Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ và phương pháp giải

Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vô tỷ là một chủ đề quan trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như luyện thi đại học, cao đẳng. Có rất nhiều dạng toán về phương trình, bất phương trình hay và khó, có thể dùng là một câu phân loại trong các đề thi HSG hay đề thi ĐH, CĐ. Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm trong quá trình dạy học, dạy luyện thi, dạy bồi dưỡng HSG, tác giả viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ và phương pháp giải”.

Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 LỜI NĨI ĐẦU Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vơ tỷ là một chủ đề quan  trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như luyện thi đại học, cao  đẳng. Có rất nhiều dạng tốn về phương trình, bất phương trình hay và khó, có thể  dùng là một câu phân loại trong các đề thi HSG hay đề thi ĐH, CĐ           Xuất phát từ q trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh  nghiệm trong q trình dạy học, dạy luyện thi, dạy bồi dưỡng HSG, tác giả viết đề  tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số dạng tốn về phương trình, bất phương trình,  hệ phương trình vơ tỷ  và phương pháp giải”            Đề tài được chia thành hai phần:                   Phần A: Phương trình­ Bất phương trình chứa căn                  Phần B:  Hệ phương trình chứa căn Ở mỗi phần là phưong pháp giải, dạng tốn, cách giải tương ứng, những lưu  ý, ví dụ minh hoạ sau đó là bài tập vận dụng. Có ba phương pháp giải cơ bản  thường dùng là phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ và  phương pháp hàm số Đề tài được viết nhằm giúp học sinh có kỹ năng và phương pháp giải về  phương trình, bất phương trình, hệ phương trình được tốt hơn. Do hạn chề về thời  gian chắc khơng tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp  của các bạn đng nghiệp và cấp trên         Tác giả xin chân thành cảm ơn!                                                                                                                             Vĩnh n, ngày 25 tháng 5 năm 2011                                                                                      Tác giả                                                                            Đỗ Thị Thanh Huyền SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vơ tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 NỘI DUNG A. Phương trình ­ bất phương trình chứa căn thức I. Phương pháp biến đổi tương đương 1. Kiến thức cần nhớ: ( a) n n =a ( ab > ) ( ∀a, b ) a = b � a n = b n a = b � a n +1 =b 2n a ��۳ b a a �۳ b∀ a n +1 n +1 b2n b n +1 ( a, b ) 2. Các dạng cơ bản: * Dạng 1:  f ( x) = g ( x) * Dạng 2:  f ( x) > g ( x) �g ( x ) f ( x) = g ( x) (Không cần đặt điều kiện f ( x )  xét 2 trường hợp: g ( x) < TH1:  f ( x) TH2:  0) g ( x) f ( x) > g ( x) f ( x) * Dạng 3:  f ( x ) �۳ g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số  trường hợp g(x)  là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều  kiện cho  g ( x )  rồi bình phương 2 vế đưa phương trình bất phương trình về dạng  quen thuộc + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình  a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n− + L + an −1 x + an =  có  n −1 n −2 nghiệm x=   thì chia vế trái cho cho  x–  ta được  ( x − α ) ( b0 x + b1 x + L + bn− x + bn −1 ) = ,  tương tự cho bất phương trình * Phương trình bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc  giải theo hướng này là đúng, nếu khơng nhẩm được nghiệm thì ta có thể  sử  dụng   phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số khơng được nữa thì ta  phải quay lại sử dụng phương pháp khác * Phương trình bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm  thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, cịn nếu nhẩm được 1 nghiệm   thì sử dụng như phương trình bất phương trình bậc 3 và nếu khơng ta phải chuyển  sang hướng khác Ví dụ 1: Giải phương trình:  x x 3x (ĐH Khối D – 2006) SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vô tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 Biến đổi phương trình thành:  x − = − x + 3x −  (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2  vế ta được:  x x 11x x  ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia  đa thức ta được: (*)  (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0 Ví dụ 2:  Giải bất phương trình:  ( x + 1) ( ( x + 10 ) ( − ) + 2x ) , ĐK:  x 3  hai vế (1) đều  2 � ( x − 3) ( x + 1) �0 pt � x + x + �( x + ) + x − + x � ( x + 5) + x �9 + x  (1), Với  x khơng âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3  b) Tương tự với 2 dạng: *  f ( x ) g ( x ) *  f ( x ) Ví dụ 1:  Giải bất phương trình  x − x + − x + < ( 1) Giải ( 1) � x − x + < x −  bất phương trình tương đương với hệ: − < g ( x) x>2 x−2>0 +−0 �2 x �6 x‫ ڳ‬1� � 2x − 6x + < x − 3− �x � −1 < x < x 3+ 3+ x Ví dụ 2:  Tìm m để phương trình  x − 2mx + = m − có nghiêm Giải * Nếu m 0 với mọi m Vậy với m   2 thì phương trình đã cho có nghiêm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình  x + mx − = x +  có hai nghiệm phân biệt Giải:  Cách 1:  PT x −1 x + ( m − ) x − = 0, (*) , phương trình (*) ln có 2 nghiệm:  − m + m − 4m + 20 − m − m − 4m + 20 > 0, x2 = <  Phương trình đã cho có 2 nghiệm  2 m m (*) có 2 nghiệm  x −1 x2 �−1�−�4 −+m�− m 4m 20 ( − m ) m − 4m + 20 x1 = Chú ý:  + x1 > 0, x2  x2 và a.c  2 nghiệm lớn hơn hoặc bằng  − hay  � 1� f �−�۳ �0 � 2� S >− 2 m 2 Chú ý : Cách 2: đặt  t = x + , khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng  −  thì  � 1� � 1� 3� t − �− ( m − 4) � t − �− =  có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0 � � � 2� 3. Các kỹ năng: a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta  biến đổi cho 2 vế khơng âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế khơng âm Ví dụ 1:  Giải bất phương trình:  x − − x − > x −  (ĐH Khối A – 2005) Vế phải khơng âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành:  x − > x − + x −  khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải Ví dụ 2:  Giải phương trình:  x ( x − 1) + x ( x + ) = x ( 1) Giải ( 1) � x + x + x ( x − 1) ( x + ) = x � x ( x − 1) ( x + ) = x ( x − 1) x Điều kiện:  x −2 ( *) � x ( x + x − ) = x ( x − 1) x=0 � x2 ( 8x − 9) = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0,  x = (Hãy tìm thêm cách giải khác) Ví dụ 3:  Tìm m để phương trình  x − mx − x − =  có nghiệm HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được  x1,2 = m m − 16  Kết  hợp với điều kiện ta tìm được |m|   4 b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:  ­ Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân  tích Ví dụ 4:  Giải phương trình:  x + x + = HD: Bình phương hai vế Dùng hằng đẳng thức a2   b2=0 Nghiệm  x = 2, x= − 29 SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vô tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 Ví dụ 5:  Giải các bất phương trình: a.  (x − x ) x − 3x − ĐS: a.  xx−4 b.  1� � − ; −  U { 2} U [ 3; + 2� � ) Ví dụ  6:  (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị  dương của tham số   m,  phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x − = m ( x − ) (1) Giải: ĐK:  x , do m > 0 pt x x mx x x3 6x2 32 m, ( 2)  Để chứng minh  m , phương  trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một  nghiệm khác 2 Thật   vậy:   đặt   f ( x ) = x3 + x − 32, x ,   ta   có  f(2)   =   0,  ' lim f ( x ) = + , f ( x ) = 3x + 12 x > 0, ∀x  nên f(x) là hàm liên tục trên  [ 2; + )  và đồng biến  x + trên khoảng đó suy ra  m  phương trình (2) ln có nghiệm x0 mà 2  − x � ( x − 16 ) > 10 − x x 10 − x < � x>5 10 − x ( x − 16 ) > ( 10 − x ) � 10 − 34 < x �5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:  x > 10 − 34 ­ TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp: Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a.  ( x − 3) x2 + x2 − HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a.  x − x − − x ( x − 1) + x − x = HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành:  x ĐS:  x − x − x − x + x3 − x + x − = � ( x − 2)(2 x − x + x − x + 2) = b.  x + x + − x − x − = x +  HD: Nhân lượng liên hợp Bài 2: Giải bất phương trình sau:  − x + + x − x HD: Cách 1: Đặt  t = − 2x + + 2x � x2 = − t − 4t 16  Cách 2: Bình phương rồi đưa về  dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2  Bài 3: Giải phương trình  − 10 − x = x −  (HD: Bình phương hai lần ra phương  trình bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức).  Bài 4: Giải phương trình  + Bài 5: Giải phương trình  x − x2 = x + − x x + x2 + = x + SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vơ tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 Bài 6: Giải các phương trình sau: 1.  x − = x + 3.  x + + x − = x 2.  x − + x − = 4.  x − + x + = x −x + x2 6.  x + = 3x + + 4 x − + 3x − = x −  (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2  5.  1+ x + 1− x = − 7.  ) Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  m + x + Bài 8: Tìm m sao cho phương trình:  4x − x = x + m a Có nghiệm b Có hai nghiệm phân biệt Bài 9: Giải các bất phương trình sau: a.  − m−x =m − x2 < x b.  x + 3x + + x + x + x + x + c.  x + x − + x + x − x + x − Bài 10: Giải các phương trình: a.  x + + x c.  e.  x = x + x2 + x x + = + 4x + b.  x x+3+ d.  4x x+3 =4 x x + = x2 − x − x − x + + 3x + = x + x + II. Phương pháp đặt ẩn phụ:  Dạng 1:    F ( n f ( x ) ) = , đặt  t = n f ( x )  (lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t   0) Ví dụ 1: Giải các phương trình: a.  x + x + 11 = 31 b.  ( x + ) ( − x ) = x + 3x HD: a. Đặt  t = x + 11, t                                                                                              ĐS: x= b. Đặt  t = x + 3x , t                                                                                        ĐS:  x =      Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x + x + 2m Giải t � 0; � Đặt:  t = − x − x = − ( x + 1) �� � � −3 109 − 2x − x2 = m2 Khi đó phương trình trở thành  t − 2mt + m − = ( *) � t = m �  Phương trình đã cho  có nghiệm khi (*) có nghiệm  t � m+ � 0; � � � hay  � m− � Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình:  m( 6 � − m � �5 m x − x + + 1) + x ( − x ) 6− 6+ , (1) có nghiệm x �� 0;1 + � � � Giải: Đặt  t = x − x + � x − x = t −  Nếu  x BPT trở thành:  m ( t + 1) + − t 0, ( ) 0;1  thì  t x 1;2   SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vơ tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 Khi đó ta có   Dạng 2:    m ( f ( x) t2 − t +1 g ( x) )  Đặt  f ( t ) = m , với  t t2 − , dùng đồ thị ta tìm được  m t +1 2n f ( x ) g ( x ) + n ( f ( x ) + g ( x ) ) + p = , đặt  t = f ( x) g ( x) , bình phương  hai vế để biểu diễn các đại lượng cịn lại qua t Ví dụ 1: Cho phương trình  + x + − x = m + ( + x ) ( − x ) a. Giải phương trình khi m=3 b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm Giải Đặt:  t = + x + − x � t = + ( + x ) ( − x ) ( *)  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  ( + x ) ( − x )  nên từ (*) ta có  t Phương trình đã cho trở thành t2 2t 9= 2m (1) a. Với m=3 (1)   t2 2t 3   t =3. Thay vào (*) ta được x= 3, x=6 3; � b. PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm  t � � �. Xét hàm số  f ( t ) = t − 2t −  với  t −6 = f (3) � 3; � � �, ta thấy f(t) là một hàm đb nên:  f = −  với  t � 3; � � �. Do vậy (1) có nghiệm  t ( f ( t) chỉ khi  −� −�2−m � ) 6 −9 m � 3; � � � khi và  Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau: Cách 1: dùng BĐT như bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem  phần PP hàm số ) Ví dụ 2: Giải phương trình  x 35 − x3 HD: đặt:  t = 35 − x3 7x + + 7x − 0  ) 35 − x = 30 t − 35  ĐS: x=2, x=3 3t � x 35 − x = Ví dụ 3: Giải bất phương trình  HD: Đặt  t = (x+ x + + x − + 49 x + x − 42 181 − 14 x  …  x  Dạng 3 :  F ( n f ( x ) , n g ( x ) ) = , trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k TH1: Kiểm tra nghiệm với  g ( x ) = TH2: Giả sử  g ( x )  chia hai vế phương trình cho  g k ( x ) Ví dụ 1: Giải phương trình  ĐK:  x x3 + = ( x + ) −1   x3 + = ( x + ) � x +1 ,t x − x +1 f ( x) g ( x) ( x + 1) ( x − x + 1) = ( x − x + 1) + ( x + 1) x +1 x +1 −5 +2=0 x − x +1 x − x +1 t=2  Phương trình trở thành  2t − 5t + = t=     � Đặt  t =  và đặt  t = n Với t=2: Phương trình đã cho vơ nghiệm SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vơ tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 Với  t = : Phương trình đã cho có nghiệm  x = 37 Ví dụ 2: Giải phương trình  x + 14 x + − x − x − 20 = x + Giải ĐK:  x   x + 14 x + − x − x − 20 = x + � x + 14 x + = x + + Bình phương hai vế:  ( x − x − 5) + ( x + ) = Đặt  t = x2 − x − ,t x+4 (x x − x − 20 − x − 5) ( x + 4) 2  phương trình trở thành  2t − 5t + = � t = 1, t = + 61 − 61 > 5, x = 5, x = − < Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:  x = + 61 , x = Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm  x = Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x − + m x + = x − HD: ĐK  x  Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho  x −   đặt  t = x −1 = 1−   ( < t < 1) x +1 x +1  ĐS  −1 < m Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để) af ( x ) + g ( x ) f ( x ) + h ( x ) =  Đặt  t = f ( x ) , khi đó phương trình trở thành  at + g ( x ) t + h ( x ) = Ví dụ: Giải phương trình  ( − x ) x + x − = x − x − HD Đặt  t = x + x − � L x = −1 � (Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng  giác, mũ, logrit,… rất hay!) Bài tập Giải các phương trình sau: 1.  x − x + = ( x − 21x − 20 ) 2.  x3 − 3x + ( x + ) 3.  ( x − 3x + ) = 4.  x + − 6x = x3 + x −1 1 = 1− + x − x x x ĐS:  x = Đặt  y = 193 17 73 , x= 4 x + , ĐS:  x = 2, x = − ĐS:  x = 13 Đặt  t = x 1+ , ĐS:  x = + Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác) Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm  mọi cách đặt  ẩn phụ  để  chuyển về  phương trình, bất phương trình đại số. Tuy  nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính  chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài tốn đại số về bài tốn lượng giác và giải   quyết bài tốn lượng giác này Lưu ý vài tính chất cơ bản: *  sin a 1, cos a *  sin a + cos a = SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vô tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 *  + tan a = cos a *  + cot a = sin a Ví dụ 1: Giải phương trình  + − x = x Giải ĐK  x  Đặt  x = cos t , t [ 0; π ]  Khi đó phương trình trở thành  + − cos t = cos t � sin t + sin t − =  Ta tìm được:  sin t = x = cos t = − sin t =  Khi đó  Nhận xét: * Nếu bài tốn có tập xác định  u ( x ) �π π � u ( x ) = a sin t , t �� − ; � hoặc đặt  u ( x ) = a cos t , t � 2� a  Ta có thể nghĩ đến cách đặt  [ 0; π ] �π� 0; � � 2� � * Nếu  u ( x ) [ 0; a ]  ta có thể đặt  u ( x ) = a sin t, t Ví dụ 2: Giải phương trình  x3 + (1 − x ) = x ( − x2 ) HD: Đặt  x = cos t , t [ 0; π ]  dưa về phương trình lượng giác  ( sin t + cos t ) ( − sin t cos t ) = sin t cos t  Để gải phương trình này ta lại đặt  u = sin t + cos t , u ĐS:  x = 1− − − , x= 2 Ví dụ 3: Giải phương trình  1 − x = x3 − x  ĐS:  x = − , x= 2+ Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình) * Khi gặp phương trình có dạng  F ( f ( x ) , n a + f ( x ) , m b − f ( x ) ) = Đặt  u = n a + f ( x ) , v = m b − f ( x )  Khi đó ta được hệ phương trình sau:  F ( u, v ) = u n + vm = a + b   Giải hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm x. Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình  u = n a + f ( x )  hoặc  v = m b − f ( x ) Ví dụ 1: Giải phương trình:  + x + − x = + ( + x ) ( − x ) ĐS:  x = 0, x = −3 Ví dụ 2: Giải phương trình:  24 + x + 12 − x = ĐS:  x = −24, x = −88, x = Ví dụ 3: Giải phương trình:  x + 17 − x = ĐS:  x = 1, x = 16 Ví dụ 4: Giải phương trình:  ( − x ) + ( + x ) − ( − x ) ( + x ) = ĐS:  x = 1, x = −6 Ví dụ 5:  Giải phương trình:  x − + x − = , đặt  u = x − 1, v = x − 3,  pt trở thành:  u+v = u − v3 = Ví dụ 6:  Giải phương trình:  1 +x+ − x = , đặt  u = 2 Ví dụ 7:  Với giá trị nào của a thì phương trình:  x + x,v = 3 x,v x  Phương trình trở thành:  a có nghiệm a ( u + v − uv ) = 2 Đặt  u x −x 2 u+v = a 10 SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vơ tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 TH1: a = 0 hệ phương trình vơ nghiệm u+v=a , hệ phương trình trở thành  1� �. Hệ có nghiệm khi  uv = �a − � 3� a� S − P �� 0 < a �2  Vậy phương trình có nghiệm khi  < a TH2:  a * Khi gặp phương trình có dạng  f n ( x ) + b = a n af ( x ) − b Đặt  t = f ( x ) , y = n af ( x ) − b  ta có hệ  x+3 Giải ĐK  x x+3 � ( x + 1) − = −3   x + x = Đặt  t = x + 1, y= y n + b = at −1 � ( x + 1) − = Ví dụ 1: Giải phương trình  x3 + = x −  ĐS:  x = 1, Ví dụ 2: Giải phương trình  x + x = t n + b = ay x=   ( x + 1) + 2 x +1 +1 x +1 t t +1 = + � y − =  Ta được hệ phương trình  2 thêm chút nữa ta được kết quả! x= −3 − 17 , x= −5 13 y  Giải  y2 − = t t2 −1 = ĐS:  Chú ý: bài này khơng thể  sử  dụng phương pháp bình phương vì khơng nhẩm được   nghiệm, nên ta phải biến đổi để  xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ  đó ta  đặt ẩn phụ Ví dụ 3: Giải phương trình  x + x + = x +  ĐS:  x = −1, x = − , x = 4 Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1.  3x − + x − = x − + x − x + 2.  x + x + = x + x 3.  x2 + x + + x2 + x + = x2 + x + 4.  + x − = x + 2x − x x x Bài 2: Giải cácbất phương trình sau: 1.  x + 10 x + > − x − x 2.  24 + x + 3.  x + 4.  x − x − > 10 x + 15 Bài 3: Giải các phương trình sau: 1.  12 − x + 14 + x = 3.  − x + − x = 5.  1+ x + 1− x = − x2  (đặt  t = 12 − x 1+ x + 1− x 2− x2 2.  x − − x − = 4.  − x + = − x + x + − x ) III. Phương pháp hàm số Các tính chất: 11 SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vơ tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k  (k R) có khơng q một nghiệm trong khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì    u, v  (a,b) ta có  f (u ) = f ( v ) � u = v Tính chất 3:  Nếu hàm  f  tăng và  g  là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng ( a;b) thì  phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên  F ( b) − F ( a) khoảng (a;b) thì  c a; b : F ' ( c ) =  Khi áp dụng giải phương trình: nếu có  b−a F(b) – F(a) = 0 thì  ∃c �( a; b ) : F ' ( c ) = � F ' ( x ) =  có nghiệm thuộc (a;b) Định lý Rơn: Nếu hàm số  y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ  khơng có q hai nghiệm thuộc D.  Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng  minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất Phương án 2:  Biến đổi phương trình về  dạng:  f(x) =  g(x), nhẩm một nghiệm rồi  dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến cịn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra  phương trình có nghiệm duy nhất Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu  khi đó ta có: u = v Ví dụ:  Giải phương trình:  x − + x − = ĐK:  x  Đặt  f ( x ) = x − + x −  Miền xác định:  x Do đó hàm số đồng biến với  x f' x = ,  ( ) 2 4x − + 4x x2 − > , nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm   duy nhất. Thấy  x =  là nghiệm của phương trình Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau: Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1) B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ  thị (C ): y = f(x,m)  và đường thẳng  d: y = g(m) B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)  f ( x, m ) g ( m ) max f ( x, m ) B3: Kết luận:    * phương trình có nghiệm:  x D x D * phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm * phương trình vơ nghiệm khi: d khơng cắt (C )  Ví dụ 1:  Tìm m để phương trình:  x + x + − x − x + = m có nghiệm TXĐ: R Xét hs:  y = f ( x ) = x + x + − x − x + , Df = R,  y ' = 2x + x + x +1 − 2x − x2 − x + 12 SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vô tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 y ' = � ( x − 1) x + x + = ( x + 1) x − x + � ( x − 1) ( x + 1) >   2 ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + 1) ( x − x + 1) (v.nghiệm) Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến 2x lim = lim Giới hạn:  x x − x2 + x + + x2 − x + 2x lim = lim x BBT: − + x + x2 + x + + x2 − x + x      y’ y   = −1 =1     + 1 Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  1  0) y2 x ) x2 − y + x2 + y =   x y + y x = 30 10.  y + x =6 x+ y − x− y =2 8.  x x + y y = 35 y − x2 = x − y2 = x + y + xy = a Bài 2: Tìm a để hệ phương trình có 2 nghiệm:  Bài 3. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:  x− y=a x +1 + y+2=m x + y = 3m   2. Phương pháp đặt ẩn phụ: Ta thực hiện theo các bước sau: B1: Điều kiện (nếu có) B2: Lựa chọn ẩn phụ, tìm đk cho ẩn phụ B3: Giải hệ nhận được, từ đó suy ra nghiệm x, y B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ đó kết luận Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:  Đặt  u = − x , v = − y  ĐK:  u , v u + v =1 � − u + − v2 1− x + 1− y =1 x + y  điều kiện:  x, y , khi đó hệ được biến đổi về dạng:  u ��۳� � 4u − 4u + u x 0 Vậy nghịêm của hệ là cặp nghiệm (x; y) thoả:  x x ( y =1− 1− 1− x Ví dụ 2: (ĐH Khối A – 2006) Giải hệ phương trình:  ) x + y − xy = x +1 + y +1 = ( x, y R) Điều kiện:   xy 0, x −1, y −1  Đặt   t = xy � x + y = + t  Bình phương phương trình 2,  thay ẩn phụ vào, giải tìm được t = 3. Giải thêm chút xíu nữa ta được nghiệm Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 1.  3.  ( x+ ) y = xy xy = x +1 + y =3 x +1 + y = x + y + xy = 2.  4.  x+ y =4 x− y = x− y x+ y = x+ y−4 16 SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vô tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 x+ 5.  + x+ y −3 =3 y 2x + y + = y 6.  x + y + xy = 14 x + y + xy = 84 ` Hết 17 SKKN: PT –  BPT  –  Hệ  PT  vô tỷ                                                                 Đ ỗ Thị Thanh Huyền ... Dạng? ?5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác) Khi? ?giải? ?các? ?phương? ?trình, ? ?bất? ?phương? ?trình? ?lượng giác chúng ta thường tìm  mọi cách đặt  ẩn phụ  để  chuyển? ?về ? ?phương? ?trình, ? ?bất? ?phương? ?trình? ?đại? ?số.  Tuy ... phương? ?pháp? ?hàm? ?số? ?để? ?giải? ?tiếp? ?và? ?nếu? ?phương? ?pháp? ?hàm? ?số? ?khơng được nữa thì ta  phải quay lại sử dụng? ?phương? ?pháp? ?khác *? ?Phương? ?trình bất? ?phương? ?trình? ?bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm  thì việc? ?giải? ?phương? ?trình? ?theo hướng này mới đúng, cịn nếu nhẩm được 1 nghiệm... Trường THPT Trần Phú                                                                                                           2010­2011 Bình? ?phương? ?2 vế? ?và? ?trừ vế theo vế ta có:  ( x + ) ( y − ) = ( x − ) ( y + ) Thay x = y vào 1 trong 2? ?phương? ?trình, ? ?giải? ?ra ta được x = y = 11 Ví dụ 2: ? ?Giải? ?hệ? ?bất? ?phương? ?trình:   Giải Điều kiện: