2. Đề thi chọn HSG Toán 11 năm học 2019 – 2020 trường THPT thị xã Quảng Trị

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HĨA LỚP 11 Khóa thi ngày 12 tháng năm 2020 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề  x +1 + x −1 x ≠  Câu I (5,5 điểm): Cho hàm số f ( x ) =  Tìm m để hàm số f ( x ) liên x m − x =  tục x = Một tổ gồm 10 học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ có hai học sinh nữ tên Trang Thủy Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh thành hàng ngang Tính xác suất để xếp hàng ngang mà hai học sinh nữ Trang Thủy đứng cạnh nhau, đồng thời học sinh nữ lại không đứng cạnh không đứng cạnh Trang Thủy Câu II (7,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng Am ·ABC = 30° BC = 2a Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC Biết hai mặt phẳng ( SHA ) ( SBC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , đồng thời SA tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60° a) Tính góc tạo SA mặt phẳng ( SBC ) b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) theo a Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vng A Gọi H hình chiếu vng góc A BC, điểm M, N trung điểm HB HC; điểm K trực tâm tam giác AMN a) Gọi I trung điểm AH Chứng minh K trung điểm IH  1 b) Tìm tọa độ điểm A; biết M ( 2; −1) , K  − ; ÷ điểm A nằm đường thẳng x + y + =  2 đồng thời điểm A có tung độ âm Câu III (5,0 điểm):  x − y + x − y = xy ( x − y ) Giải hệ phương trình sau tập số thực   − y + + x = x y + xy − x − Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình π 3π ( sin x − 1) 2sin x − ( 2m − 3) sin x + m −  = có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  ;  6  u1 =  3n.un 2n + 6n + Câu IV (4,0 điểm): Cho dãy số ( un ) xác định  Xác định un +1 = n + − n ( n + 1) , ∀n ≥   n.u  công thức tổng quát un theo n tính lim  n n ÷   Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z = x z x ≤ a) Chứng minh y +1 x + y x ( y + z + ) + z ( y + 3) 3x − b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( x + y + 1) ( y + 1) ( x + y) - HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung (2,5 điểm) TXĐ D = [ −1; +∞ ) , x = ∈ D f ( ) = m − Điểm 0,5 Ta có 0,5 lim f ( x ) = lim x→0 x →0 x +1 + x −1 x +1 −1+1 + x −1 x +1 −1 1+ x −1 = lim = lim + lim x → x → x → x x x x 3 1+ x −1 x +1 −1 1 lim = lim lim = lim = x→0 x → x x→0 x →0 − x −1 + x x +1 +1 Suy lim f ( x ) = x→0 x −1 ) 0,5 0,5 x →0 (5,5 = 1 + = Hàm số f ( x ) liên tục x = ⇔ lim f ( x ) = f ( ) ⇔ m − = Câu I ( 17 ⇔m= 6 (3,0 điểm) Không gian mẫu Ω = 10! 0,5 0,5 điểm) - Gọi A biến cố xếp theo yêu cầu toán - Xếp học sinh nam có 6! cách xếp Mỗi cách xếp học sinh nam ta xem học sinh nam 0,5 vách ngăn tạo vị trí trống bao gồm vị trí trống vị trí trống hai đầu hàng - Số cách xếp hai bạn nữ Trang Thủy cạnh 2! - Hai học sinh nữ Trang Thủy cạnh nên xem bạn bạn bạn nữ 0,5 lại ta có bạn nữ - Số cách xếp cho hai bạn nữ cịn lại khơng cạnh khơng cạnh Trang Thủy A73 Khi đó, ΩA = 6!.2! A7 Vậy p ( A ) = Câu II (7,0 điểm) (5,0 điểm) 0,5 1,0 6!.2! A = 10! 12 ( SHA ) ∩ ( SBC ) = SH   a) (2,5 điểm) Ta có ( SHA ) ⊥ ( ABC )  ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ( SBC ) ⊥ ( ABC )  AH ⊂ ( ABC ) nên 0,5 SH ⊥ AH (1) Mặt khác AH ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ ( SBC ) , suy hình chiếu vuong góc SA lên mặt phẳng ( SBC ) SH Do đo, ( SA, ( SBC ) ) = ( SA, SH ) = ASH (vì tam giác SHA vuông H ) 0 Theo gt ( SA, ( ABC ) ) = ( SA, AH ) = SAH = 60 ⇒ ASH = 30 Vậy ( SA, ( SBC ) ) = 30 0,5 0,5 1,0 b) (2,5 điểm) Ta có AB = BC.cos 300 = a ⇒ AH = AB.sin 300 = a 3a AC = a ⇒ SH = AH tan 600 = 2 gọi I hình chiếu vng góc H lên AC, suy AC ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SHI ) ( SHI ) ∩ ( SAC ) = SI Trong tam giác SHI kẻ HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ ( SAC ) hay d ( H ; ( SAC ) ) = HK 0,5 0,5 Mặt khác d ( B; ( SAC ) ) d ( H ; ( SAC ) ) Ta có HI = HK = BC BC BC  2a  = = = =  ÷ = ⇔ d ( B; ( SAC ) ) = 4d ( H ; ( SAC ) ) = HK HC HC.BC AC  a  0,5 AB a Trong tam giác vng SHI ta có = 4 9a 3a SH HI 3a 16 = = 2 2 SH + HI 13  3a   a  ÷  ÷ +     2 Vậy d ( B; ( SAC ) ) = HK = 3a 6a = 13 13 1,0 (2 điểm) 0,5 0,5 0,5 a) (1,0 điểm) I trung điểm AH, ta có MI / / AB ⇒ MI ⊥ AC ⇒ I trực tâm tam giác AMC ⇒ CI ⊥ AM Mặt khác NK ⊥ AM ⇒ NK / /CI ⇒ K trung điểm HI 0,5 uuur uuur  2a + 2 − a  ; b) (1,0 điểm) Giả sử A ( −2a − 4; a ) , từ AK = 3KH ⇒ H  ÷   a = −1  uuur uuuur  ⇒A lại từ AK MH = ⇒ 10a − 13a − 23 = ⇒  a = 23 (loaïi) 10  Câu III (4,0 3  x − y + x − y = 3xy ( x − y ) (2,5 điểm)   − y + + x = x y + xy − x − ( −2; −1) ( 1) ( 2)  x ≥ −2 điểm) 1) Điều kiện  y ≤  ( 1) ⇔ ( x − y ) ⇔ ( 2x − y − y ) + ( 2x − y ) = y3 + y ( ( 2x − y ) ) + y ( 2x − y ) + y + ⇔ x = y 0,5 Thay x = y vào phương trình (2) ta được: − x + + x = x3 + x2 − x − −x +   x+4 −x + x +  ⇔  3− x − − (*) ÷+  + x − ÷= x + x − 4x − 1−    3  −x +   − x + > Với −2 ≤ x ≤ , ta có   2+ x + x+4 >  0,5    − x2 + x + − x2 + x + ÷ (*) ⇔  + ÷= − ( − x + x + 2) ( x + 2) − x + x +  3− x + ÷ 2+ x + 3      ÷ 1 ⇔ ( − x2 + x + 2)  + + ( x + 2) ÷= x+4  − x + −x + ÷ 2+ x + 3    − x2 + x + =  1  + + ( x + ) = VT > 0, ∀x ∈ [ −2;3] −x + x+4  2+ x +  − x + 3  x = −1 ⇒ y = −1 ⇔ − x2 + x + = ⇔   x =2⇒ y =2 0,5 0,5 0,5 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) ( −1; −1) ( 2; ) 2) (1,5 điểm) 0,5 0,5  s inx =  ( s inx − 1) 2sin x − ( 2m − 3) s inx + m −  = ⇔  s inx =  s inx = m −  +) pt s inx = có nghiệm x = +) pt s inx = π  π 3π  ∈ ;   π 5π  π 3π  có nghiệm ∈  ;  x = ; x = 6 6  Ycbt ⇔ −1 ≤ m − < ⇔1≤ m < 2 1) (1,5 điểm) Ta có: un +1 = 3n.un 2n + 6n + 2n + 6n + − ⇔ n + u = n u − ( ) n +1 n n + n ( n + 1) n ( n + 1) 0,5   ⇔ ( n + 1) un +1 = 3n.un −  − ÷  n ( n + 1) ÷   ⇔ ( n + 1) un +1 − Câu III Đặt = n.un − (4,0 ( n + 1)   =  n.un − ÷, ∀n ≥ n   0,5 , ∀n ≥ Khi ta có dãy ( ) xác định n2 v1 =   vn +1 = 3vn , ∀n ≥ điểm) Suy dãy ( ) cấp số nhân công bội q = , suy = v1.q n −1 = 3n ⇔ n.un − 12 = 3n n ⇔ un = 3n + , ∀n ≥ n n3 0,5   n   n.un  lim  n ÷ = lim  ÷ + n  =     n  2) (2,0 điểm) 0,5 a) (0,5 điểm) Ta có x + y + z = x ⇔ x + xy = ( x + y ) + z ≥ ( x + y ) z (1) ⇔ x ( y + 1) ≥ ( x + y ) z ⇔ z x ≤ y +1 x + y x ( y + z + ) + z ( y + 3) 2( x + z) 3x z 3x − = + − b) (1,5 điểm) Ta có P = 2 ( x + y + 1) ( y + 1) ( x + y) x + y +1 y +1 ( x + y ) Theo a) 0,25 ( x + y) z z x ≤ ⇔ y +1 ≥ y +1 x + y x Khi x + y + = x + y + ( y + 1) ≥ x + y + Ta 0,25 ( x + y) z ⇒ x + 2y +1 ≥ ( x + y) ( x + z ) x x 0,5 2( x + z) 2( x + z) x 2x ≤ = x + y +1 ( x + y) ( x + z ) x + y 2( x + z) z 3x 2x x 3x + − ≤ + − Do P = x + y +1 y +1 ( x + y) x + y x + y ( x + y) 2 0,5  x  x  x 1 ⇔ P ≤ −  − ÷ ≤ (2) ÷ = − 3 x+ y  x+ y 2  x+ y Vậy Pmax = (1) (2) đồng thời xảy  x+ y = z  x+ y = z  x= y=   x    ⇔ = ⇔ z = 2x ⇔ x+ y   x2 + y + z = x  z=2  2  x + y + z = x  0,5 ... Ω = 10! 0,5 0,5 điểm) - Gọi A biến cố xếp theo yêu cầu tốn - Xếp học sinh nam có 6! cách xếp Mỗi cách xếp học sinh nam ta xem học sinh nam 0,5 vách ngăn tạo vị trí trống bao gồm vị trí trống... bao gồm vị trí trống vị trí trống hai đầu hàng - Số cách xếp hai bạn nữ Trang Thủy cạnh 2! - Hai học sinh nữ Trang Thủy cạnh nên xem bạn bạn bạn nữ cịn 0,5 lại ta có bạn nữ - Số cách xếp cho hai