BÀI 6 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN Fanpage: Tài liệu KYS I – LÝ THUYẾT Group: Kyser ôn thi THPT BÀ I 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bất phương trình mũ có dạng a x > b (hoặc a x ≥ b , a x < b , a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ Ta xét bất phương trình có dạng a x > b • Nếu b ≤ , tập nghiệm bất phương trình  , a x > b, ∀x ∈  • Nếu b > bất phương trình tương đương với a x > a loga b Với a > , nghiệm bất phương trình x > loga b Với < a < , nghiệm bất phương trình x < loga b Ta minh họa đồ thị sau: • Với a > , ta có đồ thị sau • Với < a < , ta có đồ thị sau Lưu ý: a f ( x ) < a g ( x ) Dạng 1:  ⇔ f ( x) > g ( x) 0 < a < f ( x) < a g ( x) a Dạng 2:  ⇔ f ( x) < g ( x) a > Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 97 Dạng 3: a f ( x ) > b (*) - 0 < a ≠ Nếu  (*) ln b ≤ - b > Nếu  (*) ⇔ f ( x ) < log a b 0 < a < - b > Nếu  (*) ⇔ f ( x ) > l og a b 1 < a f x Dạng 4: a ( ) < b (**) - 0 < a ≠ Nếu  (**) vơ nghiệm b ≤ - b > (**) ⇔ f ( x ) > log a b Nếu  0 < a < - b > Nếu  (**) ⇔ f ( x ) < l og a b 1 < a II – DẠNG TOÁN Da ̣ng 1: Bất phương trình mũ a) Phương pháp giải x 1 Vı́ du ̣ 1: Tìm tập nghiệm bất phương trình   ≥ 2 A ( −∞ , −1 B −  1, +∞ ) C ( −∞ , −1) D ( −1, +∞ ) Lời giải Cho ̣n A x 1 ♦Tự luận:   ≥ ⇔ − x ≥ ⇔ −x ≥ ⇔ x ≤ −1 2 x 1 ♦Trắc nghiệm: Dùng chức Calc Đặt = P   −2 2 Lấy x = −1 P = nên loại C, D Lấy x = P < nên loại B 1− x 2 Vı́ du ̣ 2: Tìm tập nghiệm S bất phương trình   5 A S  ;1  1  B S   ;  3   ≥ 25  1 C S  ;    D S  1;   Lời giải Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 98 Cho ̣n D 1− x 2 ♦Tự luận:   5 5 25 ≥ ⇔  2 3x −1 5 ≥   ⇔ 3x − ≥ ⇔ x ≥ Đáp án D 2 2 ♦Trắc nghiệm: Dùng chức Calc = Đặt P   5 1− 3x − 25 Lấy x = P < nên loại A, C Lấy x = P = nên loại B 1 Vı́ du ̣ 3: Bất phương trình:   2 A −2 x −2 x > có tập nghiệm S = ( a; b ) Khi giá trị a – b là: B −4 C D Lời giải Cho ̣n B 1 ♦Tự luận:   2 x −2 x > ⇔ x − 2x < ⇔ x − 2x − < ⇔ −1 < x < Đáp án B ♦Trắc nghiệm: I – LÝ THUYẾT BÀ I 6-2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1.Đinh ̣ nghıã • Bấ t phương trıǹ h lôgarit là bấ t phương trıǹ h có chứa ẩ n số biể u thức dưới dấ u lôgarit 2.Bấ t phương trın ̀ h lôgarit bản: cho a, b > 0, a ≠ • Bấ t phương trıǹ h lơgarit bản có da ̣ng: log a f ( x) > b; log a f ( x) ≥ b; log a f ( x) < b; log a f ( x) ≤ b 3.Phương pháp giải phương trın ̀ h và bấ t phương trın ̀ h lơgarit • Đưa về cùng số  g ( x) >  Nế u a > thı̀ log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   f ( x) > g ( x)  f ( x) >  Nế u < a < thı̀ log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   f ( x) < g ( x) • Đă ̣t ẩ n phu ̣ • Mũ hóa • Phương pháp đồ thị Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 99 II – DẠNG TOÁN DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN log a f ( x ) > b, log a f ( x ) < b, log a f ( x ) ≥ b, log a f ( x ) ≤ b a) Phương pháp giải tự luâ ̣n Vı́ du ̣ 1: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x − 1) > A S = ( −∞; ) S B = ( 2; +∞ ) 7  C.= S  ; +∞  5  1  D S =  −∞;  5  Lời giải Cho ̣n B Giải theo tự luâ ̣n 5 x − > log ( x − 1) > ⇔  ⇔ x > 5 x − > Vı́ du ̣ 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > −2 A S= (1; +∞ )   B S =  − ;1   C S = ( −∞;1)   D S =  − ;1   Lời giải Cho ̣n D Giải theo tự luâ ̣n 3 x + > log ( x + 1) > −2 ⇔  ⇔ − < x là: A x > B x < C x > − D x < −1 Lời giải: Chọn A log (3 x + 2) > ⇔ 3x + > ⇔ x > PP trắ c nghiê ̣m: log (3 x + 2) − calc −10 không xác đinh ̣ nên loa ̣i B và D calc = −0,569 < nên loa ̣i C Vâ ̣y cho ̣n A Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 100 Ví dụ 5: Giải bất phương trình log ( x – x + ) ≤ A −7 ≤ x ≤ −1 B −3 ≤ x < −1 < x ≤ C −3 ≤ x ≤ D − 15 ≤ x ≤ + 15 Lời giải: Chọn D Tập xác định: D =  log ( x – x + ) ≤ ⇔ x − x − 11 ≤ ⇔ − 15 ≤ x ≤ + 15 Ví dụ 6: Giải bất phương trình log ( x − x + ) ≥ −1 C x ∈ [ 0;1) ∪ ( 2;3] B x ∈ [ 0; ) A x ∈ ( −∞;1) D x ∈ [ 0; ) ∪ ( 3;7 ] Lời giải Chọn C x > Điều kiện: x − x + > ⇔  x < Ta có log ( x − x + ) ≥ −1 ⇔ log ( x − x + ) ≥ log 2 2 ⇔ x − 3x + ≤ ⇔ x − 3x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp với điều kiện ta được: x ∈ [ 0;1) ∪ ( 2;3] Ví dụ 7: Bất phương trình log ( x − x + 1) < có tập nghiệm là:  3 A S =  0;   2 C S = 3  B S =  −1;  2  ( −∞;0 ) ∪   ; +∞  2  D S = ( −∞;1) ∪   ; +∞  2  Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x < log ( x − x + 1) < ⇔ x − x + > ⇔  x >  2 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( X − X + 1) Nhấn CALC cho X = −5 (thuộc đáp án A D) máy tính hiển thị – 9,9277… Vậy loại đáp án A B Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291 Vậy chọn C Ví dụ 8: Giải bất phương trình log ( x − 1) > A x > B < x < 3 C x < D x > 10 Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 101 Chọn A [Phương pháp tự luận] 3 x − > ⇔ x>3 log ( x − 1) > ⇔  3 x − > Ví dụ 9: Tìm tập nghiệm bất phương trình log 0,2 ( x − 3) + ≥ A ( 3, 28] B [ 28, +∞ ) C ( 3, +∞ ) D ( −∞; 28 ) Hướng dẫn giải Chọn B [Phương pháp tự luận] x > ⇔ x ≥ 28 log 0,2 ( x − 3) + ≥ ⇔  −2  x − ≥ 0.2 Ví dụ 10: Tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trı̀nh < log x < là: A ( 8;16 ) B ( 0;16 ) C ( 8; +∞ ) D  Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] < log x < ⇔ < x < 16 DẠNG BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG CÙNG CƠ SỐ log a f ( x ) > log a g ( x ) , log a f ( x ) < log a g ( x ) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) , log a f ( x ) ≤ log a g ( x ) a) Phương pháp giải tư ̣ luâ ̣n Vı́ du ̣ 1: Tìm tập nghiệm bất phương trình log 0,5 ( x + 11) < log 0,5 ( x + x + ) A S = ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) B S = C S = ( −2;1) D S = ( −3;1) ( −∞; −2 ) ∪ (1; +∞ ) Lời giải Cho ̣n C Giải theo tự luâ ̣n 4 x + 11 >  log 0,5 ( x + 11) < log 0,5 ( x + x + ) ⇔  x + x + > ⇔ −3 < x < 4 x + 11 > x + x +  Vı́ du ̣ 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( − x )  1−   1+  A S = ;   −1; ∪     Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT B S = ( −1; ) 102   1−   1+ D S =  −∞; ; +∞   ∪       1− 1+  C S =  ;    Lời giải Cho ̣n A Giải theo tự luâ ̣n −1 < x < log ( x + 1) > log ( − x ) ⇔ log ( − x ) + log ( x + 1) < ⇔  ( − x )( x + 1) < ⇔ −1 < x < 1− 1+ hay ≥1   2  x − 6x + log ( − x ) ≥  x − 6x + x < 1  ⇔ 1 ⇔ ≤ x Vı́ du ̣ 4: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) ≤ log ( x − 1) A S = ( −∞;1] B S= (1; +∞ ) C ( −1;1) 1  D  ;1 2  Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận]   1 x > x > log ( x + 1) ≤ log ( x − 1) ⇔  ⇔ 2 x + ≥ 2x −1 x ≤ 2   g ( x ) log ( − x ) Tìm tập nghiệm bất phương trình Vı́ du ̣ 5: Cho hàm số f ( x ) = log x = f ( x + 1) < g ( x + ) 1  A S =  −∞;  2  1  B S =  −1;  2  C S = ( 0; ) D S = ( −∞; ) Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 103 Chọn B [Phương pháp tự luận] x +1 >  f ( x + 1) < g ( x + ) ⇔ log ( x + 1) < log ( − x ) ⇔ 2 − x > ⇔ −1 < x < x +1 < − x  Vı́ du ̣ 6: Tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trıǹ h log 0,8 ( x + x ) < log 0,8 ( −2 x + ) là: A (1; ) B ( −∞; −4 ) ∪ (1; ) C ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) D ( −4;1) Hướng dẫn giải Chọn B [Phương pháp tự luận]  x2 + x >  x < −1 hay x >  x < −4   ⇔ x < ⇔ log 0,8 ( x + x ) < log 0,8 ( −2 x + ) ⇔ −2 x + >  x + x > −2 x +  x < −4 hay x > 1 < x <   THÔNG HIỂU Vı́ du ̣ 7: Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log (1 − x ) ≤ log (1 − x ) A x = B x = C x = 1− D x = 1+ Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] 1 − x > −1 < x <   ⇔  1− log (1 − x ) ≤ log (1 − x ) ⇔ 1 − x > 1+ x , x ≤ ≤ ≤   2  log (1 − x ) (1 − x )  ≤ −1 < x ≤ 1− hay ≤ x ≤ Vı́ du ̣ 8: Điều kiện xác định bất phương trình log 0,5 (5x + 15) ≤ log 0,5 ( x + 6x + ) là:  x < −4 B   x > −2 A x > −2 −2 < x ≤ ( C x > −3 D ) 29 − Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] 5 x + 15 >  x > −3 ⇔ ⇔ x > −2   x < −4 hay x > −2  x + 6x + > Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 104 Vı́ du ̣ 9: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − x + ) + log ( x − 1) ≥ là: A S = [1;6] B S = ( 5;6] S C = ( 5; +∞ ) D S= (1; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận]   x2 − 6x + >  ⇔ 5< x ≤6 log ( x − x + ) + log ( x − 1) ≥ ⇔  x − >  x −1 log ≥0 x − 6x +  Vı́ du ̣ 10: Điều kiện xác định bất phương trình log (4 x + 2) − log ( x − 1) > log x là: A x > − B x > C x > D x > −1 Hướng dẫn giải Chọn C [Phương pháp tự luận] x > x >    BPT xác định khi: 4 x + > ⇔  x > − ⇔ x > x −1 >    x > VẬN DỤNG THẤP Vı́ du ̣ 11: Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 là: A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x >  x < −1 log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 ⇔ log 0,2  x ( x − )  < log 0,2 ⇔ x − x − > ⇔  x > So điều kiện suy x > [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log 0,2 X − log ( X − ) − log 0,2 Nhấn CALC cho X = (nhỏ nhất) máy tính hiển thị Vậy loại đáp án B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn D đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536 Vậy loại C, chọn D Vı́ du ̣ 12: Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log ( 4.3x −1 ) > x − là: Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 105 B x = A x = C x = D x = −1 Hướng dẫn giải Chọn C [Phương pháp tự luận] log ( 4.3x −1 ) > x − ⇔ 4.3x −1 > 32 x −1 ⇔ 32 x − 4.3x < ⇔ < 3x < ⇔ x < log [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( 4.3 X −1 ) − X + Nhấn CALC cho X = (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493 Vậy loại đáp án A Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị – 0.7381404929 Vậy loại B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị 0.2618595071 Vậy chọn C Vı́ du ̣ 13: Nếu đặt t = log x −1 x −1 x +1 bất phương trình log log trở thành bất phương < log log x +1 x +1 x −1 trình nào? t −1 A < t B t − < t −1 C >0 t t2 +1 D 3 + log 52 x ⇔ ( log x 53 + log x x ) log 52 x > + log 52 x 2 3 1  ⇔ ( 3log x + 1)  log x  > + log 52 x ⇔ + log x > + log 52 x ⇔ log 52 x − log x < 2 2  ⇔ < log x < 1 ⇔ 50 < x < ⇔ < x < (thỏa mãn điều kiện) Vậy số nghiệm nguyên bất phương trình Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 106 Vı́ du ̣ 15: Gọi S tổng tất giá trị nguyên tham số m ( m < 3) để bất phương trình log ( mx − x ) ≤ log vơ nghiệm Tính S 5 A S = −3 B S = −7 C S = D S = −4 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Chọn A log ( mx − x ) ≤ log ⇔ mx − x ≥ ⇔ x − mx + ≤ 5 x − mx + ≤ vô nghiệm ⇔ x − mx + > ∀x ∈ R ⇔ ∆ < ⇔ −4 < m < Vı́ du ̣ 16: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) > m − có nghiệm x ≥ ? A m ≥ B m > C m ≤ D m < Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận] BPT ⇔ log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) > m − ⇔ log (5 x − 1) 1 + log (5 x − 1)  > m − Đặt t log ( x − 1) x ≥ ⇒ t ∈ [ 2; +∞ ) = BPT ⇔ t (1 + t ) > m − ⇔ t + t > m − ⇔ f (t ) ≥ m − Với f (t = ) t2 + t f , (t ) = 2t + > với t ∈ [ 2; +∞ ) nên hàm đồng biến t ∈ [ 2; +∞ ) Nên Minf= (t ) f= (2) Do để để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) > m − có nghiệm x ≥ thì: m − ≤ Minf (t ) ⇔ m ≤ Vı́ du ̣ 17: Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng ( 2;3) thuộc tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( x + x + m ) − (1) A m ∈ [ −12;13] B m ∈ [12;13] C m ∈ [ −13;12] D m ∈ [ −13; −12] Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận]  x2 + 4x + m m > − x − x = f ( x) x +1 > (1) ⇔  ⇔ g ( x) m < x − x + =  x2 + 4x + m >  −12 x = m ≥ Max f ( x) = 2< x 0 < x ≤  log 22 x − 5log x + ≥ ⇔  log x ≤ ⇔  ≥ 16 x    log x ≥  Vı́ du ̣ 5: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 21 x + 3log x + ≤ 3 A S =[ −2; −1] B S = ∅ C S = [3;9] S D = [9; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn C [Phương pháp tự luận]  x > log 21 x + 3log x + ≤ ⇔ −2 ≤ log ≤ −1 ⇔ ≤ x ≤ 3  THÔNG HIỂU Vı́ du ̣ 6: Cho hàm số f= ( x ) 3ln x − g ( x ) = ln x Gọi S tập tất giá trị nguyên x thỏa điều kiện x < 10 f ( x ) < g ( x ) Tính số phần tử S ứng với A 10 B C S = D S = Hướng dẫn giải Chọn B [Phương pháp tự luận] Điều kiện x > x < e ln x < f ( x ) < g ( x ) ⇒ 3ln x − < ln x ⇔ ln x − 3ln x + > ⇔  ⇔ x e > ln x >  Vậy < x < e hay x > e Vı́ du ̣ 7: Cho hàm số f ( x ) = log x g ( x ) = − Tìm tất giá trị thực x để log x − f ( x) > g ( x) x > A  2 < x < 0 < x < B  4 < x < C < x < D < x < Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] f ( x ) > g ( x ) ⇔ log x > − 1 < log x < log 22 x − 3log x + 2 ⇔ >0⇔ log x > log x − log x −  Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 109 2 < x < ⇔ x > Vı́ du ̣ 8: Tìm nghiệm bất phương trình log x + log x ≥  1 = A S  0;  ∪ (1; +∞ )  2 B S = (1; ) ∪ ( 3; +∞ ) (1; +∞ ) S D = ( 3; +∞ ) C S= Hướng dẫn giải Chọn B [Phương pháp tự luận]  log 32 x − 3log x + 1  >0  0 < log x < hay log x > ⇔ log x + log x > ⇔  log x 1 ≠ x > 1 ≠ x >  1 < x < hay x > ⇔ 1 ≠ x > VẬN DỤNG THẤP Vı́ du ̣ 9: Tìm nghiệm bất phương trình log x ≥ log x S A = [5; +∞ ) 1  C S =  ;5 \ {1} 5   1 = B S  0;  ∪ [1; +∞ )  5 1  = S  ;1 ∪ [5; +∞ ) D 5  Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận]  1  log x − ≥ ⇔  −1 ≤ log x < ⇔  ≤ x <  ≤ x <  log x >  log x ≥ log x ⇔  log x ⇔ 5  x≥5    x ≥ 1 ≠ x > Vı́ du ̣ 10: Biết bất phương trình f ( x ) + x > có tập nghiệm S1 = [ −1; ) Tìm tập nghiệm S bất phương trình f ( log x ) + log x > A S = [ −1; ) C S = [10;100 ) B S = ( 0; ) 1  D S =  ;100  10  Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận] Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 110 YCBT ⇔ −1 < log x < ⇔ < x < 100 10 Vı́ du ̣ 11: Biết bất phương trình g ( log x ) − > có tập nghiệm S= ( 9; +∞ ) Tìm tập nghiệm S bất phương trình g ( log x ) − > A S= ( 4; +∞ ) B S= ( 9; +∞ ) C S= ( 2; +∞ ) S D = ( 3; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Ta có x > ⇔ log x > ⇒ log x > ⇒ x > Vı́ du ̣ 12: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( x − log 2 x − 5log ( A S = ( 2; ) B S = C S = [ 2; ) D S = (1; ) ) x+4 ( x − log 2 x − 5log ) x + < ⇒ < log x x > Vậy ≤x≤ hay x > 12 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 111 VẬN DỤNG CAO Vı́ du ̣ 14: Bất phương trình lg x − m lg x + m + ≤ có nghiệm x > giá trị m là: A ( −∞; −3) ∪ [ 6; +∞ ) C [ 6; +∞ ) B ( −∞; −3) D (3;6] Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > Đặt t = lg x , với x > 1= → lg x > Khi phương trình cho trở thành t − mt + m + ≤ ⇔ t + ≤ m(t − 1) (*) t2 + TH1: Với t − > ⇔ t > , Khi (*) m ≥ f (t ) = (I) t −1 Xét hàm số với t > , có f '(t) = t − 2t − (t − 1) t.1   ;f '(t) = ⇔  ⇔t=3 t 2t − − =   (t) f= (3) Khi để (I) có nghiệm m ≥ max f (t) = Suy max f= (1;+∞ ) (1;+∞ ) t2 + (II) TH2: Với t − < ⇔ t < , (*) ⇔ m ≤ f (t) = t −1 t − 2t − t2 + < 0; ∀t ∈ (0;1) Xét hàm số f (t) = với t ∈ (0;1) , = có f '(t) t −1 (t − 1) Suy max f (t) = f (0) = −3 Khi để (I) có nghiệm m < max f (t) = −3 (1;+∞ ) (1;+∞ ) Vậy m ∈ ( −∞; −3) ∪ [ 6; +∞ ) giá trị cần tìm tốn Vı́ du ̣ 15: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = m log x − log x + m + 3 xác định khoảng ( 0; +∞ ) A m ∈ ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) B m ∈ [1; +∞ ) C m ∈ ( −4;1) D m ∈ (1; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Đặt t = log x , x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ t ∈  y= m log 32 x − log x + m + Hàm số y = y= trở thành y = m log x − log x + m + 3 mt − 4t + m + xác định khoảng ( 0; +∞ ) xác định  ⇔ mt − 4t + m + > 0, ∀x ∈  mt − 4t + m + ⇔ ∆ ' = − m − 3m < ⇔ m < −4 hay m > Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 112 Vı́ du ̣ 16: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương log23 x  m log x  2m   có tập nghiệm S = ( x1 ; x2 ) thỏa mãn x 1.x  81 , với x1 , x2 hai nghiệm phương trình ln2 x  m ln x  2m   A m  4 C m < 81 B m  D m  44 Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] ln2 x  m ln x  2m   ln có nghiệm hai phân biệt ∀m ∈  x1 x2 > 81 ⇔ log x1 + log x2 > ⇔ m > …… DẠNG LOGARIT HÓA loga f ( x ) > g( x )  Phương pháp: ⇔ f ( x ) > a g ( x ) (a > 1) (0 < a < 1) < VD1: Giải bất phương trình: log (5 − x ) < − x A < x < D x < C x < log B < x < log x 5 − > Lời giải: log (5 − ) < − x ⇔  ⇔0< x log 10 5 − x > 10 Lời giải: log (5 − x ) < − x ⇔  ⇔ x < log x x−2 5 − > 2 VD3: Số nghiệm nguyên bất phương trình: log x ( log (9 x − 72) ) ≤ A B C D 9 x − 72 >  x  x > log 73 0 < x ≠ 9 > 73 x Lời giải: log x log (9 − 72) ≤ ⇔  ⇔ ⇔   x x log (9 − 72) ≤ x x ≤ log (9 − 72) > x  log (9 − 72) ≤ x ( ) DẠNG GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ   VD1: Tìm m để x   0,  thỏa mãn BPT log x  x  m  log x  x  m  A ≤ m < B < m < C ≤ m D m < Lời giải: Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 113  x  x  m  Điều kiện:   x2  x  m   x  x  m     Đặt t  log x  x  m , t  BPT có dạng: t  4t    5  t    Vì t  nên ta  t    log x  x  m   x  x  m   x  x  1 m Vậy BPT   I  :     x  x  m   x  x   m   BPT có nghiệm với x   0,  hệ (I) có nghiệm với x   0,  Khi BPT hệ (I) có nghiệm với x   0,  Xét hàm số f  x  x  x ta có bảng biến thiên 1 m 1 Từ bảng biến thiên ta suy  4  m  VD2: Xác định m để bất phương trình A m ≤ log 22 x log 22 ≥ m (1) có nghiệm với ∀ m > B m ≤ C m < D m < Lời giải:  Đặt t = log 22 x , điều kiện t > Khi (1) có dạng: y = t t −1 ≥ m (2) Vậy (1) nghiệm với ∀ m > ⇔ (2) nghiệm với ∀ t >1  Xét hàm số: y = t t −1 Tập xác định D = (1, + ∞ ) Đạo hàm: y’ = t−2 (t − 1)3 y’ = ⇔ t - = ⇔ t = Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 114 Bảng biến thiên: t +∞ y’ - + +∞ y Vậy bpt nghiệm với ∀ t >1 ⇔ m ≤ DẠNG SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 6: Sử dụng tính đơn điệu Phương pháp: - Đưa BPT cho hai vế, vế hàm số đồng biến (hoặc không đổi) vế hàm số nghịch biến (hoặc khơng đổi) - Tìm nghiệm BPT - Dựa vào tính chất hàm số đơn điệu để suy nghiệm BPT   VD1: Giải bất phương trình: log5  x  log x B < x < A < x < C x < l D x < Lời giải: Điều kiện: x  Đặt t  log5 x  x  4t  t BPT trở thành log5   t     t        Hàm số f t   t  t t  t   nghịch biến  f 1   5t   Bất phương trình trở thành f t   f 1  t   log x    x  Vậy BPT có nghiệm  x  VD2: Số nghiệm nguyên âm bất phương trình: log x   log x   A B C D Lời giải:  x   Điều kiện:   x  1   x   Xét hàm số y = f(x) = log x   log x  Hàm số y  f1 ( x)  log x  y  f ( x)  log x  đồng biến 1;  ⇒ Hàm số y  log x   log x  đồng biến 1;  Ta có f(0) = 1, đó: + Nếu x > f(x) > f(0) ⇔ log Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng x   log x   nên x > nghiệm 115 + Nếu -1 < x ≤ f(x) ≤ f(0) ⇔ log x   log x   nên -1 < x ≤ không nghiệm VD3: Số nghiệm nguyên dương bất phương trình: log x  x 12  x   x  x 12 (1) 7 x A B C D Lời giải:  x − x − 12 ≥ 4 < x <  (*) Điều kiện:  x − x − 12 ⇔ >0  x < −3  7−x  Biến đổi bất phương trình dạng: log x  x 12 + x − x − 12 ≤ log ( − x ) + − x (2) Xét hàm số y = f  x   log3  x  x Hàm số y = f(x) hàm số đồng biến (0, + ∞ ) tổng hai hàm số đồng biến y = log3x y = x Khi (2) biến đổi sau f( x − x − 12 ) ≤ f(7- x) (*)  ⇔ x  x 12   x  x  x 12  7  x Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 2 61 4  x  61 ⇔x ≤ ⇔ 13  13  x  3 116 ... < 1) < VD 1: Giải bất phương trình: log (5 − x ) < − x A < x < D x < C x < log B < x < log x 5 − > Lời giải: log (5 − ) < − x ⇔  ⇔0< x giá trị m l? ?: A ( −∞; −3) ∪ [ 6; +∞ ) C [ 6; +∞ ) B ( −∞; −3) D (3 ;6] Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x >