Bài 5 phương trình mũ logarit

TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ơn thi THPT BÀ I 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT PHẦN – PHƯƠNG TRÌNH MŨ I – LÝ THUYẾT A- Lũy thừa: Định nghĩa lũy thừa • Cho số thực b số nguyên dương n ( n ≥ ) Số a gọi bậc n số b a n = b • Chú ý:  Với n lẻ b ∈  : Có bậc n b, ký hiệu n b b > : Không tồn bậc n b  Với n chẵn: b = : Có bậc n b b > : Có hai bậc n a hai số đối nhau, có giá trị dương ký hiệu n b , có giá trị âm ký hiệu - n b Số mũ α α= n ∈ * α =0 α= − n, ( n ∈ * ) m , ( m ∈ , n ∈ * ) n α= = α limrn , ( rn ∈ , n ∈ * ) Cơ số a Lũy thừa aα a ∈ α n a= a= a.a a (n thừa số a) a≠0 α a= a= a≠0 α −n a= a= m an a>0 aα = a n = n a m , a>0 −1 ≤ m ≤ ( n a = b ⇔ a = bn ) Một số tính chất lũy thừa Giả thiết biểu thức xét có nghĩa: • α −α α aα aα  a  α b α −β α β α β α α a = a a a= ; β a = ;(a ) a = ; ( ab ) a b= ;  = ;    α  a b b b a α β α +β • Nếu a>1 aα > a β ⇔ α > β ; Nếu 0< α 0; a m > bm ⇔ m < Chú ý: - Các tính chất trường hợp số mũ nguyên không nguyên - Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số α phải khác - Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số α phải dương Một số tính chất bậc n • Với a, b ∈ , n ∈ * , ta có: Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 62 2 n +1 a n +1= a, ∀ a ⇒ ( log u ) ' = ( log x ) ' = x.ln a u.lna u' a a = 2 n +1 ab u' ( ln x )=' , ( x > 0) ⇒ ( ln u )=' x u a n +1 b , ∀ a, b n +1 a , ∀a, ∀b ≠ n +1 b 3b a ⇒ log = 3a,log8 = b ⇒ log =⇒ log = 3ac , ta có: Với log 27 = c • am  n=  n m a= • a 2 n += b n +1 Nếu ( a) n nm m , ∀a > 0, n nguyên dương, m nguyên a , ∀a ≥ 0, n, m nguyên dương p q p = n a= n m m a q , ∀a > 0, m, n nguyên dương, p, q nguyên Đặc biệt: n a = m.n a m B-Hàm số mũ: y= a x , ( a > 0, a ≠ 1) Tập xác định: D =  ( 0; +∞ ) Tập giá trị: T = , nghĩa giải phương trình mũ mà đặt t = a f ( x ) t > Tính đơn điệu: + Khi a > hàm số y = a x đồng biến, ta ln có: a + Khi 0 g ( x ) ⇔ f ( x ) < g ( x.) Đạo hàm: ( a ) ' = a ln a ⇒ ( a ) ' = u '.a e ⇒ (e ) ' = e u ' (e ) ' = x x x u x u ( u ) ' = n uu' u ln a u n n n −1 Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 63 II – DẠNG TOÁN Phương trình mũ a) Phương pháp giải Dạng: ax = b (a>0, a #1) = Với t log x ( 5x − 1) , phương trình vơ nghiệm Với b>0, ta có ax = b  x= logab b)Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h Ví dụ Tập hợp nghiệm phương trình 3x A {0;4} − x −4 = 81 C {2;1} B ∅ D {0;1} Lời giải Chọn D 3x − x −4 = x = ⇔ 3x − x − = 3−4 ⇔ x − x − = −4 ⇔ x − x = 0⇔ 81 x = Ví dụ Phương trình 3x  x = −1 A  x = + x −3 = 3x +1 có nghiệm x = B   x = −4 C x = −4 D x = Lời giải Chọn B 3x + x −3  x = −4 =3x +1 ⇔ x + x − =x + ⇔ x + 3x − =0 ⇔  x = Ví dụ Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số = y − x + đường thẳng y = 11 A (3;11) B (-3;11) C (4;11) D (-4;11) Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm: − x + = 11 ⇔ − x = ⇔ − x = ⇔ − x = ⇔ x = −3 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm ( −3;11) Ví dụ Tìm tập nghiệm S phương trình A S = {1;3} B S = x2 + x +3 = x {−1;3} C S = {−3;1} D S = {−3} Lờigiải ChọnA ⇔ x2 − Cách1.Phương trình = − 3x   log ⇔ ( x − )  x + += log  x x   ( x + 1) ln + x ln = x = Cách2.CALC với giá trị đáp án xem giá trị nghiệm Nhập vào máy tính phương trình : Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT x2 + x +3 − 8x 64 CALC tạiX=1tađược0 CALCtạiX=3tađược0 Ví dụ Tính tổng T tất nghiệm phương trình e x A.T=3 B.T=1 −3 x = e2 C.T=2 D.T=0 Lờigiải Tacó e x −3 x x = 1 =2 ⇔ e x −3 x = −2 ⇔ x − 3x + =⇔ e −2 ⇔ x − x =  x = e  T →= {1;2}  S  →= Ví dụ Phương trình 3x −5 += Chọn A có hai nghiệm x1; x2 Tính giá trị tích x1 x2 − 81 = A −9 B D −27 C 29 Lờigiải Chọn A 3x −5 − 81 = ⇔ 3x −5 x = = 34 ⇔ x − = ⇔   x = −3 Vậy tích x1 x2 = −9 Ví dụ Cho phương trình 3x − x +5 A 28 = tổng lập phương nghiệm thực phương trình là: B 27 C 26 D 25 Lờigiải Chọn A Ta có: 3x − x +5 = ⇔ 3x − x +5 x =1 = 32 ⇔ x − x + = ⇔ x − x + = ⇔  x = Suy 13 + 33 = 28 Ví dụ Tính tổng T tất nghiệm phương trình ( x − 3) A T = C T = B T = x −5 x = 13 D T = 15 Lờigiải Chọn C Ta xét trường hợp sau: TH1 x − = ⇔ x = thỏa mãn phương trình x = x − ≠ TH2  ⇔ x = x x − =   x 0;= x Vậy phương trình cho có ba nghiệm= 13 ;= x  →= T 2 Ví dụ Cho phương trình 2016 x 2017 x = 2016 x Mệnh đề sau đúng? A Phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt B Phương trình cho có nghiệm nghiệm âm Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 65 C Phương trình cho có nghiệm nghiệm dương D Phương trình cho có hai nghiệm trái dấu nghiệm Lờigiải Chọn B Phương trình ⇔ 2016 x − x.2017 x = ⇔ ( 2016 x −1.2017 ) = x x = x = ⇔ ⇔ x = x −1 log 2017 − < 2016 2017 = 2016   DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ: Một số dạng thường gặp: • Dạng : ax + ax+ + ax+ = k Aax = k • • 𝐚𝐚 𝐟𝐟(𝐱𝐱) Dạng : af(x) = bf(x)  �𝐛𝐛� =1 Dạng : max + nbx + pcx = q (a, b, c bội nhau) Ví dụ Nghiệm phương trình x + x +1 =3x + 3x +1 là: A x = log 3 B x = C x = D x = log 3 Lời giải Chọn D x 3  3 x + x +1 = 3x + 3x +1 ⇔ 3.2 x = 4.3x ⇔   = ⇔ x = log 2 Ví dụ Tìm tập nghiệm S phương trình x ≤ −2 A S = {1} B S = {−1} C S = {−3} D S = {3} Lời giải Chọn A 4x 2  3 Ta có  =     3 2 x −6 4x 2 2 ⇔ =     3  3 1 Ví dụ Phương trình 22 x +1 =   2 A x = 6−2 x ⇔= 4x − 2x ⇔ = x Chọn A x +3 có nghiệm là: B x = C x = −1 D x = Lời giải Chọn C 2 x +1 1 =  2 x +3 ⇔ 22 x +1 =2 −2 x −3 ⇔ x + =−2 x − ⇔ x =−1 2a ) (= Ví dụ Giải phương trình: = S∆ABC A x = B x = −2 Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT a C x = 0,5 D x = −6 66 Lời giải Chọn B x 1 ( x + 3) x +3 −x ⇔ − x = x + ⇔ x = −2   =4 ⇔2 =2 2 Ví dụ Gọi n số nghiệm phương trình x.3x +1 = 45 Tìm n A n = C n = B n = D n = Lời giải Chọn A 5x.3x +1 = 45 ⇔ 15x = 15 ⇔ x = Phương trıǹ h có mô ̣t nghiê ̣m x = Ví dụ Cho phương trình 3x = 92 x −1 Khi tập nghiệm phương trình là: − x +8 A S = {2;5}  −5 − 61 −5 + 61  ; B S =   2    − 61 + 61  ; C S =     D S ={−2; −5} Lời giải Chọn A 3x − x +8 ⇔ 3x = 92 x −1 − x +8 x = =34 x −2 ⇔ x − 3x + =4 x − ⇔ x − + 10 =0 ⇔  x = Vậy S = {2;5} Ví dụ Cho phương trình: 28 x +4 = 16 x −1 Khẳng định sau đúng? A Tích nghiệm phương trình số âm B Tổng nghiệm phương trình số nguyên C Nghiệm phương trình số vơ tỉ D Phương trình vơ nghiệm Lời giải Chọn A  x ≤ 1∨ x ≥  x=3 28  x −1 2 = 16 ⇔ x + 4= 4( x − 1) ⇔   x + 3= 3x − ⇔   7 x + =−3x +  x = −  28 x +4   Nghiệm phương trình là: S =  − ;3   Vì x = Ví dụ Phương trình 28− x 58− x = 0,01 (105 ) A 1− x B Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng có tổng nghiệm là; C -7 D -5 67 Lời giải Chọn A ( 2.5) 8− x = 10−9.105− x ⇔ 108− x =102−5 x ⇔ − x =2 − x ⇔ x =−1; x =6 ta có : −1 + =5 Ví dụ Phương trình x = 5x+1 có nghiệm B x = log A x = log C x = log5 D x = Lời giải Chọn B x Ta có = x x +1 2 ⇔ = 5.5 ⇔   = ⇔ x = log 5 x x DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶT ẨN PHỤ Một số dạng thường gặp Dạng : ma 2x + na x + c = Dạng : max + nbx = c mà a.b =1 Đặt ax = t (t>0)=> bx = 𝟏𝟏 𝐭𝐭 Dạng : m (a - √𝐛𝐛 )x + n (a + √𝐛𝐛 )x = c Đặt (a + √𝐛𝐛 )x = t 𝐚𝐚 𝐱𝐱 Dạng : ma2x + naxbx + b2x = Chia vế cho b2x đặt �𝐛𝐛� = 𝐭𝐭 (𝐭𝐭 > 0) Ví dụ Nghiệm phương trình 22 x − 3.2 x+ + 32 = là: A x ∈ {2;3} B x ∈ {4;8} C x ∈ {2;8} D x ∈ {3;4} Lời giải Chọn A 2x = x = 22 x − 3.2 x + + 32 =0 ⇔ 22 x − 12.2 x + 32 =0 ⇔  x ⇔ x = 2 = Ví dụ Số nghiệm phương trình x − 71− x = là? A Vô nghiệm B C D Lời giải Chọn D Ta có: 7 x = 7 x 2x − = ⇔ − x − = ⇔ − 6.7 − = ⇔  x ⇔ x =  = −1 Ví dụ Gọi x1 x2 nghiệm phương trình 52 x +1 − 8.5x + = Khi đó: x 1− x x A x1 + x2 = B x1 + x2 = −2 C x1 + x2 = D x1 + x2 = −1 Lời giải Chọn D Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 68 Ta có: 52 x +1 − 8.5x + = ⇔ 5.52 x − 8.5x + = Đặt t = 5x ( t > ) , phương trình trở thành: 5t − 8t + = 5x1.5x2 = 5−1 ⇒ x1 + x2 = t1.t2 = P == −1 Xét 5x1 + x2 = Tìm n Ví dụ Gọi n số nghiệm phương trình x − x+1 − = A n = C n = B n = D n = Lời giải Chọn D Ta có: −2 x Ví dụ x+1 2 x = ⇔ − 2.2 − = 0⇔ x −3= ⇔x= log  = −1 2x x Tìm tập nghiệm phương trình 32+ x + 32− x = 30 A {1} B {0} C {−1;1} D ∅ Lời giải Chọn C 32+ x + 32− x = 30 ⇔ 9.3x + x = ⇔ − 30.3x + = 30 ) ( x  3x = x = ⇔ x 1⇔ 3 =  x = −1  Vâ ̣y tâ ̣p nghiê ̣m của phương trıǹ h là {−1;1} trở thành phương trình sau đây? Ví dụ Khi đặt t = x , phương trình x +1 − 12.2 x −2 − = A t − 3t − = B 4t − 12t − = C 4t − 3t − = D t − 12t − = Lời giải Chọn C Ta có x +1 − 12.2 x −2 − = ⇔ 4.4 x − 12 2x − = ⇔ ( x ) − 3.2 x − = 2 Đặt = t x ( t > ) , phương trình cho trở thành: 4t − 3t − = Ví dụ Số nghiệm phương trình: x +log3 − = 3x +log3 B A C D Lời giải Chọn B Ta có: x + log3 −2= x + log3 ⇔9 x + log3 −3 x + log3 3x +log3 = −1 (VN ) − = ⇔  x +log 3 = ⇔ x + log= log ⇔= x 32 Vậy phương trình có nghiệm Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 69 Ví dụ Phương trình 5x −1 + 53− x = 26 có nghiệm? A B C D Lời giải Chọn C Ta có 5x −1 ( ) ⇔ 5x 2 125 + 53− x = 26 ⇔ 5x + x2 = 26 5 − 26.5x + 125 = 5x 125  x2  x = ± = = ⇔ ⇔ ⇔ x = ± x = 5x =   Vậy phương trình có nghiệm x 1 Ví dụ Phương trình 31− x= +   có nghiệm âm? 9 A B C D Lời giải Chọn A x x 1 1 1 Phương trình tương đương với x = +   ⇔   = 2+  9  3  3 2x x t = 1 Đặt t   , t > Phương trình trở thành 3t = + t ⇔ t − 3t + = ⇔  =  3 t = x 1  Với t = 1, ta   =1 ⇔ x =  3 x 1 2⇔x= log =− log <  Với t = 2, ta   =  3 Ví dụ 10 Phương trình x − 5.3x + = có nghiệm là: A.= x 1,= x log B x = −1, x = log C.= x 1,= x log D x = −1, x = − log Lời giải Chọn A Đặt = t 3x (t > 0) ,khi phương trình cho tương đương với  x = log t − 5t + = ⇔   x =1 ( Ví dụ 11 Cho phương trình + ) + (2 + 3) x x = Khẳng định sau đúng? A Phương trình có nghiệm vơ tỉ B Phương trình có nghiệm hửu tỉ C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Tích hai nghiệm -6 Lời giải Chọn A Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 70 (7 + ) + (2 + ) x ( ) ( ) x x (1) = ( ) (1) ⇔  +  + +   Đặt t =2 + x x ( ) ( x −= 0 +  + +   ) x −= 0(1') >0  t = 2( N ) Khi đó: (1') ⇔ t + t − = ⇔  Với t = ⇔ + t = −3( L) (   Ví dụ 12 Số nghiệm phương trình +    3 x A ) x = ⇔ x = log 2+ ( ) x +2 −4= là: B C D Lời giải Chọn A 1 Phương trình tương đương với 3x +    3 x +1 −4= x 1 ⇔ +   − = ⇔ 3x + x − = ⇔ 32 x − 4.3x + =  3 x Đặt= t 3x , t > Phương trình trở thành t = t − 4t + = ⇔  t = Với t = 1, ta 3x − ⇔ x = Với t = 3, ta 3x = ⇔ x = x 0,= x Vậy phương trình có nghiệm= Ví dụ 13 Nghiệm phương trình 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = là: A x ln + 7ln x = 98 2 3 B x ∈  ;  3 2 C x ∈ {−1;0} D x ∈ {0;1} Lời giải 2x x  3  3 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = ⇔   − 13   + = 2 2   x   =  x =1 2 ⇔ ⇔  x = −1   x    =   20 là: Ví dụ 14 Nghiệm phương trình 12.3x + 3.15x − 5x+1 = A = x log − B x = log C = x log + D = x log − Lời giải Chọn A 12.3x + 3.15x − 5x +1 =20 ⇔ 3.3x (5x + 4) − 5(5x + 4) =0 ⇔ (5x + 4)(3x +1 − 5) =0 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 71 DẠNG 6: PHÂN TÍCH THÀNH TÍCH Phương pháp: sử dụng tính chất phép biến đổi tương đương để đưa phương trình tích Sau tương đương nhận phương trình gặp Ví dụ Tìm tất nghiệm phương trình x −3 x + + 4x + x +5 = 42 x +3 x +7 A x ∈ {−5; −1;1;2} B x ∈ {−5; −1;1;3} C x ∈ {−5; −1;1; −2} D x ∈ {5; −1;1;2} +1 Lời giải Chọn A 4x −3 x + ⇔ 4x + 4x −3 x + 2 + x +5 (1 − = 42 x x + x +5 2 +3 x +7 + ⇔ 4x ) − (1 − x + x +5 −3 x + + 4x + x +5 ⇔ (4 )= = 4x x −3 x + 2 −3 x + )( x + x +5 − 1 − 4x +1 + x +5 )=  x −3 x + − =0  x − 3x + =  x =−1 ∨ x =−5 ⇔ ⇔ ⇔  2 x x + + =  x =1 ∨ x = 1 − x +6 x +5 =  Ví dụ Phương trình 32 x + x (3x + 1) − 4.3x − = có tất nghiệm khơng âm? A B C D Lời giải Chọn A 32 x + x ( 3x + 1) − 4.3x − = ⇔ ( 32 x − 1) + x ( 3x + 1) − (4.3x + 4) = ⇔ ( 3x − 1)( 3x + 1) + ( x − ) ( 3x + 1) =0 ⇔ ( 3x + x − 5) (3x + 1) =0 ⇔ 3x + x − =0 Xét hàm số f ( x ) = 3x + x − ,t a có: f (1) = f '(= x ) 3x ln + > 0, ∀x ∈  Do hàm số f ( x ) đồng biến  ( ) Vậy nghiệm phương trình S = 1; Ví dụ Tính P tích tất nghiệm phương trình x − 2.2 x − 81.3x + 162 = A P = B P = C P = D P = 10 Lời giải Chọn A Phương trình ⇔ ( x − 2.2 x ) − (81.3x − 162 ) =0 ⇔ x ( 3x − ) − 81 ( 3x − ) =0  3x − = = x1 =  x log 32 ⇔ ( − )( − 81 = ⇔  →= P x1.= x2 ) ⇔ 2 x − 81 = = x2 0= 81  x log  x x Ví dụ Gọi x1 , x2 nghiệm nhỏ nghiệm lớn phương trình x + x −1 − 2x −1 =22 x − x Tính S= x1 + x2 A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn B Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 82 Phương trình ⇔ x −1 (2 ( 1) x ( x − 1) ⇔ ( x − 1) x −= x −1 ) x − 2= x = 2 x − = 2 x = =  x 0= x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x −1 x x −1 x x = 1± x −1 x x −1 −2 =  =  =  x −=  Suy nghiệm nhỏ x = 1− 1+ , nghiệm lớn x = 2 DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Trong phương trình có chứa tham số Tìm điều kiện tham số để thỏa mãn u cầu tốn ( Ví dụ Với giá trị tham số m phương trình + ) + (2 − 3) x x m có hai nghiệm phân = biệt B m < A m > C m = D m ≤ Lời giải Chọn A ( )( ) ( Nhận xét: + − =1 ⇔ + ( Đặt t = + ) x ( => − ) x ) (2 − 3) x x =1 = , ∀t ∈ (0; +∞) t 1 (1) ⇔ t + = m ⇔ f ( t ) = t + = m(1'), ∀t ∈ ( 0; +∞ ) t t Xét hàm số f (t ) = t + Ta có: f '(t ) =1 − xác định liên tục (0; +∞) t t2 − = Cho f '(t ) =0 ⇔ t =±1 t2 t Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên: + m < phương trình (1’) vơ nghiệm => pt (1) vô nghiệm + m = phương trình (1’) có nghiệm t = => pt (1) có nghiệm ( t = 2+ ) x =1 ⇒ x =0 + m > phương trình (1') có hai nghiệm phân biệt => pt(1) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ Với giá trị tham số m phương trình S = Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng ( −∞;0) ∪   ;2  có hai nghiệm trái dấu? 2  83 A −4 < m < −1 B không tồn m C −1 < m < D −1 < m < − Lời giải Chọn A Đặt x = t > Phương trình cho trở thành ( m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + = 0(*)    f (t ) u cầu tốn ⇔ (*) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn < t1 < < t2 m +1 ≠ m +1 ≠     ⇔  ( m + 1) f (1) < ⇔ ( m + 1)( 3m + 12 ) < ⇔ −4 < m < −1 ( m + 1)( 6m + 5) >  ( m + 1)( 6m + 5) >   Ví dụ Với giá trị tham số m phương trình x − m.2 x +1 + 2m = có hai nghiệm x1 , x2 với x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3? A m = C m = B m = D m = Lời giải Chọn A Ta có: x − m.2 x +1 + 2m = ⇔ (2 x ) − 2m.2 x + 2m = (*) Phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn x có: ∆ '( −m ) − 2m= m − 2m m ≥ Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m − 2m ≥ ⇔ m ( m − ) ≥ ⇔  m ≤ Áp dụng định lý Vi-ét ta có: x1.2 x2 = 2m ⇔ x1 + x2 = 2m Do x1 + x2 =3 ⇔ 23 =2m ⇔ m =4 Thử lại ta m = thỏa mãn Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 22 x −1 + m − m = có nghiệm A m < C m < ; m > B < m < D m > Lời giải Chọn B 22 x −1 = −m + m Ta có 22 x −1 + m − m =⇔ Vì x − có miền giá trị  nên 22 x−1 có miền giá trị ( 0; +∞ ) , phương trình có nghiệm ⇔ −m + m > ⇔ < m < Chú ý: Cần phải nói rõ x − có miền giá trị  kết luận y = 22 x −1 có miền giá trị ( 0; +∞ ) Sai lầm hay gặp phương trình a x = m có nghiệm ⇔ m > đúng, cịn phương trình a u = m có nghiệm ⇔ m > nói chung khơng Ví dụ hàm số y = x +1 có miền giá trị [ 2; +∞ ) Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x +1 − x + + m = có nghiệm A m ≤ B m ≥ C m ≤ D m ≥ Lời giải Chọn C Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 84 Ta có x +1 − x + + m =0 ⇔ ( x +1 ) − 2.2 x +1 + m =0 (1) Đặt x +1 = t > Phương trình (1) trở thành t − 2t + m =⇔ −m ( ) t − 2t = Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình ( ) có nghiệm t > Cách Xét hàm f ( t = ) t − 2t với t > Đạo hàm lập bảng biến thiên, ta kết luận −m ≥ −1 ⇔ m ≤ 0 < t1 ≤ t2 Cách Ycbt ⇔ phương trình ( ) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn  t1 ≤ < t2  ∆ ' ≥ 0, P > 0, S > 0 < m ≤ ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ P ≤ m ≤ ( Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình + B m ∈ ( −∞;5] A m ∈ ( −∞;5) ) + (2 − 3) x C m ∈ ( 2; +∞ ) x m có nghiệm = D m ∈ [ 2; +∞ ) Lời giải Chọn D ( Đặt + ) x ( = t > , suy − ) x = t m Phương trình cho trở thành t + = t Xét hàm f ( t ) = t + với t > t Đạo hàm lập bảng biến thiên, ta kết luận m ≥ Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 4sin x + 21+sin x − m = có nghiệm A ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D ≤ m ≤ Lời giải Chọn A Đặt t = 2sin x , điều kiện ≤ t ≤ 2 Phương trình trở t + 2t − m = ⇔ t + 2t = m 1 Xét hàm f ( t = ) t + 2t đoạn  ;2 , ta có f ' ( t )= 2t + > 0, ∀t ∈  ;2  2  2  1  Suy hàm số f ( t ) đồng biến đoạn  ;2  2  Do phương trình có nghiệm f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) 1   ;2  1   ;2  1 ⇔ f   ≤ m ≤ f ( ) ⇔ ≤ m ≤ 2 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 85 Ví dụ có hai nghiệm thực x1 , x2 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x − 2.3x +1 + m = thỏa mãn x1 + x2 = A m=6 B m = -3 C m = D m = Lời giải Chọn C Ta có x − 2.3x +1 + m =0 ⇔ 32 x − 6.3x + m =0 Đặt = (*) t 3x > , phương trình trở thành t − 6t + m = Để phương trình cho có hai nghiệm ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm dương ∆ ' ≥ 9 − m ≥   ⇔  S > ⇔ 6 > ⇔ < m ≤ P > m >   Theo định lí Viet, ta có 3x1.3x2 = m ⇔ 3x1 + x2 = m ⇔ = m (thỏa Cách trắc nghiệm Thử đáp án để chọn Ví dụ Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x − m.2 x +1 + 2m = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = A m = B m = C m = D m = Lời giải Chọn D Phương trình tương đương với ( x ) − 2m.2 x + 2m = t x > , phương trình trở thành t − 2mt + 2m = (*) Đặt = Để phương trình cho có hai nghiệm ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm dương  m − 2m ≥ ∆ ' ≥   ⇔  S > ⇔  2m > ⇔ m ≥ P >  2m >   Theo định lí Viet, ta có x1.2 x2 = 2m ⇔ x1 + x2 = 2m ⇔ 4= 2m ⇔ m = (thỏa) Ví dụ 10 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình 20172 x −1 − 2m.2017 x + m = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = A m = B m = C m = D m = Lời giải Chọn D Phương trình ⇔ 2017 x ) − 2m.2017 x + m = ( 2017 ⇔ ( 2017 x ) − 4034m.2017 x + 2017m = Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 86 + x2 x2 = = 2017m ⇔= m Thử 2017m ⇔ 2017 x1= 2017m ⇔ 2017 Theo Viet, ta có 2017 x1.2017 lại với m = ta thấy thỏa mãn Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 87 PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I LÝ THUYẾT Định nghĩa • Với a > 0, a ≠ 1, b > ta có: log a b =α ⇔ aα =b a > 0, a ≠ Chú ý: log a b có nghĩa  b > • Logarit thập phân: lg b log b log10 b = = • Logarit tự nhiên (logarit Nepe):  1 ln b = log e b (với e = lim  +  ≈ 2,718281 )  n n Tính chất • log a = ; log a a b = b ; log a a = ; ab a log = b (b > 0) • Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > Khi đó: + Nếu a > log a b > log a c ⇔ b > c + Nếu < a < log a b > log a c ⇔ b < c Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có: • log a= (bc ) log a b + log a c b • log a=   log a b − log a c c • log a bα = α log a b Đổi số Với a, b, c > a, b ≠ 1, ta có: • log b c = log a c hay log a b.log b c = log a c log a b • log a b = log b a = • log aα c α log a c (α ≠ 0) Phương trình logarit Với a > 0, a ≠ 1: log a x = b ⇔ x = a b II DẠNG TỐN Dạng 1: Phương trình logarit - Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa log a x = b ⇔ x = a b - Casio: Nhập hàm – dùng chức Solve máy tính để tìm nghiệm ( Chỉ áp dụng với số phương trình) - Ví dụ điển hình: Ví dụ Tập nghiệm phương trình log (3x − 7) = A {1} B {-2} C {5} D {-3} Lời giải Chọn C Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 88 Điều kiện 3x − > ⇔ x > Pt log ( x − ) = ⇔ x − = 23 ⇔ x = thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có tập nghiệm S = {5} Ví dụ Tập nghiệm phương trình log x = A {5} B {1} C {25} D {32} Lời giải Chọn D Điều kiện x > Phương trình log x = ⇔ x = 25 ⇔ x = 32 thỏa mãn điều kiện có nghiệm: Ví dụ Phương trình log ( x + x + 1) = A B C D Lời giải Chọn B Điều kiện x + x + > ⇔ x ≠ −1 x = Phương trình log ( x + x + 1) =0 ⇔ x + x + =1 ⇔ x + x =0 ⇔  thỏa mãn điều  x = −2 kiện Vậy phương trình có nghiệm Dạng 2: Đưa số - Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi logarit để đưa logarit có số, từ đưa phương trình dạng - Casio: Dùng chức Solve máy tính dùng chức Calc câu trắc nghiệm hỏi tập nghiệm phương trình - Một số ví dụ: Ví dụ Tìm số nghiệm phương trình log A x.log x.log x = C B D Lời giải Chọn C ĐKXĐ: x > Với đkxđ, log x.log x.log x = ⇔ ( log x ) = 23 ⇔ log x = ⇔ x = 3 Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ Tìm số nghiệm phương trình log ( x += 2) log5 (4 x + 6) A B C D Lời giải Chọn B Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 89 Điều kiện x > − 2) log5 (4 x + 6) ⇔ log5 ( x += 2) log5 (4 x + 6) Ta có log ( x += ⇔ ( x + 2) =4 x + ⇔ x =2 ⇔ x =± có nghiệm là: Ví dụ Phương trình log ( x + 2) + log x = −2, x = A x = x 2,= x B.= C x = D x = Lời giải Chọn C  x > −2 ĐK:  x ≠ log ( x + 2) + log x =3 ⇔ log ( x + ) x =3 64 ⇔ ( x + 2) x2 =  x += 2x = x ⇔ ⇔ ⇔x= −8  x = −4(l )  x + 2x = Dạng 3: Đặt ẩn phụ - Phương pháp giải: Biến đổi phương trình dạng chứa loại hàm số logarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x cho phương trình với biến t, giải phương trình tìm t, từ tìm x -Casio: Thử nghiệm dùng chức Solve - Một số ví dụ có hai nghiệm x1 , x2 Khi Ví dụ Phương trình log 22 x + log x − = = K x1 x2 − A K = B K = C K = D K = Lời giải Chọn B Ta có: PT ⇔ log 22 x + log 2−2 x − = ⇔ log 22 x − log x − =  x = 21+ log x = + 1− ⇔ ⇔ = ⇒ K 2.21+ 2.2 = −3  x = 21− log x = − có hai nghiệm x1 , x2 Khi tích x1 x2 bằng? Ví dụ Phương trình log x − log ( 3x ) = A B 36 C 243 D 81 Lời giải Chọn C x > Điều kiện:  ⇔ x ≥ x ≥ Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 90  log x = 1 ⇔ log x − log x + = ⇔  PT ⇔ log x − − log x =  log x = x = log x = ⇒ x1 x2 =3.34 =243 ⇔ ⇔ log x =  x = (1) Khi phương trình (1) tương đương Ví dụ Cho phương trình log 2 ( x ) − log ( x ) − = với phương trình đây: −x − x +1 A 3x + 5x = x + B 42 x C x − 3x + = D x − x + = + 22 x − = Lời giải Chọn D Chú ý hai phương trình tương đương với chúng có tập nghiệm Như vậy, ta sử dụng máy tính tìm nghiệm phương trình (1) , sau thử vào phương trình Bấm máy tính ta giải nghiệm x = 0, 25 x = Thử đáp án, ta thấy có đáp án D thỏa mãn x − x + = Cách 2: log 2 ( x ) − log ( x ) − = Điều kiện: x >  log ( x ) = −1 x=  0⇔ pt ⇔ log ( x ) − log ( x ) − = ⇔  log ( x ) = x = 2 1  Vậy tập hợp nghiệm phương trình cho S =  ;2  Thay nghiệm phương trình 4  ban đầu vào đáp án ta thấy D thoả mãn Dạng 4: Giải phương trình logarit phương pháp mũ hóa - Phương pháp giải: Đưa phương trình cho dạng sau: 0 < a ≠ * log a f= ( x ) g ( x ) ⇔  g( x)  f ( x ) = a  f ( x ) = a t * log a f ( x )= log b g ( x )= t ⇒  Khử x hệ phương trình để thu phương t g x b = ( )  trình theo ẩn t, giải phương trình tìm t, từ tìm x - Một số ví dụ điển hình Ví dụ Nghiệm phương trình log (3x − 8) =2 − x là: A B C D Lời giải: Chọn B Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 91 Điều kiện: 3x − > log (3x − 8) = − x ⇔ 3log3 (3 −8) = 32− x ⇔ 3x − = 32− x x ⇔ (3 ) x 3x = −1(loai ) − 8.3 − = ⇔  x ⇔ 3x = 32 ⇔ x = 3 = x - Sai lầm thường gặp: Học sinh thường quên đặt điều kiện dẫn đến thừa nghiệm Ví dụ Số nghiệm phương trình log ( x − 1) =3 − x là: A B C D Lời giải: Chọn A log ( − 1) = − x ⇔ − = x x 3− x 33 ⇔ − = x ⇔ x = log 108 x Ví dụ Biết phương trình log ( 3x +1 − 1) = x + log có hai nghiệm x1 , x2 S 27 x1 + 27 x2 Tính tổng= A = S 27 + 3 C S = B S = D S = Lời giải Chọn D ĐKXĐ: 3x +1 − > ⇔ x > −1 Ta có log ( x +1 − 1) = x + log ⇔ log ( x +1 − 1) − log = x ⇔ log (3 x +1 − 1) = 2x  3x = x = 3x +1 − 1) ( 2x 2x 2x x +1 x  ⇔ = ⇔ − = 2.3 ⇔ 2.3 − 3.3 + = ⇔ x ⇔  3 =  x = log   log3 ⇒ 270 + 27 =1 + = 8 Dạng 5: Đưa phương trình tích - Phương pháp giải: Dùng biến đổi tương đương để đưa phương trình dạng f(x).g(x)=0 - Ví dụ điển hình: Ví dụ Phương trình log ( 3x − ) log x = log x có tổng bình phương nghiệm là: A B C 10 D 17 Lời giải: Chọn B Điều kiện x > Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 92 log ( 3x − ) log 2= x log x ⇔ log x log ( 3x − ) − 1=  log x = =  x 1= x ⇔ ⇔ ⇔ − ) 3x= −4 = x log ( 3x = Kết hợp điều kiện suy tổng bình phương nghiệm Ví dụ Phương trình log x + log5 x = + log x.log5 x có tích nghiệm là: A 21 B 20 C 22 D 24 Lời giải Chọn B Điều kiện x>0 log x + log5 x = + log x.log5 x ⇔ log x ( log5 x − 1) − ( log5 x − 1) = ⇔ ( log5 x − 1) ( log x − ) = 0 log5 x − = x = ⇔ ⇔ x = log x − = Vậy tích nghiệm phương trình 20 Ví dụ Tổng nghiệm phương trình log x − logx log ( x ) + log x = là: A 100 B 101 C 102 D 103 Lời giải Chọn B Điều kiện: x > log x − logx log ( x ) + log x = ⇔ log x − log x − log x.log x + log x = ⇔ log x ( log x − ) − log x ( log x − ) = ⇔ ( log x − log x ) ( log x − ) = 0 log x − log x = x = ⇔ ⇔  x = 100 log x − = Tổng nghiệm phương trình 101 Dạng 6: Phương pháp hàm số - Phương pháp giải: Ta thường sử dụng tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C) Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 93 - Ví dụ điển hình: Ví dụ Giải phương trình log ( x + 1) + log5 ( x + 1) = ta tập nghiệm là: A S = {2} B S = {2;3} C S = {3} D S = {0} Lời giải Chọn A Điều kiện x > −1  −1  Xét hàm f (= x ) log ( x + 1) + log5 ( x + 1)  ; +∞    = f ' ( x)  −1  + > 0, ∀x ∈  ; +∞  ( x + 1) ln ( x + 1) ln    −1  ⇒ f (= x ) log ( x + 1) + log5 ( x + 1) đồng biến  ; +∞    Mặt khác f ( x ) = f ( ) = ⇔ x = Kết hợp điều kiện suy nghiệm x = Ví dụ Phương trình x + log ( x − x − ) = + log ( x + ) có nghiệm? A B C D Lời giải Chọn B x + >  x > −2 ⇔ ⇔x>3   x < −2 ∨ x > x − x − > Điều kiện pt ⇔ x + log ( x + )( x − 3) − log ( x + ) = ⇔ x + log ( x + )( x − 3) = ⇔ x+2 f ( x ) = x + log ( x − 3) = Xét hàm số f ( x ) = x + log ( x − 3) ( 3; +∞ ) f ' ( x )= + > 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) ⇒ f ( x ) = x + log ( x − 3) đồng biến ( 3; +∞ ) ( x − 3) ln10 Mặt khác f ( x ) = f ( ) = ⇔ x = Kết hợp điều kiện suy nghiệm phương trình x = Ví dụ Nghiệm phương trình = log5 x log ( x + ) là: A B C D Lời giải Chọn B x > Điều kiện:  ⇔x>0 x + > Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 94 t  x = log5 x =log ( x + ) =t ⇒  7t  x + = Đặt  x = 5t (1) t  x 5=  x 5t=  x 5t =  t ⇔ ⇔ t ⇔ t ⇔  t 1 t t t = − = − + = 7 x + 1( )        = 7   Nhận thấy t = nghiệm phương trình (2) t t Xét hàm số f= ( t )   +   R 7 7 t t 5 1 1 f ' ( t )   ln +   ln   < 0, ∀t ∈ R ⇒ f ( t ) = 7 7 7 f (= t) nghịch biến R f (1) ⇔= t Thay t = vào (1) suy x = Dạng 7: Phương trình logarit có chứa tham số - Phương pháp giải: Dùng kết hợp phương pháp đặt ẩn, mũ hóa, đưa số, đánh giá tính đơn điệu hàm số - Ví dụ điển hình: m có nghiệm x ∈ [1; 8] Ví dụ Tìm m để phương trình log 22 x − log x + = A ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D ≤ m ≤ Lời giải Chọn A Điều kiện: x ∈ [1; 8] Ta có: log 22 x − log x + = m ⇔ log 22 x − log x + = m m Đặt log x = t , t ∈ [ 0; 3] Phương trình trở thành: t − 2t + = Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + , với t ∈ [ 0; 3] f ′ ( t= ) 2t − , f ′ ( t ) = ⇔ 2t − = ⇔ t = Bảng biến thiên: m có nghiệm x ∈ [1; 8] phương trình: t − 2t + = m Để phương trình log 22 x − log x + = có nghiệm t ∈ [ 0; 3] Do đồ thị hàm số y = f ( t ) phải cắt đường thẳng y = m Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 95 Từ bảng biến thiên ta thấy ≤ m ≤ thỏa mãn u cầu tốn có nghiệm thực Ví dụ Tìm tất giá trị thực m để phương trình log ( − x − 3x − m + 10) = phân biệt trái dấu B m > A m < C m < D m > Lời giải Chọn C  − x − 3x − m + 10 > log ( − x − 3x − m + 10) = ⇔   − x − 3x − m + = Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt trái dấu ⇔ m − < ⇔ m < Ví dụ Cho phương trình sau: m.log 21 ( x − 4) − 2( m + 1) log ( x − 4) + m + m + = 2 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn < x1 < x2 < A m ∈ ( 0; +∞ ) B m ∈ ( 0; +∞ ) \ {1} C m ∈ ( 0; +∞ ) \ {2} D m ∈ ( 0; +∞ ) \ {-1} Lời giải Chọn B Đặt t = log ( x − 4) , phương trình có dạng: 2 m.t - 2(m + 1).t + m3 + m + = (1) Suy -1 < t1 < t2(*) C1: m ≠ 0, ta có ∆ =(m - 1)2 phương trình (1) có hai nghiệm t1 = (*) m2 + m + vµ t2= m + Khi m  m ≠ 0; m ≠  m ≠ 0; m ≠ m ≠ 0; m ≠    m + 2m +  m + m + > ⇔  m > ⇔ < m ≠1 ⇔ > −1 ⇔  m m     m > −2 m > −2   m + > −1 Vậy < m ≠ thỏa mãn yêu cầu tốn Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 96 ... 52 x +1 − 8.5x + = ⇔ 5. 52 x − 8.5x + = Đặt t = 5x ( t > ) , phương trình trở thành: 5t − 8t + = 5x1.5x2 = 5? ??1 ⇒ x1 + x2 = t1.t2 = P == −1 Xét 5x1 + x2 = Tìm n Ví dụ Gọi n số nghiệm phương trình. .. nghiệm phương trình cho S =  ;2  Thay nghiệm phương trình 4  ban đầu vào đáp án ta thấy D thoả mãn Dạng 4: Giải phương trình logarit phương pháp mũ hóa - Phương pháp giải: Đưa phương trình. .. ) ⇔ 5x 2 1 25 + 53 − x = 26 ⇔ 5x + x2 = 26 5 − 26.5x + 1 25 = 5x 1 25  x2  x = ± = = ⇔ ⇔ ⇔ x = ± x = 5x =   Vậy phương trình có nghiệm x 1 Ví dụ Phương trình 31− x= +   có nghiệm