SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KỲ THI CHỌN HSG VĂN HĨA LỚP 10, 11 Khóa thi ngày 12 tháng năm 2020 Mơn thi: Tốn 10 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2 điểm): Cho hàm số y x x có đồ thị ( P) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng dm : y x m cắt đồ thị ( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn 1 x1 x2 Câu (4 điểm): a Giải bất phương trình: ( x 3x) x 3x x x3 y xy xy y b Giải hệ phương trình: 2 ( x y ) xy Câu (4 điểm): Cho phương trình: x x 20 x x m , (1), (với m tham số) a Giải phương trình (1) m b Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu (4 điểm): 2sin 3cos a Cho cot , tính giá trị biểu thức: P cos3 4sin b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB x y Biết phương trình đường thẳng BD x y 14 đường thẳng AC qua điểm M (2;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Câu (2 điểm): Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm E thỏa mãn BE 3.EC IA Gọi I giao điểm AC GE , tính tỉ số IC Câu (2 điểm): Cho tam giác ABC có chu vi 20, góc BAC 600 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu vng góc A, B, C lên BC, CA, AB M điểm nằm tam giác ABC thỏa mãn ABM BCM CAM Tính cot bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 Câu (2 điểm): Cho x, y,z 2019;2020 Tìm giá trị lớn biểu thức: 2019.2020 xy 2019.2020 yz 2019.2020 zx f ( x, y, z ) ( x y) z ( y z) x ( z x) y -HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu MTCT (đối với mơn Tốn) Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………… ĐÁP ÁN THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 – MƠN TỐN Câu Lời giải Điểm Phương trình hồnh độ giao điểm (P) dm: x m x x x2 5x m (*) dm cắt đồ thị ( P) hai điểm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt x1 , x2 1) 2đ 25 12 4m m Mà 2.a) 2đ 2.b) 2đ 13 Khi x1 x2 x x m 1 x1 x2 x1 x2 2m m thỏa mãn x1 x2 Giải bất phương trình: ( x 3x) x 3x (**) Điều kiện: x 3x x x + x x nghiệm + x x : (**) x2 3x x x , thỏa mãn Vậy (**) có nghiệm là: x x x x 2 x x y xy xy y Giải hệ phương trình: 2 ( x y ) xy xy( x y ) xy x y x2 y a Đặt ta có hệ pt: 2 xy b ( x y ) xy b a ab a b b a 2 2 a b a(1 a ) a a a a 2a b a a a 2 a b b a a a b a x y x x 1 + b y xy y a 2 x y 2 x 1 + b 3 y xy 3 Vậy nghiệm hệ : (1 ; 1) ; (0 ; -1) ; (-1 ; 3) ; (1 ; 0) ; (-1; 0) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ x x 20 x x : đk: x 4;5 t2 Đặt x x t 20 x x 2 t 1(l ) t 9 t 2t Pttt: t t 3a) 2đ 0,5đ 0,5đ a x y x + b y 1 xy Khi m = ta có pt: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 3b) 2đ x 4 + t x x 20 x x x t 9 ; t 3;3 Đặt x x t 20 x x t2 m t 2t 2m Pttt: t Xét f (t ) t 2t; t 3;3 f (t ) f (3) 3;max f (t ) f (3 2) 18 9 3 2 2sin 3cos 2(1 cot x) 3cot x(1 cot x) 70 P cos3 4sin cot x 31 Vậy pt có nghiệm khi: 2m 18 m 4a) 2đ nên tọa độ B nghiệm hệ: 21 x x y 21 13 B ; 5 x y 14 y 13 2 Gọi nAC (a; b);(a b 0) VTPT AC, Do 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ B AB BD ta có: cos(nAC ; nAB cos(nBD ; nAB 2a b 0,5đ a b2 a b 7a 8ab b b a + a= -b: Chọn a = 1; b = -1 AC: x – y – = A AB AC nên tọa độ A nghiệm hệ: x y x A 3;2 x y y I DB AC nên tọa độ I nghiệm hệ: x x y 14 I ; 2 2 x y 1 y 2 4b) 2đ 0,5đ 0,5đ 14 12 Do I trung điểm AC BD nên C 4;3 ;D ; 5 5 + a = -b/7 (loại) AC//BD 0,5đ 0,5đ 0,5đ A G I B M 5) 2đ C E Gọi M trung điểm BC đặt AI k AC 1 GI AI AG k AC (AB AC) k AC AB 3 1 GN GM MN AM BC AB AC AC AB AC AB 6 Do G, I, N thẳng hàng nên ta có: 1 k k AI AC IA 5 5 IC 6 0,5đ 0,5đ 0,5đ A A C1 c b B1 M B B a 6) 2đ 0,5đ C A1 C Ta có: S bc.sin 600 pr 10 bc 40 2 2 a b c 2bc.cos600 a (b c)2 3bc a (10 a)2 120 a b c 13 b b bc 40 c c 0,5đ AB BM AM BC CM BM cot ABM BCM CAM 4.S ABM 4.SCBM CA2 AM CM AB BC CA2 23 4.SCMA 4.S ABC 20 0,5đ Ta có B1BA C1CA 900 A 300 B1A1C1 B1A1 A C1A1 A B1BA C1CA 600 Tam giác CC1B1 nội tiếp đường tròn đường kính BC nên ta có: B1C1 BC BC 1 B1C1 sin 30 sin C1CA 0,5đ Mà R1 B1C1 2sin 60 0,5đ 2019.2020 xy 2020 2019 x y 4(2019.2020 xy)2 ( x y)2 (2020 2019) Ta c/m: x, y 2019;2020 ln có: (2.2019.2020 2xy ( x y)(2020 2019))(2.2019.2020 2xy ( x y)(2020 2019)) 2020(2.2019 x y) x(2019 y) y(2019 x) 2019(2.2020 x y) x(2020 y) y(2020 x) (đúng) 2019.2020 xy 2020 2019 2z 2.2019 x yz Dấu « = » xảy x = y = z = 2019 Áp dụng ta có : 2019.2020 xy 2019.2020 yz 2019.2020 zx f ( x, y, z ) ( x y) z ( y z) x ( z x) y 1 2.2019 2.2019 2.2019 4038 Vậy max f ( x, y, z ) ; x y z 2019 4038 Vậy 7) 2đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ... 2sin 60 0,5đ 2019. 2020 xy 2020 2019 x y 4 (2019. 2020 xy)2 ( x y)2 (2020 2019) Ta c/m: x, y 2019; 2020 ln có: (2 .2019. 2020 2xy ( x y) (2020 2019) )(2 .2019. 2020 2xy... 2xy ( x y) (2020 2019) ) 2020( 2 .2019 x y) x (2019 y) y (2019 x) 2019( 2 .2020 x y) x (2020 y) y (2020 x) (đúng) 2019. 2020 xy 2020 2019 2z 2 .2019 x yz... Dấu « = » xảy x = y = z = 2019 Áp dụng ta có : 2019. 2020 xy 2019. 2020 yz 2019. 2020 zx f ( x, y, z ) ( x y) z ( y z) x ( z x) y 1 2 .2019 2 .2019 2 .2019 4038 Vậy max f ( x,