pháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêu

pháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêupháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêupháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêupháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêupháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêupháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêupháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêupháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêupháp vô hướng trong tối ưu đa mục tiêu

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN NGUYỄN TIẾN HÀ PHƯƠNG PHÁP VƠ HƯỚNG HÓA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2020 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN NGUYỄN TIẾN HÀ PHƯƠNG PHÁP VƠ HƯỚNG HĨA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ THU VÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi tên Nguyễn Tiến Hà, cam đoan kết trình bày luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Vân Những kết nghiên cứu tác giả khác sử dụng luận văn có trích dẫn đầy đủ Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2020 Tác giả Nguyễn Tiến Hà LỜI CẢM ƠN Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Thu Vân, người hướng dẫn tận tình giúp đỡ tơi q trình làm luận văn Xin gửi tới quý thầy giảng dạy lớp Tốn Giải tích, Cao học Khóa 18.1, lời cảm ơn chân thành hết lịng truyền thụ tri thức giúp cho nâng cao lực chun mơn Xin cảm ơn Khoa Tốn - Ứng dụng Phòng Đào tạo sau Đại Học trường Đại Học Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi hỗ trợ cho cá nhân trình học tập làm luận văn tốt nghiệp trường Mặc dù có nhiều cố gắng chắn luận văn tránh khỏi hạn chế định Tôi xin chân thành cảm ơn nhận xét góp ý luận văn hồn thiện Tp Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng năm 2020 Tác giả Nguyễn Tiến Hà Mục lục Danh mục kí hiệu iii Lời mở đầu 1 Cơ sở Giải tích lồi 1.1 Khơng gian tuyến tính 1.2 Tập lồi 1.3 Khơng gian tuyến tính thứ tự 12 1.4 Ánh xạ lồi không gian tuyến tính 16 Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu 20 2.1 Các khái niệm điểm tối ưu 20 2.2 Điều kiện cần cho điểm tối tiểu tập hợp 27 2.3 Điều kiện đủ cho điểm tối tiểu tập hợp 28 Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng 31 i 3.1 Tối ưu Pareto 32 3.2 Phương pháp tổng có trọng số 35 3.3 Áp dụng phương pháp vơ hướng hóa vào toán tối ưu véc tơ lồi 39 3.3.1 Nhắc lại kết toán lồi 39 3.3.2 Áp dụng kết vào toán tối ưu véc tơ lồi 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Danh mục kí hiệu R Tập số thực Rn Không gian Euclide n-chiều 0X Phần tử không X co(S) Bao lồi tập S ri(S) Phần tương đối tập S cor(S) Phần đại số S lin(S) Bao đóng đại số tập S cone(S) Nón sinh tập S CX Nón lồi CX Nón đối ngẫu cho CX # CX Phần tương đối nón đối ngẫu int(S) Phần tập S epi(f ) Trên đồ thị hàm f ||x|| x21 + x22 + + x2n [x, y] Đoạn thẳng nối điểm x y αS Tập hợp {x ∈ Rn | x = αs, s ∈ S} βT Tập hợp {x ∈ Rn | x = βt, t ∈ T } domf Miền hữu hiệu f ∇f (x) Véctơ gradient hàm f ∂f (z) Dưới vi phân hàm lồi f N (C, z) Nón chuẩn C điểm z f iii Lời mở đầu Không tốn tối ưu thường gặp, hàm mục tiêu hàm số xác định không gian cho trước đó, tối ưu đa mục tiêu, hàm mục tiêu hàm véc tơ nhiều thành phần Bài toán tối ưu đa mục tiêu hay cịn gọi tối ưu véc tơ thường có dạng (PM) Min(f1 (x), , fm (x)) x∈S hàm véc tơ (f1 (x), , fm (x)) gọi hàm mục tiêu S miền ràng buộc Trường hợp lý tưởng gặp, việc tồn điểm z ∈ S làm cực tiểu tất hàm thành phần hàm mục tiêu Tuy nhiên, thực tế rằng, trường hợp xảy Bởi lẽ quan tâm nhiều mục tiêu lúc thơng thường mục tiêu xung khắc Vì vậy, quan tâm nhiều mục tiêu đồng thời toán tối ưu, ta cần phải tìm nghiệm làm cực tiểu tốn tối ưu đa mục tiêu theo nghĩa đó, tức nghiệm làm cực tiểu đồng thời tất mục tiêu, nghiệm đáp ứng yêu cầu cần thỏa hiệp mục tiêu thành phần theo nghĩa Để nghiên cứu toán tối ưu đa mục tiêu, xây dựng khái niệm nghiệm tối ưu cho lớp tốn để từ nghiên cứu điều kiện tối ưu cho toán Mặt khác, xây dựng lý thuyết điều kiện tối ưu cho toán tối ưu đa mục tiêu, người ta mong muốn tận dụng kết tối ưu đơn mục tiêu nghiên cứu Vì cần phải có sở lý thuyết để chuyển toán tối ưu đa mục tiêu tối ưu đơn mục tiêu Đó vấn đề vơ hướng hóa tốn tối ưu đa mục tiêu Một phương pháp vơ hướng hóa đơn giản với nhiều mục tiêu cần quan tâm, ta thay mục tiêu mục tiêu trung bình cộng mục tiêu Khi ta có tốn vơ hướng tương ứng (PM) Vì m Min x∈S (f1 (x) + + fm (x)) m số, nên ta cần quan tâm toán (P) Min(f1 (x) + + fm (x)) x∈S Thật ra, việc quan tâm hàm mục tiêu m (f1 (x), , fm (x)) không phản ánh xác nội dung tốn, ta thay hàm véc tơ hàm số trung bình hàm mục tiêu Để khắc phục điều người ta thay hàm mục tiêu hàm trung bình có trọng số hàm mục tiêu thành phần, tức xét toán (P1 ) Min(θ1 f1 (x) + + θm fm (x)) x∈S m θ1 , θ2 , , θm ≥ θi = i=1 Vấn đề đặt là: • Giữa tốn (MP) (P1 ) có mối liên hệ nào? Trong nhiều tài liệu ra, có nhiều phương pháp để chuyển tốn tối ưu véc tơ tốn vơ hướng Có thể liệt kê số phương pháp thế: phương pháp lấy tổng có trọng số, phương pháp Chankong-Haimes, phương pháp Chebysev, phương pháp Benson, Luận văn quan tâm tìm hiểu phương pháp vơ hướng hoá toán tối ưu đa mục tiêu Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục kí hiệu tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm có chương Chương 1: Bao gồm số kiến thức sở liên quan đến Giải tích lồi dùng để cung cấp khái niệm tối ưu đa mục tiêu, tính chất tảng cho luận văn Chương 2: Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu, trình bày số khái niệm, định lý, tính chất, bổ đề liên quan đến tối ưu với số ví dụ Chương 3: Vơ hướng hố, gồm ba phần: Phần 1: Mơ tả đầy đủ tập hợp tất yếu tố vơ hướng hóa tối ưu đa mục tiêu theo giả định phù hợp Phần 2: Giới thiệu khái niệm tối ưu hóa đa mục tiêu mở rộng tốn tối ưu hóa đa mục tiêu Giới thiệu phương pháp lấy tổng trọng số Phần 3: Áp dụng phương pháp vơ hướng hóa vào tối ưu véc tơ lồi Chương Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu nhọn C Xét hàm số f : S → R điểm x¯ ∈ S thoả f (¯ x) f (x) với x ∈ S (2.6) (i) Nếu hàm số f đơn điệu tăng S x¯ xác định (2.6) x¯ điểm tối tiểu tập S (ii) Nếu hàm số f đơn điệu tăng mạnh S x¯ điểm tối tiểu tập S Chứng minh (a) Ta dùng phản chứng Giả sử x¯ điểm tối tiểu, tức ∃x ∈ ({ x} - C) , x = x Vì f hàm tăng nên f (x) f (x) Kết hợp với 2.6, ta suy f (x) = f (x) Điều mâu thuẫn với tính x¯ 2.6 (b) Cũng dùng phản chứng, ta giả sử x¯ không điểm tối tiểu, tức ∃x ∈ ({ x} - C) , x = x Vì f hàm tăng mạnh nên f (x) < f (¯ x) Điều mâu thuẫn với 2.6 Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.2 [1, Định lý 5.18, trang 133] Cho X khơng gian tuyến tính với quan hệ thứ tự xác định nón nhọn CX S tập khác rỗng X 29 Chương Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu (i) Nếu có hàm số tuyến tính l ∈ CX điểm x¯ ∈ S thỏa l (¯ x) < l (x) với x ∈ S\{¯ x}, x¯ điểm tối tiểu tập S Khi # (ii) Nếu có hàm số tuyến tính l ∈ CX điểm x¯ ∈ S thỏa l (¯ x) < l (x) với x ∈ S, x¯ điểm tối tiểu tập S 30 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng Trong phần này, chúng tơi trình bày số kết đạt toán tối ưu đa mục tiêu theo nghĩa Pareto, chuyển từ toán đa mục tiêu đơn mục tiêu theo nghĩa trung bình trọng số Chúng ta xem xét tốn (V P ) M in (f1 (x) , f2 (x) , , fm (x)) x∈S (3.1) fi : Rn → R, i = 1, m; với S tập Rn Trong trường hợp m = 1, toán đa mục tiêu (V P ) trở thành đơn mục tiêu 31 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng 3.1 Tối ưu Pareto Giả thiết 3.1 [1, Giả thiết 11.2, trang 283] Giả sử S tập khác rỗng Rn giả sử f : S → Rm hàm véc tơ cho trước Không gian Rm giả định thứ tự nón Rm + Trong trường hợp m = 1, toán Minf (x) x∈S (3.2) quy toán tối ưu hoá chuẩn với hàm số giá trị vô hướng f Trường hợp m = 1, f1 , , fm mục tiêu khác tối ưu hoá, gọi tối ưu hoá đa mục tiêu cho toán (3.2) Điểm tối tiểu hàm véc tơ f := (f1 (x), f2 (x), , fm (x)) hiểu với ý nghĩa tạo ảnh điểm tối tiểu tập ảnh f (S) ứng với thứ tự Pareto (xem hình 3.1) Trong thực tiễn, Hình 3.1: Tập tạo ảnh f điểm tối tiểu tập f (S) khơng thể vai trị trung tâm tạo ảnh chúng quan trọng Định nghĩa 3.1 [1, Định nghĩa 11.3, trang 284] Với giả thiết 3.1, điểm x¯ ∈ S gọi nghiệm tối ưu Pareto (hoặc nghiệm hữu hiệu) 32 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng toán (VP), f (¯ x) điểm tối tiểu tập f (S) với thứ tự tự nhiên Rm , tức không tồn x ∈ S mà fi (x) fi (¯ x) với i ∈ {1, , m} với f (x) = f (¯ x) Ví dụ 3.1 [1, Ví dụ 11.4, trang 285] Xét tập ràng buộc S := (x1 , x2 ) ∈ R2 x21 − x2 0, x1 + 2x2 − hàm số véc tơ f : S → R2 với f (x1 , x2 ) = Điểm 57 , 16 −x1 x1 + với (x1 , x2 ) ∈ S x22 điểm tối đại f (S), tập hợp tất điểm tối tiểu f (S) (y1 , y2 ) ∈ R2 y1 ∈ −1, 1√ , y2 = −y1 + y14 Tập hợp tất điểm tối ưu Pareto chọn (x1 , x2 ) ∈ R2 x1 ∈ − 1√ 2, , x2 = x21 (xem hình 3.2) Định nghĩa 3.2 [1, Định nghĩa 11.5, trang 286] Với giả thiết 3.1, điểm x¯ ∈ S gọi nghiệm tối tiểu yếu Pareto (hoặc nghiệm hữu hiệu yếu) toán (VP), f (¯ x) điểm tối tiểu yếu tập f (S) với thứ tự Pareto Rm , tức không tồn x ∈ S mà fi (x) fi (¯ x) với i = 1, m 33 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng Hình 3.2: Những điểm tối tiểu tối đại T Ví dụ 3.2 [1, Ví dụ 11.6, trang 286] Chúng ta xét toán tối ưu hố đa mục tiêu Minf (x) x∈S S := (x1 , x2 ) ∈ R2 x1 1, x2 f : S → R2 với f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) với (x1 , x2 ) ∈ S S mơ tả hình vng R2 Vì f đồng thức, tập ánh xạ f (S) tương đương S Điểm (0, 0) điểm tối ưu Pareto tập hợp (x1 , x2 ) ∈ S| x1 = x2 = tập hợp tất điểm tối ưu yếu Pareto (xem hình 3.3) 34 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng Hình 3.3: Những điểm tối ưu yếu Pareto Định nghĩa 3.3 [1, Định nghĩa 11.8, trang 287] Với giả thiết 3.1, điểm x¯ ∈ S gọi nghiệm Pareto thực toán (VP), f (¯ x) điểm tối ưu với số thực µ > 3.2 Phương pháp tổng có trọng số Để chuyển toán (VP) toán vô hướng, người ta chuyển hàm mục tiêu véc tơ hàm mục tiêu vô hướng cách thay hàm mục tiêu véc tơ tổng có trọng số hàm thành phần (f1 (x), f2 (x), , fm (x)) → t1 f1 (x) + t2 f2 (x) + + tm fm (x) với ti ≥ 0, i = 1, m ti = Khi ta xét tốn m (P) Min x∈S ti fi (x) (3.3) i=1 Định lý 3.1 [1, Định lý 11.17, trang 294] Với giả thiết 3.1, giả sử m ti = Nếu x¯ ∈ S nghiệm tối ưu tồn số thực ti > 0, i=1 tốn (P) x¯ nghiệm tối ưu Pareto toán (V P ) 35 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng Định nghĩa 3.4 [1, Định nghĩa 11.18, trang 287, nghiệm tối ưu Pareto thực sự] Điểm x¯ ∈ S gọi nghiệm tối ưu Pareto thực toán (V P ) nghiệm tối ưu Pareto đồng thời tồn số µ > cho với i ∈ {1, , m} x ∈ S mà fi (x) < fi (¯ x) tồn số j ∈ {1, , m} cho fj (x) > fj (¯ x) fi (¯ x) − fi (x) ≤ µ fj (x) − fj (¯ x) Ví dụ 3.3 [1, Ví dụ 11.9, trang 288] Chúng ta tìm hiểu tốn tối ưu đa mục tiêu (3.2) với đường tròn đơn vị S := (x1 , x2 ) ∈ R2 x21 + x22 ≤ , ánh xạ đồng f : S → R2 với f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) với (x1 , x2 ) ∈ S Tập hợp điểm tối ưu Pareto (x1 , x2 ) ∈ R2 x1 ∈ [−1; 0] x2 = − − x21 (xem hình 3.4) Ngoại trừ hai điểm (−1; 0) (0; −1), tất điểm tối ưu Pareto khác nghiệm tối ưu Pareto thực Thật vậy, ta điểm (−1; 0) không điểm tối ưu Pareto thực Cho số tự nhiên tùy ý n ∈ N, xét điểm x(n) := 1√ 2n − −1 + ; − n n đường tròn đơn vị Với n ∈ N, ta có f1 (x(n)) > f1 (¯ x) 36 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng Hình 3.4: Điểm tối ưu Pareto ví dụ 3.3 f2 (x(n)) < f2 (¯ x) √ √ 2n − f2 (¯ x) − f2 (x(n)) x¯2 − x2 (n) = = n = 2n − f1 (x(n)) − f1 (¯ x) x1 (n) − x¯1 −1 + n1 + với n ∈ N Điều hiển nhiên cận µ > dạng không tồn Tương tự, x¯ = (−1; 0) không điểm tối ưu Pareto thực Định lý 3.2 [1, Định lý 11.15, trang 290] Với giả thiết 3.1, cho số thực t1 , t2 , , tm > Nếu x¯ ∈ S nghiệm tốn (P) x¯ nghiệm tối ưu Pareto thực toán (V P ) Chứng minh Theo định lý 2.2, (b), x¯ điểm tối ưu Pareto toán (3.3) Giả sử x¯ không điểm tối ưu Pareto thực Ta chọn µ := (m − 1) max i,j∈{1, ,m} tj ti với m Tồn i ∈ {1, , m}, x ∈ S : fi (x) < fi (¯ x), số j ∈ 37 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng {1, 2, , m} \ {i} : fj (¯ x) < fj (x), ta có fi (¯ x) − fi (x) > µ, fj (x) − fj (¯ x) suy fi (¯ x) − fi (x) > µ (fj (x) − fj (¯ x)) (m − 1) tj (fj (x) − fj (¯ x)) , ti ∀j ∈ {1, , m} \ {i} Phép nhân với ti m−1 , ta ti (fi (¯ x) − fi (x)) ≥ tj (fj (x) − fj (¯ x)), ∀j ∈ {1, 2, , m} \ {i} m−1 Tiếp theo, ta lấy tổng theo j ∈ {1, 2, , m} \ {i}, ta m tj (fj (x) − fj (¯ x)) ti (fi (¯ x) − fi (x)) > j=1 j=i suy m tj (fj (x) − fj (¯ x)) 0> j=1 hay m m tj fj (¯ x) > j=1 tj fj (x) j=1 Điều mâu thuẫn với giả thiết x¯ ∈ S nghiệm tốn tối ưu hố vơ hướng (3.1) Ta có điều phải chứng minh Định lý 3.3 [4, Định lý 11.7, trang 287] Với giả thiết 3.1, cho số thực t1 , t2 , , tm ≥ Nếu x¯ ∈ S nghiệm tốn (P) x¯ nghiệm tối ưu Pareto yếu toán (V P ) 38 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng 3.3 Áp dụng phương pháp vơ hướng hóa vào tốn tối ưu véc tơ lồi 3.3.1 Nhắc lại kết toán lồi Xét toán (CP) Minimize f (x) gi (x) ≤ 0, i ∈ K := {1, 2, , k} s.t (3.4) x ∈ C f, gi , i ∈ K hàm lồi thường xác định Rn C ⊂ Rn tập lồi đóng Định lý 3.4 [4, Định lý 3.9, trang 164] Với toán (CP), giả sử điều kiện Slater thỏa mãn, tức tồn xˆ ∈ ri(C) cho gi (ˆ x) < với i ∈ K Khi điều kiện cần đủ để z nghiệm tối ưu toán tồn λi ≥ 0, i ∈ M, không đồng thời triệt tiêu cho điều kiện KKT sau thỏa mãn, tức k ∈ ∂f (z) + λi ∂gi (z) + N (C, z), λi gi (z) = 0, i ∈ K (3.5) i=1 ∂f (z), ∂gi (z), i ∈ K, vi phân hàm lồi f hàm lồi gi z, cịn N (C, z) nón pháp tuyến tập lồi C điểm z 39 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng 3.3.2 Áp dụng kết vào toán tối ưu véc tơ lồi Xét toán (VCP) Minimize f (x) = (f1 (x), f2 (x), , fm (x)) s.t gi (x) ≤ 0, i ∈ K := {1, 2, , k}, (3.6) x ∈ C fj , j ∈ M := {1, 2, , m} hàm gi , i ∈ K, hàm lồi thường xác định Rn , tập C ⊂ Rn tập lồi đóng Bằng cách áp dụng phương pháp vơ hướng hóa, chúng tơi xét tốn vô hướng tương ứng sau (SVCP) Minimize F (x) = t1 f1 (x) + t2 f2 (x) + + tm fm (x)) s.t gi (x) ≤ 0, i ∈ K := {1, 2, , k} x ∈ C (3.7) Rõ ràng tốn có hàm mục tiêu hàm vô hướng Áp dụng kết tính chất vi phân hàm lồi định lý MoreauRockafellar vi phân tổng hàm lồi, ta nhận định lý sau: Định lý 3.5 Giả sử điều kiện Slater thỏa mãn, tức ∃ˆ x ∈ ri(C) : gi (ˆ x) < 0, ∀i ∈ K Giả sử thêm ri(domf1 ) ∩ ri(domf2 ) ∩ ∩ ri(domfm ) = ∅ m Khi đó, tồn số ti > 0, ti = đồng thời tồn i=1 40 Chương Phương pháp tổng có trọng số tối ưu đa mục tiêu ứng dụng λi ≥ 0, i ∈ M, không đồng thời triệt tiêu cho điều kiện KKT sau thỏa mãn, m 0∈ k λi ∂gi (z) + N (C, z), λi gi (z) = 0, i ∈ K (3.8) tj ∂fj (z) + j=1 i=1 z nghiệm hữu hiệu Pareto toán (VCP) Chứng minh Nếu điều kiện (3.8) thỏa mãn cách áp dụng Định lý 3.4, ta nhận z nghiệm tối ưu tốn (SVCP) Vì m tồn trọng số ti > 0, ti = nên theo Định lý 3.2, z nghiệm i=1 Pareto toán (VCP) Chú ý: Nếu định lý trên, ta thay điều kiện tồn số m m ti = số ti ≥ 0, ti > 0, i=1 ti = ta nhận nghiệm i=1 Pareto yếu toán (VCP) 41 Kết luận Luận văn đạt vấn đề sau đây: Tìm hiểu hệ thống lại số kiến thức liên quan đến phương pháp vô hướng hố Trình bày lại chứng minh mối quan hệ vơ hướng hố với nghiệm tối ưu toán tối ưu đa mục tiêu Các nội dung thu hoạch dựa theo tài liệu [1] Tìm hiểu số ứng dụng thơng qua phương pháp vơ hướng hố tối ưu đa mục tiêu Tìm hiểu số ví dụ có tài liệu [1] minh họa cách tìm nghiệm Tìm hiểu định lý tài liệu [4] áp dụng phương pháp vơ hướng hóa vào tối ưu véc tơ lồi Nội dung luận văn thu hoạch qua tìm hiểu số vấn đề có tính lý thuyết liên quan đến phương pháp vơ hướng hố tối ưu đa mục tiêu Các nội dung này, phần yếu dựa tài liệu số [1] 42 Tài liệu tham khảo [1] J.Jahn, Vector Optimization: Theory, Applications, and Extensions, DOI 10.1007/978-3-642-17005-8, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 [2] S-M Grad, Vector Optimization and Monotone Operators via Convex Duality, Springer, Switzerland, 2015 [3] G Eichfelder, Variable Ordering Structures in Vector Optimization, Springer, Newyork, 2014 [4] Tạ Quang Sơn, Giáo trình Giải tích lồi Tối ưu, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2017 [5] M.S Bazarra, C Shetty and H Sherali, Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, John Wiley & Son, Singapore, 1993 43 ... chuyển toán tối ưu đa mục tiêu tối ưu đơn mục tiêu Đó vấn đề vơ hướng hóa toán tối ưu đa mục tiêu Một phương pháp vơ hướng hóa đơn giản với nhiều mục tiêu cần quan tâm, ta thay mục tiêu mục tiêu trung... Khơng tốn tối ưu thường gặp, hàm mục tiêu hàm số xác định khơng gian cho trước đó, tối ưu đa mục tiêu, hàm mục tiêu hàm véc tơ nhiều thành phần Bài toán tối ưu đa mục tiêu hay gọi tối ưu véc tơ... hợp tất yếu tố vơ hướng hóa tối ưu đa mục tiêu theo giả định phù hợp Phần 2: Giới thiệu khái niệm tối ưu hóa đa mục tiêu mở rộng tốn tối ưu hóa đa mục tiêu Giới thiệu phương pháp lấy tổng trọng