Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn cùng tham khảo đáp án đề thi học kỳ I năm học 2018-2019 môn Phương pháp toán cho Vật lý 1 của trường ĐH Khoa học Tự nhiên để làm quen với cấu trúc và cách làm bài. Cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.
Đáp án: PHƯƠNG PHÁP TOÁN CHO VẬT LÝ Mã học phần: PHY2201 Số tín chỉ: Đề số: Câu I.(3đ) Tích phân phương trình vi phân sau: y + 4y = 4t2 + 10e−t , với điều kiện ban đầu y(0) = y (0) = Đáp án: Nghiệm tổng quát: y(t) = c1 cos (2t) + c2 sin (2t) + t2 − + 2e−t Áp dụng điều kiện ban đầu, nghiệm toán: y(t) = − cos (2t) + sin (2t) + t2 − + 2e−t 2 Câu II.(2đ) Khai triển hàm sau thành chuỗi Laurent theo luỹ thừa z f (z) = (z − 1)(z − 2) 1) miền |z | < 1, 1 1 = − = − z (z − 1)(z − 2) (z − 2) (z − 1) (1 − z) − z z = + z + z + + z n + − 1+ + 2 = + z + z + + − n+1 z n + 2 + + z n + 2) miền |z | > 1 1 = − = (z − 1)(z − 2) (z − 2) (z − 1) z1− z − z n z = + + + + 2n+1 − n+2 + z z z z + + z 1 z1− = 1+ + z z + − z 1+ + z z + + z n + Câu III.(1,5đ) Hãy hàm số f (z) = |z|2 giải tích z0 = mà khơng giải tích điểm khác Đáp án: Ta có, f (z) = |z|2 = u(x, y) + iv(x, y), u(x, y) = x2 + y and v(x, y) = Đạo hàm bậc u v liên tục nơi Nhưng, ux = 2x vy = 0, uy = 2y −vx = x = y = Do đó, hàm số f (z) = |z|2 giải tích z0 = Câu IV.(3,5đ) Tính tích phân sau: 1) γ ez + z dz, z−2 hai trường hợp: a) γ = {z : |z| = 1}; b) γ = {z : |z| = 3} Đáp án: a) ez +z |z|=1 z−2 dz = 0, ∈ / {z : |z| = 1} b) ez +z |z|=3 z−2 dz = 2πi(e2 + 2), ∈ {z : |z| = 3} điểm cực đơn ∞ 2) I = t sin (αt) dt = 1+t Hàm biến phức f (z) = ∞ −∞ t sin (αt) dt = Im 1+t ∞ −∞ teiαt dt + t2 z có tính chất sau: + z2 (i) hàm giải tích nửa mặt phẳng phức trừ điểm z = i, (ii) |f (z)| ∼ z −1 → |z| → ∞ nửa mặt phẳng phía trục thực Do α > 0, điều kiện bổ đề Jordan thoả mãn ta xem xét tích phân J= C zeiαz dz + z2 đó, C đường trịn nằm nửa mặt phẳng phía trục thực có R → ∞ Bổ đề Jordan cho ta tích phân dọc theo nửa đường tròn Γ tiến tới R → ∞ Định lý thặng dư cho ta, ∞ teiαt zeiαz ie−α dt = 2πi Res = 2πi z=i + z 2i −∞ + t Lấy phần ảo kết ta nhận ∞ −∞ t sin (αt) e−α dt = π + t2 kết tích phân là, I= πe−α πe−α = 2 Hà Nội, Ngày tháng năm 2018 Người làm đáp án ... 2) I = t sin (αt) dt = 1+ t Hàm biến phức f (z) = ∞ −∞ t sin (αt) dt = Im 1+ t ∞ −∞ teiαt dt + t2 z có tính chất sau: + z2 (i) hàm gi? ?i tích nửa mặt phẳng phức trừ ? ?i? ??m z = i, (ii) |f (z)| ∼ z ? ?1. .. t? ?i R → ∞ Định lý thặng dư cho ta, ∞ teiαt zeiαz ie−α dt = 2? ?i Res = 2? ?i z =i + z 2i −∞ + t Lấy phần ảo kết ta nhận ∞ −∞ t sin (αt) e−α dt = π + t2 kết tích phân là, I= πe−α πe−α = 2 Hà N? ?i, ... sau: 1) γ ez + z dz, z−2 hai trường hợp: a) γ = {z : |z| = 1} ; b) γ = {z : |z| = 3} Đáp án: a) ez +z |z| =1 z−2 dz = 0, ∈ / {z : |z| = 1} b) ez +z |z|=3 z−2 dz = 2? ?i( e2 + 2), ∈ {z : |z| = 3} ? ?i? ??m