Thông tin tài liệu
Câu 469: [2D1-3.14-3] Anh Phong có ao với diện tích 50m để ni cá diêu hồng Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20con / m thu 1, cá thành phẩm Theo kinh nghiệm ni cá anh thấy thả giảm / m cá thành phầm thu tăng thêm 0,5kg Để tổng suất cao vụ tới anh nên mua cá giống để thả? (giả sử khơng có hao hụt q trình ni) A 488 B 658 C 342 D 512 Lời giải Chọn D Số cá anh Phong thả vụ vừa qua 50.20 Khối lượng trung bình cá thành phần 1000 (con) 1500 1000 1, 5kg / số cá anh cần thả cho vụ tới nên tăng 0, 0625x kg/con Gọi x Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu T f x 0,125x f 0,125 x 61 Vậy vụ sau anh cần thả 1000 x 488 488 f x 1000 max f x x 1, 16384 0, 0625x x 488 512 cá giống Câu 482: [2D1-3.14-3] Một công ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2000.000 đồng tháng hộ có người th lần tăng giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng 2 hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho thuê với giá hộ bao nhiêu? A 2.250.000 B 2.350.000 C 2.450.000 D 2.550.000 Lời giải Chọn A Gọi x giá cho thuê thực tế hộ, ( x – đồng; x 2000.000 đồng ) Số hộ cho thuê ứng với giá cho thuê: x 50000 50 2000000 x 50.000 90, Gọi F x hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ, ( F x : đồng) x 50.000 Ta có F x 90 x x2 50.000 Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn F x x 2000.000 F' x x 25.000 90 90x x2 50.000 90x với điều kiện F' x x 25.000 90 x 2.250.000 Ta lập bảng biến thiên: Suy F x đạt giá trị lớn x 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng hộ lãi lớn Nhận xét: Làm ta tìm hệ số biểu thức ? 50000 Ta hiểu đơn giản sau: Số hộ cho thuê tháng ứng với số tiền cho thuê; 50 m x lên x 50 2.000.000 số hộ thuê 50 Nếu số tiền cho th tăng 2000.000 x 2.100.000 có hộ để trống, nghĩa có 48 người thuê Ta có: m 2.100.000 2.000.000 48 50000 m Câu 483: [2D1-3.14-3] Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a(m) ( a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? A chiều rộng B chiều rộng 2a a , chiều cao , chiều cao a 2a C chiều rộng a(4 ) , chiều cao 2a(4 ) D chiều rộng a(4 ) , chiều cao 2a(4 ) Lời giải Chọn A x , tổng ba cạnh Gọi x bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt hình chữ nhật a S S1 S2 x2 x Diện tích cửa sổ là: 2x a x 2x ax ( 2)x 2 ( a 2)x ( a Dễ thấy S lớn x x hay x a x) (Có thể dùng đạo hàm đỉnh Parabol) Vậy để S max kích thước là: chiều cao a ; chiều rộng 2a Câu 484: [2D1-3.14-3] Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S, độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định, nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) A x 4S , y S B x 4S , y S C x 2S , y S D x 2S , y S Lời giải Chọn D Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy; 2y ' 2S x x x2 (x ) = 2S x Xét hàm số (x ) x 2S x 2S , y = x Ta có S = x ' x 2S 2S (x ) = + = x2 x S Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước mương x 2S , y = S mương có dạng thuỷ động học Câu 489: [2D1-3.14-3] Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? A 200m 200m B 300m 100m C 250m 150m D Đáp án khác Lời giải Chọn A Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: Diện tích miếng đất: Theo đề thì: hay Do đó: với Đạo hàm: Cho Lập bảng biến thiên ta được: Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cơ-Sy Câu 490: [2D1-3.14-3] Một trang chữ tạp chí cần diện tích 384cm Lề trên, lề 3cm; lề phải, lề trái 2cm Khi chiều ngang chiều dọc tối ưu trang giấy là: A 24cm, 25cm B 15cm, 40cm C 20cm, 30cm D 22,2cm, 27cm Lời giải Chọn C Gọi a,b cm a a 6,b 0,b độ dài chìu dọc chìu ngang trang chữ suy kích thước trang giấy Ta có: a.b 384 384 a b Diện tích trang sách là: S a b Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có: Suy MinS 2304 a 4a 600 S a S 4a 4a 2304 a 2304 a 408 408 600 24 , suy chiều dọc chiều ngang tối ưu là: 30cm,20cm Câu 492: [2D1-3.14-3] Trên cánh đồng cỏ có bò cột vào cọc khác Biết khoảng cách cọc mét sợi dây cột bò dài mét mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn mà bị ăn chung (lấy giá trị gần nhất) A 1, 034 m2 B 1, 574 m2 C 1, 989 m2 D 2, 824 m2 Lời giải Chọn C Diện tích mặt cỏ ăn chung lớn sợi dây kéo căng phần giao đường tròn Xét hệ trục tọa độ hình vẽ, gọi O, M vị trí cọc Bài tốn đưa tìm diện tích phần tơ màu Ta có phương trình đường trịn tâm O : x M : x y2 y2 32 phương trình đường trịn tâm 22 Phương trình đường cong đường trịn nằm phía trục Ox là: y y x x Phương trình hồnh độ giao điểm: x 4 21 Diện tích phần tơ màu là: S x x2 8x x 2dx 16 x 21 dx 1, 989 Ta 21 giải tích phân phép lượng giác, nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy Câu 493: [2D1-3.14-3] Bên nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m3 có nhện hay cãi vã nên phải sống riêng Mùa đơng đến, đói rét nên chúng đành định hợp tác với giăng lưới để bắt mồi Ba nhện tính tốn giăng mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi nhện đứng mép tường (có thể mép tường, tường với trần, tường với nền) phóng sợi tơ làm khung đến vị trí nhện cịn lại sau phóng tơ dính đan phần lưới bên Nhưng vốn có hiềm khích từ lâu, nên trước bắt đầu, chúng quy định để tránh xơ xát, khơng có nhện nằm mặt tường, trần nhà Tính chu vi nhỏ mảnh lưới giăng (biết sợi tơ khung căng không nhùn) A 15 mét B 30 mét C 12 10 mét Lời giải D 10 mét Chọn A Bài toán ta giải cách ứng dụng phương pháp tọa độ không gian Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khơng tính tổng quát, dựa vào yêu cầu vị trí nhện ta xác định điểm M , N , P nằm cạnh A ' B ',CC ', AD hình vẽ Yêu cầu tốn cần tìm tọa độ điểm M , N , P để chu vi tam giác MNP nhỏ Đặt M x ;10; , P 0; 0; z , N 10; y;10 Chu vi tam giác MNP là: MN NP 10 x PQ x y 10 10 y 102 10 y2 102 z 102 10 y2 102 z z2 10 x 2 x2 102 z2 102 Áp dụng bất đẳng thức vecto : MN NP PM 10 x y z y z x y z x z 10 y x 10 10 z 20 2 10 202 z2 10 10 y z 2y x x 102 15 y z y y 10 10 x x 10 y z 10 450 y Dấu xảy x 10 10 10 10 10 y z 20 x x 20 10 y x y z 10 Vậy giá trị cần tìm 15 Câu 494: [2D1-3.14-3] Một ngơi nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10 m đặt song song cách mặt đất h m Nhà có trụ A, B, C vng góc với ABC Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N cho AM y góc MBC NBC 90 để x, AN mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà A C 10 B 10 D 12 Lời giải Chọn A Để nhà có chiều cao thấp ta phải chọn N nằm mặt đất Chiều cao nhà NM Gọi I trung điểm BC Ta có suy BC ABC MNI MI BC NI BC IMN vuông I nhận AI đường cao nên Theo bất đẳng thức Côsi: x y xy 75 BC , MN AI MN 900 MIN AI AM AN 10 ABC x y xy 10 2 75 x y BC , từ Do chiều cao thấp nhà 10 Câu 495: [2D1-3.14-3] (NHO QUAN A) Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C khoảng cách ngắn từ C đến B km Khoảng cách từ B đến A Mỗi km dây điện đặt nước 5000 USD, đặt đất 3000 USD Hỏi diểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn A 15 km B 13 km C 10 D 19 Lời giải Chọn B Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x hàm số tính tổng chi phí sử dụng Đặt BS x ta được: SA x, CS x Theo đề bài, km dây điện đặt nước 5000USD, đặt đất 3000USD, ta có hàm số f x xác định sau: f x 3000. x 5000 x với x 0;4 Ta cần tìm giá trị nhỏ f x để có số tiền cần sử dụng từ xác định vị trí điểm S f ' x 3000 5000 x x 1 f ' x 3000 5000 x x 1 3000 x 5000 x x2 5x 16 x x 4x x x Hàm số f x liên tục đoạn 0;4 3 4 Ta có: f 17000, f 16000, f 20615,52813 Vậy giá trị nhỏ f x 16000 x nằm cách A đoạn SA x Khi chi phí thấp điểm S 13 4 Câu 496: [2D1-3.14-3] (THTT SỐ 673) Có hai cọc cao 10m 30m đặt hai vị trí A, B Biết khoảng cách hai cọc 24 m Người ta chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C D cọc (như hình vẽ) Hỏi ta phải đặt chốt vị trí đề tổng độ dài hai sợi dây ngắn nhất? A AM B AM m, BM 18 m m, BM 17 m C AM m, BM D AM 20 m 12 m, BM 12 m Lời giải Chọn A Đặt AM MD CM x(0 MB x 24) BD MD 24 BM 24 x Khảo sát hàm ta được: x x 24 m AM x2 100 900 Suy tổng độ dài hai sợi dây là: x2 900 CA2 x Ta có CM f (x ),(0 100 x 24) BM =18 m Câu 497: [2D1-3.14-3] (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách 615m , nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người là: A 569, 5m B 671, 4m C 779, 8m D 741, 2m Lời giải Chọn C Giả sử người từ A đến M để lấy nước từ M dễ dàng tính BD MF 492 369, EF 492 Ta đặt EM x2 x, AM B x, ta được: 1182 , BM 492 x 4872 Như ta có hàm số f x xác định tổng quãng đường AM MB: f x x2 1182 x 492 4872 với x 0; 492 Ta cần tìm giá trị nhỏ f x để có quãng đường ngắn từ xác định vị trí điểm M f' x x x2 x 492 1182 492 x 487 f' x x x2 1182 x 1182 x x 492 x 487x x x 492 x 4872 487 x 492 492 x 492 x x2 x 492 x 4872 492 4872 x2 x 492 x x2 1182 1182 492 58056 492 58056 hay x 605 x 492 118x 58056 369 x 58056 605 Hàm số f x liên tục đoạn 0; 492 So sánh giá trị f (0) , f ta có giá trị nhỏ f 58056 605 58056 , f 492 605 779, 8m Khi quãng đường ngắn xấp xỉ 779,8m Câu 502: [2D1-3.14-3] (NGÔ QUYỀN – HP) Một sở sản xuất khăn mặt bán khăn với giá 30.000 đồng tháng sở bán trung bình 3000 khăn Cơ sở sản xuất có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt Sau tham khảo thị trường, người quản lý thấy từ mức giá 30.000 đồng mà tăng giá thêm 1000 đồng tháng bán 100 Biết vốn sản xuất khăn không thay đổi 18.000 Hỏi sở sản xuất phải bán với giá để đạt lợi nhuận lớn A 42.000 đồng B 40.000 đồng C 43.000 đồng D 39.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn D Gọi số tiền cần tăng giá khăn x (nghìn đồng) Vì tăng giá thêm (nghìn đồng) số khăn bán giảm 100 nên tăng x (nghìn đồng) số xe khăn bán giảm 100x Do tổng số khăn bán tháng là: 3000 100x Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), khăn có lãi 12 (nghìn đồng) Sau tăng giá, khăn thu số lãi là: 12 x (nghìn đồng) Do tổng số lợi nhuận tháng thu sau tăng giá là: f x 3000 100 x 12 x (nghìn đồng) Xét hàm số f x 3000 100 x 12 x 0; Ta có: f x 100 x 1800 x 36000 100 x 9 44100 44100 Dấu xảy x Như vậy, để thu lợi nhuận cao sở sản xuất cần tăng giá bán khăn 9.000 đồng, tức khăn bán với giá 39.000 đồng Câu 469: [DS12.C1.3.D14.c] Anh Phong có ao với diện tích 50m để ni cá diêu hồng Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20con / m thu 1, cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá anh thấy thả giảm / m cá thành phầm thu tăng thêm 0,5kg Để tổng suất cao vụ tới anh nên mua cá giống để thả? (giả sử khơng có hao hụt q trình ni) A 488 B 658 C 342 D 512 Lời giải Chọn D Số cá anh Phong thả vụ vừa qua 50.20 Khối lượng trung bình cá thành phần 1000 (con) 1500 1000 1, 5kg / số cá anh cần thả cho vụ tới nên tăng 0, 0625x kg/con Gọi x Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu T f x 0,125x f 0,125 x 61 Vậy vụ sau anh cần thả 1000 x 488 488 f x 1000 max f x x 1, 16384 0, 0625x x 488 512 cá giống Câu 482: [DS12.C1.3.D14.c] Một cơng ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2000.000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho th hộ 100.000 đồng tháng 2 hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho th với giá hộ bao nhiêu? A 2.250.000 B 2.350.000 C 2.450.000 D 2.550.000 Lời giải Chọn A Gọi x giá cho thuê thực tế hộ, ( x – đồng; x 2000.000 đồng ) Số hộ cho thuê ứng với giá cho thuê: 50 x 50000 2000000 x 50.000 90, Gọi F x hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ, ( F x : đồng) Ta có F x x 50.000 90 x x2 50.000 Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn F x x 2000.000 90x x2 50.000 90x với điều kiện x 25.000 F' x F' x 90 x 25.000 90 x 2.250.000 Ta lập bảng biến thiên: Suy F x đạt giá trị lớn x 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng hộ lãi lớn Nhận xét: Làm ta tìm hệ số biểu thức ? 50000 Ta hiểu đơn giản sau: Số hộ cho thuê tháng ứng với số tiền cho thuê; 50 m x lên x 50 2.000.000 số hộ thuê 50 Nếu số tiền cho thuê tăng 2000.000 x 2.100.000 có hộ để trống, nghĩa có 48 người thuê Ta có: m 2.100.000 2.000.000 48 50000 m Câu 483: [DS12.C1.3.D14.c] Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a(m) ( a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? A chiều rộng B chiều rộng 2a a , chiều cao , chiều cao a 2a C chiều rộng a(4 ) , chiều cao 2a(4 ) D chiều rộng a(4 ) , chiều cao 2a(4 ) Lời giải Chọn A x , tổng ba cạnh Gọi x bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt hình chữ nhật a S S1 S2 x2 x Diện tích cửa sổ là: 2x a x 2x ax ( 2)x 2 ( a 2)x ( a Dễ thấy S lớn x x hay x a x) (Có thể dùng đạo hàm đỉnh Parabol) Vậy để S max kích thước là: chiều cao a ; chiều rộng 2a Gọi x (đồng/tháng) x giá cho thuê Số hộ bị bỏ trống x hộ 50 000 Số tiền công ty thuê T x 000 000 x 50 x 50 000 Khảo sát hàm số T x 0; T x 10 x 25 000 T x x 250 000 Bảng biến thiên Vậy thu nhập cao cơng ty đạt tháng là: T 101 250 000 Câu 430 [2D1-3.14-3] [BIÊN HÒA – HÀ NAM - 2017] Một nhà máy cần thiết kế bể đựng nước hình trụ tơn có nắp, tích 64 m3 Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nhiên liệu A r m B r 16 m C r 32 m D r m Lời giải Chọn C Gọi hình trụ có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r 64 64 64 Ta có: V r h h l r r r Để tốn nhiên liệu diện tích tồn phần nhỏ 128 Ta có: Stp 2Sday S xq 2 r 2 rl 2 r r 128 Xét hàm số f r 2 r với r r 128 Ta có f r 4 r ; f r r 32 r Lập bảng biến thiên ta có f r đạt GTNN r 32 Câu 432 [2D1-3.14-3] [SỞ BÌNH PHƯỚC - 2017] Một người ni cá nghiệm hồ Người thấy đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P n 480 20n gam Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? A 12 B 14 C 10 Lời giải Chọn A D 18 Cách 1: Thế đáp án: Số cá đơn vị diện tích Số cân nặng: 480 20n n( gam) 12 14 10 18 2880 2800 2800 2160 Cách 2: Số cân nặng n cá là: f (n) 480 20n n 20n2 480n 20(n 12)2 2880 2880 Vậy giá trị lớn f (n) 2880 đạt n 12 Chú ý: hàm f hàm số theo biến số thực, biến số nguyên dương Câu 469: [2D1-3.14-3] Anh Phong có ao với diện tích 50m để nuôi cá diêu hồng Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20con / m thu 1, cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá anh thấy thả giảm / m cá thành phầm thu tăng thêm 0,5kg Để tổng suất cao vụ tới anh nên mua cá giống để thả? (giả sử khơng có hao hụt q trình ni) A 488 B 658 C 342 D 512 Lời giải Chọn D Số cá anh Phong thả vụ vừa qua 50.20 Khối lượng trung bình cá thành phần 1000 (con) 1500 1000 1, 5kg / số cá anh cần thả cho vụ tới nên tăng 0, 0625x kg/con Gọi x Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu T f x 0,125x f 0,125 x 61 Vậy vụ sau anh cần thả 1000 488 x 488 f x 1000 max f x x 1, 16384 0, 0625x x 488 512 cá giống Câu 482: [2D1-3.14-3] Một cơng ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2000.000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng 2 hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho thuê với giá hộ bao nhiêu? A 2.250.000 B 2.350.000 C 2.450.000 D 2.550.000 Lời giải Chọn A Gọi x giá cho thuê thực tế hộ, ( x – đồng; x Số hộ cho thuê ứng với giá cho thuê: 50 x 50000 2000000 x 50.000 90, 2000.000 đồng ) Gọi F x hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ, ( F x : đồng) x 50.000 Ta có F x x2 50.000 90 x x2 50.000 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn F x x 90x 90x với điều kiện 2000.000 x 25.000 F' x F' x 90 x 25.000 90 x 2.250.000 Ta lập bảng biến thiên: Suy F x đạt giá trị lớn x 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng hộ lãi lớn Nhận xét: Làm ta tìm hệ số biểu thức ? 50000 Ta hiểu đơn giản sau: Số hộ cho thuê tháng ứng với số tiền cho thuê; 50 m x lên x 50 2000.000 x 2.000.000 số hộ thuê 50 Nếu số tiền cho th tăng 2.100.000 có hộ để trống, nghĩa có 48 người thuê Ta có: m 2.100.000 2.000.000 48 50000 m Câu 483: [2D1-3.14-3] Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a(m) ( a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? A chiều rộng B chiều rộng 2a a , chiều cao , chiều cao a 2a C chiều rộng a(4 ) , chiều cao 2a(4 ) D chiều rộng a(4 ) , chiều cao 2a(4 ) Lời giải Chọn A Gọi x bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt hình chữ nhật a x Diện tích cửa sổ là: x , tổng ba cạnh S S1 x2 S2 2x a x 2x ax ( 2)x 2 ( a 2)x ( 2 a Dễ thấy S lớn x a x hay x x) (Có thể dùng đạo hàm đỉnh Parabol) Vậy để S max kích thước là: chiều cao a ; chiều rộng 2a Câu 484: [2D1-3.14-3] Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S, độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định, nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) A x 4S , y S B x 4S , y S C x 2S , y S D x 2S , y S Lời giải Chọn D Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy; 2y ' (x ) = 2S x x x2 2S x Xét hàm số (x ) x 2S x 2S , y = x Ta có S = x ' x 2S 2S (x ) = + = x2 x S Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước mương x 2S , y = S mương có dạng thuỷ động học Câu 489: [2D1-3.14-3] Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? A 200m 200m B 300m 100m C 250m 150m Lời giải Chọn A Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: Diện tích miếng đất: Theo đề thì: hay Do đó: với Đạo hàm: Cho Lập bảng biến thiên ta được: D Đáp án khác Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cô-Sy Câu 490: [2D1-3.14-3] Một trang chữ tạp chí cần diện tích 384cm Lề trên, lề 3cm; lề phải, lề trái 2cm Khi chiều ngang chiều dọc tối ưu trang giấy là: A 24cm, 25cm B 15cm, 40cm C 20cm, 30cm D 22,2cm, 27cm Lời giải Chọn C Gọi a,b cm a a Ta có: a.b độ dài chìu dọc chìu ngang trang chữ suy kích thước trang giấy 0,b 6,b 384 384 a b Diện tích trang sách là: S a b Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có: Suy MinS 2304 a 4a 600 S a S 4a 4a 2304 a 2304 a 408 408 600 24 , suy chiều dọc chiều ngang tối ưu là: 30cm,20cm Câu 492: [2D1-3.14-3] Trên cánh đồng cỏ có bị cột vào cọc khác Biết khoảng cách cọc mét sợi dây cột bò dài mét mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn mà bị ăn chung (lấy giá trị gần nhất) A 1, 034 m2 B 1, 574 m2 C 1, 989 m2 D 2, 824 m2 Lời giải Chọn C Diện tích mặt cỏ ăn chung lớn sợi dây kéo căng phần giao đường tròn Xét hệ trục tọa độ hình vẽ, gọi O, M vị trí cọc Bài tốn đưa tìm diện tích phần tơ màu Ta có phương trình đường trịn tâm O : x M : x y2 y2 32 phương trình đường trịn tâm 22 Phương trình đường cong đường trịn nằm phía trục Ox là: y y x x Phương trình hồnh độ giao điểm: x 4 21 Diện tích phần tô màu là: S x x2 8x x 2dx 16 x 21 dx 1, 989 Ta 21 giải tích phân phép lượng giác, nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy Câu 493: [2D1-3.14-3] Bên nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m3 có nhện hay cãi vã nên phải sống riêng Mùa đơng đến, đói rét nên chúng đành định hợp tác với giăng lưới để bắt mồi Ba nhện tính tốn giăng mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi nhện đứng mép tường (có thể mép tường, tường với trần, tường với nền) phóng sợi tơ làm khung đến vị trí nhện cịn lại sau phóng tơ dính đan phần lưới bên Nhưng vốn có hiềm khích từ lâu, nên trước bắt đầu, chúng quy định để tránh xơ xát, khơng có nhện nằm mặt tường, trần nhà Tính chu vi nhỏ mảnh lưới giăng (biết sợi tơ khung căng không nhùn) A 15 mét B 30 mét C 12 10 mét D 10 mét Lời giải Chọn A Bài toán ta giải cách ứng dụng phương pháp tọa độ không gian Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khơng tính tổng quát, dựa vào yêu cầu vị trí nhện ta xác định điểm M , N , P nằm cạnh A ' B ',CC ', AD hình vẽ u cầu tốn cần tìm tọa độ điểm M , N , P để chu vi tam giác MNP nhỏ Đặt M x ;10; , P 0; 0; z , N 10; y;10 Chu vi tam giác MNP là: MN NP 10 x PQ x y 10 10 2 y 102 10 y2 102 z 10 102 y2 102 z z2 10 x 2 x2 102 z2 102 Áp dụng bất đẳng thức vecto : MN NP PM 10 x y z y z x y z y 10 10 x x 10 x z y z 10 450 y Dấu xảy x 10 10 10 y x 10 z 20 10 202 z2 10 10 y z 2y x x 102 15 y z y 10 10 10 10 y z 20 x 20 10 x y x y z 10 Vậy giá trị cần tìm 15 Câu 494: [2D1-3.14-3] Một ngơi nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10 m đặt song song cách mặt đất h m Nhà có trụ A, B, C vng góc với ABC Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N cho AM x, AN y góc MBC NBC 90 để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà A C 10 B 10 D 12 Lời giải Chọn A Để nhà có chiều cao thấp ta phải chọn N nằm mặt đất Chiều cao nhà NM Gọi I trung điểm BC Ta có suy BC ABC MNI MI BC NI BC IMN vuông I nhận AI đường cao nên Theo bất đẳng thức Cơsi: x y xy BC , MN AI xy y AI x 10 MN y BC , từ 900 MIN AM AN 75 ABC x 10 2 75 Do chiều cao thấp nhà 10 Câu 495: [2D1-3.14-3] (NHO QUAN A) Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C khoảng cách ngắn từ C đến B km Khoảng cách từ B đến A Mỗi km dây điện đặt nước 5000 USD, đặt đất 3000 USD Hỏi diểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn A 15 km B 13 km C 10 D 19 Lời giải Chọn B Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x hàm số tính tổng chi phí sử dụng Đặt BS x ta được: SA x, CS x Theo đề bài, km dây điện đặt nước 5000USD, đặt đất 3000USD, ta có hàm số f x xác định sau: f x 3000. x 5000 x với x 0;4 Ta cần tìm giá trị nhỏ f x để có số tiền cần sử dụng từ xác định vị trí điểm S f ' x 3000 5000 x x2 f ' x 3000 5000 x x2 3000 x 5000 x x2 5x 16 x x 4x x x Hàm số f x liên tục đoạn 0;4 3 4 Ta có: f 17000, f 16000, f 20615,52813 Vậy giá trị nhỏ f x 16000 x nằm cách A đoạn SA x Khi chi phí thấp điểm S 13 4 Câu 496: [2D1-3.14-3] (THTT SỐ 673) Có hai cọc cao 10m 30m đặt hai vị trí A, B Biết khoảng cách hai cọc 24 m Người ta chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C D cọc (như hình vẽ) Hỏi ta phải đặt chốt vị trí đề tổng độ dài hai sợi dây ngắn nhất? A AM B AM m, BM 18 m m, BM 17 m C AM m, BM D AM 20 m 12 m, BM 12 m Lời giải Chọn A Đặt AM MD CM x(0 MB x 24) BD MD 24 BM 24 x Khảo sát hàm ta được: x x 900 m 24 CA2 x Ta có CM AM x2 100 900 Suy tổng độ dài hai sợi dây là: x2 f (x ),(0 100 x 24) BM =18 m Câu 497: [2D1-3.14-3] (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách 615m , nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người là: A 569, 5m B 671, 4m C 779, 8m D 741, 2m Lời giải Chọn C Giả sử người từ A đến M để lấy nước từ M dễ dàng tính BD MF 492 369, EF x, AM 492 Ta đặt EM x2 B x, ta được: 1182 , BM 492 x 4872 Như ta có hàm số f x xác định tổng quãng đường AM MB: f x x2 1182 492 x 4872 với x 0; 492 Ta cần tìm giá trị nhỏ f x để có quãng đường ngắn từ xác định vị trí điểm M x f' x f' x x2 x 492 1182 x 492 x x 2 x 492 x 492 x 487x x x 492 x 4872 487 x 492 1182 x x 492 x x 487 492 118 x2 2 x 4872 492 4872 x2 x 492 x x2 1182 1182 492 58056 492 58056 hay x 605 x 492 118x 58056 369 x 58056 605 Hàm số f x liên tục đoạn 0; 492 So sánh giá trị f (0) , f ta có giá trị nhỏ f 58056 605 58056 , f 492 605 779, 8m Khi quãng đường ngắn xấp xỉ 779,8m Câu 502: [2D1-3.14-3] (NGÔ QUYỀN – HP) Một sở sản xuất khăn mặt bán khăn với giá 30.000 đồng tháng sở bán trung bình 3000 khăn Cơ sở sản xuất có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt Sau tham khảo thị trường, người quản lý thấy từ mức giá 30.000 đồng mà tăng giá thêm 1000 đồng tháng bán 100 Biết vốn sản xuất khăn không thay đổi 18.000 Hỏi sở sản xuất phải bán với giá để đạt lợi nhuận lớn A 42.000 đồng B 40.000 đồng C 43.000 đồng D 39.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn D Gọi số tiền cần tăng giá khăn x (nghìn đồng) Vì tăng giá thêm (nghìn đồng) số khăn bán giảm 100 nên tăng x (nghìn đồng) số xe khăn bán giảm 100x Do tổng số khăn bán tháng là: 3000 100x Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), khăn có lãi 12 (nghìn đồng) Sau tăng giá, khăn thu số lãi là: 12 x (nghìn đồng) Do tổng số lợi nhuận tháng thu sau tăng giá là: f x 3000 100 x 12 x (nghìn đồng) Xét hàm số f x 3000 100 x 12 x 0; Ta có: f x 100 x 1800 x 36000 100 x 9 44100 44100 Dấu xảy x Như vậy, để thu lợi nhuận cao sở sản xuất cần tăng giá bán khăn 9.000 đồng, tức khăn bán với giá 39.000 đồng Câu 42: [2D1-3.14-3] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Một hồ rộng có hình chữ nhật Tại góc nhỏ hồ người ta đóng cọc vị trí K cách bờ AB m cách bờ AC m , dùng sào ngăn góc nhỏ hồ để thả bèo (như hình vẽ) Tính chiều dài ngắn sào để sào chạm vào bờ AB , AC cọc K (bỏ qua đường kính sào) B P K A A 65 Q C C B 5 D 71 Lời giải Chọn B B P E A K F Q C Đặt AP a ; AQ b ( a, b ) Gọi E F hình chiếu vng góc K xuống AB AC Suy KE , KF KE PK KF QK KF KE Ta có: ; a b AQ PQ AP PQ AP AQ (Hoặc dùng phép tọa độ hóa: Gán A 0;0 , P 0; a , Q b;0 Khi K 1;8 x y Phương trình đường thẳng PQ : Vì PQ qua K nên ) b a b a Cách 1: 8k k k k Ta có: PQ2 a b2 Vì a b a b k2 k 4k k 8k k k a b2 k a b2 a b 3 16k 3 a a a 2b 2b b 4k a a k 250 k a 10 Suy PQ nhỏ a b2 nhỏ b b b 8 a b a b2 125 5 Từ suy chiều dài ngắn Vậy giá trị nhỏ PQ sào để sào chạm vào bờ AB , AC cọc K 5 Cách 2: Vì a a với a Khi PQ2 a b2 a 1 b với a a b a 8 a 8 a Xét hàm số f a a với a a 8 a a 2a 8 ; f a a 10 Ta có f a 2a a a 8 a 8 BBT f a : Vậy GTNN f a 125 a 10 Từ suy chiều dài ngắn sào để sào chạm vào bờ AB , AC cọc K 125 5 Câu 56: [2D1-3.14-3] Tam giác vng có diện tích lớn tổng cạnh góc vng cạnh huyền số a (a > 0)? a2 a2 a2 2a A B C D 9 3 Lời giải Chọn A Cạnh góc vng x, x a ; cạnh huyền: a x Cạnh góc vng lại là: (a x)2 x a ( a x) a ; S ( x) x Diện tích tam giác S ( x) x a 2ax S ( x) 2 a 2ax Bảng biến thiên: a2 2a a Tam giác có diện tích lớn cạnh góc vng , cạnh huyền 3 Câu 18: [2D1-3.14-3] (PTNK Cơ Sở - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Một sợi dây kim loại dài 60cm cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ uốn thành hình vng cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường trịn đường kính r Để tổng diện tích hình vng hình trịn nhỏ a tỉ số sau đúng? r A B C D Lời giải Chọn B Độ dài đoạn dây 60cm , cạnh hình vng a , bán kính đường trịn r nên ta 30 2a có: 4a 2 r 60 r 1 Gọi S tổng diện tích hình vng hình trịn, suy S a r Thay 1 vào ta S a Khi S 2a 30 2a Cho S a 30 2a 2 8 a 120 60 4 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy S nhỏ a 60 30 a Vậy r 4 4 r Câu 40 [2D1-3.14-3] (THPT Chuyên Bắ c Ninh - Lầ n - 2017 - 2018) Mộ t ngư i bán gạ o muố n đóng mộ t thùng tơn đự ng gạ o tích khơng đổ i bằ ng m3 , thùng tơn hình hộ p chữ nhậ t có đáy hình vng, khơng nắ p Trên thị trư ng, giá tôn làm đáy thùng 100000 / m2 , giá tôn làm thành xung quanh thùng 50000 / m2 Hỏ i ngư i bán gạ o cầ n đóng thùng đự ng gạ o vớ i cạ nh đáy để chi phí mua nguyên liệ u nhỏ nhấ t? A m B 1,5 m C m D m Lời giải Chọn C Gọi cạnh đáy cạnh bên thùng tôn a b (điều kiện: a b ) Ta tích thùng tơn là: V a 2b Suy ra: b a 1600000 Chi phí để sản xuất thùng tôn là: 4ab.50000 100000a2 100000a a Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cơ-si cho ba số dương ta có: 800000 800000 1600000 800000 800000 100000a 12.105 100000a 100000a 3 a a a a a 800000 Dấu xảy 100000a a a 1600000 Cách 2: Khảo sát hàm y 100000a với a a 1600000 Suy ra: y 200000a a Khi đó, ta có bảng biến thiên sau: a2 Dựa vào bảng biến thiên ta có ymin a Câu 41 [2D1-3.14-3] (THPT Chuyên Bắ c Ninh - Lầ n - 2017 - 2018) Mộ t ả nh hình chữ nhậ t cao 1, m đư ợ c đặ t độ cao 1,8 m so vớ i tầ m mắ t (tính đầ u mép dư i củ a hình) Đ ể nhìn rõ nhấ t phả i xác đị nh vị trí đứ ng cách ả nh cho góc nhìn lớ n nhấ t Hãy xác đị nh khoả ng cách C 1, B 1,8 A A 2, m Chọn A B 2, 42 m ? O C 2, 46 m Lời giải D 2, 21 m C 1, B 1,8 A ? O AC 3, Đặt BOC 0; , AOC a , AOB b , x OA Khi ta có tan a , x x 2 3, 1,8 AB 1,8 tan a tan b x 1, x Ta có hàm tan , tan tan a b tan b x x tan a.tan b 5, 76 x 5, 76 x x2 1, x hàm đồng biến 0; nên lớn tan lớn x 5, 76 2 1, x Xét tan : Áp dụng bất đẳng thức cô si với hai số thực dương ta có x 5, 76 x2 5,76 x.2, 1, x 1, x Suy tan Dấu " " xảy x 5,76 2, x 5, 76 x.2, 24 Câu 48: [2D1-3.14-3] Một cửa hàng bán lẻ phần mềm diệt virut Bkav Pro với giá 300000 VNĐ Với giá bán này, cửa hàng bán khoảng 25 sản phẩm Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính lần giảm giá bán 20000 VNĐ số sản phẩm bán tăng thêm 40 sản phẩm Xác định giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá mua sản phẩm 167500 VNĐ A 156250 VNĐ B 240000 VNĐ C 166000 VNĐ D 249750 VNĐ Lời giải Chọn B Số tiền cần giảm 20000k Giá bán lẻ sản phẩm là: 300000 20000k Khi số lượng sản phẩm bán tương ứng là: 25 40k Vậy lợi nhuận thu là: 300000 20000k 167500 25 40k Đặt f k 300000 20000k 167500 25 40k 3312500 4800000k 800000k Đây hàm số Parabol có hệ số a âm b 4800000 Vậy max f k đạt x 3 2a 800000 KL: Giá bán lẻ để cửa hàng thu 300000 20000k 300000 20000.3 240000 lợi nhuận lớn là: Câu 36: [2D1-3.14-3] (Sở GD &Cần Thơ-2018-BTN) Nhà xe khoán cho hai tài xế An Bình người nhận 32 lít 72 lít xăng tháng Biết rằng, ngày tổng số xăng hai người sử dụng 10 lít Tổng số ngày để hai tài xế sử dụng hết số xăng khoán A ngày B 10 ngày C 20 ngày Lời giải D 15 ngày Chọn C Gọi x x 10 số xăng An sử dụng ngày Khi đó: 10 x số xăng Bình sử dụng ngày 32 72 Suy f x , x 0;10 tổng số ngày An Bình sử dụng hết số xăng x 10 x khốn 32 72 32 72 Ta có: f x f ' x x 10 x x 10 x 2 Cho f ' x x 32 72 x 10 x 2 x 20 0;10 Bảng biến thiên hàm số f x 32 72 , x 0;10 x 10 x Theo BBT: 20 ngày An Bình sử dụng hết lượng xăng khốn Câu 8: [2D1-3.14-3](Sở Tiền Giang - 2018 - BTN) Một sắt chiều dài AB 100 m cắt thành hai phần AC CB với AC x m Đoạn AC uốn thành hình vng có chu vi AC đoạn CB uốn thành tam giác có chu vi CB Khi tổng diện tích hình vng tam giác nhỏ nhất, mệnh đề đúng? A x 52;58 B x 40;48 C x 48;52 D x 30;40 Lời giải Chọn B Gọi chiều dài đoạn AC x , chiều dài đoạn BC 100 x Tổng diện tích hình vng tam giác 2 1 50 2500 3 100 x x x S x 9 4 16 36 50 43, 49 S nhỏ x 1 3 16 36 ... c a3 3a2 m b3 3b2 m c3 3c2 m với a , b , c 1 ;3? ?? a3 3a b3 3b2 c3 3c m với a , b , c 1 ;3? ?? Do Min a3 3a b3 3b2 c3 3c ... 3x2 hay S x 48 3x x 24 24 24 24 3x 36 , với x 3x 3 x x x x 24 3x hay x Vậy chi phí xây hồ 18 triệu đồng 36 m2 x Do S x Vậy Smin Câu 36 : [2D 1 -3 .1 4 -3 ]... 1 ;3? ?? Ta cần tìm Min a3 3a b3 3b2 Max c3 3c với a , b , c 1 ;3? ?? Xét hàm f x x3 3x với x 1 ;3? ?? x f x 3x x , f x x x Do x 1 ;3? ??
Ngày đăng: 03/09/2020, 06:29
Xem thêm:
