Dáng điệu tiệm cận của họ các toán tử tiến hóa bị nhiễu và một vài ứng dụng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CÔNG HÙNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TỐN TỬ TIẾN HĨA BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CÔNG HÙNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mục lục Lời nói dầu Chương Phương trình vi phân khơng gian Banach họ tốn tử tiến hóa 1.1 Sự tồn nghiệm 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach họ tốn tử tiến hóa 11 1.3 Sự ổn định giới nội nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 17 1.4 Phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach với tốn tử 25 1.4.1 Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng 25 1.4.2 Điều kiện tồn nghiệm giới nội phương trình vi phân tuyến tính khơng 26 Chương Lý thuyết nửa nhóm tuyến tính tốn ứng dụng 31 2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach nhiễu 31 2.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach 31 2.1.2 Tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 36 2.1.3 Bài tốn Cauchy đặt chỉnh cho phương trình tiến hóa 47 2.1.4 Nhiễu nửa nhóm 50 2.2 Ứng dụng phương pháp nửa nhóm cho mơ hình dân số phụ tuổi 52 2.2.1 Mơ hình dân số cổ điển 53 2.2.2 Mơ hình dân số với phân bố tuổi dạng cổ điển 55 2.2.3 Mơ hình dân số phụ thuộc tuổi dạng tổng quát 60 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân (LTDTCPTVP) Một hướng nghiên cứu quan trọng nhiều người quan tâm LTDTCPTVP lý thuyết ổn định theo nghĩa Lyapunov (1857-1918) Dù trải qua thời gian dài lý thuyết ổn định lĩnh vực mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều thành tựu quan trọng Đồng thời lý thuyết ổn định ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học, Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach sử dụng nhiều phương pháp khác Ở đây, khuôn khổ luận văn thạc sĩ chúng tơi trình bày hai phương pháp phương pháp xấp xỉ thứ họ tốn tử tiến hóa phương pháp nửa nhóm bị nhiễu Trong phần cuối chúng tơi trình bày ứng dụng phương pháp nửa nhóm vào việc nghiên cứu mơ hình quần thể phụ thuộc tuổi Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Bao gồm kiến thức chuẩn bị, phương trình vi phân khơng gian Banach họ tốn tử tiến hóa Chương 2: Trình bày lý thuyết nửa nhóm ứng dụng lý thuyết nửa nhóm vào mơ hình tiến hóa quần thể có phụ thuộc tuổi Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, PGS TS Đặng Đình Châu, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội trang bị cho tác giả kiến thức lý thuyết toán học Cảm ơn thầy phịng sau đại học phòng ban chức tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln cổ vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Do thời gian trình độ cịn có hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót mong nhận đóng góp thầy bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà nội, Ngày 03 Tháng 11 Năm 2012 Tác giả: Nguyễn Công Hùng Bảng kí hiệu N R R+ C C[a,b] C[a,b] Rn B L(B) C([a, b]; B) Lp (R) Lp ([a, b]) W 1,1 [a, b] Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập hợp số thực dương Tập hợp số phức Tập hàm liên tục đoạn [a, b] Tập hàm khả vi, liên tục đoạn [a, b] Không gian n chiều Không gian Banach Khơng gian tốn tử tuyến tính giới nội từ B vào B Không gian hàm liên tục [a, b] lấy giá trị B Không gian hàm khả tích bậc p R Khơng gian hàm khả tích bậc p [a, b] Khơng gian Sobolev (Khơng gian hàm có đạo hàm yếu bậc có chuẩn L1 ([a, b]) hữu hạn) Chương Phương trình vi phân khơng gian Banach họ tốn tử tiến hóa Giả sử B khơng gian Banach Trong khơng gian B ta xét phương trình vi phân: dx(t) = f (t, x(t)), (1.1) dt t ∈ R+ , x(.) ∈ B hàm f : R+ × D −→ D, D miền đơn liên không gian Banach B Từ sau, không nói thêm ta hiểu nghiệm (1.1) nghiệm theo nghĩa cổ điển sau: Định nghĩa 1.0.1 Hàm x : I −→ B (I ⊂ R+ ) khả vi liên tục theo t ∈ I gọi nghiệm (1.1) ta thay vào (1.1) thu đồng thức I Tức dx(t) = f (t, x(t)); ∀t ∈ I, dt (trong dx(t) đạo hàm hiểu theo nghĩa Frechet) dt Bài tốn Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước Tương ứng với phương trình (1.1), người ta thường xét phương trình tích phân sau: t x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ (1.2) t0 Nhận xét Trong trường hợp B = Rn Kí hiệu f = (f1 ; f2 ; ; fn ); x(t) = (x1 (t); x2 (t); ; xn (t)) Khi đó, phương trình (1.1) viết sau:  dx1   = f1 (t; x1 ; x2 ; ; xn )   dt     dx2 = f (t; x ; x ; ; x ) 2 n dt         dxn = fn (t; x1 ; x2 ; ; xn ) dt (trong t ∈ R+ ; x1 ; x2 ; ∈ R) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = (x1 (t0 ); x2 (t0 ); ; xn (t0 )) = (x01 ; x02 ; ; x0n ) phương trình tích phân (1.2) viết dạng t xk (t) = x0k + fk (t, x1 (τ ), x2 (τ ), , xn (τ ))d(τ ) (k = 1, 2, , n) t0 Với , η số dương Chúng ta kí hiệu W( ,η) = (t, x) ∈ R+ × B)| |t − t0 | ≤ ; ||x − x0 || ≤ η lân cận đóng điểm (t0 , x0 ) R+ × B Khi đó, ta có định lí tồn nghiệm toán Cauchy sau: 1.1 Sự tồn nghiệm Định lý 1.1.1 (Tính nghiệm địa phương) Giả sử tồn lân cận đóng (t0 , x0 ) cho lân cận hàm f (t, x) liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||, (1.3) (M số hữu hạn) Khi đó, tồn lân cận x0 mà lân cận (1.1) có nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 Chứng minh Từ giả thiết ta suy , η > cho miền |t − t0 | ≤ , ||x − x0 || ≤ η , ta có: ||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )|| ≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < ∞ (Do f (t, x) liên tục theo t nên f (t, x0 ) bị chặn |t − t0 | ≤ ) Lấy δ = min( ; Mη1 ) kí hiệu Cδ (B) không gian Banach hàm liên tục x(t) xác định |t − t0 | ≤ δ với chuẩn |||x||| = sup ||x(t)|| |t−t0 |≤δ Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η} Xét toán tử t (Sx)(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 t ||(Sx)(t) − x0 || = f (τ, x(τ ))dτ t0 ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))|| τ ∈[t0 ,t] ≤ δM1 ≤ η Suy toán tử S ánh xạ từ Bη vào Bη (∀x(t) ∈ Bη ) 2.1.4 Nhiễu nửa nhóm Bài tốn: Cho A : D(A) ⊆ B → B toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Xét B : D(B) ⊆ B → B Tìm điều kiện để tổng A + B sinh nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 Khi đó, ta nói toán tử sinh A bị làm nhiễu B B nhiễu toán tử A tổng A + B xác định sau: ∀x ∈ D(A + B) := D(A) ∩ D(B) (A + B)x := Ax + Bx, Định lý 2.1.3 (Định lý nhiễu bị chặn) Cho (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 không gian Banach B thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M eωt , ∀t ≥ 0, ω ∈ R, M > Nếu B ∈ L(B) C := A+B với D(C) := D(A) sinh nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 thỏa mãn ||S(t)|| ≤ M e(ω+M ||B||)t , ∀t ≥ Chứng minh Xem [4] III.1.3 Hệ 2.1.3 Xét hai nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh A (S(t))t≥0 với toán tử sinh C không gian Banach B Giả sử C = A + B, B ∈ L(B) Khi đó: t T (t − s)BS(s)xds, S(t)x = T (t)x + ∀t ≥ 0, ∀x ∈ B Chứng minh Lấy x ∈ D(A), xét hàm ξx [0; t] xác định ξx (s) := T (t − s)S(s)x Ta có D(A) = D(C) d ξx (s) = T (t − s)CS(s)x − T (t − s)AS(s)x = T (t − s)BS(s)x dx Lấy tích phân [0; t] ta có: t d ξx (s)ds = dx Suy S(t)x − T (t)x = t T (t t T (t − s)BS(s)xds − s)BS(s)xds ∀x ∈ D(A) Do D(A) = B T, B, S toán tử bị chặn nên đẳng thức với x ∈ B 50 Chú ý Nếu thay ξx ηx (s) = S(s)T (t − s)x lập luận tương tự ta có: t S(s)BT (t − s)xds, S(t)x = T (t)x + ∀x ∈ B, ∀t ≥ 0 Hệ 2.1.4 Cho (T (t))t≥0 (S(t))t≥0 hai nửa nhóm liên tục mạnh Trong tốn tử sinh (S(t))t≥0 nhận từ toán tử sinh (T (t))t≥0 nhiễu bị chặn Khi ||T (t) − S(t)|| ≤ M t, ∀t ∈ [0; 1], M số dương Chứng minh Áp dụng hệ 2.1.3 ta có: t ||T (t − s)BS(s)x||ds ||T (t)x − S(t)x|| = ≤ t sup ||T (r)|| sup ||S(s)|| ||B|| ||x||, r∈[0;1] s∈[0;1] với x ∈ B, ∀t ∈ [0; 1] Suy ||T (t) − S(t)|| ≤ M t, ∀t ∈ [0; 1] Định nghĩa 2.1.9 (Toán tử Volterra) Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục không gian Banach B B ∈ L(B) Với t0 > ta xác định: t T (t − s)BF (s)xds V F (t)x := với x ∈ B, F ∈ C([0; 1], Ls (B)) ≤ t ≤ t0 Toán tử V gọi toán tử Volterra trừu tượng Bổ đề 2.1.6 Toán tử Volterra ứng với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 toán tử bị chặn B ∈ L(B) toán tử bị chặn C([0; 1], Ls (B)) thỏa mãn: (M ||B||t0 )n , n! M := sups∈[0;t0 ] ||T (s)|| ||V n || ≤ ∀n ∈ N Đặc biệt r(V ) = ( r(V )là bán kính phổ V ) 51 (2.9) Chứng minh Xem [4] III.1.9 ∞ n n=0 V Chú ý Từ (2.9) ta suy chuỗi hội tụ Suy ∈ ρ(V ) ∞ −1 R(1, V ) = (I − V ) V n = n=0 Khi đó, phương trình tích phân t T (t − s)BS(s)xds S(t)x = T (t)x + trở thành : T (.) = (I − V )S(.) với T (.), S(.) ∈ C([0; 1], Ls (B)) Do ∞ V n T (.) hội tụ không gian C([0; 1], Ls (B)) S(.) = R(1, V )T (.) = n=0 Định lý 2.1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 sinh C := A+B, A tốn tử sinh (T (t))t≥0 B ∈ L(B) biểu diễn sau: ∞ Sn (t) S(t) := (2.10) n=0 Trong S0 (t) = T (t) Sn+1 (t) = V Sn (t) = t T (t − s)BSn (s)ds Ở chuỗi (2.10) hội tụ theo chuẩn toán tử L(B) Chứng minh Xem [4] III.1.10 2.2 Ứng dụng phương pháp nửa nhóm cho mơ hình dân số phụ thuộc tuổi Từ năm 1798 Malthus bắt đầu xây dựng mơ hình dân số sau có nhiều cải tiến mơ hình vầ xây dựng mơ hình dân số Chẳng hạn mơ hình Logistic, mơ hình Lotk-Voitera Trong phần này, trước tiên giới thiệu vài mơ hình dân số cổ điển sau trình bày việc ứng dụng phương pháp nửa nhóm việc xây dựng mơ hình dân số phân bố theo tuổi 52 2.2.1 Mơ hình dân số cổ điển Xét phương trình bảo tồn dân số dN = b(t) − d(t) + m(t) (2.11) dt Trong N (t) dân số thời điểm t b(t), d(t), m(t), dN dt dân số sinh ra, dân số chết đi, di cư tốc độ thay đổi dân số Trong trường hợp đơn giản ta xét m(t) = (tức mơ hình khơng có di cư) Khi dân số sinh dân số chết tỷ lệ thuận với N Ta có phương trình: dN = bN − dN =⇒ N (t) = N0 e(b−d)t , (2.12) dt với N0 = N (0) số dân ban đầu thời điểm t = Phương trình (2.12) phản ánh tốc độ tăng trưởng dân số • Nếu b > d dân số tăng theo cấp số nhân • Nếu b < d dân số dần diệt vong Trong trường hợp dân số tăng trưởng theo cấp số nhân Ta xét phương trình hậu dân số dN N = rN − (2.13) dt K Trong r, K sô dương K sức tải mơi trường xác định nguồn tài ngun có sẵn để trì r − N K tỷ lệ sinh theo đầu người phụ thuộc vào N Xét tính ổn định phương trình (2.13) vị trí cân bằng: Nếu N = tính chất tuyến tính nên ta có: dN dt ≈ rN hay N (t) = N0 ert với r > 0, phương trình (2.13) khơng ổn định t → +∞ Nếu N = K tính chất tuyến tính ta có: d(N −K) dt ≈ −r(N −K) với điều kiện ban đầu N0 = N (0) Khi ta có N (t) = N0 Kert [K + N0 (ert − 1)] 53 −→ K t → +∞ Hình 2.1: Tăng trưởng hậu dân số Lưu ý khác biệt hai trường hợp N0 < K K < N0 < K Do trạng thái phương trình ổn định mơ tả hình (2.1) Bây xét phương trình dân số xác định hàm sau: dN = f (N ) dt (2.14) Trong f (N ) hàm phi tuyến phụ thuộc vào N Giả sử N ∗ vị trí cân phương trình (2.14) (tức f (N ∗ ) = 0) Nếu ta đặt n(t) ≈ N (t) − N ∗ , |n(t)| phương trình (2.14) trở thành dN = f (N ∗ + n) ≈ f (N ∗ ) + nf (N ∗ ) + dt thứ tự n(t) dn ≈ nf (N ∗ ) dt =⇒ ∗ n(t) ≈ ef (N )t (2.15) Khi • Nếu f (N ∗ ) < phương trình (2.15) ổn định với nhiễu loạn nhỏ • Nếu f (N ∗ ) > phương trình (2.15) khơng ổn định 54 Hình 2.2: Mơ hình động lực dân số: dN dt = f (ω) với vài trạng thái ổn định, Grad(f (N )) trạng thái ổn định (f (N ) = 0) xác định ổn định tuyến tính Với Unstable khơng ổn định Stable ổn định Trạng thái ổn định mơ tả hình (2.2) Một thiếu sót mơ hình dân số cổ điển phương trình vi phân thơng thường khơng phản ánh cấu trúc quần thể dân số phân bố theo lứa tuổi khác Trong thời đại ngày toán thu hút nhiều người quan tâm Vì xét mở rộng liên quan đến phụ thuộc vào độ tuổi sinh tốc độ chết Để khắc phục hạn chế năm 1945 nhà nghiên cứu Leslie xây dựng ma trận Leslie với mục đích hợp lớp tuổi khác nguyên sinh, trưởng thành hay di chuyển số lường từ quần thể đến quần thể khác vào mơ hình Tiếp theo nhà nghiên cứu Chalesworth (1980), Metz Diekmann (1986) Kot (2001) mở rộng phổ biến ứng dụng mô hình cấu trúc tuổi 2.2.2 Mơ hình dân số với phân bố tuổi dạng cổ điển Xét phương trình bảo tồn dân số dn(t, a) = ∂n ∂n dt + da = −µ(a)n(t, a)dt ∂t ∂a (2.16) Trong n(t, a) dân số thời điểm t theo độ tuổi từ a đến a + da Các hàm b(a) µ(a) tỷ lệ sinh tỷ lệ chết quần thể (xem hình 2.3) µ(a)n(t, a)dt số dân độ tuổi a chết thời gian 55 Hình 2.3: Chất lượng sinh (a) chết (b) tỷ lệ cho người chức năm tuổi tăng lên nhỏ dt n(t, 0) tốc độ sinh (có thể khơng có cá thể sinh độ tuổi a > 0) Chia hai vế phương trình (2.16) cho dt ta phương trình đạo hàm riêng cấp (chú ý thời gian t tăng lên tuổi a tăng theo nên da dt = 1) ∂n ∂n + = −µ(a)n với t > a > ∂t ∂a (2.17) với điều kiện ban đầu n(t, a) thời điểm t độ tuổi a n(0, a) = f (a) (2.18) cho biết số dân thời điểm t = có phân bố tuổi cho trước f (a) điều kiện biên khác tốc độ sinh n(t, 0) (có thể khơng có sinh vật sinh độ tuổi a > 0) ∞ n(t, 0) = b(a)n(t, a)da (2.19) Theo a → ∞ b(a) → 0, nên ta thay ∞ am b(a) = với a > am Một câu hỏi đặt tỷ lệ sinh b(a) tỷ lệ chết µ(a) có ảnh hưởng đến phát triển quần thể sau thời gian dài Bây ta xét đặc trưng phương trình (2.17) sau: (xem Kevorkian 2000) da = 1, dt dn = −µn dt 56 (2.20) Hình 2.4: Đặc tính phương trình Von Foerster (2.17) Giả sử a0 độ tuổi ban đầu cá thể thời điểm t = t0 thời điểm sinh thể Khi độ tuổi cá thể thời điểm t xác định sau: (xem hình 2.4) a= t + a0 a>t t − t0 a < t (2.21) Phương trình thứ (2.20) có hai nghiệm khác nhau: Nếu a > t, tích phân hai vế phương trình thứ hai (2.20) sử dụng da dt = kết hợp điều kiện (2.21) ta có a n(t, a) = n(0, a0 )exp − µ(s)ds , a > t a0 n(0, a0 ) = n(0, a − t) = f (a − t) từ (2.18) ta suy a n(t, a) = f (a − t)exp − µ(s)ds , a > t (2.22) a−t Nếu a < t, ta có a n(t, a) = n(t0 , 0)exp − µ(s)ds Do n(t0 , 0) = n(t − a, 0) nên ta có: a n(t, a) = n(t − a, 0)exp − µ(s)ds , 57 a < t (2.23) Trong phương trình cuối n(t − a, 0) xác định nhờ vào việc giải phương trình (2.19), sử dụng (2.22) (2.23) ta có t a b(a)n(t − a, 0)exp − n(t, 0) = µ(s)ds da ∞ a b(a)f (t − a)exp − + (2.24) µ(s)ds da t a−t Mặc dù việc giải phương trình khơng dễ, ta thực nhờ vào phép lặp Bây ta quan tâm đến dáng điệu quần thể thời gian dài thực tế tăng hay giảm Ta xét nghiệm khác phương trình (2.17) sau: (xem Kevorkian 2000) n(t, a) = eγt r(a) (2.25) Khi phân bố tuổi bị thay đổi nhân tố phát triển trì hỗn tùy theo thời gian γ > γ < Thật vậy, ta thay (2.25) vào (2.18) ta được: dr = −[µ(a) + λ]r, da a r(a) = r(0)exp −γa − µ(s)ds (2.26) Với r(a) (2.25) n(t, a) thêm vào điều kiên biên (2.19) cho ta đẳng thức: ∞ eγt r(0) = a b(a)eγt r(0)exp −γa − µ(s)ds da Do đó, triệt tiêu eγt r(0 ta được: ∞ a b(a)exp −γa − 1= µ(s)ds da = φ(γ) (2.27) Phương trình xác định γ nhất, γ0 , φ(γ) hàm đơn điệu giảm theo γ Dấu γ xác định đại lượng φ(0);(xem 58 Hình 2.5: Yếu tố tăng trưởng y0 xác định giao điểm φ(y) = : y0 > φ(0) > y0 < φ(0) < hình 2.5) Thấy rằng, γ0 xác định tỷ lệ sinh b(a) tỷ lệ chết µ(a) Ngưỡng tới hạn S cho phát triển dân số là: ∞ a b(a)exp − S = φ(0) = µ(s)ds da (2.28) Với S > cho thấy phát triển S < cho thấy trì hỗn Trong (2.28) ta coi exp − a µ(s)ds xác suất để cá thể sống sót độ tuổi a Nghiệm (2.25) (2.26) thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.18) Câu hỏi đặt liệu nghiệm có xấp xỉ tới nghiệm (2.17)-(2.19) sau thời gian đủ lớn, tốn thơng thường khơng Nếu t đủ lớn để n(t, a) (2.24) xấp xỉ tích phân biên vế phải t n(t, 0) ≈ a b(a)n(t−a, 0)exp − µ(s)ds da, t → ∞ (2.29) a−t Nếu tìm nghiệm phương trình có dạng tương tự (2.25); thay vào (2.29) thu (2.27) Vì ta đốn nghiệm phương trình (2.25) với r(a) từ (2.26) γ từ (2.27) nghiệm với t đủ lớn phương trình (2.19) với điều kiện ban đầu điều kiện biên (2.20) (2.21) Tất nhiên khơng xác định để mở rộng số r(0) ta quan tâm đến phát triển hay trì hỗn nên ta khơng quan tâm đến r(0) khơng gây ảnh hưởng Tham số 59 quan trọng tham số ngưỡng S (2.28) từ việc kéo dài thời gian ảnh hưởng đến tỷ lệ sinh tiêu vong đánh giá 2.2.3 Mơ hình dân số phụ thuộc tuổi dạng tổng quát Chúng ta xét quần thể sinh học phân chia thành nhiều nhóm nhỏ theo quy mơ (kích thước) phân bố cá thể (chẳng hạn theo lứa tuổi) Kí hiệu n(t, s) số lượng dân số nhóm dân số thời điểm t với quy mơ s Khi đó, số lượng tồn dân số nhóm cá thể thời điểm t có kích thước từ s1 đến s2 xác định sau: s2 n(t, s)ds s1 Sau ta ln giả thiết rằng: • Mỗi nhóm dân số tăng trưởng tuyến tính theo thời gian • Mỗi nhóm dân số chết với xác suất phụ thuộc vào quy mơ chúng • Mỗi nhóm dân số phân chia thành nhóm cháu phụ thuộc cách ngẫu nhiên vào quy mơ Ngồi ra, giả sử thêm rằng: • Tồn nhóm dân số có quy mơ cực đại (thơng thường s = 1) • Tồn nhóm dân số có quy mơ cực tiểu s = α > tương ứng với mật độ cách phân chia Như vậy, kích thước s cá thể quần thể phải thỏa mãn s ≥ α2 Từ giả thiết ta có phương trình tiến hóa sau: (xem [MD86, phần A-I.4]) ∂ ∂ n(t, s) = − n(t, s) − µ(s)n(t, s) − b(s)n(t, s) (CE) ∂t ∂s 4b(2s)n(t, 2s) với α2 ≤ s ≤ 12 + với 12 ≤ s ≤ 60 với điều kiện biên α n(t, ) = với t ≥ điều kiện ban đầu n(0, s) = n0 (s) với α ≤ s ≤ Ngoài ra, giả sử tỷ lệ chết µ hàm liên tục dương xác định [ α2 , 1], tỷ lệ sinh hàm liên tục thỏa mãn điều kiện: b(s) > với s ∈ (α, 1) b(s) = s khác Chúng ta xác lập phương trình vi phân trừu tượng ứng với toán (CE) cách đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2.1 Trong không gian Banach B := L1 [ α2 , 1] xác định toán tử A0 f = −f − (µ + b)f Bf (s) := b(2s)n(t, 2s) với α α D(A0 ) = f ∈ W 1,1 [ , 1] : f ( ) = 2 với với α ≤s≤ ≤s≤1 với hàm f ∈ B Và toán tử A = A0 + B với D(A) := D(A0 ) Với định nghĩa phương trình đạo hàm riêng (CE) trở toán Cauchy trừu tượng (ACP ) u(t) ˙ = A0 u(t) + Bu(t) u(0) = n0 , với t ≥ 0, với u hàm véctơ u : R+ → L1 [ α2 , 1] Sử dụng lý thuyết nhiễu nửa nhóm định lý toán Cauchy đặt chỉnh (Xem mục 2.1.3 mục 2.1.4) đến kết sau: 61 Định lý 2.2.1 Toán tử (A0 , D(A0 )) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T0 (t))t≥0 B xác định T0 (t)f (s) := e− t s−t (µ(τ )+b(τ ))dτ f (s − t) với s − t > α với s − t < α2 (2.30) Toán tử (A, D(A)) tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 B toán Cauchy trừu tượng (ACP) đặt chỉnh Nửa nhóm (T (t))t≥0 tương ứng với phương trình (CE) ổn định mũ ξ(0) < Trong ξ(.) hàm đặc trưng ξ(λ) = −1 + 4b(2σ)e− α 2σ σ (µ(τ )+b(τ )+λ)dτ dσ với λ ∈ C Chứng minh Xem [4].VI Bổ đề 1.2 - Mệnh đề 1.3 - Định lí 1.19 62 Kết luận Trong luận văn trình bày nội dung sau: Phương trình vi phân khơng gian Banach, họ tốn tử tiến hóa phương pháp xấp xỉ thứ nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính với tốn tử bị chặn Phương trình tiến hóa đặt chỉnh Ứng dụng phương pháp nửa nhóm có nhiễu để nghiên cứu mơ hình quần thể có phụ thuộc vào tuổi 63 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] E.A.Barbasin (1967), Mở đầu lý thuyết ổn định (dịch từ nguyên tiếng Nga), NXB khoa học kỹ thuật [3] Ju.L,Daleckii and M.G.Krein (1974), Stability of solutions of differential Equations in Banach Space,American Mathematical Society Providence, Rhode Island [4] K.J Engel-R.Nagel (2000), One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer verlog NewYork [5] K.-J Engel and R Nagel (2005), A short course on operator Semigroups, Springer-Verlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona Heidelberg Milan Singapore [6] S G Krein (1971), Linear differential equations in Banach space, American Mathematical society, Providence, Rhode Island 02904 [7] J D Murray(2002).Mathematical Biology: I An introdution third Edition (3ed spinger) [8] G.F.Webb (1982), Theory of nonlinear age-dependent population dynamics, Pure and applied mathematics, a program of monographs, text books, and Lecture Notes 64