Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 2: Biến cố và xác suất cung cấp cho người học các kiến thức: Phép thử và biến cố, xác suất của biến cố, các công thức xác suất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
BÀI – BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 2.1 Phép thử biến cố 2.2 Xác suất biến cố 2.3 Các công thức xác suất [1] Chương 1, trang 5-77 [2] Chapter 3, pp 73-125 [3] Chapter 4, pp.170-214 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 41 2.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ ▪ Thực nhóm điều kiện để quan sát tượng xảy hay khơng gọi phép thử (experiment) ▪ Hiện tượng xảy → biến cố (event) ▪ Phân loại biến cố: • Biến cố chắn (certain): • Biến cố khơng thể có (impossible): • Biến cố ngẫu nhiên (random): 𝐴, 𝐵, … hay 𝐴1 , 𝐴2 , … LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 42 2.2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ▪ ▪ ▪ ▪ Khái niệm xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa thống kê xác suất Nguyên lý xác suất lớn nguyên lý xác suất nhỏ [1] Chương 1, trang 7-22 [2] Chapter 3, pp 81-90 [3] Chapter 4, pp.181-185 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 43 Xác suất biến cố ▪ Xác suất (probability) biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử ▪ 𝑷 𝑨 : Xác suất xảy biến cố 𝐴 ▪ Các tính chất xác suất: • ≤ 𝑃 Biến cố ≤ • Ω biến cố chắn, 𝑃 Ω = • ∅ biến cố khơng thể, 𝑃 ∅ = • 𝐴 biến cố ngẫu nhiên, < 𝑃 𝐴 < LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 44 Định nghĩa cổ điển xác suất ▪ Định nghĩa cổ điển xác suất • Giả thiết: khả xảy biến cố sơ cấp • Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố 𝐴: 𝑁𝐴 • Số biến cố sơ cấp phép thử: 𝑁 • Xác suất xảy biến cố 𝐴: 𝑁𝐴 𝑃 𝐴 = 𝑁 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 45 Ví dụ ▪ Ví dụ 2.1 Tung đồng xu cân đối đồng chất Hãy tính xác suất xuất mặt sấp? ▪ Ví dụ 2.2 Tung đồng xu hai lần liên tiếp Hãy tính xác suất: a) “Hai lần xuất mặt sấp” b) “Xuất lần mặt sấp, lần mặt ngửa” c) “Hai lần xuất mặt ngửa” LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 46 Định nghĩa thống kê xác suất ▪ Định nghĩa thống kê xác suất • Thực 𝑛 phép thử • Số lần xuất biến cố 𝐴: 𝑛𝐴 𝑛𝐴 • Tần suất xuất biến cố 𝐴: 𝑛 • Khi số phép thử 𝑛 đủ lớn: 𝑃 𝐴 ≈ 𝑛𝐴 𝑛 ▪ Ví dụ: • Trong 100.000 trẻ sinh, có 51.000 bé trai Xác suất “sinh bé trai” khoảng 0,51 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 47 Nguyên lý xác suất lớn nhỏ ▪ Nguyên lý xác suất lớn: Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất lớn thực tế cho phép thử biến cố xảy ▪ Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế cho phép thử, biến cố khơng xảy LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 48 2.3 CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT ▪ ▪ ▪ ▪ Xác suất biến cố tích Xác suất biến cố tổng Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ - Bayes [1] Chương 1, trang 25-59 [2] Chapter 3, pp 91-118 [3] Chapter 4, pp 185-204 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 49 Xác suất biến cố tích ▪ Biến cố C tích (intersection) hai biến cố A B C xảy hai biến cố A B đồng thời xảy ▪ Ký hiệu: C = (𝐴 ∙ 𝐵) 𝐴 𝐴∙𝐵 𝐵 Ω LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 50 Xác suất biến cố tích ▪ Công thức nhân xác suất 𝑃 𝐴∙𝐵 =𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃 𝐵 ∙𝑃 𝐴 𝐵 • 𝐴 𝐵 hai biến cố độc lập ⇔ 𝑃 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) • Cơng thức tính xác suất có điều kiện 𝑃 𝐴∙𝐵 𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐵 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 52 Xác suất biến cố tích ▪ Biến cố 𝐴 tích 𝒏 biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 𝐴 xảy 𝑛 biến cố đồng thời xảy ▪ Ký hiệu 𝐴 = ς𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ▪ Ví dụ Lấy bóng từ hộp gồm bóng trắng bóng đen 𝐴𝑖 = “Lấy bóng trắng lần lấy thứ 𝑖”, 𝑖 = 1,2, … 𝐴 = “Cả lần lấy bóng trắng” 𝐴 = 𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3 ∙ 𝐴4 ∙ 𝐴5 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 53 Xác suất biến cố tích ▪ Các biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 gọi độc lập đôi với cặp hai n biến cố độc lập ▪ Các biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 gọi độc lập toàn phần biến cố độc lập với tổ hợp biến cố lại LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 54 Xác suất biến cố tích ▪ Nếu 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴𝑛 biến cố độc lập tồn phần 𝑃 𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ … ∙ 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 ∙ 𝑃 𝐴2 ∙ … ∙ 𝑃 𝐴𝑛 ▪ Ví dụ Lấy bóng từ hộp gồm bóng trắng bóng đen theo phương thức lấy có hồn lại Xác suất để bóng lấy có màu trắng là: 6 6 ∙ ∙ ∙ ∙ = 0,65 10 10 10 10 10 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 55 4.4.suất Mốibiến quancốhệtổng biến cố Xác ▪ Biến cố 𝐶 gọi tổng (union) hai biến cố 𝐴 𝐵, 𝐶 xảy có hai biến cố 𝐴 𝐵 xảy ▪ Ký hiệu: 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐴 ▪ 𝐴 + 𝐵 tổng biến cố: 𝐴 ∙ 𝐵, 𝐴ҧ ∙ 𝐵 𝐴 ∙ 𝐵ത LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 𝐵 Ω 56 Xác suất biến cố tổng ▪ Ví dụ Lấy bóng từ hộp bóng trắng bóng đen 𝐴 = “Lần lấy bóng trắng”, 𝐵 = “Lần lấy bóng trắng” 𝐴 + 𝐵 = “Có lần lấy bóng trắng” ▪ Biến cố 𝐴 gọi tổng n biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 𝐴 xảy có 𝑛 biến cố xảy ▪ Ký hiệu: 𝐴 = ∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑛 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 57 Xác suất biến cố tổng ▪ Hai biến cố 𝐴 𝐵 gọi xung khắc (mutually exclusive) với chúng đồng thời xảy phép thử ▪ 𝐴∙𝐵 =∅ ▪ 𝐴 𝐴ҧ ? A B ▪ Ví dụ Lấy ngẫu nhiên hai bóng từ hộp Ω 𝐴 = “Hai trắng”, 𝐵 = “Hai đen” 𝐶 = “Có trắng” Nhận xét tính xung khắc biến cố 𝐴, 𝐵 𝐶 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 58 Xác suất biến cố tổng ▪ Nhóm n biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 gọi xung khắc đôi hai biến cố nhóm xung khắc với ▪ Các biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 gọi nhóm đầy đủ (universal set, partitions) biến cố kết phép thử xảy biến cố ▪ Nhóm đầy đủ ⇒ Nhóm xung khắc đơi? LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 59 Xác suất biến cố tổng ▪ Hai biến cố 𝐴 𝐴ҧ hai biến cố đối lập với chúng tạo nên nhóm đầy đủ ▪ Ký hiệu: 𝐴ҧ biến cố đối lập với biến cố 𝐴 ▪ 𝑃 𝐴 = − 𝑃 𝐴ҧ 𝐴 𝐴ҧ Ω ▪ Ví dụ: Tìm biến cố đối lập biến cố sau: • 𝐴 = “hai lần tung đồng xu xuất mặt sấp” • 𝐵 = “cả hai bóng lấy màu trắng” • 𝐶 = “tất sinh viên thi qua môn xác suất” LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 60 Xác suất biến cố tổng ▪ Công thức cộng xác suất 𝑃 𝐴+𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∙𝐵 ▪ 𝐴 𝐵 hai biến cố xung khắc ⟺ 𝑃 𝐴 + 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) ▪ Nếu 𝐴 𝐵 hai biến cố độc lập 𝑃 𝐴 + 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 61 Xác suất biến cố tổng ▪ Nếu nhóm 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 nhóm biến cố xung khắc đơi 𝑃 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ +𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + ⋯ + 𝑃 𝐴𝑛 ▪ Nếu nhóm 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 nhóm đầy đủ 𝑃 𝐴1 + ⋯ +𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 + ⋯ + 𝑃 𝐴𝑛 = ▪ Hai biến cố 𝐴 𝐴ҧ ln lập thành nhóm đầy đủ ▪ Ví dụ Tung đồng xu lần, 𝐴1 = “2 lần sấp”, 𝐴2 = “2 lần ngửa”, 𝐴3 = “1 lần sấp, lần ngửa”, 𝐴4 = “có lần sấp” Hãy tìm nhóm đầy đủ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 62 Cơng thức Bernoulli Ví dụ 2.9 : Một người bán hàng nơi độc lập, xác suất bán nơi 0,8 Tính xác suất người đó: a) Bán nơi b) Bán nơi c) Bán nơi LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 63 Cơng thức Bernoulii ▪ Giả sử có 𝑛 phép thử độc lập ▪ Trong phép thử, xác suất xảy biến cố 𝐴 𝑝, xác suất không xảy 𝐴 − 𝑝 ⟹ Lược đồ Bernoulli ▪ Xác suất để 𝑛 phép thử đó, biến cố 𝐴 xảy 𝑥 lần ký hiệu 𝑃 𝑥 𝑛, 𝑝 ▪ Công thức Bernoulli 𝑃 𝑥 𝑛, 𝑝 = 𝐶𝑛𝑥 𝑝 𝑥 − 𝑝 𝑛−𝑥 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 64 Công thức xác suất đầy đủ - Bayes Ví dụ 2.10 Có hai hộp giống nhau: hộp loại I chứa phẩm phế phẩm; hộp loại II chứa phẩm phế phẩm a) Chọn ngẫu nhiên hộp từ chọn sản phẩm Tính xác suất để phẩm b) Nếu chọn phẩm, xác suất để hộp chọn hộp loại I bao nhiêu? LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 65 Cơng thức xác suất đầy đủ - Bayes ▪ 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 : nhóm đầy đủ biến cố ▪ 𝐵: xảy đồng thời với biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 ▪ Công thức xác suất đầy đủ: n ▪ Công thức Bayes P( A) = P( Hi ).P( A | Hi ) P( Hi | A) = i =1 P( Hi ).P( A | Hi ) n P(Hi ).P( A | Hi ) i =1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 66 ... , ? ?2 , … LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 42 2 .2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ▪ ▪ ▪ ▪ Khái niệm xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa thống kê xác. .. xác suất Nguyên lý xác suất lớn nguyên lý xác suất nhỏ [1] Chương 1, trang 7 -2 2 [2] Chapter 3, pp 8 1-9 0 [3] Chapter 4, pp.18 1-1 85 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn... có 51.000 bé trai Xác suất “sinh bé trai” khoảng 0,51 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 47 Nguyên lý xác suất lớn nhỏ ▪ Nguyên lý xác suất lớn: Nếu biến