TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ôn thi THPT CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT BÀ I 1: LŨY THỪA I – LÝ THUYẾT KIẾN THỨC CƠ BẢN a Định nghĩa lũy thừa - Cho số thực b số nguyên dương n ( n ≥ 2) Số a gọi bậc n số b a n = b - Chú ý: ° Với n lẻ b ∈ : Có bậc n b , kí hiệu n b b < : Không tồn bậc n b Với n chẵn: ° b = : Có bậc n b số b > : Có hai bậc n a hai số đối nhau, có giá trị dương ký hiệu n b , có giá trị âm kí hiệu − n b Số mũ α Cơ số a Lũy thừa a α α = n ∈ * a∈ aα = a n= a ⋅ a a ( n thừa số a ) α =0 a≠0 α a= a= −n, (n ∈ * ) α= a≠0 α −n a= a= α= m , ( m ∈ , n ∈ * ) n a>0 α m n a= a= an n am , ( n a = b ⇔ a = bn ) = α lim rn ,( rn ∈ , n ∈ * ) a>0 aα = lim a rn b Một số tính chất lũy thừa - Giả thuyết biểu thức xét có nghĩa: aα ⋅ a β = aα + β ; α −α α aα aα a b a α −β α β α β α α α = a ; ( a ) = a ; = ⋅ ( ab ) a b ; ⋅ = α ; b= β a b a b - Nếu a > aα > a β ⇔ α > β ; Nếu < a < aα > a β ⇔ α < β - Với < a < b , ta có: a m < b m ⇔ m > ; a m > b m ⇔ m < - Chú ý: ° Các tính chất trường hợp số mũ nguyên không nguyên ° Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác ° Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên số a phải dương c Một số tính chất bậc n - Với a, b ∈ ; n ∈ * , ta có: ° 2n a n =,∀ a a;° n +1 a n +1 = a,∀a Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng ° 2n ° 2n ab= a n b , ∀ab ≥ ; ° ⋅ 2n = ab n +1 a 2n a +1 , ∀ab ≥ 0, b ≠ ; ° n= 2n b b a = b a ⋅ n +1 b ,∀a, b n +1 n +1 n +1 a ,∀a, ∀b ≠ b -Với a, b ∈ , ta có: am = ° n ° n m ° (n a) a= Nếu nm m , ∀a > , n nguyên dương, m nguyên a , ∀a ≥ , n , m nguyên dương p q = n m n p a= m a q , ∀a > 0, m, n nguyên dương, p, q nguyên Đặc biệt: n a = m⋅n a m ( Yêu cầu: Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất lũy thừa.) II – DẠNG TOÁN Da ̣ng 1: Biến đổi biểu thức liên quan Phương pháp giải - Tư ̣ luâ ̣n thuầ n túy - Trắ c nghiêm ̣ (Cách nhâ ̣n xét bài toán, meọ mư ̣c để lo ̣a trừ) - Casio, Công thức giải nhanh … Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h Ví dụ 1: Kết luận số thực a (2a + 1) −3 > (2a + 1) −1 − 0, y > Biểu thức rút gọn K là? C x + B 2x A x 9= a 2b 9a b D x − Lời giải Chọn A Giải theo tự luận Rút gọn x − y = x − y ( ) −1 −2 −1 y y− x y y x + = − 1 = Rút gọn 1 − = x x x x y − x x Vậy K = x− y x = y − x ( ) Giải theo casio 12 Ta hiểu đáp án A K = x hay hiệu x − y −1 y y + − x với 1 − x x giá trị x; y thỏa mãn điều kiện x > 0, y > - Nhập hiệu vào máy tính Casio (Q)^a1R2$$pQn^a1R2$$)d(1p2saQnRQ)$$+aQnRQ)$)^p1pQ) Chọn giá trị X = 1.25 Y = thỏa x > 0, y > dùng lệnh gán giá trị CALC r1.25=3= - Ta tính giá trị x dễ dàng tính giá trị y = 12log9 x 12^i9$Qz= Vậy ta khẳng định 90% đáp án A - Để cho yên tâm ta thử chọn giá trị khác, ví dụ = X 0.55, = Y 1.12 r0.55=1.12= Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng Kết 0, ta chắn A đáp số xác Chú ý: Nếu khẳng định ( hệ thức ) với giá trị x, y thỏa mãn điều kiện đề Vậy ta cần chọn giá trị X , Y > để thử ưu tiên giá trị lẻ, tránh số tránh (có khả xảy trường hợp đặc biệt) Da ̣ng 3: Dạng khác Ví dụ 5: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng Biết người khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Sau ba năm, người muốn lãnh số tiền triệu đồng, khoảng thời gian không rút tiền lãi suất khơng đổi, người cần gửi số tiền M là: A triệu 600 ngàn đồng B triệu 800 ngàn đồng C triệu 700 ngàn đồng D triệu 900 ngàn đồng Lời giải Chọn A Giải theo tự luận Áp dụng công thức với Tn = , r = 0,007, n = 36 , số tiền người cần gửi vào ngân hàng năm (36 tháng)= là: M Tn = ≈ 3,889636925 triệu đồng n (1 + r ) (1,007 )36 VÍ DỤ TỔNG HỢP Ví dụ Cho f ( x ) = x x2 f (1,3) bằng: x A 0,13 B 1,3 C 0, 013 D 13 Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Phương pháp tự luận x x x x 1,3 = = x ⇒ f (1,3) = x x6 x 1,3 > nên ta có: = Vì = f ( x) Ví dụ Cho f ( x ) = x x 12 x Khi f (2, 7) A 0, 027 B 0, 27 C 2, D 27 Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Phương pháp tự luận Vì= x 2, > nên ta có: = f ( x) 12 2, x= x x x= x x 12 x ⇒ f ( 2, ) = Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT Ví dụ Đơn giản biểu thức 81a 4b , ta được: A −9a b B 9a b D 3a b C 9a 2b Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Phương pháp tự luận Ví dụ Đơn giản biểu thức b) ( 9a= b 81a= 2 a 2b 9a b 9= x8 ( x + 1) , ta được: B − x ( x + 1) A x ( x + 1) C x ( x − 1) D x ( x + 1) Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Phương pháp tự luận Ví dụ Đơn giản biểu thức x8 ( x + 1) = 4 x ( x + 1) = x ( x + 1) = x x + x ( x + 1) , ta được: C x ( x + 1) B x ( x + 1) A − x ( x + 1) 3 D x ( x + 1) Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Phương pháp tự luận x3 ( x + 1) = ( x ( x + 1) ) 3 = x ( x + 1) Ví dụ Khẳng định sau −1 A a = 1∀a C < B a > ⇔ a > 1 1 D < 4 4 Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Đáp án A B sai áp dụng trực tiếp lí thuyết Dùng máy tính để kiểm tra kết đáp án A D (2 Ví dụ Nếu ) −1 a+ < −1 A a < −1 B a < C a > −1 D a ≥ −1 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A ( ) Do − > nên − a+2 < − ⇔ a + < ⇔ a < −1 Ví dụ Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A ( 0, 01) − > (10 ) − B ( 0, 01) C ( 0, 01) − = (10 ) − D a = 1, ∀a ≠ − < (10 ) − Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng Dùng máy tính kiểm tra kết Ví dụ Trong khẳng định sau đây, khẳng định đúng? ) ) ( ( C ( − ) < ( − ) A − ( D ( < 2− B ) ( ) 2) < ( − 2) 11 − > 3− 11 − Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Dùng máy tính kiểm tra kết ( Ví dụ 10 Nếu A m > 3− ) m− < 3+ B m < C m > D m ≠ Hướng dẫn giải Chọn đáp án C += Ta có ⇒ 3− ( 3− ) 2m−2 < ( 3− ) −1 ⇔ 2m − > −1 ⇔ m > Ví dụ 11 Cho n nguyên dương ( n ≥ ) khẳng định sau khẳng định đúng? A a n = n a ∀a > C a n = n a ∀a ≥ B a n = n a ∀a ≠ D a n = n a ∀a ∈ Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta có đáp án A đáp án xác Ví dụ 12 Khẳng định sau khẳng định sai? ab = a b ∀a, b B A C 2n 2n a n ≥ ∀a , n nguyên dương ( n ≥ 1) a n = a ∀a , n nguyên dương ( n ≥ 1) D a = a ∀a ≥ Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Áp dụng tính chất bậc n ta có đáp án A đáp án xác Ví dụ 13 Cho a > 0, b < , khẳng định sau khẳng định sai? A C a 4b = ab B a 2b = ab D a 3b3 = ab a 4b = − a 2b Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Áp dụng tính chất bâc n ta có đáp án A đáp án xác Ví dụ 14 Tìm điều kiện a để khẳng định A ∀a ∈ B a ≤ Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT (3 − a ) =− a khẳng định đúng? C a > D a ≥ Hướng dẫn giải Chọn đáp án D a − neu a ≥ (3 − a ) = a − ⇔ −a + neu a < Ta có Ví dụ 15 Cho n ∈ N ; n ≥ khẳng định sau đúng? 1 A a n = n a , ∀a ≠ n B a n = n a , ∀a > n C a = a , ∀a ≥ D a = n a , ∀a ∈ n Lời giải: Chọn đáp án B Đáp án B Đáp án A, C, D sai điều kiện a Ví dụ 16 Khẳng định sau khẳng định sai? ab = a b ∀a, b B A C 2n 2n a n ≥ ∀a , n nguyên dương ( n ≥ ) a n = a ∀a , n nguyên dương ( n ≥ ) D a = a ∀a ≥ Hướng dẫn giải Chọn đáp án A a ≥ Vì đẳng thức xáy b ≥ Ví dụ 17 Cho a > 0, b < , khẳng định sau khẳng định sai? A a 4b = ab B a 3b3 = ab C a 2b = ab D a 2b = ab Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Do a > 0, b < nên Ví dụ 18 Nếu a > a b a 4b = (ab) = ab = −ab Đáp án A đáp án xác > b B a > 1; b < A a > 1;0 < b < C < a < 1; b < D a < 1;0 < b < Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Do Vì 1 1 > nên a > a ⇒ a > < nên b >b ⇒ < b < đáp án A đáp án xác ( Ví dụ 19 Cho a , b số dương Rút gọn biểu thức P = A ab B a 2b Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng a b 12 ) a b C ab kết : D a 2b Hướng dẫn giải Chọn đáp án C ( = P ) a b = 12 a b a b a b = = ab Vậy đáp án C xác 12 a b a b α Ví dụ 20 Cho < 27 Mệnh đề sau đúng? α < −3 A α > B α > D −3 < α < C α < Hướng dẫn giải Chọn đáp án D α α Ta có < 27 ⇔ < 33 ⇔ α < ⇔ −3 < α < Vậy đáp án D đáp án xác Ví dụ 21 Giá trị biểu thức A = ( a + 1) + ( b + 1) −1 A −1 với B (2 + 3) a= −1 b= (2 − 3) C −1 D Hướng dẫn giải Chọn đáp án C ) + (2 − ( A = ( a + 1) + ( b + 1) = + + −1 −1 ) −1 −1 1 + =1 3+ 3− +1 3= Vậy đáp án C đáp án xác Ví dụ 22 Cho số thực dương a b Biểu thức thu gọn biểu thức a+b (3 3 ) − − P = ab : a b a+3b A −1 B D −2 C Hướng dẫn giải Chọn đáp án B ( a )3 + ( b )3 2 a+b (3 3 3 ) ( ) P = − ab : a − b = − ab : a − b a+3b a+3b ( a + b )( a − a b + b2 ) 3 − ab : ( a − b ) 3 a+ b = ( a − ab + b − ab ) : ( a − b ) =( a − b ) : ( a − b ) =1 2 2 Ví dụ 23 Cho số thực dương a b Biểu thức thu gọn biểu thức ( ) 1 a b P = a3 + b3 : + + b a A ( 3 ab a + b) 3 B ab C ab a+3b D ab ( a + b ) Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT ( ) 1 a b P = a3 + b3 : + + = b a ( = a+ (3 a + b) b ): 3 = a b ( a + b )⋅ Ví dụ 24 Cho số thực dương x Biểu thức a b mũ hữu tỉ có dạng x , với A a + b = 509 ( a + b ) : + a + b = ( a + b ) : 3 a b a3b (3 a + b) = a b + a + b2 a3b 3 a3b ⋅ a+3b x x x x x x x x viết dạng lũy thừa với số a phân số tối giản Khi đó, biểu thức liên hệ a b là: b B a + 2b = 767 C 2a + b = 709 D 3a − b = 510 Hướng dẫn giải Chọn đáp án B x x= x x x x x x Cách 1: x(x ) = x x x x x Nhận xét: x x x x x⋅x 31 31 63 x x x x ⋅ x16 = x x x x16 = x x xx 32 = x x x 32 127 127 255 255 255 a 255, = b 256 x ⋅ x 128 = x 128 = x 256 Do = x x ⋅ x 64 = x x 64 = x x 128= = = x x x x x x x x x x x4 = x x= 15 15 = x x = x x x8 63 x x x x x x x⋅x 28 −1 255 x x x x x x x= x x= x 256 Ví dụ 25 Cho số thực dương phân biệt a b Biểu thức thu gọn biểu thức = P a− b 4a + 16ab = P m a + n b Khi biểu thức liên hệ m n − có dạng 4 4 a− b a+ b là: A 2m − n =−3 B m + n =−2 C m − n = D m + 3n = −1 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A a− b 4a + 16ab ( a ) − ( b ) a a + a b P= − =4 − 4 a−4b a+4b a−4b a+4b ( a − b )( a + b ) a−4b − 24 a ( a + b) = a + b − a = b − a Do m = −1; n = 4 a+ b Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng ... 21 Giá trị biểu thức A = ( a + 1) + ( b + 1) ? ?1 A ? ?1 với B (2 + 3) a= ? ?1 b= (2 − 3) C ? ?1 D Hướng dẫn giải Chọn đáp án C ) + (2 − ( A = ( a + 1) + ( b + 1) = + + ? ?1 ? ?1 ) ? ?1 ? ?1 1 + =1 3+ 3− +1. .. 31 31 63 x x x x ⋅ x16 = x x x x16 = x x xx 32 = x x x 32 12 7 12 7 255 255 255 a 255, = b 256 x ⋅ x 12 8 = x 12 8 = x 256 Do = x x ⋅ x 64 = x x 64 = x x 12 8= = = x x x x x x x x x x x4 = x x= 15 ... đồng n (1 + r ) (1, 007 )36 VÍ DỤ TỔNG HỢP Ví dụ Cho f ( x ) = x x2 f (1, 3) bằng: x A 0 ,13 B 1, 3 C 0, 013 D 13 Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Phương pháp tự luận x x x x 1, 3 = = x ⇒ f (1, 3) =