(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở

(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở(Luận án tiến sĩ) Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYN TH THANH TM BồI DƯỡNG CáC THủ PHáP HOạT ĐộNG NHậN THứC THEO TƯ TƯởNG SƯ PHạM CủA G POLYA CHO HọC SINH TRONG DạY HọC MÔN TOáN TRƯờNG TRUNG HọC CƠ Sở LUN N TIN S KHOA HỌC GIÁO DỤC NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH TM BồI DƯỡNG CáC THủ PHáP HOạT ĐộNG NHậN THứC THEO TƯ TƯởNG SƯ PHạM CủA G POLYA CHO HọC SINH TRONG DạY HọC MÔN TOáN TRƯờNG TRUNG HọC C¥ Së Chuyên ngành: Lý luận phương pháp DH mơn Tốn Mã số: 62 14 01 11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Luận TS Nguyễn Văn Thuận NGHỆ AN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tác giả, hoàn thành với hướng dẫn giúp đỡ tận tình nhiều nhà khoa học Các số liệu, kết nêu Luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Luận án Nguyễn Thị Thanh Tâm DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN Viết tắt Viết đầy đủ DH Dạy học ĐC Đối chứng GD Giáo dục GS Giáo sư GV Giáo viên HĐ Hoạt động HĐNT Hoạt động nhận thức HS Học sinh Nxb Nhà xuất PPDH Phương pháp dạy học SGK Sách giáo khoa THCS Trung học sở TN Thực nghiệm TP Thủ pháp TPHĐNT Thủ pháp hoạt động nhận thức tr trang MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng, khách thể phạm vi nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những đóng góp Luận án Các luận điểm đưa bảo vệ Cấu trúc Luận án Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu vấn đề có liên quan đến đề tài 1.1.1 Những kết nghiên cứu liên quan đến thủ pháp hoạt động nhận thức 1.1.2 Những nghiên cứu tư tưởng sư phạm G Polya dạy học toán 1.1.3 Một số nhận định 11 1.2 Hoạt động nhận thức hoạt động nhận thức toán học 12 1.2.1 Hoạt động nhận thức 12 1.2.2 Hoạt động nhận thức toán học 14 1.3 Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức toán học 15 1.3.1 Thủ pháp 15 1.3.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức 16 1.3.3 Một số ví dụ 21 1.4 Tư tưởng sư phạm G Polya dạy học toán theo hướng bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 22 1.4.1 Về mục đích dạy học tốn (T1) 22 1.4.2 Về nguyên lý học tập (T2) 22 1.4.3 Về hoạt động trí tuệ (T3) 23 1.4.4 Tư tưởng sư phạm G Polya giai đoạn giải vấn đề (T4) 25 1.5 Thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm G Polya dạy học mơn Tốn trường trung học sở 28 1.5.1 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức thường sử dụng học sinh theo tư tưởng sư phạm G Polya dạy học mơn Tốn trường trung học sở 29 1.5.2 Một số đặc điểm thủ pháp hoạt động nhận thức 35 1.6 Mối liên hệ thủ pháp hoạt động nhận thức lực giải vấn đề, lực tư sáng tạo 37 1.6.1 Thủ pháp hoạt động nhận thức vừa phương tiện vừa kết hoạt động giải vấn đề 37 1.6.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức hoạt động dạy học phát giải vấn đề 37 1.6.3 Thủ pháp hoạt động nhận thức góp phần phát triển lực giải vấn đề, lực tư sáng tạo cho học sinh 39 1.7 Một số điều kiện sư phạm việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm G Polya cho học sinh dạy học mơn Tốn trường trung học sở 41 1.7.1 Sự phát triển tư học sinh trung học sở 41 1.7.2 Đặc điểm chương trình mơn Tốn lớp cuối cấp trung học sở Việt Nam 42 1.7.3 Các nhân tố ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh trung học sở dạy học mơn Tốn 43 1.7.4 Các giai đoạn hình thành khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức toán học cho học sinh 44 1.7.5 Một số hình thức bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 45 Kết luận chương 46 Chương KHẢO SÁT THỰC TRẠNG 47 2.1 Mục đích khảo sát 47 2.2 Nội dung khảo sát 47 2.3 Đối tượng khảo sát 47 2.4 Phương pháp khảo sát 47 2.5 Kết khảo sát 48 2.5.1 Kết khảo sát giáo viên 48 2.5.2 Kết khảo sát HS 53 Kết luận chương 64 Chương MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG CÁC THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G POLYA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 66 3.1 Định hướng xây dựng thực biện pháp 66 3.2 Một số biện pháp bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh theo tư tưởng sư phạm G Polya dạy học mơn Tốn lớp cuối cấp trường trung học sở 67 3.2.1 Biện pháp Gợi động bên trong, kích thích nhu cầu học sinh việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức 67 3.2.2 Biện pháp Rèn luyện cho học sinh có nhiều hội trải nghiệm để tìm hiểu, phát vấn đề phát cách giải vấn đề cách tinh tế 76 3.2.3 Biện pháp Tập luyện cho học sinh hình thành vận dụng hợp lý thủ pháp hoạt động nhận thức giai đoạn lập kế hoạch giải vấn đề 89 2.2.4 Biện pháp Rèn luyện cho học sinh khả tìm nhiều lời giải, lựa chọn lời giải tối ưu khai thác, phát triển vấn đề nhằm khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức 103 3.2.5 Biện pháp Xây dựng tổ chức dạy học thích hợp chuyên đề ẩn chứa thủ pháp hoạt động nhận thức cần bồi dưỡng cho học sinh 118 Kết luận chương 131 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 133 4.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 133 4.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 133 4.2.1 Phương pháp quan sát 133 4.2.2 Phương pháp thống kê toán học 133 4.3 Tổ chức nội dung thực nghiệm 133 4.3.1 Công tác chuẩn bị 133 4.3.2 Các bước tổ chức thực nghiệm 134 4.3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 135 4.4 Xây dựng phương thức tiêu chí đánh giá 144 4.4.1 Phương thức tiêu chí đánh giá mặt định lượng 144 4.4.2 Phương thức tiêu chí đánh giá mặt định tính 145 4.5 Kết thực nghiệm 145 4.5.1 Đánh giá định tính 145 4.5.2 Đánh giá định lượng 150 Kết luận chương 156 KẾT LUẬN 157 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ 158 TÀI LIỆU THAM KHẢO 159 PHỤ LỤC DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG, BIỂU ĐỒ Trang Sơ đồ: Sơ đồ 1.1 Các TP “riêng” cho toán học Sơ đồ 1.2 Sơ đồ 1.3 Cấu trúc vĩ mô hoạt động 12 Các dạng hoạt động chủ yếu HĐNT 14 Sơ đồ 1.4 Sơ đồ 1.5 Sơ đồ 1.6 Sơ đồ tổng quát hoạt động trí tuệ giải Tốn 24 Sơ đồ nhân tố việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS 44 Các giai đoạn mức độ hình thành, phát triển TP 45 Bảng: Bảng 4.1 Kết kiểm tra HS sau đợt thực nghiệm thứ 150 Bảng 4.2 Bảng 4.3 Kết kiểm tra số HS sau đợt thực nghiệm thứ hai 152 Kết kiểm tra số HS sau đợt thực nghiệm thứ hai 154 Biểu đồ: Biểu đồ 4.1 Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau TNSP đợt 151 Biểu đồ 4.2 Biểu đồ xếp loại HS sau TNSP đợt 151 Biểu đồ 4.3 Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau kiểm tra số TNSP đợt 153 Biểu đồ 4.4 Biểu đồ xếp loại HS kiểm tra số TNSP đợt 153 Biểu đồ 4.5 Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau kiểm tra số TNSP đợt 154 Biểu đồ 4.6 Biểu đồ xếp loại HS sau kiểm tra số TNSP đợt 154 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Cuộc cách mạng khoa học công nghệ tiếp tục phát triển với bước tiến nhảy vọt kỷ XXI, đưa giới chuyển từ kỷ nguyên cơng nghiệp hóa sang kỷ ngun thơng tin phát triển kinh tế tri thức Khối lượng kiến thức ngày tăng nhanh theo cấp số nhân Bởi vậy, vấn đề quan trọng đặt cho giáo dục khơng dạy cho HS biết mà phải giúp em hiểu cách để biết điều Vì thế, địi hỏi giáo dục phải có thay đổi cách chiếm lĩnh sử dụng tri thức người học theo hướng chủ động, sáng tạo Dạy học trình tổ chức HĐNT cho HS Nhiều nghiên cứu giáo dục giới để giúp HS độc lập giải nhiệm vụ lĩnh hội kiến thức tốn học việc tổ chức HĐNT cho họ, có việc bồi dưỡng TPHĐNT việc làm cần thiết DH toán trường phổ thông Theo I V Titova [127, tr 5], “Việc hình thành TP thích hợp HĐNT trả lời trực tiếp cho câu hỏi quan trọng đặt trước nhà trường phổ thông “Làm để dạy trẻ học cách hợp lý”, TP lĩnh hội trở thành tài sản riêng HS “công cụ” việc lĩnh hội độc lập tài liệu học tập” Tác giả Trần Luận [63] cho rằng, TP cơng việc học tập có mặt hoạt động học tập HS đóng vai trị yếu phát triển trí tuệ em Vì vậy, bồi dưỡng TPHĐNT cho HS việc làm cần thiết giai đoạn nay, giúp người học phát triển lực, góp phần đổi giáo dục phổ thơng theo định hướng “tiếp cận lực” 1.2 G Polya nhà tốn học, nhà sư phạm tiếng, cơng trình ơng cơng trình nghiên cứu Ơristic (heuristic), cách thức nhằm tăng nhanh q trình tìm kiếm giải pháp hợp lý để giải vấn đề thông qua suy nghĩ rút gọn Theo G Polya, nhiệm vụ DH tốn trường phổ thơng dạy cho HS suy nghĩ Ơng cho rằng, điểm việc giảng dạy tốn học phát triển chiến thuật giải vấn đề Mặt khác, theo G Polya giải tốn nói riêng giải vấn đề nói chung nghệ thuật, vậy, địi hỏi người học cần có khả khéo léo, linh hoạt, sáng tạo để đạt hiệu cao Từ đó, tác giả đưa số kinh nghiệm kỹ thuật để chuyển việc giải tốn chưa khơng có dạng chuẩn toán chuẩn Đây cách thức tư linh hoạt, khéo léo, độc giải hiệu vấn đề toán học Như vậy, G Polya không đề cập đến TPHĐNT theo chúng tôi, kinh nghiệm hay ơristic mà tác giả đề xuất giải vấn đề TPHĐNT Đó cơng cụ hữu hiệu giúp HS giải hiệu vấn đề, phát huy tối đa tính tích cực nhận thức người học Vì vậy, cần quan tâm bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trường phổ thông Đúng Shuard khẳng định nghiên cứu chương trình giáo dục quốc gia Anh xứ U-ên “Mối quan tâm lớn TP xuất phát từ cơng trình G Polya giải vấn đề tốn học” [22, tr 403] 1.3 Nội dung chương trình mơn Tốn trường THCS có vị trí quan trọng chương trình tốn phổ thơng Các mạch kiến thức trình bày với mục đích cung cấp cho HS hiểu biết ban đầu về: quan sát dự đốn, phân tích tổng hợp, suy luận logic… Bên cạnh đó, đặc điểm nhận thức HS THCS theo J Piaget [73, tr 419] là: “Suy nghĩ khơng cịn bị giới hạn vào trực quan, cụ thể Trẻ thích suy xét vấn đề mang tính giả thuyết Chúng có khả lập luận hệ thống suy diễn, điều cho phép chúng cân nhắc nhiều giải pháp vấn đề tìm câu trả lời đúng” Do đó, q trình DH mơn Tốn THCS thuận lợi cho việc vận dụng tư tưởng sư phạm G Polya vào bồi dưỡng TPHĐNT cho HS giúp em độc lập chiếm lĩnh kiến thức tài liệu học tập Trong thực tiễn DH mơn Tốn trường THCS, nhiều GV hướng dẫn cho HS biết vận dụng tư tưởng sư phạm G Polya vào việc tư để tìm hiểu, vạch kế hoạch, thực kế hoạch nhìn lại cách giải vấn đề đó; số GV trang bị cho HS TP: Xem xét đối tượng nhiều góc độ khác nhau, TP mơ hình hóa (sơ đồ, biểu đồ ), TP dự đoán, xét trường hợp đặc biệt Tuy nhiên, việc làm cịn rời rạc, chưa phổ biến rộng rãi nên chưa trở thành hoạt động em nhiều tình khác Hơn nữa, nhiều giáo viên toán chưa am hiểu cách đầy đủ TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm G Polya nên việc bồi dưỡng chúng cho HS cịn gặp khơng khó khăn 1.4 Đã có nhiều cơng trình đề cập đến tổ chức HĐNT vận dụng TPHĐNT DH mơn Tốn trường phổ thơng Có nhiều cách nhìn nhận TP, rõ ràng TP rộng mặt khả [22] Tiếp cận quan niệm TP góc nhìn hành động, có Burton Shuard [22]; nhìn nhận GQVĐ TP có Shufelt Smart [22]; quan niệm TP phương tiện có nhà tâm lý học đương đại người Mỹ - Robert Mills Gragne [114]; Nhìn nhận TP cách thức, phương pháp mang tính thủ thuật để có giải pháp hiệu đưa số TP cụ thể GQVĐ nói riêng HĐNT nói chung kết nghiên cứu hầu hết tác giả [22], [61], [63], [66], [116], [119], [124], [126], [127], [128] Trong nghiên tương tự HS khái quát TP GV cần nhấn mạnh: nên bổ sung hình phụ đường kính đường trịn tốn mà kết luận có liên quan đến độ dài bán kính đường trịn hay tốn liên quan đến khoảng cách từ tâm đến hai lần khoảng cách từ tâm đến trung điểm dây Vẽ tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc với - Để chứng minh ∠BAC = 900 ta Ví dụ Cho hai đường trịn ( O; R) ’ ’ cần chứng minh điều gì? ( ∆ABC (O ; R ) tiếp xúc với A Vẽ tiếp tuyến chung BC với B thuộc - Muốn chứng minh ∆ABC vng đường trịn (O) C thuộc đường tròn (O’) Chứng minh ∠BAC = 900 A ta cần cứng minh điều gì? Lời giải: Vẽ GV hướng dẫn thêm: Có cách B M C tiếp tuyến để chứng minh tam giác vuông A) tam giác vuông? O' chung hai đường tròn (Trung tuyến ứng với cạnh A cắt BC nửa cạnh ấy, tam giác có cạnh M Theo đường kính đường trịn ngoại tiếp, tính chất tiếp tuyến cắt ta có MA = có góc 900) - Đối với toán ta nên lựa chọn MB; MA = MC Do AM đường trung tuyến phương pháp nào? O (Chứng minh ∠ABC + ∠ACB= 90°; ∠BAO + ∠CAO=' 90°; Hay AM = A BC nên tam giác ABC vuông 900 chứng minh trung tuyến ứng với cạnh A hay ∠BAC = BC nửa cạnh BC) - Để chứng minh trung tuyến ứng với cạnh BC nửa cạnh BC ta cần vẽ thêm yếu tố phụ nào? (Vẽ tiếp tuyến chung AM hai đường tròn) - Để chứng minh BC//DE ta cần chứng tỏ điều gì? (Chứng minh góc đồng vị góc so le nhau,…) - Chúng ta chứng minh hai góc nhau? ( ∠AED = ∠ACB ) Ví dụ Cho hai đường trịn (O;R) (O’; r) (R > r) tiếp xúc A Các dây AB, x AC đường B tròn (O) cắt D đường tròn A (O’) O' O điểm thứ hai E D x' C E Chứng minh BC // DE Sau HS vẽ tiếp tuyến chung A thể hình vẽ tốn dễ dàng chứng minh GV: Với tốn có cho hai đường tròn tiếp xúc, vẽ tiếp tuyến chung hai đường trịn làm xuất góc tạo tia tiếp tuyến dây nhờ mối liên hệ góc nội tiếp góc tạo tai tiếp tuyến dây giúp ta giải toán (tiếp tuyến chung yếu tố liên kết hai đường tròn với nhau) Vẽ tiếp tuyến đường tròn (song song với đoạn thẳng) cần chứng minh đường kính vng góc với đoạn thẳng Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BD CE Chứng minh OA ⊥ DE GV yêu cầu HS tự tìm sở Lời giải: Vẽ tiếp tuyến xy đường tròn để vẽ yếu tố phụ Nếu HS chưa (O) A, ta có OA ⊥ xy (1) tìm GV gợi ý: ∠yAC = ∠ABC ( góc nội tiếp góc tạo GV: Trong đường trịn có yếu tố tia tiếp tuyến với dây cung chắn vng góc với bán kính? cung AC đường trịn) HS: Tiếp tuyến vng góc với Lại có ∠BDC = ∠BEC = 900 bán kính tiếp điểm nên BCDE tứ giác nội tiếp, cho ta GV: Điều sở để giúp ∠ADE = ∠ABC tìm yếu tố phụ cần vẽ Nên ∠yAC = ∠ADE ⇒ xy // DE (2) Từ (1) (2) suy OA ⊥ DE y A x D E O B C Ví dụ Cho đường trịn (O) đường kính GV: Để c/m ∠MAE = ∠DAB ta có AB Trên tiếp tuyến đường tròn (O) thể c/m trực tiếp không ? Nếu không A lấy điểm M Vẽ cát tuyến MCD (C nằm ta chứng minh nào? M D) Gọi E giao điểm BC HS: Chứng minh hai góc OM Chứng minh ∠MAE = góc thứ ba ∠DAB GV: ∠MAE góc nào? Lời giải Nếu HS khơng tự nghĩ Vẽ tiếp tuyến MN đường trịn (O), (N GV gợi ý : thuộc (O)) Tứ giác AMNO GV: Ta có MA tiếp tuyến, E ∠MAO + ∠MNO = 900 + 90= 1800 thuộc MO, điều giúp ta nghĩ tới E yếu tố có vai trị tương tự MA? có N M C HS: Tiếp tuyến thứ hai kẻ từ M GV: Đó yếu tố phụ mà D A cần vẽ GV hướng dẫn HS vận dụng thủ B O pháp tương tự việc tìm cở sở để vẽ yếu tố phụ Do tứ giác AMNO nội tiếp ⇒ ∠NME = ∠NAO Mà ∠NCE = ∠NAB (Hai góc nội tiếp chắn cung BN) Do ∠NME = ∠NCE , suy tứ giác MNEC nội tiếp ⇒ ∠DCB = ∠MNE  MAE có MN=MA; ∠NME = ∠AME (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); ME chung ⇒  MNE =  MAE (c.g.c) ⇒ ∠MNE = ∠MAE Mặt khác : ∠DCB = ∠DAB ( Hai góc nội tiếp chắn cung BD) Vậy ∠MAE = ∠DAB GV nhấn mạnh: với tốn có kết luận đường kính (bán kính) vng góc với đường thẳng (đoạn thẳng) (khơng phải dây đường tròn) nên vẽ tiếp tuyến đường trịn song song với đường thẳng để sử dụng tính chất tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm tính chất đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Vẽ dây chung đường nối tâm hai đường trịn cắt Ví dụ Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B Qua A vẽ cát tuyến EAF E thuộc đường tròn (O1) F thuộc đường tròn (O2) Chứng minh đường trung trực EF qua điểm cố định GV: Thông thường điểm cố định Lời giải: Vẽ dây chung AB đường phải nằm liên quan đến yếu kính AO1C, AO2D tố cố định Ta có ∠ABC = ∠ABD = 900 ba điểm GV: Hãy phát yếu tố cố B, C, D thẳng hàng CD cố định, định ∠AEC = 900 ; ∠AFD = 900 , suy HS: AB dây chung cố định EC// FD GV: AB cố định đường vng F Nên tứ giác A góc với AB B có cố định CEFD hình E khơng? thang vng, O2 O1 GV: Từ ta nghĩ đến việc vẽ đường C D I B thêm yếu tố phụ nào? trung trực HS: Dây AB đường kính đoạn EF qua trung điểm I CD nên I AO1C, AO2D điểm cố định GV: Hai đường trịn cắt đường nối tâm có tính chất gì? HS: Đường nối tâm trung trực dây chung GV: Điều gợi cho vẽ thêm yếu tố phụ nào? HS: Vẽ thêm dây chung AB để có O1O2 trung trực AB Ví dụ 10 Cho hai đường trịn (O1) (O2) cắt A B Vẽ hình bình hành O1BO2C Chứng minh AC // O1O2 Lời giải: C A Vì hai đường trịn (O1) I O1 O2 (O2) cắt A B B nên O1O2 trung trực AB ⇒ O1O2 ⊥ AB (1) Gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành O1BO2C IB = IC Vì I thuộc O1O2 nên IA = IB ; suy IA =IB =IC hay tam giác BAC vuông A ⇒ AC ⊥ AB (2) Từ (1) (2) ta có: AC // O1O2 Ví dụ 11 Cho hình vng ABCD Vẽ đường trịn (O) đường kính AB đường tròn (D; DC) chúng cắt điểm thứ hai E Tia BE cắt DC M Chứng minh M trung điểm DC GV yêu cầu nhận đặc điểm HD giải: tốn hai đường trịn cắt Nối A với E, D với nhau, từ em biết cách vẽ O Ta có 90° thêm hình phụ dây chung AE ∠AEB = ⇒ BE ⊥ AE đường nối tâm OD Ta lại có: (tính OD ⊥ AE chất dây chung) O A B E D C M Suy BE // OD Mặt khác OB//DM nên tứ giác OBMD hình MD = OB bình hành nên: 1 = = AB CD 2 Do M trung điểm CD GV: Đối với hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm đường trung trực dây chung, nên để làm xuất yếu tố liên quan đến hai đường tròn ta thường vẽ thêm yếu tố phụ dây chung hai đường tròn đường nối tâm hai đường trịn Dây chung đóng vai trị yếu tố trung gian kết nối hai đường tròn Vẽ bán kính qua tiếp điểm có tiếp tuyến GV gợi ý để HS biết vẽ thêm bán kính qua tiếp điểm N câu a) trở nên dễ Nếu HS thể góc hình vẽ em dễ dàng làm câu b) Ví dụ 12 Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính AB, CD vng góc với Trên cung nhỏ BD lấy điểm N, CN cắt AB M Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N điểm P Chứng minh rằng: a) OMNP tứ giác nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình bình hành C Lời giải: a) Ta có ∠ONP = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), lại có O M B A 1 N ∠OMP = 90 (giả P D thiết) Nên tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn đường kính OP (1) b) Do OC // MP (⊥ AB) ⇒ ∠C = ∠M (so le trong) mà ∠C = ∠N1 (vì ∆CON cân O) nên ∠N1 = ∠M , lại có ∠O1 = ∠M (do (1)), Suy ∠N1 = ∠O1 ⇒ CM // OP Mặt khác OC // MP nên tứ giác CMPO hình bình hành Qua số tốn khác có giả thiết tiếp tuyến với đường trịn, HS thấy hình phụ phải bổ sung đoạn thẳng nối tâm với tiếp điểm Từ đó, họ hình thành khắc sâu TP bổ sung hình phụ đoạn thẳng nối tâm với tiếp điểm để giải toán dạng Khi có hai tiếp tuyến đường trịn cắt nên vẽ đoạn nối giao điểm với tâm, dây nối hai tiếp điểm GV hướng dẫn, gợi ý qua câu hỏi Ví dụ 13 Từ điểm A nằm đường giúp HS biết vẽ đường phụ đoạn nối giao điểm tiếp tuyến với tâm SO dây nối hai tiếp điểm AB từ dễ dàng giải tốn nhưu bên Nếu HS khơng biết kẻ thêm số đường tốn khó HS biết kẻ thêm tốn trở nên dễ dàng tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ACD với đường tròn (A, B, C, D ∈ (O)) Chứng minh rằng: a) SAIB tứ giác nội tiếp b) IS tia phân giác góc AIB Lời giải: A C D I S O B b) Do I trung điểm dây CD ⇒ OI ⊥ CD hay ∠SIO = 900 , lại có ∠SAO = ∠SBO = 90° (tính chất tiếp tuyến) suy A, I, B thuộc đường tròn đường kính SO, tứ giác SAIO nội tiếp đường trịn đường kính SO (1) a) Từ (`1) ⇒ ∠I1 =∠A1 , ∠I = ∠B1 mà ∠A1 = ∠B1 (= Sđ  AB /2) nên ∠I1 =∠I Vậy IS tia phân giác góc AIB Ví dụ có tứ giác nội tiếp nên vẽ hai đường chéo để vận dụng cặp góc Củng cố: GV: - Để giải toán đường trịn, ta có TP vẽ hình phụ nào? Các dạng tốn vận dụng TP đó? - Ngồi ra, tốn có đa giác (tam giác, tứ giác) nội tiếp thường vẽ thêm hình phụ đường tròn ngoại tiếp để sử dụng tính chất liên quan Hướng dẫn học nhà - Ôn lại thủ pháp vẽ yếu tố phụ để giải tốn đường trịn - Làm tập sau: Bài Cho đường tròn (O;R), dây AB tiếp tuyến Ax Vẽ BH ⊥ Ax Chứng AB không đổi BH Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Vẽ bán kính OC ⊥ AB từ C vẽ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn Vẽ đường tròn (K) tiếp xúc với AB tiếp xúc với đường trịn (O) Chứng minh tâm K ln cách điểm O đường thẳng xy Bài Cho đường tròn (O; R) điểm K bên đường trịn cho OK = r Vẽ đường tròn (K; r); vẽ dây AB đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (K) M Xác định vị trí dây AB để tổng S = MA2 +MB2 có giá trị lớn Tính giá trị lớn Bài Cho đường trịn (O;1) Lấy điểm A cố định đường tròn Vẽ tam giác MAB vng M, AB dây đường trịn (O) Tìm giá trị lớn OM Bài Cho hai đường tròn ( O; R) (O’; R’) tiếp xúc A Điểm B thuộc minh tỉ số (O) điểm C thuộc (O’) cho ∠BAC = 900 Gọi H hình chiếu A BC Xác định vị trí B C để AH lớn Phụ lục 5: ĐỀ KIỂM TRA SAU CÁC ĐỢT THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ Đề mơn Tốn lớp (Thời gian 60 phút) Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với H trực tâm tam giác Các đường thẳng AH, BH, CH cắt BC, AC, AB A’, B’, C’ Chứng minh rằng: a) HA ' S BHC = AA' S ABC b) HA ' HB ' HC ' + + = AA ' BB ' CC ' c) Tính giá trị biểu thức HA HB HC + + AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' + + HA ' HB ' HC ' e) Nếu H không trực tâm tam giác ABC kết câu b) cịn khơng? d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu (2,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: A = x − y + 12 x + y + Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình x − 2000 x − 1993 x − 1986 + + −6 = 11 29 b) Hãy phát biểu giải toán trường hợp tương tự, trường hợp tổng quát? Đáp án biểu điểm: Nội dung Câu a) Ta có S BHC = Điểm HA BC , 0,5 đ S ABC = AA BC , (5,0đ) , , BC HA S BHC HA ⇒ = = , S ABC AA , BC AA , S BHC HA Vậy (1) , = S ABC AA , 0,5 đ , S AHC HC S HAB b) Tương tự câu a ta có: (2) ; , = , = SCAB S ABC CC BB HB Cộng vế với vế, ta được: (3) 0,5 đ , HA AA , + c) Ta có HB BB , + , HC CC , = , S HBC + S HAC + S HBA S ABC = =1 S ABC S ABC AA − HA , HA = , AA HB , , = 1− HA 0,5 đ , , AA AA , , , HA HC HA HB HC 3− ⇒ , + , + , = , − , − , AA BB CC AA BB CC , , , AA BB CC d) Đặt , = x; , = y ; , = z HB HC HA Bài tốn đưa về: Tìm giá trị nhỏ biểu thức x + y + z 1 biết + + = x y z 1 9 Ta có: + + ≥ ⇒1≥ ⇒ x+ y+z ≥9 x y z x+ y+z x+ y+z Dấu xẩy ⇔ x = y = z ⇔ AA HA , , = BB , , HB , HA = HC , HB , ⇔ AA , HB , , BB , HC + HA AA , HC , , = HB BB , , = HC CC , 0,5 đ 0,5 đ , , = CC , HA ⇒ , = , = , = AA BB CC Suy ra, H trọng tâm ∆ABC Mà H trực tâm ∆ABC Do ∆ABC , , , AA BB CC Vậy GTNN , + , + , HA HB HC Dấu xẩy ⇔ ∆ABC e) Tương tự chứng minh câu b) ta thấy H điểm nằm Mặt khác: + , CC 0,5 đ miền tam giác ABC H không trực tâm kết 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ câu b) (2,0đ) = = ( 4x + 12 x + ) − ( y − y + 1) = ( x + y + )( x − y + ) Giải phương trình (4,0đ) 0,5 đ Ta có: A = x − y + 12 x + y + ( x + 3) − ( y − 1) 2 x − 2000 x − 1993 x − 1986 + + −6 = (*) 11 29 Ta có:  x − 2000   x − 1993   x − 1986  (*)   − 3 +  − 2 +  − 1 =    11   29  1 1  ⇔x= 2015 ⇔ x − 2015 = ⇔ ( x − 2015 )  + +  =  11 29  0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ 1,0đ 0,5 đ HS phát biểu giải toán tương tự thay số số thực khác thỏa mãn điều kiện tương tự tốn thay u cầu giải phương trình giải bất phương trình Từ em phát biểu tốn tổng qt: Giải phương trình bất phương trình đưa dạng: 0,5 đ kx + bn kx + b1 kx + b2 + + + +m= Trong đó: a1 a2 an b1 + m1 a1 =+ b2 m2 a = =+ bn mn a n , m1 + m2 + + mn = m Bằng cách tổ chức lại liệu vế trái, sau: 0,5 đ  kx + bn   kx + b1   kx + b2  = + m1  +  + m2  + +  + mn  VT   a1   a2   an  Từ đó, ta có lời giải toán Lưu ý : Mọi cách giải khác đúng, cho điểm tối đa Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ hai Đề kiểm tra số 1: Đại số lớp (Thời gian 60 phút) Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A1 = −2 x + x + b) A2 = x ( x − 3)( x − )( − x ) Hãy phát biểu tốn dạng tìm giá trị nhỏ nhất? Sau phát biểu giải tốn tổng qt của? Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3x − x + a) B1 = x − 2x + Hãy giải toán nhiều cách? b) B2 = x − x + + Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: = P x2 + x + 2 Hãy phát biểu giải toán tương tự? Đáp án biểu điểm: Câu Nội dung 1 9   Ta có: A1 = −2  x − x −  = −2  x − x + −  2 2   9  = −2 ( x − x + ) −  = − ( x − 2) + 2  Điểm 0,5 đ 0,5 đ Do ( x − ) ≥ ⇔ −2 ( x − ) ≤ (4,0đ) Suy ra: A1 =−2 ( x − ) + ≤ 9, dấu “=” xẩy ( x − 2) = ⇔ x = 0,5 đ 0,5 đ Vậy max A1 = x = b) Ta có: A2 =  x ( − x )  ( x − 3)( x − )  = ( x − x )( x − x + 12 ) = − ( x − x )( x − x + 12 ) Đặt y = x − x + Khi đó: A2 = − ( y − )( y + ) = − y + 36 Do y ≥ nên A2 ≤ 36 Suy ra: A2 đạt giá trị lớn 36 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ y = , suy x − x + = 0⇔x= x = a) Ta có: B1 = ( x − x + 1) − ( x − 1) + ( x − 1) ( x − 1) − ( x − 1) + = = + 3− 2 x − ( x − 1) ( x − 1) 2     − 1 + =  + + 2=   − x −1  x −1   x −1  0,5 đ 0,5 đ 2 (3,0đ)   Vì  − 1 ≥ nên B2 ≥ Dấu “=” xẩy  x −1  0,5 đ − = ⇔ x − = ⇔ x = x −1 Vậy minB1 = x = b) Ta có: 0,5 đ 1  B2 = ( x + ) − x + + = ( x + ) − x + +  + 4  1  =  x+5 −  + 2  0,5 đ 1  Ta có  x + −  ≥ Dấu “=” xảy 2  0,5 đ 19 19 x + = ⇔ x =− Vậy: MinB2 = ⇔ x = − 4 b) Ta có: C2 = x + + −2 x +2 0,5 đ Đặt = t x + , điều kiện t ≥ Ta có C2 = t + − t Xét biểu thức D2 = t + , với t ≥ ta có t (3,0đ) D2 = 0,5 đ t 3x t 3.2 + + ≥ + = t 4 t 0,5 đ t = 3t nhỏ t nhỏ t 0,5 đ ⇔t= Suy ra: D2 nhỏ t = 2 Dấu “=” xẩy Khi đó: x + = ⇔ x = 5 Vậy: MinD2 = ⇔ x = Suy ra: MinC2 = − = ⇔ x = 2 ) b) Học sinh phát biểu giải toán tương tự thay 1,0đ số số thực dương Lưu ý : Mọi cách giải khác đúng, cho điểm tối đa Đề kiểm tra số 2: Hình học lớp (thời gian 60 phút) Câu (2,0 điểm) Trong hình bên, có băng giấy hình chữ nhật che khuất phần đường tròn (O) Cho biết AB = 1cm; BC = 4cm; MN = 2cm Tính độ dài đoạn thẳng NP (hình bên) Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nho ̣n nô ̣i tiế p đường tròn (O; R) Hai đường cao của tam giác ABC là BD và CE Chứng minh rằ ng: a) Tứ giác BCDE nô ̣i tiế p đường tròn b) OA ⊥ ED P N M Q K A B C H D O Câu (4,0 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiế p xúc ngoài ta ̣i A Vẽ các cát tuyế n chung BAC, DAE (trong đó B, D ∈ (O); C , E ∈ (O ') ) Chứng minh: a) ∠ABD + ∠ADB = ∠AEC + ∠ACE b) BD // CE c) Hãy phát biểu chứng minh toán trường hợp hai đường tròn ( O; R ) và ( O '; R ') tiế p xúc với ta ̣i A Đáp án biểu điểm: Câu Nội dung Vẽ OK ⊥ NP, cắt BC H M Điểm P N A Ta có: NP // BC (các cạnh đối hình chữ nhật) Nên (2,0đ) OH ⊥ BC , BH = HC 0,5 đ K Suy NK = KP Q D C H B 0,5 đ O 0,5 đ Mà BC = 4cm nên BH = 2cm Suy AH = AB + BH = 3cm Mặt khác: AMKH hình chữ nhật (tứ giác có góc vng), nên AH = MK, MK = 3cm Suy NK = MK - MN = cm 0,5 đ Do đó: NP = 2.NK = (cm) a) Vì: EC ⊥ AB ( gt ) ⇒ ∠BEC =90 A x 0,5 đ BD ⊥ AC ( gt ) ⇒ ∠BDC =900 Do đó BEDC nô ̣i tiế p đường tròn (4,0đ) 0,5 đ D E 1,0 đ O đường kıń h BC C B b) Kẻ tia tiế p tuyế n Ax của (O) hıǹ h ve:̃ Ta có: ∠xAB = ∠ACB (góc nội tiếp góc tiếp tuyến với 0,5 đ 0,5 đ dây đường tròn (O) chắn cung AB) Mà BEDC là tứ giác nô ̣i tiế p nên ∠ACB = ∠AED (cùng bù 0,5 đ với góc BED) Suy ∠xAB = ∠AED nên Ax // ED 0,5 đ a) Ta có ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB =1800 0,5 đ Và ∠EAC + ∠AEC + ∠ACE =180 Mà ∠BAD = ∠EAC ( đố i đı̉nh) Suy ∠ABD + ∠ADB = ∠AEC + ∠ACE b) Vẽ tiế p tuyế n chung xAy của (O) và (O’) Xét (O) ta có: ∠xAB = ∠ADB Xét (O’) ta có: ∠yAC = ∠AEC (4,0đ) Mà ∠xAB = ∠yAC (đố i đı̉nh) ⇒ ∠ABD = ∠AEC Do đó: BD // EC 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c) HS biết phát biểu chứng minh toán: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiế p xúc với ta ̣i A Vẽ các cát tuyế n chung ABC, ADE (trong đó B 0,5 đ x E 0,5 đ O O' A C D B, D ∈ (O); C , E ∈ (O ') ) Chứng minh: i) ∠ABD + ∠ADB = ∠AEC + ∠ACE ii) BD // CE Lưu ý : Mọi cách giải khác đúng, cho điểm tối đa y 1,0 đ Phụ lục 6: KẾT QUẢ KIỂM TRA SAU CÁC ĐỢT THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Bảng thống kê kết kiểm tra HS lớp TN lớp ĐC sau TNSP Số HS đạt điểm tương ứng Điểm kiểm tra Bài KT Sau TN đợt Bài KT số TN đợt Bài KT số đợt TN1 TN2 ĐC1 ĐC2 TN1 TN2 ĐC1 ĐC2 TN1 TN2 ĐC1 ĐC2 (8D) (8E) (8C) (8G) (9D) (9E) (9C) (9G) (9D) (9E) (9C) (9G) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 2 3 1 1 2 3 1 4 5 6 10 10 10 12 10 8 6 6 6 11 10 2 10 1 2 1 3 1 Tổng số HS 37 35 37 37 37 35 37 37 37 35 37 37 Điểm TB 6,38 6,29 5,76 5,81 6,78 6,74 5,81 5,84 7,14 7,09 5,86 5,92 ... động nhận thức theo tư tưởng sư phạm G Polya dạy học mơn Tốn trường trung học sở 28 1.5.1 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức thường sử dụng học sinh theo tư tưởng sư phạm G Polya dạy học môn. .. VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYN TH THANH TM BồI DƯỡNG CáC THủ PHáP HOạT ĐộNG NHậN THứC THEO TƯ TƯởNG SƯ PHạM CủA G POLYA CHO HọC SINH TRONG DạY HọC MÔN TOáN TRƯờNG TRUNG HọC CƠ Sở Chuyờn ngnh:... 64 Chương MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG CÁC THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G POLYA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 66 3.1