xây dựng giả thuyết phù hợp để giải thích cho quan sát Theo Magnani [4;19], có hai loại suy luận ngoại suy Ngoại suy “chọn lựa” nhằm chọn quy tắc phù hợp số quy tắc có sẵn để giải thích cho trường hợp có Khi khơng có quy tắc vốn kiến thức người giải thích được, quy tắc hình thành sản phẩm ngoại suy “sáng tạo” Như vậy, ngoại suy tạo ý tưởng giúp mở rộng tri thức J Josephson S Josephson tổng kết mơ hình phép ngoại suy sau [3,5]: - D tập liệu (sự kiện, quan sát, cho); - H giải thích D (nếu H đúng, giải thích D); - Khơng có giả thuyết khác giải thích D tốt H; - Như vậy, H có lẽ Cần phân biệt phép ngoại suy phép quy nạp Ngoại suy giống với quy nạp chỗ hai liên quan đến việc khám phá kết Tuy nhiên lúc quy nạp phát quy luật, khuynh hướng thu dự đốn 110 Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận qui nạp ngoại suy ngoại suy khám phá kiện thu giải thích dự đốn, kết luận khơng thể biết cách trực tiếp Cần lưu ý rằng, mở rộng kết luận quy nạp vượt xa so với giới hạn quan sát kết luận có phần mang chất ngoại suy Suy luận ngoại suy học sinh lớp học toán gắn liền với hoạt động như: khảo sát toán, làm việc với toán kết thúc mở, tổng qt hóa, phát biểu tốn mở rộng hay giải vấn đề thực tế Trong q trình dạy tốn, giáo viên đơi khơng để ý suy luận xảy học sinh khảo sát mơ hình tốn học động nhằm phát định lý công thức mới, dự đốn quỹ tích hay điểm cố định, chí đưa lý thuyết để giải thích cho xuất khái niệm suy luận suy diễn, mà chủ yếu ngoại suy Đặc biệt, suy luận ngoại suy sử dụng cách thường xuyên hoạt động ngày người cần tìm kiếm nguyên nhân, lý giải kiện, tượng Sau nhiệm vụ thực tế cần trợ giúp suy luận ngoại suy Ví dụ Một tên cướp biển muốn chơn kho báu hịn đảo Trên hịn đảo có tảng đá lớn, cọ sồi Tên cướp biển đếm số bước chân thẳng từ tảng đá đến cọ Ngay vị trí cọ, tên cướp theo hướng tạo với hướng nhìn phía tảng đá góc 900 quay phía phải, với số bước chân số bước chân Hình Sơ đồ chơn kho báu đếm dừng lại cắm cột mốc thứ vị trí Tên cướp quay trở lại chỗ tảng đá đếm số bước chân thẳng từ đến sồi, sau từ vị trí sồi theo hướng tạo với hướng nhìn phía tảng đá góc 900 quay phía trái, với số bước chân số bước chân vừa đếm dừng lại cắm cột mốc thứ hai để đánh dấu Kho báu chôn vị trí hai cột mốc (Hình 1) Một thời gian sau, nhóm nghiên cứu tìm đến nơi chôn kho báu Cây cọ sồi còn, tảng đá cột mốc biến không để lại dấu vết Dù họ tìm kho báu Họ làm nào? 2.3 Biểu diễn trực quan biểu diễn trực quan động Theo Arcavi [2;217], trực quan hóa khả năng, trình sản phẩm sáng tạo, giải thích, sử dụng phản ánh dựa hình vẽ, hình ảnh, sơ đồ đầu chúng ta, giấy hay công cụ khoa học công nghệ, với mục đích mơ tả giao tiếp thơng tin, tư phát triển ý tưởng chưa biết trước để đến việc hiểu Các biểu diễn trực quan hình vẽ, đồ thị, sơ đồ, biểu 111 Trương Thị Khánh Phương bảng xem công cụ để trực quan hóa nhằm giúp học sinh hiểu đối tượng toán học trừu tượng Biểu diễn trực quan ngày khơng cịn xem dành cho mục đích minh họa mà cịn thừa nhận thành phần suy luận, đặc biệt suy luận có lý quy nạp ngoại suy Tuy không thay cho chuỗi suy luận suy diễn dẫn đến chứng minh tốn học định hướng hỗ trợ tích cực cho trình giải vấn đề Đặc biệt, biểu diễn trực quan động biểu diễn trực quan cho phép thực thao tác động lên đối tượng biểu diễn Biểu diễn trực quan động với hỗ trợ máy tính phần mềm hình học động có nhiều đóng góp việc giúp học sinh khám phá tri thức tốn Ví dụ minh họa biểu diễn trực quan động vai trị q trình khám phá toán học sinh giới thiệu phần 2.4 Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp ngoại suy học sinh trình khám phá tốn Trong mơi trường học tập với hỗ trợ biểu diễn trực quan động, học sinh có điều kiện để tiến hành thử nghiệm tốn học thông qua thao tác đối tượng biểu diễn Với kết quan sát cho trường hợp riêng, học sinh vận dụng suy luận quy nạp ngoại suy để đưa đoán, đề xuất giả thuyết, khám phá quy luật mối quan hệ mới, hay xây dựng lý giải Ở minh họa biểu diễn trực quan động thiết kế phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP) (Hình 2) nhằm hỗ trợ học sinh tìm kiếm quy tắc tổng quát cho toán đưa Ví dụ S2 = + S3 = + + S4 = + + + Hình Minh họa biểu diễn trực quan động phần mềm GSP Mỗi kéo rê trượt tham số n để giá trị n tăng thêm đơn vị, số chấm xuất đường nối hình chữ L (ngược) số lẻ 2n − Với mơ hình này, học sinh dễ dàng nhận tổng Sn số chấm có mảng hình vng cạnh n dự đoán Sn = n2 Như vậy, từ toán phát biểu dạng đại số với kí hiệu tốn học trừu tượng chuyển sang sử dụng biểu diễn trực quan động, liệu tổ chức lại thành cấu trúc trực quan đơn giản có ý nghĩa khơng cho q trình suy luận quy nạp mà cịn mang đến lý giải “khơng từ ngữ” cho 112 Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận qui nạp ngoại suy chứng minh đại số Biểu diễn trực quan động thiết kế GSP nhằm giúp học sinh giải nhiệm vụ đưa Ví dụ (Hình 3) Gọi vị trí sồi A, vị trí cọ B, vị trí tảng đá C, vị trí hai cột mốc D E, vị trí chơn kho báu G Vì khơng cần có tảng đá mà kho báu tìm thấy nên học sinh đề xuất giả thuyết ngoại suy: vị trí chơn kho báu phụ thuộc vào vị trí cọ sồi mà không phụ thuộc vào vị trí tảng đá Hình Việc kiểm nghiệm giả thuyết với biểu diễn trực quan động dễ dàng học sinh cần kéo rê điểm C tùy ý mặt phẳng nhận thấy trung điểm G đoạn DE khơng di chuyển Vị trí chơn kho báu điểm cố định G mà đường thẳng DE qua Học sinh tiếp tục thao tác máy tính với việc kéo rê điểm C đến vị trí đặc biệt để thu thập liệu cho suy luận quy nạp Quan sát biểu diễn trường hợp C trùng với A (Hình 4), C trùng với B, hay C trùng với trung điểm H đoạn AB (Hình 5), em đưa giả thuyết: G nằm trung trực AB HG = HA = HB Hình C trùng A Hình C trùng H Việc kiểm nghiệm giả thuyết thực dễ dàng với công cụ đo độ dài GSP Có thể thấy, với tốn hình học sử dụng biểu diễn trực quan động thao tác máy tính, vài thao tác kéo rê đơn giản học sinh tiến hành số lượng lớn thử nghiệm toán học thu phản hồi nhanh chóng xác, nên việc đoán nhận quy luật hay đưa giả thuyết trở nên dễ dàng có sở nhiều so với việc kiểm tra số lượng hạn chế trường hợp giấy bút Cùng với chuyển động liên tục đối tượng hình, cơng cụ hỗ trợ tích hợp phần mềm hình học động cho phép học sinh thực phép đo đạc, tính tốn nhận 113 Trương Thị Khánh Phương nhiều liệu số, qua phát tính bất biến đại lượng khơng ý đến làm việc môi trường giấy bút Những phát quan trọng làm sở để học sinh thực trình suy luận quy nạp ngoại suy Không thế, biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh đưa phản ví dụ, cung cấp ý tưởng chứng minh, kiểm chứng giả thuyết hay khám phá kết luận có lý xem thử có đáng giá cho chứng minh, để cuối đến việc kiến tạo tri thức tốn cho riêng Thử sai, dự đốn hay phản chứng minh, phản ví dụ yếu tố khám phá toán học Gần đây, sử dụng trình cách tư không suy diễn mà liên quan nhiều đến phép ngoại suy quy nạp Một điều quan trọng ngoại suy quy nạp không tách rời mà hỗ trợ lẫn trình khám phá toán học Ngoại suy đề xuất giả thuyết Quy nạp kiểm tra giả thuyết ngoại suy thông qua thực nghiệm tăng mức độ thành công phép thử, nghĩa tăng mức độ tin cậy giả thuyết Hình Quy trình sử dụng suy luận quy nạp ngoại suy với hỗ trợ biểu diễn trực quan động để khám phá toán học Sơ đồ minh họa cho quy trình sử dụng kết hợp suy luận quy nạp ngoại suy để khám phá toán học với hỗ trợ biểu diễn trực quan động Quy trình minh họa cụ thể ví dụ sau Ví dụ Trên cạnh tam giác ABC bất kì, phía ngồi ta dựng hình vng ABF G, BCDE, ACKH Có nhận xét diện tích tam giác BEF, CDK, AGH? Xác minh nhận xét đó? (Hình 7) Làm việc mơ hình biểu diễn trực quan toán với phần mềm trợ giúp GSP, học sinh luân phiên sử dụng suy luận ngoại suy quy nạp để khám phá mối quan hệ diện tích tam giác BEF, CDK, AGH Cụ thể: - Giai đoạn 1: Ngoại suy 1: Diện tích tam giác BEF, CDK, AGH Quy nạp 1: Giả thuyết trường hợp kiểm chứng học sinh dịch chuyển điểm A, B, C cho tam giác ABC Kiểm tra lại dự đoán 114 Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận qui nạp ngoại suy Hình Hình cách dịch chuyển điểm A, B, C tùy ý sử dụng cơng cụ tính diện tích tam giác GSP với tam giác BEF, CDK, AGH - Giai đoạn 2: Ngoại suy 2: Diện tích tam giác BEF diện tích tam giác ABC Quy nạp 2: Giả thuyết rõ ràng dịch chuyển điểm A, B, C cho tam giác ABC vuông B Kiểm tra lại dự đốn cơng cụ tính diện tích tam giác GSP - Giai đoạn 3: Ngoại suy 3: Diện tích tam giác BEF, CDK, AGH không mà cịn diện tích tam giác ABC Quy nạp 3: Kích hoạt cho điểm A, B, C chạy tự mặt phẳng tính diện tích tam giác ABC, BEF, CDK, AGH để có số liệu minh chứng - Giai đoạn 4: Ngoại suy 4: Để xác minh nhận xét cần so sánh diện tích hai tam giác ABC BEF (tương tự cho trường hợp lại) Do đáy BC BE hai tam giác nên nghĩ đến việc chứng minh chiều cao hạ từ A F chúng (Hình 8) Nhận thấy tam giác BF J BAI dựng đường cao tương ứng phương án hợp lý, điều thúc đẩy học sinh huy động kiến thức học tiêu chuẩn hai tam giác chọn lựa tiêu chuẩn phù hợp để giải Kết luận Kiến thức toán học học sinh tiếp nhận theo đường từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng Sử dụng biểu diễn trực quan làm cầu nối cho biểu diễn thực tế quen thuộc biểu diễn kí hiệu trừu tượng thừa nhận cách làm mang lại hiệu dạy học mơn Tốn Đặc biệt, biểu diễn trực quan động tốt cho học sinh nhiều hội để quan sát, đoán, 115 Trương Thị Khánh Phương đặt giả thuyết kiểm chứng, hỗ trợ tích cực cho q trình suy luận quy nạp ngoại suy Chương trình tốn bậc trung học phổ thông đặt trọng tâm vào kiến thức toán dựa biểu diễn ký hiệu, gắn liền với suy luận suy diễn Người giáo viên cần tích cực tìm kiếm biểu diễn trực quan động tốt để thúc đẩy học sinh sử dụng phát triển có hiệu lực suy luận quy nạp ngoại suy trình học toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Atocha, A., 1997 Seeking Explanations: Abduction in Logic, Philosophy of Science and Artifical Intelligence ILLC Dissertations Series, Vol 4, Mexico [2] Arcavi, A., 2003 The role of visual representations in the learning of mathematics Educational Studies in Mathematics, Kluwer Academic Publishers [3] Canadas, M.C & Castro, E., 2007 A proposal of categorisation for anlysing inductive reasoning PNA 1(2) [4] Magnani, L., 2001 Abduction, Reason and Science, Processes of Discovery and Explanation Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York [5] Rivera, F & Becker, J., 2007 Abduction in pattern generalization Proceedings of the 31st conference of the IME, Vol 4, Seoul, Korea [6] Trương Thị Khánh Phương, 2009 Sử dụng tốn tìm kiếm qui luật có biểu diễn hình học để nâng cao lực suy luận qui nạp ngoại suy học sinh Trung học phổ thơng Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Đại học Huế, số 2(10), tr 108-116 ABSTRACT Using dynamic visual representations to support abductive and inductive reasoning of students in the process of exploring Mathematics Visual representations are not used only for the purpose of illustration, but also play an important role as tools for mathematical reasoning processes This paper shows that the dynamic visual representations with the power of information technology have significantly supported students in generating conjectures and finding out reasonable explanations when using inductive and abductive reasoning From these results, we propose A procedure of using inductive and abductive reasoning with the aid of dynamic visual presentations to explore mathematics 116 ... quan động vai trị q trình khám phá toán học sinh giới thiệu phần 2.4 Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp ngoại suy học sinh trình khám phá tốn Trong mơi trường học tập với hỗ. .. trợ biểu diễn trực quan động để khám phá toán học Sơ đồ minh họa cho quy trình sử dụng kết hợp suy luận quy nạp ngoại suy để khám phá toán học với hỗ trợ biểu diễn trực quan động Quy trình minh... đây, sử dụng trình cách tư không suy diễn mà liên quan nhiều đến phép ngoại suy quy nạp Một điều quan trọng ngoại suy quy nạp không tách rời mà hỗ trợ lẫn trình khám phá toán học Ngoại suy đề