Bài 4 hàm số mũ hàm số logarit

TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ôn thi THPT BÀI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT I – LÝ THUYẾT Hàm số mũ: y= a x , ( a > 0, a ≠ 1)  Tập xác định: D =   Tập giá trị: = T ( 0, +∞ )  Tính đơn điệu Khi a  hàm số đồng biến  Khi  a  hàm số nghịch biến   Dạng đồ thị: Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang 1 O O Hàm số logarit: = y log a x , ( a > 0, a ≠ 1)  Tập xác định: D =  Tập giá trị: T =  ( 0, +∞ )  Tính đơn điệu Khi a  hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) Khi  a  hàm số nghịch biến ( 0; +∞ )  Dạng đồ thị: Nhận trục tung làm tiệm cận đứng O 1 O Đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp ( a ) = a ln a ⇒ ( au ) = a u ln u.u ' (e ) = e ⇒ ( eu ) = eu u ' x ' x x ' ( log ' x x) = ' a ' x ln a Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT ' u' ⇒ ( log a u ) = u ln a 42 = x) ( ln ' , ( x > 0) x u' ' ⇒ ( ln u ) = u II – DẠNG TOÁN Da ̣ng 1: Tập xác định hàm số a) Phương pháp giải: - Tự luận túy: Tìm điều kiện hàm số giải điều kiện ta thu tập xác định hàm số - Casio: Áp dụng cho hàm số khơng chứa hàm số lũy thừa + Nhập hàm số cần tìm tập xác định + CALC: x = a Nếu Casio báo Math ERROR loại bỏ đáp án chứa giá trị a Ví dụ điển hình f ( x ) log Ví dụ 1: Tập xác định xủa hàm số = x + − log ( − x ) − log ( x − 1) là: 2 A D = (1;3) B D = ( −1;1) C D = ( −∞;3) D D = (1; +∞ ) Lời giải: Chọn A x +1 >  x > −1   Giải theo pp tự luận: Điều kiện: 3 − x > ⇔  x < ⇔ < x < ⇒ D = (1;3) x −1 > x >   Casio: Nhập hàm số CALC x = Casio báo Math ERROR loại bỏ đáp án B C x = Casio báo Math ERROR loại bỏ đáp án D Ví dụ 2: Tập xác định hàm số f ( x= ) xπ + ln A D = ( −3;e ) B D = ( 0;1) e x + 4e x + 1− x C D = ( −∞;1) D D = ( 0; +∞ ) Lời giải: Chọn B Giải theo pp tự luận: Điều kiện: x >  2x  x > ⇔ ⇔ < x ∀ x e e 0, x > ( )   1− x  Giải theo pp trắ c nghiê ̣m: Hàm số chứa xπ ⇒ x > loại đáp án A, C Thay x = ta có e + 4e + < , ta loại đáp án D 1− Phân tıć h các sai lầ m dễ mắ c phải của ho ̣c sinh: Học sinh sử dụng Casio CALC x = Casio báo Math ERROR loại bỏ đáp án A D x = Casio nhận giá trị 2.302585093 nên chọn đáp án C Sai lầm hàm số chứa hàm số lũy thừa y = xπ nên không sử dụng Casio Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 43 Ví dụ 3: Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số y = log ( x − x + 3m) có tập xác định  Lời giải: Chọn 2  C  −∞;  3  2  B  ; +∞  3  2  A  ; +∞  3   2 D  ∞;   3 A  x − x + 3m > Giải theo pp tự luận: Hàm số có tập xác định  tương đương  , ∀x ∈  log ( x − x + 3m ) >  x − x + 3m > ⇔ x − x + 3m > 1, ∀x ∈  ⇔ 3m > − x + x, ∀x ∈  ⇔ 3m > Max {1 − x + x}    x − x + 3m > Xét hàm số f ( x ) =1 − x + x , dùng đạo hàm ta có Max f ( x ) =  Suy 3m > ⇔ m > y log ( x − x + m ) có tập xác định D = R khi: Ví dụ 4:= A m ≥ B m ≥ C m < D m > Lời giải Chọn B Hàm số có tập xác định D =  x − x + m > 0; ∀x ∈ (*) Đặt = t x > 0, (*) ⇔ t − t + m > 0; ∀t > ⇔ m > t − t ; ∀t > ⇔ m > max {t − t } 1  1 Ta có t − t = −  − t  ≤ suy max {t − t } = ⇒ m > 4 2   x + x +1 + 10  Ví dụ 5: y log  = − m  có tập xác định D = R có giá trị nguyên dương x +1   tham số m ? A B C 10 D 13 Lời giải Chọn B  x + x +1 + 10  y log  = − m  có tập xác định D = R x +1   ⇔  x + x +1 + 10  x + x +1 + 10 x + x +1 + 10 m 0, x m , x m − > ∀ ∈  ⇔ < ∀ ∈  ⇔ <    2x + 2x + 2x +   x + x +1 + 10 = Ta có 2x + (2 x + 1) + 2 +1 x = 2x + + ≥2 9= +1 x Suy m < Vậy có giá trị nguyên dương m Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 44 Dạng 2: Tính đạo hàm cấp hàm số mũ hàm số logarit; Tìm min, max hàm số mũ hàm số logarit a) Phương pháp giải: * Đối với toán tính đạo hàm chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm - Dùng cơng thức tính đạo hàm học - Thay vào đẳng thức chứa đạo hàm ta thu kết * Đối với toán tìm min, max - Tìm đạo hàm hàm số - Tìm nghiệm thuộc khoảng xét - Tính giá trị hàm số điểm đầu mút điểm vừa tìm - Kết luận Ví dụ 1: Đạo hàm hàm số y = ecos x x = π ? B − 3e A −e C e D 3e Lời giải Chọn B Giải theo tự luận π π cos π  −2sin x.ecos x ⇒ y′   = −2sin e = − 3e Ta có y′ = ( cos x )′ ecos x = 6 - Sử dụng Casio Nhập vào máy tính: Qyqhk2Q)$qKa6= Từ ta đáp án cần tìm y log8 ( x − x + ) Ví dụ 2: Đạo hàm hàm số= A y′ = ( x − 3) log8 ( x − 3x + 8) B y′ = 2x − x − 3x + C y′ = 2x − ( x − x + 8) ln D y′ = 2x − ln x − 3x + 2 Lời giải : Chọn C x − x + )′ (= ( x − 3x + 8) ln ( x = Ta có y′ 2 2x − − x + ) ln x −1 Ví dụ 3: Cho f ( x ) = x +1 Giá trị f ′ ( ) A B ln C D ln Hướng dẫn giải Chọn D Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 45 Cách Sử dụng cơng thức tính đạo hàm x −1 x − ′ f ′ ( x= ) x +1.ln  =  x +1  ( x + 1) x −1 x +1.ln ⇒ f ′ ( 0= ln ) 2.2−1.ln = Cách Sử dụng máy tính Nhập vào máy tính: Qy2^aQ)p1RQ)+1$q0= Từ ta đáp án cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số y = ln Tìm mệnh đề mệnh đề sau x +1 B xy′ − =e y A xy′ − =−e y C xy′ + = ey D xy′ + =−e y Lời giải Chọn C 1  ′ x + 1) = − − Ta có y′ =   = ( x +1  x +1  ( x + 1) x +1 Vậy xy′ + =− ln x 1 y +1 e= +1 = ey e x= ⇒ xy′ += x +1 x +1 x +1 ) ( Ví dụ : Đạo hàm hàm số y = ln x + x + A y′ = 1+ x x + x2 + B y′ = x2 + C y′ = x2 + D y′ = 2x x2 + Lời giải Chọn B ′ x + 1) ( x += Ta có y′ = x + x +1 x 1+ x +1 = x + x2 + 1 x2 + x ln( x + 1) [ 0, 2] Ví dụ : Giá trị nhỏ hàm số y =− A B 1-ln D Đáp án khác C 2-ln Lời giải Chọn A Ta có y′ =1 − =0 ⇔ x =0 x +1 = y ( ) 0;= y ( ) ln Vậy y = [0;2] ( ) Ví dụ 7: Gọi M , N giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số y = ln x + x + đoạn 0;  Khi tổng M + N A ln(6 + 5) B ln 3− C ln(6 − 5) D Kết khác Lời giải : Chọn B Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 46 Ta có : y′ = x +4 Mà y ( )= ln 2; y ; y′ = vô nghiệm ( )= ln (3 + ) ⇒ M + N= ( ) ln ( ) + ln + = ln 3− DẠNG 3: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT a) Phương pháp giải - Tự luận túy: x + Nếu hàm số dạng = y a= ; y log a x dựa vào số a để xác định tính đơn điệu hàm số + Nếu hàm số khác ta xét biến thiên hàm số theo bước: TXĐ⇒BBT⇒Kết luận - Casio: + Dùng MODE để khảo sát tính tăng giảm, giảm hàm số để chọn đáp án Ví dụ điển hình Ví dụ 1: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến R? π  A y =   3 x B y =   3 x C y =   e π  D y =   4 x x Lời giải Chọn A Sử dụng tính chất: Hàm số y = a x đồng biến R a > Ví dụ 2: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến tập xác định nó? B.= y A y = log x x2 + C y = log x D = y ln ( x + 1) Lời giải Chọn A Sử dụng tính chất: Hàm số y = loga x đồng biến TXĐ a > nên đáp án A Ví dụ 3: Cho bốn hàm số sau: ; y g= = y f= ( x) ln x= ( x) x2 + ; x  2017  ( x)  = y h= y l (= x) ln ( x + 1) Có hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ )  ;=  2018  A B C D Lời giải Chọn C Sử dụng tính chất: Hàm số y = loga x đồng biến TXĐ a > nên = y f= ( x) ln x (Nhận) x  2017  Sử dụng tính chất: Hàm số y = a nghịch biến R < a < nên= ( x)  y h=  (Loại)  2018  x = y g= Hàm số ( x) 2x x + xác định với ∀x ∈= R y′ Hàm số= = y′ y l (= x) ln ( x + 1) xác định với ∀x ∈ R Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 2x2 + > với ∀x > R (Nhận) 2x > với ∀x > R (Nhận) x +1 47 Ví dụ 4: Cho hàm số sau: y = f ( x) = ( x − ( m + ) x + 2m + 12 ) e x Tìm tổng giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến TXĐ S giá trị S là: A 15 B -12 C -15 D -10 Lời giải Chọn C +) TXĐ D = R +) Ta có f ′( x) = ( x − ( m + 3) x + ) e x Hàm số nghịch biến TXĐ x − ( m + 3) x + ≤ 0; ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ ⇔ −5 ≤ m ≤ −1 Đáp án C DẠNG 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Phương pháp: * Đối với tốn cực trị hàm biến - Tính đạo hàm hàm số - Tìm nghiệm phương trình y′ = - Xét dấu đạo hàm - Suy cực đại, cực tiểu hàm số * Đối với tốn nhiều biến - Tìm cách biến đổi biểu thức liên hệ biến - Khéo léo xét hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Ví dụ 1: Cho hàm số y = ex Tìm cực tiểu đại hàm số x +1 B y = A x = C x = D y = e Lời giải: Chọn B Tập xác định:= D  \ {−1} Ta có y′ = xe x ( x + 1) ⇒ y′ = ⇔ x = y′ đổi dấu từ − sang + nên hàm số đạt cực tiểu = yCT x 0,= Ví dụ : Tìm điểm cực tiểu hàm số y = x ln x A e B e C − e D −e Lời giải Chọn B Tập xác định D = ( 0; +∞ ) Ta có y′ = ln x + ⇒ y′ = ⇔ x = e Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 48 Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu x = e Ví dụ 3: Tìm điểm cực tiểu hàm số y = x ln x A x = e B x = e C x = e D x = e Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số xác định x > Ta = có y′ x ln x + x y′ = ⇔ x ln x + x = ⇔ x = e Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm sớ đa ̣t cực tiể u ta ̣i x = Ví dụ 4: Xét số thực dương thỏa mãn log e − xy = xy + x + y − Tìm giá trị nhỏ Pmin x + 2y P= x + y A Pmin = 11 − 19 B Pmin = 11 + 19 C Pmin = 18 11 − 29 21 D Pmin = 11 − 3 Lời giải: Chọn D Ta có log − xy = xy + x + y − ⇔ log ( − xy ) + ( − xy )= log ( x + y ) + ( x + y )(*) x + 2y Xét hàm số f ( t = ) log3 t + t , t > + > 0, ∀t > ⇒ f ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) t ln Ta có f ′ (= t) Khi (*) ⇔ f ( − xy ) = f ( x + y ) ⇔ − xy = x + y ⇔ y = Vậy S =x + 3− x 3x + − x 3x + x + x + 12 x − = ⇒ S′ = 3x + 3x + ( 3x + ) S′ = ⇔ x =  −2 + 11  11 − −2 ± 11 ⇒ Pmin = S   = 3   Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 49 Ví dụ 5: Cho số thực dương x, y thỏa mãn + 9.3x biểu thức P = −2 y ( + 9x = −2 y ) y − x2 + Tìm giá trị nhỏ x + y + 18 x A B C 10 D Chọn A Đặt = t x − y ta phương trình + 9.3t =( + 9t ) 2−t ⇔ 7t ( + 9.3t ) =49 ( + 9t ) ⇔ ( 7t − 2= ) 72.32t − 7t.3t +2 ⇔ 4.72 ( 7t −2 − 1=) 72.32t (1 − 7t −2.32−t )   t −  ⇔ 4.7 ( 7t − = − 1) 2.32t 1 −        VT > TH1 Với t > ⇒  ⇒ PTVN VP < VT < ⇒ PTVN TH2 Với t < ⇒  VP > Vậy t = Với t = ⇔ y = x2 − x + x + 16 16 ⇒P= 1+ x + ≥ x x Vậy P = ⇔ x = 4, y = Ví dụ 6: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a > b > Biết giá trị nhỏ biểu thức = S ( log b ) 2 a  +  log   b a b  a  m + n + p với m, n, p số nguyên Tính T = m + n + p A T = −1 C T = −14 B T = D T = Chọn C b log a log a b − log a b − b b 1 a = = = = log b Ta có log a b = log a b log b a a b  log b − 1 log a b − a a log a   a 2  a    t −1  f ( t ) = f 1 −  = + − Vì S = f ( t ) = 4t +   ≥ ( 0;1) 2 t −2  ( ) Trong đó= t log a b ∈ ( 0;1) , ∀a > b > 2, n = 16, p = −32 ⇒ T = −14 Vậy m = Ví dụ 7: Cho số thực a, b, c thuộc đoạn [1; 2] thỏa mãn log 32 a + log 32 b + log 32 c ≤ Tính giá trị biểu thức S = a + b + c Khi biểu thức P = a + b3 + c3 − ( log a a + log bb + log c c ) đạt giá trị lớn A S = B S = 3.2 3 Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT C S = D S = 50 Chọn D Ta có log a ≥ a − 1, ∀a ∈ [1; 2] ⇔ f = ( a ) log a − a + ≥ 0, ∀a ∈ [1; 2] Thật vậy, ta có f ′ ( a ) = 1 − 1; f ′ ( a ) = ⇔ a = = log e ∈ [1; 2] a ln ln Vì f = e )} f= ( a ) { f (1) , f ( ) , f ( log 2= (1) f = ( 2) [1;2] Dấu xảy a ∈ {1; 2} Với x log log log c ta có = = = a, y b, z P ≤ (1 + x ) + (1 + y ) + (1 + z ) −  x (1 + x ) + y (1 + y ) + z (1 + z )  = x3 + y + z + ≤ + = 3 a, b, c ∈ {1; 2} ⇔ ( a; b; c ) = Dấu xảy  (1;1; ) hoán vị 3 log a + log b + log c = Ví dụ 8: Xét số a, b, c ∈ (1; 2] thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức = P log bc ( 2a + 8a − ) + log ca ( 4b + 16b − 16 ) + log ab ( c + 4c − ) A log 289 + log B 11 C D Chọn D Do a ∈ (1; 2] ⇒ ( a − ) ( b − 1) ≤ ⇒ a + 4a − ≥ a 3 ⇒ P ≥ log bc ( 2a ) + log ca ( 4b3 ) + log= ab ( c ) log ( 2a ) log ( bc ) + log ( 4b3 ) log ( ca ) + log ( c3 ) log ( a + b ) + 3x + y 3z x log a= ; y log b= ; z log c ⇒ < x, y, z ≤ với= = + + y+z x+z x+ y ⇒ P ≥=  x + 3x + y 3z y z  + + = + + 3 + + + + = ≥ y+z x+z x+ y y+z x+z  y + z z + x x + y  1+1 1+1 Ví dụ 9: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y > log ( x + 1)( y + 1)  y +1 =9 − ( x − 1)( y + 1) Biết giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y − 57 ( x + y ) số thực có dạng a + b ( a, b ∈  ) Tính giá trị a + b A a + b =−28 B a + b =−29 C a + b =−30 D a + b =−31 Chọn B Ta có log ( x + 1)( y + 1)  y +1 ⇔ log ( x + 1)= + x + log =9 − ( x − 1)( y + 1) ⇔ log ( x + 1) + log ( y + 1) = − x +1 y +1 9 + y +1 y +1 Xét hàm số = f ( t ) log t + t Hàm số đồng biến nên x + = ⇔ x + y = − xy y +1 Vậy P = ( x + y ) − xy ( x + y ) − 57 ( x + y ) Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 51 Đặt t = x + y ⇒ P = t − ( − t ) t − 57t = t + 3t − 81t Điều kiện t Ta có = x + y + xy ≤ t + t2 ⇔ t + 4t − 32 ≥ ⇒ t ≥ 4 Mặt khác ( x − 1)( y − 1) ≥ ⇒ xy ≥ x + y − ⇒ = x + y + xy ≥ 2t − ⇔ t ≤ 4,5 Xét hàm số g ( t ) =t + 3t − 81t , t ∈ [ 4; 4,5] g ′ ( t ) =3t + 6t − 81 =0 ⇔ t =−1 + ( ) Vậy g ( t ) =g −1 + =83 − 112 =Pmin ⇒ a =83; b =−112 ⇒ a + b =−29 [ 4;4,5] Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 52 DẠNG 5: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT a) Phương pháp giải Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = R • Tập giá trị: T = (0; +∞) • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang • Đồ thị: 1 O O Hàm số logarit y = log a x (a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = (0; +∞) • Tập giá trị: T = R • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng • Đồ thị: O 1 O Ví dụ điển hình Ví dụ 1: Phát biểu sau sai? A Hai hàm số y = a x y = log a x ( a > 1) có tình đơn điệu TXĐ B Đồ thị hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ln nằm trục hồnh C Đồ thị hàm số y = log a x ( a > 0, a ≠ 1) nằm bên phải trục tung D Hai hàm số y = a x y = log a x ( < a < 1) có đồ thị nằm phía trục hồnh Lời giải Chọn D Căn vào tính chất đồ thị hàm mũ ta rút kết đáp án D Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 53 + Hai hàm số y = a x y = log a x ( a > 1) đồng biến TXĐ + a x > 0; ∀x ∈ R nên đồ thị luon nằm Ox + y = log a x có có TXĐ D = ( 0; +∞ ) nên đồ thị nằm bên phải trục tung x) 2e x − x Một bốn đồ thị cho bốn phương án A, B, C , D Ví dụ 2: Cho hàm số f (= đồ thị hàm số y = f '( x) Tìm đồ thị A B C D Lời giải Chọn D x) 2e x − nên đồ thị no hàm đồng biến, qua điểm ( 0;1) Ta có f ′(= Ví dụ 3: Cho hàm số y  log a x y  log b x có đồ thị hình vẽ bên Đường thẳng x  cắt trục hoành, đồ thị hàm số y  log a x y  log b x A, B C Biết CB  AB Mệnh đề sau đúng? A a  b B a  b C a  b D a  5b Lời giải Theo giả thiết, ta có A 5;0, B 5;log a 5, C 5;log b 5   Do CB  AB   CB  BA  log a  log b  2. log a 5   log a  log b   log a  log b   log a  log b3   a  b Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y   log x có đồ thị C  Hàm số sau có đồ thị đối xứng với C  qua đường thẳng y  x A y  x B y  x C y  2x x D y  2 Lời giải Trước tiên ta đưa hàm số dạng chuẩn: y   log x  log x x 1 Suy hàm số cần tìm y     2x Chọn C 2 Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 54 Ví dụ 5: Biết hai hàm số y  a x y  f  x  có đồ thị hình vẽ đồng y  x y  ax y thời đồ thị hai hàm số đối xứng qua đường thẳng d : y  x Tính f a  y  f x  A f a   a 3 a 3 -1 B f a    O x C f a   3 D f a   a 3a Lời giải Giả sử M  x M ; y M  điểm thuộc hàm số y  a x ; N  x ; y0  điểm đối xứng M qua đường thẳng y  x  x M  x y M  y0  ;   2  I  Gọi I trung điểm MN   Vì M , N đối xứng qua  y M  y0 x  x0    M  I  d   x   y M  2 d              MN  nd  x M  x  y M  y0   y  x M     Ta có M  x M ; y M   đồ thị y  a x nên y M  a x M  y0  log a x   y0   log a x  Điều chứng tỏ điểm Do x   y M  a x  a y  M N thuộc đồ thị hàm số f  x    log a x  Khi f a    log a a  3 Chọn C x 1 Cách Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  a x qua Oy đồ thị hàm số y  ax    a  Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  f  x  qua Oy đồ thị hàm số y  f x  Theo giả thiết, ta có đồ thị hai hàm số y  a x y  f  x  đối xứng qua đường thẳng y  x x 1 nên suy đồ thị hai hàm số y    y  f x  đối xứng qua đường thẳng y  x a  1 Theo lý thuyết (SGK) đồ thị hai hàm số y  a x y  log a x đối xứng qua đường thẳng y  x 2 x a Từ 1 2 , suy f x   log x   f a   log a  3 a a Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có diện tích 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox , đỉnh A, B C nằm đồ thị hàm số y  log a x , y  log a x y  log a x với a số thực lớn Tìm a A a  B a  C a  D a   A, B nằm đường thẳng y  m m  0 Lời giải Do AB  Ox  Lại có A, B nằm đồ thị hàm số y  log a x , y  log a x Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 55  m  Từ suy A a m ; m  , B a ; m   m Vì ABCD hình vng nên suy xC  x B  a  m 3m    Lại có C nằm đồ thị hàm số y  log a x , suy C a ;  Theo đề S ABCD m   a m  a    AB   36       BC   3m  m   m  12 m  12      Chọn D a  a   1loaïi   Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 56 DẠNG 6: BÀI TOÁN LÃI SUẤT; BÀI TỐN THỰC TẾ, LIÊN MƠN a) Phương pháp giải: - Tự luận túy: Một vài công thức cần nhớ Bài toán 1: Gởi vào ngân hàng số tiền A đồng, với lãi suất hàng tháng r kì hạn T a (1 + r ) Sau n kì hạn, số tiền vốn lẫn lãi là: = n ( kì hạn năm; tháng k tháng) Bài toán 2: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền a đồng (Gởi đầu tháng) Biết lãi suất hàng tháng r Tổng tiền sau n tháng là: T = a (1 + r ) [(1 + r ) n − 1] r Bài tốn 3: (Vay tra góp) Một người vay vốn A đồng, lãi suất r tháng, hàng tháng trả a a đồng (Trả cuối tháng) Số tiền nợ lại sau n tháng là: T = A(1 + r ) n − [(1 + r ) n − 1] r - Casio: Từ giả thuyết toán ta xây dựng đẳng thức, bất đẳng thức Sử dụng chức CALC để thử đáp án SOLVE ( SHIFT CALC) để tìm đáp án Ví dụ điển hình Ví dụ 1: (Sở GD Hưng Yên lần 1) Một người gửi tiết kiệm số tiền 100.000.000 VNĐ vào ngân hàng với lãi suất 8% /năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau 15 năm số tiền người nhận bao nhiêu? (làm trịn đến đơn vị nghìn đồng? A 117.217.000 VNĐ Lời giải: Chọn B 417.217.000 VNĐ C 317.217.000 VNĐ D 217.217.000 VNĐ C Giải theo pp tự luận: Theo cơng thức tốn 1, ta có = T 100.000.000 (1 += 8% ) 317216911, 15 Ví dụ 2: (Đề thi thử Sở Thanh Hóa) Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng theo thỏa thuận tháng người trả cho ngân hàng triệu đồng trả hàng tháng hết nợ (tháng cuối trả triệu) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng A 21 B 22 Lời giải: Chọn C 23 D 24 B Giải theo pp tự luận: Theo cơng thức tốn 3, ta có T= 100 (1 + 0, 7% ) − n ( ) n (1 + 0, 7% ) − 0, 7% Sau tháng thứ n trả hết nợ nên Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 57 100 (1 + 0, 7% ) − T= n ( ) n (1 + 0, 7% ) − =0 0, 7%   n ⇔ 100 − − (1 + 0, 7% ) =  0, 7%  0, 7%     : 100 − = ⇔ n log1+ 0,7%  −  0, 7%    0, 7%  ⇔ n ≈ 21, Vậy sau tháng thứ 22 người trả hết nợ Giải theo pp tự luận kết hợp Casio: 100 (1 + 0, 7% ) − Theo cơng thức tốn 3, ta có T = n ( ) n (1 + 0, 7% ) − 0, 7% CALC: n = 21 ta kết 3, 089727653 suy nợ nên loại A n = 22 ta kết −1,888644253 suy hết nợ nên chọn B Chú ý: Phải CALC giá trị n từ bé đến lớn Ví dụ 3: Cường độ trận động đất M (richter) cho công thức M = logA – logA0, với A biên độ rung chấn tối đa A0 biên độ chuẩn (hằng số) Đầu kỷ 20, trận động đất San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter Trong năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp lần Cường độ trận động đất Nam Mỹ A 2,075 độ Richter Lời giải: Chọn B 33.2 độ Richter C 8.9 độ Richter D 11 độ Richter C Giải theo pp tự luận: Cường độ trận động đất San Francisco là= 8,3 log A − log A0 Trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ 4A suy cường độ M =log A − log A0 =log + log A − log A0 =log + 8,3 ≈ 8,9 Ví dụ 4: Hiện bạn sinh viên A có khoản tiền, sau năm sau trường bạn A cần dùng đến số tiền để mua xe Hiện ngân hàng Vietinbank có loại hình gửi tiết kiệm sau: +) Kỳ hạn tháng, lãi suất 12% năm +) Kỳ hạn tháng, lãi suất 12% năm +) Kỳ hạn tháng, lãi suất 12% năm +) Kỳ hạn 12 tháng, lãi suất 12% năm Hỏi bạn A nên gửi tiền theo hình thức A Kỳ hạn tháng B Kỳ hạn tháng C Kỳ hạn tháng D Kỳ hạn 12 tháng Chọn A Ta có: = T A(1 + r ) n n số kỳ hạn, r lãi suất theo kỳ hạn TH1: r = 1% / tháng n = 12 = T1 A(1 + 0, 01)12 TH2: r = 3% / tháng n = = T2 A(1 + 0, 03) TH3: r = 6% / tháng n = = T3 A(1 + 0, 06) Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 58 T4 A(1 + 0,12) TH4: r = 12% / tháng n = = Từ kết bạn A nên chọn phương án gửi theo kỳ hạn tháng để có số tiền lớn Ví dụ 5: Thầy Hùng dự định mua xe Lexus RX 350 với trị giá khoảng tỷ đồng Thầy định gửi ngân hàng Techcombank tỷ đồng vòng năm để tiết kiệm tiền mua xe với mức lãi suất sau: - Lãi suất 1,0%/1 tháng 12 tháng - Lãi suất 1,1%/1 tháng 18 tháng - Lãi suất 1,2%/1 tháng tháng cuối Biết Ngân hàng Techcombank tính lãi gộp theo quý Tổng số tiền gốc lẫn lãi mà Thầy Hùng ĐZ nhận sau năm gần với giá trị giá trị sau: A 2,93 tỷ B 3,12 tỷ C 3,4 tỷ D tỷ Chọn A Ta có: = T A(1 + r ) n - 12 tháng đầu: lãi suất 1, 0% / tháng suy r1 = 3, 0% / quý n = Do sau 12 tháng số tiền gốc lẫn lãi là: T 2(1 + 3%) = - 18 tháng tiếp theo: lãi suất 1,1% / tháng suy r2 = 3,3% / quý n = T2 T1 (1 + 3,3%)6 Do sau 18 tháng số tiền gốc lẫn lãi là: = - tháng cuối cùng: lãi suất 1, 2% / tháng suy r3 = 3, 6% / quý n = Số tiền gốc lẫn lãi thu T3 = T2 (1 + 3, 6%) ≈ 2,9356 Ví dụ 6: Giả sử anh T có 180 triệu đồng muốn gửi ngân hàng 18 tháng Trong có hai ngân hàng A ngân hàng B tính lãi với phương thức sau: * Ngân hàng A: Lãi suất 1,2% /tháng 12 tháng lãi suất 1,0%/tháng tháng lại * Ngân hàng B: Mỗi tháng anh T gửi vào ngân hàng 10 triệu với lãi suất hàng tháng 0,8%/tháng Hỏi số tiền mà anh T sau 18 tháng nhận (tính vốn lẫn lãi) gửi ngân hàng A hay B nhiều nhiều (đơn vị triệu đồng làm tròn đến số thập phân thứ nhất)? 26, A TB − TA = TB + 26, B T= A 24, C TA − TB = TA + 24, D T= B Chọn B Khi anh T gửi ngân hàng A: *Trong 12 tháng số tiền anh T có T12 = a (1 + r ) n = 180.(1 + 0, 012)12 = 207, triệu đồng *Trong tháng lại số tiền anh T có gốc lẫn lãi TA = 207, 7.(1 + 0, 01)6 = 220,5 triệu đồng Khi anh T gửi ngân hàng B: *Cuối tháng thứ 18, anh T có số tiền gốc lẫn lãi Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 59 TB : TB= a (1 + m) n − 1 (1 + m) m  m 0,8%, = n 18, = a 10 triệu đồng *Với= Suy T= B a (1 + m) n − 1 (1 + m= ) 194,3 triệu đồng m  Do TA − TB = 26, triệu đồng Ví dụ 7: Theo số liệu từ Facebook, số lượng tài khoản hoạt động tăng cách đáng kể tính từ thời điểm tháng năm 2004 Bảng mô tả số lượng U ( x ) la số tài khoản hoạt động, x số tháng kể từ sau tháng năm 2004 Biết số lượt tài khoản hoạt động tăng theo hàm số x ) A (1 + 0, 04 ) với A số tài khoản hoạt động xấp xỉ 194 700 người, mũ xấp xỉ sau: U (= x biết sau hai tháng số tài khoản hoạt động 108 160 người A năm tháng B năm tháng C năm D 11 tháng Hướng dẫn giải Do đề cho công thức tổng quát có kiện sau hai tháng số tài khoản hoạt động 108 160 người Do thay vào cơng thức tổng qt ta tìm A Khi A (1 + 0, 04 = A 100000 Khi cơng việc ta tìm x cho ) 108160 ⇔= = = x log (1+ 0.04) 100000 (1 + 0.04 ) 194790 ⇔ x 194790 ≈ 17 hay năm tháng 100000 Ví dụ 8: Bạn Hùng trúng tuyển vào đại học nhung khơng đủ nộp tiền học phí Hùng định vay ngân hàng năm năm 3.000.000 đồng để nộp học với lãi suất 3% /năm Sau tốt nghiệp đại học Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) với lãi suất 0, 25% / tháng vòng năm Số tiền T mà Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị) A 232518 đồng B 309604 đồng C 215456 đồng D 232289 đồng Hướng dẫn giải Chọn D + Tính tổng số tiền mà Hùng nợ sau năm học: Sau năm số tiền Hùng nợ là: + 3r = (1 + r ) Sau năm số tiền Hùng nợ là: (1 + r ) + (1 + r ) Tương tự: Sau năm số tiền Hùng nợ là: (1 + r ) + (1 + r ) + (1 + r ) += (1 + r ) 12927407, = 43 A + Tính số tiền T mà Hùng phải trả tháng: ⇔ A (1 + r ) 60 (1 + r ) −T r 60 −1 =0 ⇔ T = Ar (1 + r ) (1 + r ) 60 60 −1 ⇔ T ≈ 232.289 Ví dụ 9: Giả sử vào cuố i năm thı̀ mô ̣t đơn vi tiề ̣ n tê ̣mấ t 10% giá tri so ̣ với đầ u năm Tım ̀ số nguyên dương nhỏ nhấ t cho sau n năm, đơn vi ̣tiề n tê ̣ sẽ mấ t ı́t nhấ t 90% giá tri ̣của nó? A 16 B 18 C 20 D 22 Hướng dẫn giải Cho ̣n D Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 60 Go ̣i x ( x > ) là giá tri ̣tiề n tê ̣ lúc ban đầ u Theo đề bài thı̀ sau năm, giá tri ̣tiề n tê ̣ sẽ còn 0,9x Cuố i năm còn 0,9x Cuố i năm còn 0,9.0,9 x = 0,92 x …………………………… Cuố i năm n còn 0,9n x Ycbt ⇔ 0,9n x= 0,1x ⇒ n ≈ 21,58 Vı̀ n nguyên dương nên n = 22 Ví dụ 10: Giả sử sau năm diện tích rừng nước ta giảm x phần trăm diện tích có Hỏi sau năm diện tích rừng nước ta lần diện tích nay? x   C 1 −   100  x4 B − 100 4x A − 100  x  D −    100  Hướng dẫn giải Chọn C Gọi S0 diện tích rừng n x   Sau n năm, diện tích rừng là= S S0 1 −   100  x   Do đó, sau năm diện tích rừng 1 −  lần diện tích rừng  100  Ví dụ 11: Ơng A gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền 30 triệu đồng, lãi suất 0.48%/ tháng Kể từ ngày gửi sau tháng ông đặn gửi thêm vào triệu đồng, hai lần gửi liên tiếp cách tháng Hỏi sau tháng ơng A rút số tiền vốn lãi lớn 50 triệu động? Biết lãi xuất ngân hàng không thay đổi suốt thời gian ông gửi tiết kiệm A 16 tháng B 17 tháng C 18 tháng D 19 tháng Lời giải: Đáp án C - Phương pháp: Áp dụng công thức A (1 + r ) a (1 + r ) − (1 + r ) + r n n - Cách giải: áp dụng công thức ta được: 30 (1 + 0, 0048 ) + n 1, 0048n − 1, 0048 = 50 0, 0048 ⇔n= 17, 63 Vậy sau 18 tháng thu đc 50 triệu Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 61 ... ơn thi THPT 44 Dạng 2: Tính đạo hàm cấp hàm số mũ hàm số logarit; Tìm min, max hàm số mũ hàm số logarit a) Phương pháp giải: * Đối với tốn tính đạo hàm chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm - Dùng... Đáp án C DẠNG 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Phương pháp: * Đối với tốn cực trị hàm biến - Tính đạo hàm hàm số - Tìm nghiệm phương trình y′ = - Xét dấu đạo hàm - Suy cực... xác định hàm số a) Phương pháp giải: - Tự luận túy: Tìm điều kiện hàm số giải điều kiện ta thu tập xác định hàm số - Casio: Áp dụng cho hàm số khơng chứa hàm số lũy thừa + Nhập hàm số cần tìm