Bài 2 hàm số lũy thừa

TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ôn thi THPT BÀ I 2: HÀM SỐ LŨY THỪA I – LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hàm số y = xα , với α ∈ , gọi hàm số lũy thừa Tập xác định: Tập xác định hàm số y = xα là:  D =  α số nguyên dương  D =  \ {0} với α nguyên âm  D = (0; +∞) với α không nguyên Đạo hàm: Hàm= số y xα , (α ∈ ) có đạo hàm với x > ( xα )′ = α xα −1 Tính chất hàm số lũy thừa khoảng (0; +∞) (khảo sát hàm lũy thừa) = y xα , α > = y xα , α < A Tập khảo sát: (0; +∞) A Tập khảo sát: (0; +∞) B Sự biến thiên: B Sự biến thiên: y′ α xα −1 > 0, ∀x > = y′ α xα −1 < 0, ∀x > =  Giới hạn đặc biệt:  Giới hạn đặc biệt: α α lim+ x = 0, lim x = +∞ x →0 x →+∞ Tiệm cận: Khơng có lim+ xα = +∞, lim xα = x →0 x →+∞ Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng C Bảng biến thiên: C Bảng biến thiên: D Đồ thị: Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 10 Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα qua điểm I (1;1) Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: = y x= , y x −= , y xπ II – DẠNG TOÁN DẠNG 1: TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM LŨY THỪA, HÀM VÔ TỶ a) Phương pháp giải - Tự luận túy: Xét hàm số y =  f (x ) α Khi α nguyên dương: hàm số xác định f (x ) xác định Khi α nguyên âm: hàm số xác định f (x ) ≠ Khi α không nguyên: hàm số xác định f (x ) > - Sử dụng MTCT: MODE → NHẬP HÀM → START: a → END: b → STEP: (b-a):19 * Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h y Vı́ du ̣ 1: Tập xác định D hàm số = A D = ( −4;1) (6x − x − ) B D = [1;7 ] C D = [1;7 ] D D = R Lời giải Cho ̣n D Giải theo tự luâ ̣n Hàm số xác định x − x − xác định ⇔ x ∈  Giải theo Casio Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 11 Sử dụng bảng kết để loại trừ y Vı́ du ̣ 2: Tập xác định D hàm số = A D = R (x B D = R − 1) −8 {±1} C D = ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) D D = ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) ( −1;1) Lời giải Cho ̣n B Giải theo tự luâ ̣n Hàm số xác định x − ≠ ⇔ x ≠ ±1 Giải theo Casio Sử dụng bảng kết để loại trừ y Vı́ du ̣ 3: Tập xác định D hàm số = A D = R ( x + 1) B D = R {−1} C D = D D = Lời giải Cho ̣n D Giải theo tự luâ ̣n Hàm số xác định x + > ⇔ x > −1 Giải theo Casio Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 12 Sử dụng bảng kết để loại trừ Vı́ du ̣ 4: Tập xác định D hàm số y= A D = R ( x − + 2018 B D = R ) − C D= [1; +∞ ) {1} D D = ( 0; +∞ ) D D = ( 0; +∞ ) Lời giải Cho ̣n C Giải theo tự luâ ̣n Hàm số xác định x − ≥ ⇔ x ≥ Giải theo Casio Sử dụng bảng kết để loại trừ  2x −  Vı́ du ̣ 5: Tập xác định D hàm số y =    x − 3x +  A D = R B D = R {1; 2} 3  C = D  ; +∞  2  Lời giải Cho ̣n B Giải theo tự luâ ̣n Hàm số xác định x ≠ 2x − xác định ⇔ x − 3x + ≠ ⇔  x ≠ x − 3x +  Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 13 Giải theo Casio Sử dụng bảng kết để loại trừ  x−4 Vı́ du ̣ 6: Tìm tập xác định hàm số y =    x +1  e −1 A.= D  \ { − 1} B D = (−∞; −1) ∪ [4; +∞) C D = (−1; 4) D D = (−∞; −1) ∪ (4; +∞) Lời giải Cho ̣n D Giải theo tự luâ ̣n Hàm số xác định x−4 > ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (4; +∞) x +1 Giải theo Casio Sử dụng bảng kết để loại trừ * Lưu ý: Chỉ dùng MTCT để loại trừ chính, khơng dùng MTCT để chọn trực tiếp đáp án Đối với TXĐ an toàn giải theo tự luận Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 14 DẠNG 2: ĐẠO HÀM, MAX-MIN CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA 2.1 Đạo hàm hàm số luỹ thừa Da ̣ng 1: Tính đạo hàm hàm số lũy thừa a) Phương pháp giải - Tư ̣ luâ ̣n thuầ n túy: Dựa vào công thức đạo hàm ( x ) = α x α ' ( u ) = α u α ' α −1 α −1 u ' Và cơng thức tính đạo hàm học - Trắ c nghiêm: ̣ Dùng Casio Shift Hoặc d ( f ( x) ) x = x0 − f '( x0 ) ≈ (thường số có dạng a.10− n với n nguyên dương) dx Shift d ( f ( x) ) x = x0 dx ≈1 f '( x0 ) *Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h Vı́ du ̣ 1: Tính đạo hàm hàm số y = x A y ' = x8 B y ' = x9 ln C y ' = x9 ln x D y ' = x8 C −3x5 D x −3 Lời giải Chọn D Áp dụng công thức ( xα ) = α xα −1 ' Dùng MTCT: Vı́ du ̣ 2: Đạo hàm hàm số y = x −4 B −4 x −5 A −4 x −3 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức ( xα ) = α xα −1 ' Dùng MTCT: Vı́ du ̣ 3: Đạo hàm hàm số y= (3 − x ) − Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 15 A − B − x ( − x ) − x (3 − x2 ) − C − x ( − x ) D − −3 − x ( ) Lời giải Chọn A Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' −7 −7 −7 −4 −4 (3 − x ) (3 − x ) '= (3 − x ) (−2 x)= x(3 − x ) 3 y '= Dùng MTCT: −  d  (3 x ) −   dx   Shift x =1 −7 1.68 ×10−13 − ×1× (3 − 12 ) = Da ̣ng 2: Tính đạo hàm hàm số điểm a) Phương pháp giải - Tự luâ ̣n thuầ n túy: + Tính đạo hàm hàm số x ∈ D + Thay x = x0 vào f ' ( x) - Trắ c nghiêm: ̣ Dùng Casio Shift d ( f ( x) ) x = x0 dx *Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h Vı́ du ̣ 1: Đạo hàm hàm số y= ( x − 1) điểm x = A B C D Lời giải Chọn A Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' y=' −2 −2 −2 1 ( x − 1) ( x − 1)=' ( x − 1) ×= ( x − 1) 3 −2 1 y ''(2) = (2 − 1) = 3 Dùng MTCT: Shift  d  ( x − 1)   dx   = 0.333333333 x=2 Chọn A π Vı́ du ̣ 2: Cho hàm số y = x có đồ thị ( C ) Lấy M ∈ ( C ) có hồnh độ x0 = Hệ số góc tiếp tuyến (C ) M A π B Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT C π π D − 16 Lời giải Chọn C Hệ số góc tiếp tuyến ( C ) M y '(1) Áp dụng công thức ( xα ) = α xα −1 ' y '= π π −1 x ⇒ y '(1) = π π −1 = π Dùng MTCT: d  π2  Shift  x  = 1.570796327 dx   x =1 Bấm phương án, chọn C Vı́ du ̣ 3: Đạo hàm hàm số y= (5 − x) A − 3 điểm x = B C D Lời giải Chọn A Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' y ' =3(5 − x) −1 (5 − x)' = − 3.(5 − x) ⇒ y '(4) = − 3.(5 − 4) −1 −1 = − Dùng MTCT: Shift ( d (5 − x) dx ) x=4 = −1.732050808 Da ̣ng 3: Tính đạo hàm cấp cao hàm số lũy thừa a) Phương pháp giải - Tư ̣ luâ ̣n thuầ n túy: + Dựa vào định nghĩa đạo hàm cấp cao f ( n ) ( x) = ( f ( n −1) ( x) ) ' *Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h Vı́ du ̣ 1: Cho hàm số y= (4 − x )3 Tính y ''(1) kết A -252 B 252 C D -54 Lời giải Chọn A Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' y' = 3.(4 − x ) (4 − x ) ' = −6 x(4 − x ) Dùng công thức (u.= v )' u ' v + uv ' y '' = −6(4 − x ) − x.2(4 − x )(−2 x) = 6(4 − x )(10 x − 24) ⇒ y ''(1) = 6(4 − 12 )(10.12 − 24) = −252 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 17 Vı́ du ̣ 2: Cho hàm số y= ( x + 2) −2 Hệ thức y y '' không phụ thuộc vào x C y ''− y = B y ''− y = A y ''+ y = D ( y '') − y = Lời giải Chọn A Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' y' = 6( x + 2) −4 −2( x + 2) −3 ⇒ y '' = Thay vào phương án, có phương án B 2.2 Max - hàm số luỹ thừa a) Phương pháp giải - Tự luâ ̣n thuầ n túy: Nếu hàm số đơn điệu đoạn GTLN, GTNN đạt đầu mút đoạn Nếu hàm số không đơn điệu tiến hành việc tìm GTLN, GTNN theo quy tắc Tìm điểm x1, x2, …, xn khoảng (a;b), f’(x) f’ Tính f(a), f(x1), f(x2),…, f(xn), f(b) Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có M = max f ( x), m = f ( x) [a [ a ;b ] ;b ] - Sử dụng MTCT: MODE → NHẬP HÀM → START: a → END: b → STEP: (b-a):19 * Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h Vı́ du ̣ 1: Tìm giá trị lớn M hàm số = y A 64 B ( x + 1) đoạn 3;15 C D Lời giải Cho ̣n A Giải theo tự luâ ̣n y= ' x +1 ( ) > 0, ∀x ∈ 3;15  Hàm số đạt giá trị lớn x = 15 ⇒ M= y(15)= 64 Giải theo Casio MODE Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 18 Chọn giá trị lớn bảng 64 Phân tı́ch các sai lầ m dễ mắ c phải của ho ̣c sinh: Các em thường lấy đạo hàm sai Vı́ du ̣ 2: Gọi m số thực để hàm số = y (x + m ) đạt giá trị lớn đoạn 1;2  Khẳng định đúng? ( A m ∈ −2; ) ( ) B m ∈ 2; ( C m ∈ −1;2 ) ( ) D m ∈ 0; Lời giải Cho ̣n C ( y=' x + m ) ≥ 0, ∀x ∈ 1;2  ⇒ Hàm số đạt GTLN x = ( ⇒ y(2) = ⇔ 2+m ) = ⇔m = Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 19 DẠNG 3: TÍNH CHẤT, ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA a) Phương pháp giải - Tư ̣ luâ ̣n thuầ n túy: Lưu ý: Trong dạng toán lưu ý đặc điểm sau đồ thị hàm số y = xα : Đồ thị qua điểm (1; 1) Khi α > hàm số đồng biến, α < hàm số nghịch biến Đồ thị hàm số tiệm cận α > α < đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục Ox , tiệm cận đứng trục Oy *Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h Vı́ du ̣ 1: Hàm số sau hàm số lũy thừa? A y = x −π B y = π x C y = π − x D y = e x Lời giải Cho ̣n A Theo định nghĩa hàm số lũy thừa Vı́ du ̣ 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề sai? A Hàm số y = xα có tập xác định tùy theo α B Đồ thị hàm số y = xα với α > có tiệm cận C Hàm số y = xα với α < nghịch biến khoảng (0; +∞) D Đồ thị hàm số y = xα với α < có hai tiệm cận Lời giải Chọn đáp án B Đồ thị hàm số y = xα với α > khơng có tiệm cận Vı́ du ̣ 3: Đồ thị KHÔNG đồ thị hàm số y = xα ? A B C D Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 20 Lời giải Cho ̣n C Đồ thị hàm số y = xα không qua điểm (0;1) Vı́ du ̣ 4: Đường cong hình đồ thị hàm số nào? A y = x − B y = x C y = x D y = x −1 Lời giải Cho ̣n B Nhận thấy đồ thị hàm số qua gốc tọa độ nên loại đáp án C D Nhận thấy đồ thị hàm số qua điểm (4; 2) nên loại đáp án A α Vı́ du ̣ 5: Cho α , β số thức Đồ thị hàm = số y x= , y x β khoảng ( 0; +∞ ) cho hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A < β < < α B β < < < α C < α < < β D α < < < β Lời giải Cho ̣n D Với x0 > ta có: x0α > ⇒ α > 0; x0β > ⇒ β > x0α > x0β ⇒ α > β Mặt khác, dựa vào hình dáng đồ thị ta suy α > β < Suy đáp án D Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 21 DẠNG 4: CÁC CÂU HỎI CHƯA PHÂN DẠNG Vı́ du ̣ 1: Cho hàm số y = x − Mệnh đề sau SAI? A Đồ thị hàm số không cắt trục hoành B Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; + ∞ ) C Hàm số có tập xác định ( 0; + ∞ ) D Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Lời giải Cho ̣n D ( 0; + ∞ ) , suy C = Tập xác định: D Do x > nên x − Ta có: y′ =− 2.x − − Ta có lim+ x x →0 > , suy A −1 < 0; ∀x > , suy B = +∞ nên đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng, đáp án D Vı́ du ̣ 2: Đồ thị hàm số sau nhận trục tọa độ làm tiệm cận: B y = x A y = log x C y = x D y = x −5 Lời giải Cho ̣n D Ta có: lim+ x −5 = +∞ Nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng x →0 lim x −5 x →+∞ = ; lim x −5 = Nên đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang x →−∞ Vı́ du ̣ 3: Cho hàm số y  x , có khẳng định sau I Tập xác định hàm số D  0;  II Hàm số đồng biến với x thuộc tập xác định III Hàm số qua điểm M 1;1 IV Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Hỏi có khẳng định đúng? A Lời giải B C D Cho ̣n C Do   nên hàm số xác định với x  Vậy khẳng định I Do y   2.x 1  với x  nên hàm số đồng biến tập xác định Khẳng định II Do y 1  Do lim x x  2  nên khẳng định III   lim x x 0  nên đồ hàm số khơng có đường tiệm cận Vậy IV Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 22 π Vı́ du ̣ 4: Cho hàm số y = x có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0 có hồnh độ x0 = là: A.= y π B y = x + π x− π + π π D y = − x − +1 2 C y = π x − π + Lời giải Cho ̣n B Tự luận: Ta có: y     2 1  y  1  x 2 Với x0 = y0 = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = π x− π +1 Trắc nghiệm: Với x0 = y0 = Thay vào đáp án thấy A, D không thỏa mãn nên loại A D y     2 1 nên loại đáp án C  y  1  Nên hệ số góc tiếp tuyến x 2 Lưu ý: Có thể dùng CASIO hỗ trợ tính đạo hàm x0 = sau: Và có kết Thấy kết khơng π ≈ 3,141 nên loại đáp án C Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 23 ... DẠNG 2: ĐẠO HÀM, MAX-MIN CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA 2. 1 Đạo hàm hàm số luỹ thừa Da ̣ng 1: Tính đạo hàm hàm số lũy thừa a) Phương pháp giải - Tư ̣ luâ ̣n thuầ n túy: Dựa vào công thức đạo hàm (... −6(4 − x ) − x .2( 4 − x )(? ?2 x) = 6(4 − x )(10 x − 24 ) ⇒ y ''(1) = 6(4 − 12 )(10. 12 − 24 ) = ? ?25 2 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 17 Vı́ du ̣ 2: Cho hàm số y= ( x + 2) ? ?2 Hệ thức... 1: Hàm số sau hàm số lũy thừa? A y = x −π B y = π x C y = π − x D y = e x Lời giải Cho ̣n A Theo định nghĩa hàm số lũy thừa Vı́ du ̣ 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề sai? A Hàm số y