Đối xứng động lực SO(10,2) trong bài toán MICZ-Kepler chín chiều

Trong các công trình trước, các tác giả đã xây dựng bài toán MICZ-Kepler 9 chiều như là bài toán Coulomb 9 chiều mở rộng với sự có mặt của đơn cực từ SO(8). Sau khi sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng thì bài toán trên trở thành bài toán dao động tử điều hòa đẳng hướng trong không gian 16 chiều. Điều này gợi ý cho ta về việc xây dựng nhóm đối xứng động lực cho trường hợp không gian 9 chiều tương tự như trường hợp 5 chiều và 3 chiều. Trong công trình này, nhóm tác giả sẽ chỉ ra đó chính là nhóm SO(10,2) đồng thời xây dựng dạng tường minh của nhóm này.

Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH ĐỐI XỨNG ĐỘNG LỰC SO(10,2) TRONG BÀI TỐN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU Trương Trang Cát Tường (SV năm 4, Khoa Vật lý) GVHD: PGS-TSKH Lê Văn Hồng Mở đầu Bài tốn MICZ-Kepler chiều nghiên cứu từ lâu [1], [2], [3]; nhóm đối xứng động lực tìm SO(4,2), nhóm đối xứng động lực toán Coulomb chiều [2] Như ta biết, tốn MICZ-Kepler tốn Coulomb với có mặt đơn cực từ Dirac Việc hai tốn có chung nhóm đối xứng động lực SO(4,2) cho ta thấy xuất đơn cực từ khơng phá vỡ tính đối xứng tốn Coulomb chiều Điều tương đối thú vị mở rộng tốn MICZ-Kepler cho khơng gian nhiều chiều [4], [5], [7], [8], [10], việc quan trọng xét tính đối xứng tốn Do việc xây dựng nhóm đối xứng động lực khơng phải việc dễ dàng, ta thấy có thêm trường hợp toán MICZKepler chiều xây dựng nhóm đối xứng động lực SO(6,2) [4], [7], [8] Với trường hợp chiều tốn MICZ-Kepler có mối quan hệ trực tiếp với dao động tử điều hịa chiều Chính dựa vào mối quan hệ mà nhóm đối xứng động lực cho tốn xây dựng Trong cơng trình [5], [6], tác giả xây dựng toán MICZ-Kepler chiều toán Coulomb chiều mở rộng với có mặt đơn cực từ SO(8) Sau sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng toán trở thành toán dao động tử điều hịa đẳng hướng khơng gian 16 chiều Điều gợi ý cho ta việc xây dựng nhóm đối xứng động lực cho trường hợp không gian chiều tương tự trường hợp chiều chiều Trong cơng trình này, chúng tơi nhóm SO(10,2) đồng thời xây dựng dạng tường minh nhóm Bài tốn MICZ-Kepler chiều Phương trình Hamilton tốn MICZ-Kepler chiều [6] viết sau: Z⎫ ⎧1 ⎨ πˆ λ πˆ λ + Qˆ jk Qˆ jk − ⎬ Ψ (r ) = E Ψ (r ) r⎭ 8r ⎩2 (1) Z điện tích hạt nhân tương tác Coulomb; E lượng hệ; hệ đơn vị nguyên tử sử dụng m = e = = = Trong phương trình (1), tốn tử xung lượng định nghĩa: πˆ j = −i 242 ∂ − Ak (r) Qˆ kj , ∂x j πˆ9 = −i ∂ ∂x9 (2) Năm học 2010 – 2011 với Qˆ jk ( j , k = 1, 2, ,8) vi tử đại số SO(8), thỏa mãn hệ thức giao hoán: ( ⎡Qˆ jk ; Qˆ lm ⎤ = i δ mj Qˆ kl − δ kl Qˆ mj + δ jl Qˆ mk − δ mk Qˆ jl ⎣ ⎦ ) (3) Trong công thức từ sau, khơng có giải thích thêm lặp lại số theo mẫu tự Latin ( j ) có nghĩa lấy tổng theo tồn miền thay đổi số từ đến 8, lặp lại số mẫu tự Hy-lạp (λ ) nghĩa lấy tổng theo số từ đến Tương tác đơn cực đưa vào qua mơ hình SO(8) thơng qua tốn tử Qˆ jk véc-tơ, biểu diễn qua đại lượng: Ak ( r ) = xk r ( r + x9 ) (4) Từ (4) cơng trình [5] xây dựng bảy vector, tương ứng với đơn cực không gian chiều Từ trở ta gọi đơn cực SO(8) Từ tính chất phản đối xứng Qˆ jk = −Qˆ kj ta có tất 28 vi tử khác Ngồi cơng thức tốn tử xung lượng (2) có tốn tử Qˆ jk tham gia Chính vậy, hàm sóng phương trình (1) mơ tả chuyển động đơn cực SO(8) trường Coulomb ngồi phần chiều khơng gian hình thể, cịn phần khơng gian chiều ứng với nhóm SO(8): Ω = R ( xλ ) ⊗ S Trong phần tính tốn sau ta dùng biểu diễn giải tích Qˆ jk (φ , α ) đại số SO(8) qua tham số góc (φ1 , φ2 , φ3 , α1 , α , α , α ) đưa [5], [6] Khi hàm sóng ký hiệu với biến số sau: Ψ (r, φ , α ) Mối liên hệ với dao động tử điều hòa Xét phép biến đổi Hurwitz mở rộng sau [5]: xk = 2(Γ k ) st us vt x9 = us us − vs vs (5) chuyển từ không gian chiều x1 , x2 , , x9 sang không gian 16 chiều u1 , u2 , , u8 , v1 , v2 , , v8 Ở công thức (5) ta sử dụng ma trận Γ k , định nghĩa [5] thông qua ma trận Dirac Ngoài ra, [5] xây dựng phép biến đổi ngược (5) Sử dụng phép biến đổi (5) biểu thức cụ thể (φ1 , φ2 , φ3 , α1 , α , α , α ) đưa [5] ta đưa phương trình (1) dạng sau: ∂2 ⎪⎧ ⎛ ∂ + ⎨− ⎜ ⎩⎪ ⎝ ∂us ∂us ∂vs ∂vs ⎫⎪ ⎞ ⎟ + ω (us us + vs vs ) ⎬ Ψ (u, v) = Z Ψ (u, v) , ⎠ ⎭⎪ (6) 243 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH ω = −2E Ở đây, ta xét phương trình (1) với trạng thái liên kết E < tần số góc ω số thực, phương trình (6) mơ tả dao động tử điều hịa 16 chiều Chú ý phương trình (1) phương trình (6), E Z thay đổi vai trò cho Tuy nhiên kết giải phương trình thu hàm sóng khơng thay đổi, để nghiên cứu đối xứng (1) ta bắt đầu xây dựng nhóm đối xứng cho (6) Nhóm đối xứng động lực SO (10,2) Với dao động tử điều hòa, biểu diễn đại số thơng qua tốn tử sinh hủy thuận tiện cho tính tốn Ta định nghĩa toán tử: ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞ + aˆs = ω ⎜ us + ⎟ , aˆs = ω ⎜ us − ⎟, 2ω ∂us ⎠ 2ω ∂us ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ˆ+ ∂ ⎞ bˆs = ω ⎜ vs + ⎟ , bs = ω ⎜ vs − ⎟ 2ω ∂vs ⎠ 2ω ∂vs ⎠ ⎝ ⎝ (7) Các toán tử thỏa mãn giao hoán tử sau: ⎡⎣ aˆs , aˆt + ⎤⎦ = δ st , ⎡bˆs , bˆt + ⎤ = δ st ⎣ ⎦ + + + ˆ+ ˆ ˆ ˆ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ [ aˆs , aˆt ] = ⎡⎣ aˆs , aˆt ⎤⎦ = ⎣bs , bt ⎦ = ⎣bs , bt ⎦ = ˆ Λ cd (8) Từ toán tử dạng bậc hai theo toán tử sinh hủy (7) ta xây dựng toán tử phản đối xứng với số thay đổi c, d = 1, 2, ,12 : ˆ = −Λ ˆ Λ cd dc (9) Ta xây dựng toán tử sau: ˆ = − i ⎡( Γ Γ T ) aˆ + aˆ + ( Γ T Γ ) bˆ + bˆ ⎤ , Λ jk j k t j k st s t ⎦ st s ⎣ ( ( ) ) ( ( ˆ = i ( Γ ) aˆ + bˆ − bˆ + aˆ , Λ j9 j st s t t s ˆ = i ( Γ ) aˆ + bˆ + − aˆ bˆ , Λ j11 j st s t s t + ˆ Λ aˆ s aˆ s − bˆs + bˆs , 10,9 = ( ) ) ˆ = ( Γ ) aˆ + bˆ + bˆ + aˆ Λ 10 j j st s t t s ˆ = ( Γ ) aˆ + bˆ + + aˆ bˆ Λ j st s t s t 12 j ˆ = i aˆ + aˆ + − aˆ aˆ − bˆ + bˆ + + bˆ bˆ Λ s s s s s s s s 9,11 ) ( ( ( ( 244 ) ) ) + + ˆ Λ aˆ s aˆ s + aˆs aˆs − bˆs + bˆs + − bˆs bˆs , 12,9 = + + ˆ Λ aˆ s aˆ s + aˆs aˆs + bˆs + bˆs + + bˆs bˆs , 11,10 = ˆ Λ i aˆ s + aˆ s + − aˆs aˆs + bˆs + bˆs + − bˆs bˆs , 10,12 = + ˆ Λ aˆ s aˆ s + bˆs + bˆs + 11,12 = ( (10) ) ) (11) Năm học 2010 – 2011 tốn tử cịn lại suy từ (10) (11) tính chất phản đối xứng (9) Từ cơng thức giao hoán tử (8) ta dễ dàng kiểm tra toán tử (10) (11) thỏa mãn giao hoán tử sau: ( ˆ ˆ ⎤ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎡Λ ⎣ ab , Λ cd ⎦ = i gbc Λ da − g da Λ bc + g db Λ ac − g ac Λ db ) (12) với g ab metric: ( g ab ) = diag (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, −1, −1) Như toán tử Λˆ ab vi tử nhóm SO(10,2) , tn theo giao hoán tử (12) Ta viết biểu thức vi tử nhóm SO(10,2) tọa độ khơng gian 16 chiều (u , v) : ˆ = i ⎡( Γ Γ T ) u ∂ + ( Γ T Γ ) v ∂ ⎤ , Λ ⎢ k j st s ⎥ jk k j st s ∂ut ∂vt ⎦ ⎣ ⎛ ⎞ ∂2 ˆ = i ( Γ ) ⎛⎜ u ∂ − v ∂ ⎞⎟ , ˆ Λ Λ = Γ − + 4ω 2us vt ⎟ ( 10, j j ,9 j st s t j ) st ⎜ 4ω ∂us ⎠ ⎝ ∂vt ⎝ ∂us ∂vt ⎠ ⎛ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ ∂ ⎞ ˆ ˆ , Λ i ( Γ j ) ⎜ us Λ + vt = Γj ) ⎜ + 4ω 2us vt ⎟ ( ⎟ 12, j ,11 = − j st st ∂u ∂v 4ω ∂us ⎠ ⎝ ∂vt ⎝ s t ⎠ ⎞ ⎛ ∂2 ∂2 ˆ = − + + 4ω 2us us − 4ω vs vs ⎟ Λ ⎜ 10,9 8ω ⎝ ∂us ∂us ∂vs ∂vs ⎠ ˆ = − i ⎜⎛ u ∂ − v ∂ ⎟⎞ , Λ 9,11 s s ⎝ ∂us ∂vs ⎠ 2 ˆ = ⎛⎜ ∂ − ∂ + 4ω2u u − 4ω2v v ⎞⎟ Λ 12,9 s s s s 8ω ⎝ ∂us∂us ∂vs∂vs ⎠ ⎞ ⎛ ∂2 ∂2 ˆ Λ + + 4ω2usus + 4ω2vsvs ⎟ ⎜ 11,10 = 8ω ⎝ ∂us∂us ∂vs∂vs ⎠ (13) ⎞ ⎛ ∂ ∂ ˆ − + 4ω2usus + 4ω2vsvs ⎟ Λ ⎜− 11,12 = 8ω ⎝ ∂us∂us ∂vs∂vs ⎠ 2 Bây ta sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng (5) để đưa tốn tử SO(10,2) tọa độ khơng gian chiều Ta thu được: ˆ = Γˆ = x πˆ − x πˆ + ir ⎡πˆ , πˆ ⎤ Λ αβ αβ α β β α ⎣ α β⎦ ˆ ˆ Λ α ,11 = Γα = rπˆα ˆ ˆ ˆ Λ 12,10 = Τ = − xα π α + 4i 1 ˆ ˆ ˆ ˆ Λ ϒα + ω xα ) Λ ϒα − ω xα ) ( ( α ,10 = Bα = − α ,12 = Αα = 2ω 2ω ⎛ ˆ2 ⎞ ˆ ˆ Λ 11,10 = Γ10 = ⎜ ω r − rπˆ − Q ⎟ 2ω ⎝ 4r ⎠ (14) ⎛ ˆ2 ⎞ ˆ ˆ Λ 11,12 = Γ11 = ⎜ ω r + rπˆ + Q ⎟ 2ω ⎝ 4r ⎠ 245 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH { xλ ˆ ˆ Q + πˆ µ , Λ µλ 4r Tính tốn trực tiếp cho ta kết quả: sử dụng ký hiệu: ϒ λ = xλ πˆ + } (15) ˆ ⎤=0 ⎡ Hˆ Kep , Λ αβ ⎦ ⎣ (16) Hˆ Kep Hamiltonian tốn MICZ-Kepler chiều Ta khẳng định (14) nhóm đối xứng động lực tốn MICZKepler khơng gian chiều nhóm SO(10,2) chứa hai nhóm quan trọng: SO (10, ) ⊃ SO ( ) ⊗ SO ( 2,1) Nhóm SO(9) thể tính đối xứng khơng gian tốn MICZ-Kepler chiều Thật vậy, giao hoán tử (12) viết riêng cho 36 toán tử Λˆ αβ (14): ( ˆ ˆ ⎤ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎡Λ ⎣ αβ , Λ µλ ⎦ = i δ βµ Λ λα − δ λα Λ βµ + δ λβ Λαµ − δαµ Λ λβ ) (17 ) thể toán tử Λˆ αβ vi tử nhóm đối xứng SO(9) vi tử: ˆ ,Λ ˆ ,Λ ˆ ,Λ ˆ ,Λ ˆ ,Λ ˆ ,Λ ˆ ,Λ ˆ ,Λ ˆ Λ 12 23 34 45 56 67 78 89 91 ( ) tốn tử hình chiếu vector momen xung lượng suy rộng L không gian chiều Giao hoán tử (16) cho thấy momen xung lượng suy rộng tích phân chuyển động Nhóm SO(2,1) bao gồm vi tử ( Γˆ 10 , Γˆ 11 , Tˆ ) định phổ lượng toán MICZ-Kepler chiều Các giao hoán tử sau: ⎡ Γˆ 10 , Γˆ 11 ⎤ = i Τˆ , ⎣ ⎦ ⎡ Γˆ 11 , Τˆ ⎤ = i Γˆ 10 , ⎣ ⎦ ⎡ Τˆ , Γˆ 10 ⎤ = −i Γˆ 11 ⎣ ⎦ (18) thể toán tử Γˆ 10 , Γˆ 11 , Tˆ vi tử nhóm SO(2,1) Tốn tử Γˆ 11 Hamiltonian dao động tử điều hịa 16 chiều với dạng biểu diễn qua toán tử sinh hủy suy từ (11) là: ( Hˆ Osc = ωΓˆ 11 = ω aˆ s + aˆs + bˆs + bˆs + ) (19) cho ta phổ lượng dao động tử điều hòa: Z n = ω ( N + 8) từ suy lượng toán MICZ-Kepler chiều: Z2 En = − ω = − 2 ⎛N ⎞ 2⎜ + 4⎟ ⎝2 ⎠ Các tốn tử Γˆ 10 , Tˆ có vai trị thăng giáng trạng thái lượng tử hệ 246 (20) Năm học 2010 – 2011 Kết luận Như ta xây dựng nhóm đối xứng động lực SO(10,2) toán MICZ-Kepler chiều, tương tự toán Coulomb chiều Kết cho thấy xuất đơn cực từ SO(8) không phá vỡ tính đối xứng tốn Coulomb chiều, tượng thú vị Dạng tường minh phần tử nhóm đối xứng đưa dạng giải tích biểu diễn dạng đại số thơng qua tốn tử sinh hủy Biểu diễn đại số qua toán tử sinh hủy nhóm SO(10,2) thuận tiện cho việc tính toán vấn đề liên quan đến phổ lượng tốn, khảo sát hàm sóng biến đổi Biểu diễn đại số sử dụng để nghiên cứu nhóm đối xứng ẩn SO(10) toán MICZ-Kepler chiều, tương tự đối xứng ẩn SO(6) SO(4) toán MICZ-Kepler chiều chiều [7], [8] TÀI LIỆU THAM KHẢO Barut A., Bornzin G (1971), “SO(4,2) formulation of the symmetry breaking in relativistic Kepler problems with or without magnetic charges”, J Math Phys 12, 841-847 Barut A and Raczka R (1977), “Theory of Group Representations and Applications”, PWN- Polish Sci Pub., Warszawa Kleinert H (1968), “Group Dynamics of the Hydrogen Atom”, Lectures in Theor Phys., ed W.E Brittin and A.O Barut, Gordon and Breach, New York, 427-482 Le Van Hoang, Viloria J Tony, Le Anh Thu (1991), “On the hydrogen-like atoms in five-dimensional space”, J Phys A 24, 3021-3030 Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son, Phan Ngoc Hung (2009), “A hidden non-Abelian monopole in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, J Phys A 42, 175204 (8pp) Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son (2010), “Generalization of Dirac and Yang monopoles for a nine-dimensional space”, HCMC UE J Sci (Nat Sci & Tech.) 24, 38 Mardoyan L G., Sissakian A N., Ter-Antonyan V M (1999), Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole, Mod Phys Lett A 14, 1303-1307 Pletyukhov M V., Tolkachev E A (1999), “SO(6,2) dynamical symmetry of the SU(2) MIC-Kepler problem”, J Phys A 32, L249-L253 Yakov M Shnir (2005), “Magnetic Monopoles”, Springer, 18-79 10 Yang C N (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU(2) gauge fields”, J Math Phys 19, 320-328 247 ... Như ta xây dựng nhóm đối xứng động lực SO(10,2) toán MICZ-Kepler chiều, tương tự toán Coulomb chiều Kết cho thấy xuất đơn cực từ SO(8) khơng phá vỡ tính đối xứng tốn Coulomb chiều, tượng thú vị... đổi Biểu diễn đại số sử dụng để nghiên cứu nhóm đối xứng ẩn SO(10) toán MICZ-Kepler chiều, tương tự đối xứng ẩn SO(6) SO(4) toán MICZ-Kepler chiều chiều [7], [8] TÀI LIỆU THAM KHẢO Barut A., Bornzin... Hamiltonian toán MICZ-Kepler chiều Ta khẳng định (14) nhóm đối xứng động lực tốn MICZKepler khơng gian chiều nhóm SO(10,2) chứa hai nhóm quan trọng: SO (10, ) ⊃ SO ( ) ⊗ SO ( 2,1) Nhóm SO(9) thể tính đối